Ba nét vẽ giải quyết bài toán khoảng cách trong hình học không gian lớp 12

BA NÉT VẼ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên : LÊ ANH TUẤN
Câu 1.

[2H1-2]Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a . Góc giữa mặt bên và mặt đáy
bằng 60 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  bằng .
A.

a
.
2

B.

a
.
4

C.

3a
.
4

D.

3a
.
2

Lời giải
Chọn C.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , suy ra G là hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABC  . Gọi

·
I là trung điểm BC suy ra góc giữa  SBC  và  ABC  là SIG
Tam giác ABC đều cạnh bằng a  GI 

1a 3 a 3

3 2
6

·  60  SG  IG.tan SIG
·  a 3 .tan 60  a
Theo bài SIG
6
2
 AG   SBC   I

Vì  AI
 d  A,  SBC    3d  G,  SBC  
3

 GI
Gọi H là hình chiếu của G trên  SBC   H  SI 

GS 2 .GI 2
a


2
2
GS  GI
4
3a
 d  A,  SBC    3d  G,  SBC   
.
4
 d  G,  SBC    GH 

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Câu 2.

[2H1-2]Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a . Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC . Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Khoảng cách giữa hai đường
GC và SA bằng .

A.

a 5
.
5

B.

a

.
5

C.

a 5
.
10

D.

a 2
.
5

Lời giải
Chọn A.

Gọi M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, BC . Gọi H là hình chiếu của G lên đường
thẳng đi qua A và song song với CG . GK là đường cao của tam giác GHS
Khi đó , d  GC, SA  d  GC,  SAH    GK





a 3
·,  ABC   SAG
·  60
; SA

3
a
 SG  AG.tan 60  a ; GH  AM 
2

Ta có : AG 

Câu 3.

GS .GH

a 5
.
5
GS  GH
[2H1-3]Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B . Biết AD  2a ,
AB  BC  SA  a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy , gọi M là trung điểm AD . Tính khoảng
cách h từ M đến mặt phẳng  SCD  .
 d  GC , SA  GK 

A. h 

a 6
.
6



2

2

B. h 

a 6
.
3

C. h 

a 3
.
6

D. h 

a
.
3

Lời giải
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Chọn A.

Tứ giác ABCM là hình vuông nên CM 

1

AD  a
2

 ACD vuông tại C
Ta có CD  AC, CD  SA  CD   SAC 

Kẻ AH  SC tại H khi đó do CD   SAC   CD  AH  AH   SCD 

1
1
Vậy d  M ,  SCD    d  A,  SCD    AH
2
2
Tam giác SAC vuông tại A , đường cao AH nên

1
1
1
3

 2 2
2
2
AH
AC
SA
2a

a 6
a 6

.
 d  M ,  SCD   
3
6
[2H1-3]Cho tứ diện OABC có đáy OBC vuông tại O , OB  a, OC  a 3 . Cạnh OA vuông góc
 AH 

Câu 4.

với mặt phẳng  OBC  , OA  a 3 , gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách h giữa hai
đường thẳng AB và OM .
A. h 

a 5
.
5

B. h 

a 3
.
2

C. h 

a 15
.
5

D. h 

a 3
.
15

Lời giải
Chọn C.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Gọi N là điểm đối xứng của C qua O . Khi đó OM / / BN
Do đó OM / /  ABN   d  OM , AB   d  OM ,  ABN    d O,  ABN  
Dựng OK  BN , OA   OBC   BN  OA  BN   OAK   BN  AK
Dựng OH  AK khi đó OH   ABN  . Từ đó d  OM , AB   OH
Tam giác ONB vuông tại O , đường cao OK nên
1
1
1
4


 2
2
2
2
OK
ON
OB

3a
Tam giác AOK vuông tại O , đường cao OH nên

Câu 5.

1
1
1
5
a 15


 2  OH 
2
2
2
OH
OK
OA
3a
5
a 15
Vậy d  OM , AB  
.
5
[2H1-3]Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a , góc BAD  120 .
Các mặt phẳng  SAB  ,  SAD  cùng vuông góc với mặt đáy . Thể tích khối chóp S. ABCD là
2 3a 3
. Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a .
3

A. h 

2 5a
.
5

B. h 

a 3
.
2

C. h 

a 6
.
2

D. h 

a 6
.
3

Lời giải
Chọn B.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)

Hai mặt phẳng  SAB  ,  SAD  cắt theo giao tuyến SA và cùng vuông góc  ABCD  nên

SA   ABCD 
Dựng đường thẳng d qua B song song với AC
Dựng AH  d , AK  SH . Ta chứng minh AK   SBH 

AC / / HB  AC / /  SBH   d  AC, SB   d  AC,  SBH    AK

BO  AC, AH  HB  AH  AC  AH / / BO
Vậy tứ giác AHBO là hình chữ nhật nên AH  BO  a 3
Diện tích hình thoi ABCD là S ABCD  AB.BC.sin 60  2a 2 3
3VS . ABCD
a
S ABCD
Tam giác SAH vuông tại A , đường cao AK nên

Suy ra SH 

1
1
1
1
1
4
a 3

 2  2  2  2  AK 
2

2
AK
AH
SA
3a a
3a
2
a 3
.
2
[2H1-3]Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a , cạnh SA vuông
góc với mặt đáy . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  là 45 . Gọi G là trọng tâm

Vậy d  AC , SB  
Câu 6.

tam giác SCD . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD .
A. h 

a 5
.
2

B. h 

a 5
.
3

C. h 

a 3
.
2

D. h 

a 2
.
3

Lời giải
Chọn D.
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CD, AB

AD / / MN  AD / /  SMN   d  AD, MN   d  AD,  SMN    d  A,  SMN  

MN  AB, MN  SA  MN   SAB    SMN    SAB 
Dựng AK  SN  AK   SMN   d  A,  SMN    AK
Lại có SA   ABCD  nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng  ABCD 
·  45
  SC,  ABCD    SCA
 SAC vuông cân tại A  SA  AC  a 2
Tam giác SAN vuông tại A , đường cao AK nên

1

1
1
1
4
9
a 2
.
 2
 2  2  2  AK 
2
2
AK
SA
AN
2a a
2a
3

Câu 7.

·
[2H1-3]Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , cạnh a , BAD
 120 . Hai
mặt phảng  SAB  ,  SAD  cùng vuông góc với mặt đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng

 ABCD  là 45 . Gọi G
 SCD  theo a .
A. h 

a 7

.
14

là trọng tâm tam giác ABC , tính khoảng cách h từ G đến mặt phẳng

B. h 

a 21
.
7

C. h 

2a 21
.
21

D. h 

a 3
.
7

Lời giải
Chọn C.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)

Hai mặt phẳng  SAB  ,  SAD  cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc  ABCD  nên

SA   ABCD  . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, CD khi đó G  CM  BO
Ta có AM / /CD  d  M ,  SCD    d  A,  SCD  

GC 2
2
2
  d  G,  SCD    d  M ,  SCD    d  A,  SCD  
MC 3
3
3
Tam giác ACD đều nên AN  CD , mà CD  SA  CD   SAN    SAN    SCD 
Lại có

Dựng AK  SN  AK   SCD   d  A,  SCD    AK
Do SA   ABCD  nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng  ABCD  suy ra
·  45  AC  SA  A
 SC,  ABCD   SCA

a 3
2
Tam giác SAN vuông góc tại A , đường cao AK nên ta có

Ta tính được AN 

1
1
1
1

4
7
a 21
 2
 2  2  2  AK 
2
2
AK
SA
AN
a 3a
3a
7

Vây d  G,  SCD   
Câu 8.

2
2a 21
.
AK 
3
21
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vuông vuông góc với mặt phẳng đáy . Tính khoảng cách h từ điểm A đến
mặt phẳng  SCD  .

A. h 

a 21

.
7

B. h  a .

C. h 

a 3
.
4

D. h 

a 3
.
7

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Lời giải
Chọn A.

 SAB    ABCD 

Gọi H trung điểm AB , ta có  SAB    ABCD   AB  SH   ABCD 

 SH  AB, SH   SAB 
Vì AH / /  SCD   d  A,  SCD    d  H ,  SCD  

Gọi E là trung điểm CD , kẻ HI  SE, I  SE thì d  H ,  SCD    HI
Tam giác SHE vuông tại H  HI 

SH .HE
SH 2  HE 2



a 3
.a
a 21
2

7
3a 2
 a2
4

Vậy d  A,  SCD   
Câu 9.

a 21
.
7
[2H1-3]Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh a và mặt phẳng  SBC  vuông góc với mặt đáy . Tính theo a khoảng cách h giữa

hai đường thẳng SA, BC .
A. h 

a 3
.
2

B. h 

a
.
2

C. h 

a 3
.
4

D. h 

3a
.
4

Lời giải
Chọn C.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Trước tiên ta kiểm ta SA và BC có vuông góc nhau không

Gọi H là trung điểm BC , SH là đường cao hình chóp S. ABC
Ta nhận thấy SA   SHA  có SH  BC và do ABC là tam giác vuông cân tại A nên AH  BC

 BC   SHA  BC  SA
BC   SHA  H , kẻ HI  SA  I  SA
Suy ra HI là đoạn vuông góc chung của SA và BC nên d  SA, BC   HI
Ta có HI 

SH .HA
SH 2  HA2

Vậy d  SA, BC  



a 3
4

a 3
.
4

3a
, hình chiếu
2
vuông góc của S trên  ABCD  là trung điểm cạnh AB . Tính theo a khoảng cách h từ A đến

Câu 10. [2H1-3]Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SD 
mặt phẳng  SBD  .
A. h 

2a
.
3

B. h 

a
.
3

C. h 

a 3
.
3

D. h 

a 6
.
3

Lời giải
Chọn A.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)

Gọi H là trung điểm AB , ta có SH   ABCD 
Gọi K là trung điểm OB thì HK  OB , kẻ HI  SK , I  SK thì d  H ,  SBD    HI

AH   SBD   B; AB  2HB
 d  A,  SBD    2d  H ,  SBD    2HI
2
4 a
Mà HI 

SH 2  HK 2
a2 3
a2 
8
2a
 d  H ,  SBD   
.
3
Câu 11. [2H1-3]Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng  ABC  là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA  2HB . Góc giữa đường thẳng SC và
SH .HK

a.a

mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SA và BC theo a .
A. h 

a 42
.
8

B. h 

a 42
.
12

C. h 

a 42
.
16

D. h 

a 42
.
20

Lời giải
Chọn A.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


d  SA, BC   d  BC,  SAt    d  B,  SAt   , At / / BC
Gọi N trung điểm BC , qua H dựng EK / / AN , E  At , K  BC  AEKN là hình chữ nhật và

 SAt    SAE 
Dựng HI  SE ta có d  H ,  SAE    HI 

MH 

SH .HE
SH 2  HE 2

AB a
a 7
  CH  CM 2  MH 2 
6
6
3

a 21
·
Ta có  SC ,  ABC    SCH
 60  SH  CH .tan 60 
3

HK 

1
2
a 3
SH .HE
a 42
AN  EH  AN 
; d  H ,  SAE    HI 

2
2

3
3
3
12
SH  HE

BH   SAE   A; BA 

3
3
a 42
.
HA  d  B,  SAE    d  H ,  SAE   
2
2
8

Câu 12. [2H1-3]Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có mặt đáy ABC là tam giác vuông ABC tại B có
AB  a; AC  a 3 , AB  2a . Gọi M là trung điểm của AC . Khoảng cách từ M đến  ABC 
.
A.

a 3
.
4

B.

a 3
.

2

C.

3a
.
2

D.

3a
.
4

Lời giải
Chọn A.
L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Đi tính d  A,  ABC  

 AH  AB
 AH   ABC   d  A,  ABC    AH
Kẻ AH  AB , có 
 AH  BC
1
1
1
4

a 3


 2  AH 
2
2
2
AH
AA
AB
3a
2
1
a 3
Có AM   ABC   C và M trung điểm AC  d  M ,  ABC    d  A,  ABC   
.
2
4
Câu 13. [2H1-3]Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC có mặt đáy là tam giác đều , cạnh AA  3a . Biết góc
giữa  ABC  và đáy bằng 45 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau AB và CC  theo a là .

Có AA2  AB2  AB2  3a2 . Có

A. a .

B. 3a .

C.

3a 3

.
3

D.

3a 3
.
2

Lời giải
Chọn B.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Ta có CC / / AA  CC / /  AABB  , suy ra d  CC, AB   d  CC,  AABB  
Kẻ CH  AB . Ta chứng minh CH   ABBA
Khi đó d  C,  ABBA   CH . Ta có BC   ABC    ABC 


 AM   AAM    ABC 
Kẻ AM  BC . Ta chứng minh được BC   AAM  . Ta có 

 AM   AAM    ABC 
Suy ra   AAM  ,  ABC     AM , AM   45
Khi đó tam giác AAM vuông cân tại A  AA  AM  3a
Mà tam giác ABC đều nên CH  AM  3a
Vậy d  AB, CC   3a .
Câu 14. [2H1-3]Cho hình lăng trụ ABC. ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB  2a . Hình chiếu

vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  ACC A  theo a .
A.

a 39
.
13

B.

a 15
.
5

C.

2a 21
.
7

D.

2a 15
.
5

Lời giải
Chọn D.

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu

ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Ta có AH là hình chiếu vuông góc của AA lên  ABC  nên

 AA,  ABC    AA, AH   60
Gọi I là trung điểm AC , M trung điểm IA
Kẻ HK  AM . Khi đó AH  a 3; BI  a 3; HM 
Ta có HK   ACCA  d  H ,  ACC A   HK
Xét tam giác AHM vuông tại H có HK 
Mặt khác

d  H ,  ACC A  
d  B,  ACC A  



a 3
2

AH .HM
AH  HM
2

2



a 15
5

HA 1
2a 15
  d  B,  ACC A    2 HK 
.
BA 2
5

Câu 15. [2H1-4]Cho hình lăng trụ ABC. ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB  2a . Hình chiếu
vuông góc của A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H của cạnh AB . Biết góc giữa
cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau BC và AA theo a
là .
A.

2 15a
.
5

B.

a 15
.
5

C.

2a 21
.
7

D.

a 39
.
13

Lời giải
Chọn

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)


Ta có AA / / BB nên d  AA, BC   d  AA,  BCCB    d  A,  BCCB  
Gọi E là điểm đối xứng với H qua điểm B , ta có AH / / BE và BE   ABC 
Vì

d  A,  BCC B  

d  E ,  BCC B  



AB
 2 nên d  AA, BC   2d  E,  BCCB  
EB

Kẻ EK  BC, EF  BK . Chứng minh được EF   BCC B   d  E ,  BCC B    EF

·

 60 ta có EK  BE.sin 60 
Xét tam giác KEB vuông tại K và KBE
Xet1 tgam giac1 BEK vuông tại E có EF 

EK .BE
EK  BE
2

2



a 3
2

a 15
5

2a 15
.
5
Câu 16. [2H1-4]Cho lăng trụ ABCD. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và AB  a, BC  2a
. Gọi H , M lần lượt là trung điểm của OA, AA . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng

Vậy d  AA, BC   2 EF 

 ABCD 

trùng với điểm H . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Tính khoảng cách từ

điểm M đến mặt phẳng  CDDC   .
A.

2a 29
.
13

B.

2a 85
.
17

D.

2a 285
.
19

D.

2a 21
.
7

Lời giải
Chọn

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)

Do ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB  a, BC  2a nên
a 5
a 5
. Ta có AH   ABCD 
; OH 
2
4
Nên AH là hình chiếu vuông góc của AA lên  ABCD  suy ra  AA,  ABCD    ·
AAH  60
AC  a 5; OA 

a 15
4
Vì AA / /  CDDC  d  M ,  CDDC   d  A,  CDDC  
AH  AH .tan 60 

Dựng hình bình hành AHEC ta có CE   ABCD  ; CE  AH và

d  A,  CDDC   

d  E ,  CDDC   



AC
4 .
EC

Suy rra d  A,  CDDC   4d  E,  CDDC  
Ta có KE / / AD và AC  4EC nên tính được KE 
Xét tam giác vuông CKE tại E có IE 
Vậy d  M ,  CDDC    

a
2

KE.C E
KE  C E
2

2



a 285
38

2a 285
.
19

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết, tài liệu
ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo...(nhắn tin hoặc gọi tư vấn)