DAP AN DE THI HSG MON TOAN 8 HUYEN TINH GIA NAM20112012

Phòng gd - đt
Huyện tĩnh gia

P N đề thi hC SINH GII CP HUYN
năm học 2011 - 2012
Môn : Toán 8
Thời gian làm bài: 120 phút

Bi 1 (2 im):
2 x 2 + 10 x + 12
=0
x3 4x
2 x 2 + 10 x + 12 = 0
( x + 2)( x + 3) = 0
3

x = 3
x 4 x 0
x 0; x 2

1. phõn thc:

2. Rỳt gn vi n l s nguyờn dng
1
1 2 2 32 43
(n + 1) 2
1 1
1
+
.
1

+
.
1
+
.....
1
+
=
.
.
......





2
n(n + 2)
3 8 15 n + 2n 1.3 2.4 3.5
n + 1 2. 3 4
n + 1 2( n + 1)
2 3 4
= . . .....
. . . .......
=
n 3 4 5
n + 2
n+2
1 2 3

Bi 2 (3,5 im):

x +1

x 1

3

1. Gii phng trỡnh: x 2 + x + 1 x 2 x + 1 = x( x 4 + x 2 + 1)
2
2
1
3

x
+
x
+
1
=
x
+
+ >0



2
4

2

1
3

Ta cú: x 2 x + 1 = x + > 0 x 0
2
4


4
2
x + x + 1 > 0

x 0

x(x + 1)(x2 x + 1) x(x - 1)(x2 + x + 1) = 3
x4 x3 + x2 + x3 x2 + x x4 x3 x2 + x3 + x2 + x = 3
2x = 3

K

3
2

x = (tm)
2. Phõn thc:

(x
(x

=

2
2

)
)

+ a (1 + a) + a 2 x 2 + 1 x 2 + ax + a + a 2 + a 2 x 2 + 1
=
a (1 a ) + a 2 x 2 + 1 x 2 ax 2 a + a 2 + a 2 x 2 + 1

(
(

)
)

(
(

)(
)(

A

I

B

)
)

x2 a2 + a +1 + a2 + a +1 x2 +1 a2 + a +1 a2 + a +1
=
=
x2 a2 a +1 + a2 a +1 x2 +1 a2 a +1 a2 a +1

Khụng ph thuc vo x
3. a) Xột ACL v DAI cú:

A = C = 90 0
CD L = AD I (Cựng ph D 2 )

D

C

AD = CD (gt)
Do ú: ACL = DAI (Cnh gúc vuụng gúc nhn)
L

1


Suy ra: ID = DL (Cạnh tương ứng)
Nên: ∆DIL cân tại D
b) Theo công thức tam giác ta có:
1

1
CD.KL = .DK .DL
2
2
2
2
2
⇔ CD .KL = DK .DL2
S ∆DKL =

KL2
1
DK 2 + DL2
1
1
1
1
⇔
=
⇔
=
⇔
+
=
2
2
2
2
2
2

2
2
DK .DL
CD
DK .DL
CD
DL
DK
CD 2

Theo câu a
1
1
1
+
=
Không đổi CD (Cạnh hình vuông)
2
2
DI
DK
CD 2
Bài 3 (2,5 điểm): Chứng minh rằng: Nếu c 2 + 2(ab − ac − bc) = 0; b ≠ c; a + b ≠ c

DI = DL =>

a 2 + (a − c) 2 a − c
=
Thì: 2
b + (b − c) 2 b − c

Chứng minh:

c + 2(ab − ac − bc) = 0 ( a + b − c ) 2 = a 2 + b 2


⇒ b − c ≠ 0
Ta có: b ≠ c
a + b ≠ c
a + b − c ≠ 0


2

Nên: a2 = (a+ b - c)2 – b2 = (a - c).(a + 2b - c)
b2 = (a + b - c)2 – a2 = (b - c).(2a + b - c)
a 2 + (a − c) 2 (a − c)(a + 2b − c ) + (a − c) 2 ( a − c)(2a + 2b − 2c) a − c
=
=
=
(dfcm)
b 2 + (b − c) 2 (b − c)(2a + b − c ) + (b − c) 2 (b − c)(2a + 2b − 2c ) b − c

Bài 4 (2, 0 điểm):

a

b

c

12 cm
Đoạn thẳng chia thành 3 đoạn có độ dài là:
0 < a ≤ b ≤ c < 12

Ta có: a + b + c = 12  a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 144
 a2 + b2 + c2 = 144 - 2ab - 2bc - 2ca
Tổng diện tích của 3 hình vuông là:
S = a2 + b2 + c2 = 144 - 2ab - 2bc - 2ca
Áp dụng BĐT côsi cho các cặp số dương
a2 + b2 ≥ 2ab
b2 + c2 ≥ 2bc
a2 + c2 ≥ 2bc
2


Nên 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca
- 2S ≤ - 2ab - 2bc - 2ca
144 - 2S ≤ 144 - 2ab - 2bc - 2ca
144 - 2S ≤ S
3S ≥ 144
S ≥ 48
Dấu “=” xảy ra  a = b = c = 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng diện tích là 48cm2 khi và chỉ khi đoạn thẳng chia thành 3
đoạn thẳng bằng nhau bằng 4 cm.
(Lời giải mang tính chất tham khảo)

3