SKKN Tìm GTLN, GTNN bằng ph­ưng pháp miền giá trị

Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị

Phần I

đặt vấn đề

Mục đích việc giảng dạy toán ở trờng THPT là dạy cho học sinh
về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kĩ năng giải toán, từ
đó giúp cho học sinh khai thác các hoạt động tiềm ẩn trong nội
dung môn toán và hình thành t duy lôgic, sáng tạo cho học sinh. Vì
vậy, ngời giáo viên cần dạy cho học sinh kĩ năng giải bài tập; từ đó
yêu cầu đặt ra là ngời giáo viên phải dạy cho học sinh phơng pháp
tiếp cận và giải quyết các dạng bài toán nh thế nào.
Chơng trình toán phổ thông có rất nhiều dạng toán, phong phú
về nội dung cũng nh hình thức, trong đó có rất nhiều dạng bài
toán khó nh chứng minh bất đẳng thức, biện luận số nghiệm của
phơng trình, bất phơng trình,...và dạng toán Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất cũng nằm trong số đó. Bài toán tìm giá trị lớn
nhất,giá trị nhỏ nhất một hàm số hay một biểu thức là một trong
những bài toán đợc quan tâm nhiều nhất trong các kì thi học sinh
giỏi tỉnh, quốc gia; đồng thời bài toán này cũng thờng xuyên xuất
hiện trong các đề thi đại học, cao đẳng những năm gần
đây.Chính vì thế, việc dạy cho học sinh nắm bắt phơng pháp
và rèn luyện tốt kĩ năng giải bài toán này là hết sức cần thiết. Mặt
khác, thông qua việc giải các bài toán này giúp cho học sinh phát
triển đợc t duy lôgic, sáng tạo, khả năng suy luận,phán đoán. Điều
đó giúp học sinh học tốt môn toán hơn và giải quyết những vấn
đề trong cuộc sống một cách linh hoạt và có hiệu quả hơn.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN)
của một hàm số hay một biểu thức có nội dung phong phú, đa
dạng về hình thức,nhiều mức độ và nhiều phơng pháp giải khác

nhau. Trong phạm vi rất nhỏ, tài liệu này chỉ trình bày một trong
những phơng pháp đó. Phơng pháp miền giá trị tìm
GTLN,GTNN là phơng pháp hữu ích giúp học sinh giải loại bài toán
này một cách rõ ràng, mạch lạc và có hiệu quả. Tài liệu trình bày
phơng pháp thông qua các ví dụ học sinh rất dễ nắm bắt; ngoài
ra phần bài tập đề nghị giúp học sinh củng cố phơng pháp và rèn
luyện kĩ năng giải loại bài toán này bằng phơng pháp trên.

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 1


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị

Phần II

Nội dung

I. Bổ sung kiến thức
1. Định nghĩa GTLN,GTNN
Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Khi đó:
M f (x),x D
+ M là GTLN của hàm số f(x) trên D nếu
x0 D : f (x0 ) = M
m f (x),x D
+ m là GTNN của hàm số f(x) trên D nếu
x0 D : f (x0 ) = m
Cho biểu thức P = F(x,y) với x D Ă ; y D' Ă . Khi đó:
M F(x,y),x D,y D'

+ M là GTLN của P nếu
(x0 ; y0 ): x0 D,y0 D' : F(x0 ; y0 ) = M
m F(x,y),x D,y D'
+ m là GTNN của P nếu
(x0 ; y0 ): x0 D,y0 D' : F(x0 ; y0 ) = m
*Chú ý: Với biểu thức nhiều biến ta định nghĩa tơng tự.

2. Định nghĩa miền giá trị(tập giá trị) của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
Tập hợp f (D) = { y Ă / y = f (x),x D} đợc gọi là miền giá trị (tập giá
trị) của f(x).
Cho biểu thức P = F(x,y) với x D,y D' .
Tập hợp { P Ă / P = F(x,y),x D,y D'} đợc gọi là miền giá trị (tập giá
trị) của P
II. Phơng pháp miền giá trị tìm GTLN,GTNN
1.Phơng pháp miền giá trị
Để tìm GTLN,GTNN của hàm số y=f(x) trên D; ta thực hiện các
bớc sau:
Bớc1: Gọi T là tập giá trị(TGT) của hàm số y = f(x).Khi đó,
yo T phơng trình yo = f(x) (*) có nghiệm trên D
Bớc 2: Tìm điều kiện có nghiệm của PT(*) bằng cách đa về
các dạng:
f (x) = M
+ y0 M,x D Max
D
Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 2

Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị
+ y0 m,x D mDin f (x) = m
+ m y0 M,x D Max f (x) = M; Min f (x) = m
D

D

Chú ý:
+ PT ax2 + bx + c = 0(a 0) có nghiệm 0
+ PT asinx + bcosx = c(a2 + b2 0) có nghiệm a2 + b2 c2
2. Một số ví dụ minh hoạ
Vídụ 1: Tì
m GTLN,GTNN của hàm số y = x2 + 7 x + 3
Giải: Hàm số có tập xácđịnh là Ă ; gọi T là tập giá trịcủa hàm số. Khi đ
ó,
y0 T pt x2 + 7 x + 3 = y0 có nghiệm trên Ă
0 49 4(y0 3) 0 y0
Vậy : Max y =
Ă

61
7
x= ;
4
2

61
.
4

Miny không tồn tại.
Ă

2 x2 + x 1
x2 x + 1
Giải: Tập xácđ
ịnh : Ă ; Gọi T là tập giá trịcủa hàm số. Ta có:

Vídụ 2: Tì
m GTLN,GTNN của hàm số y =

2 x2 + x 1
y0 T pt 2
= y0
có nghiệm trên Ă
x x+1
(y0 2)x2 (y0 + 1)x + y0 + 1 = 0 (2*) có nghiệm trên Ă
*Nếu y0 = 2 (2*) có nghiệm x = 1
*Nếu y0 2: (2*) có nghiệm 0 3(y0 2 2 y0 3) 0 1 y0 3.
Vậy : Max y = 3 đ
ạt khi x = 2;
Ă

Miny = 1 đ
ạt khi x = 0.
Ă

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 3

Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị
Vídụ 3: Tì
m GTLN,GTNN của hàm số y = 3 sinx 4 cosx + 5
Giải: Gọi y0 là 1 giá trịbất kìcủa hàm số. Khi đó,
pt 3 sinx 4 cosx + 5 = y0 có nghiệm trên Ă
32 + (4)2 (y0 5)2 0 y0 10.


3
+ acr cos );
Ă
2
5

3
Miny = 0 (chẳ
ng hạn khi x = + acr cos )
Ă
2
5
2
Vídụ 4: Tì
m GTLN,GTNN của hàm số y = 2 sin x+3cos2 x + 4 sinxcosx
Giải: Tập xác định của hàm số là Ă .
1 cos2 x
1 + cos2 x 4
1
5

Ta có: y = 2(
) + 3(
) + sin2 x = 2 sin2 x + cos2 x +
2
2
2
2
2
Gọi T là tập giá trịcủa hàm số .Ta có:
1
5
y0 T pt 2 sin2 x + cos2 x + = y0 có nghiệm trên Ă
2
2
1
5
5 17
5 + 17
22 + ( )2 (y0 )2
y0
.
2
2
2
2
5 + 17
5 17
Vậy : Max y =
; Miny =
.

Ă
Ă
2
2
sinx cosx + 1
Vídụ 5: Tì
m GTLN,GTNN của hàm số y =
sinx + cosx + 2
Giải: TXĐ : Ă . Gọi T là tập giá trị của hàm số. Ta có:
sinx cosx + 1
PT
= y0 có nghiệm trên Ă
sinx + cosx + 2
(y0 1)sinx+(y0 + 1)cosx = 1 2 y0 có nghiệm trên Ă
Vậy : Max y = 10 (chẳ
ng hạn khi x =

(y0 1)2 + (y0 + 1)2 (1 2 y0 )2
2 6
2+ 6
y0
.
2
2
2 6
Miny =
.
Ă
2

2 y0 2 4 y0 1 0
Vậy : Max y =
Ă

2+ 6
;
2

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 4


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị
Vídụ 6: Tì
m tất cả các giá trịcủa tham số a sao cho

acos x + a 1
< 1, x Ă
s inx + cos x + 3

Giải:
* Hàm số y =

acos x + a 1
có TXĐ là Ă ;gọi T là tập giá trị.
s inx + cos x + 3

Ta có:
acos x + a 1

= y0 có nghiệm trên Ă
s inx + cos x + 3
y0 s inx+(y0 a)cos x = a 1 3y0 có nghiệm trên Ă

y0 T PT

y0 2 + ( y0 a) 2 ( a 1 3y0 ) 2

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 5


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị


2a 3 4a2 + 2a + 2
2a 3 + 4a2 + 2a + 2
y0
.
7
7

2a 3 + 4a2 + 2a + 2
* Ta có : y < 1, x Ă Max y < 1
<1
Ă
7
10 2a > 0
7

2
a<
2
3
4a + 2a + 2 < (10 2a)
Kết luận:

7
a< .
3

cos 2 x + sin xcos x
1
Vídụ7: Chứng minh rằng:
<

, x Ă
1 + s in2 x
4
Giải:
cos 2 x + sin xcos x sin 2 x + cos2 x + 1
=
có TXĐ là Ă ;
1 + s in2 x
3 cos2 x
Gọi T là tập giá trịcủa nó. Ta có:
sin 2 x + cos2 x + 1
y0 T PT
= y0 có nghiệm trên Ă
3 cos2 x

s in2x+(y0 + 1)cos x = 3y0 1 có nghiệm trên Ă

* Hàm số y =

12 + ( y0 + 1) 2 (3y0 1) 2
2 6
2+ 6
2 6
y0
Miny =
(7*)
Ă
4
4
4
1
1
* Mặ
t khác : y > , x Ă Miny >
(7**)
Ă
4
4
Từ (7*) và (7**) suy ra đ
iều chứngmin h.


Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 6

Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị
3. Bài tập đề nghị
1) Tì
m GTLN,GTNN của hàm số :
x2 + 2 x + 3
a) y =
x2 + 2
x2 x + 1
b) y = 2
x 2x + 1

kx + 1
3, x Ă .
x2 + x + 1
3)Tì
m giá trịcủa a đ
ểgiá trịlớ n nhất của biểu thức:
1 + asinx
đ
ạt giá trịnhỏ nhất
2 + cosx
4)Cho x, y, z ( 0; ) thoã mã n x + y + z = .
2) Tì
m tất cả giá trịcủa k sao cho

x y z
Tì
m giá trịlớ n nhất của biểu thức: f = sin sin sin

2
2
2

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 7


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị

iiI. Phơng pháp tìm gtln,gtnn của biểu thức hai biến số
Đối với bài toán tìm GTLN,GTNN của một biểu thức 2 biến số
trong đó 2 biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trớc, ta có thể
mở rộng phơng pháp trên để giải các bài toán đó.
1.Bài toán
Cho các số thực x,y thoã mãn biểu thức G(x,y) = 0.
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức P = F(x,y).
2. Phơng pháp giải.
Ta có thể các dạng bài toán trên theo phơng pháp chung gồm các
bớc sau
Bớc 1: Gọi T miền giá trị(TGT) của biểu thức P. Khi đó:
G( x, y) = 0
m T
(*) có nghiệm (x,y) thoả mãn điều
F ( x, y) = m
kiện.
Bớc 2: Tìm điều kiện có nghiệm của hệ (*), từ đó suy ra
GTLN,GTNN của P.
3. Một số ví dụ minh hoạ

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 8


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị
Vídụ 8: Cho các số thực x,y thoã mã n điều kiện x2 + y2 0.
x2 xy + y2
Tì
m GTLN,GTNN của biểu thức P = 2
x + xy + y2
Vớ i điều kiện x2 + y2 0, ta xét các tr ờng hợ p sau:

Giải:

* Nếu x = 0 y 0 P = 1
* Nếu x 0. Đ ặ
t y = tx; ta có :
x2 x2 t + x2 t2 1 t + t2
=
x2 + x2 t + x2 t2 1 + t + t2
1 t + t2
Hàm số y =
có tập xácđịnh : Ă ; Gọi T là tập giá trịcủa hàm số. Ta có:
1 + t + t2
1 t + t2
y0 T pt
= y0 có nghiệm trên Ă
1 + t + t2

(y0 1)t2 + (y0 + 1)t + y0 1 = 0 có nghiệm trên Ă
P=

0 (y0 + 1)2 4(y0 1)2 0


1
y0 3.
3

Vậy : Max P = 3;
x,yĂ

1
MinP = .
x,yĂ
3

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 9


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị

Vídụ 9: Cho các số thực x,y thoã mã n điều kiện x2 + y2 = 1.
2(xy + y2 )
2 xy + 2 x2 + 1
Gọi P0 là 1 giá trịthuộc tập giá trịcủa P. Khi đ
ó hệsau có nghiệm:

Tì
m GTLN,GTNN của biểu thức P =
Giải:

x2 + y2 = 1
x2 + y2 = 1


2(xy + y2 )
2(xy + y2 )
2 xy + 2 x2 + 1 = P0
2 xy + 3x2 + y2 = P0 (9*)


2
* Nếu x = 0 y =1 P0 = 2
* Nếu x 0. Đ ặ
t y = tx; ta có :
2(x2 t + x2 t2 )
2t + 2t2
P0 = 2
=
(9**)
2 x t + 3 x2 + x2 t2 2t + 3 + t2
2t + 2t2
Ta có : pt
= P0 có nghiệm trên Ă
2t + 3 + t2
(P0 2)t2 + 2(P0 1)t + 3P0 = 0 có nghiệm trên Ă

' 0 (Do P0 2) 2P0 2 + 4 P0 + 1 0
2 6
2+ 6
y0
.
2
2
2+ 6
2 6
Vậy : Max P =
; MinP =
.
2
2


Vídụ 10: Cho 2 số thực x,y thay đổi thoã mã n đ
iều kiện (x+y)xy = x2 + y2 xy.
1
1
Tì
m GTLN của biểu thức Q = 3 + 3
x y
Giải:
Gọi T tập giá trịcủa Q. Khi đó,
(x+y)xy = x2 + y2 xy

m T 1
(*) có nghiệm x 0,y 0
1

x3 + y3 = m

(x+y)xy = x2 + y2 xy
(x+y)xy = x2 + y2 xy


Ta có: (*) (x + y)(x2 + y2 xy)
(x + y)2 xy
=m
=m
3
3

(xy)
(xy)


Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 10


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị
(x+y)xy = (x + y)2 3xy

(x + y)2
(xy)2 = m

SP = S2 3P
S = x + y 2

Đặ
t
(S 4 P), ta có hệ S 2
(**)
P
=
xy
(
)
=
m

P
Hệ(*) có nghiệm x 0,y 0 hệ(**) có nghiệm (S,P) vớ i S2 4P.
Ta có SP > 0 vớ i x 0,y 0 nên suy ra:
+m 0 (*) vô nghiệm
S
= m S = m.P Thay vào hệ(**) ta đợ c:
P
3
3
P=
; S=
vớ i m 1(m> 0).
m( m 1)
m 1
+m> 0

Trong tr ờng hợ p này hệ(**) có nghiệm (S,P) thoã mã n S2 4P) khi và chỉkhi

3
12
(
)2
3 m 4( m 1) m 4 0 < m 16 (m 1).
m 1
m( m 1)
Tóm lại các giá trịcủa m đ
ểhệ(*) có nghiệm x 0,y 0 là: 0 < m 16 ,m 1
2+ 6
.
2
Vídụ 11: Cho 2 số thực x,y thay đ
ổi thoã mã n điều kiện x 3 x + 1 = 3 y + 2 y.
MaxQ =

Tì
m GTLN của biểu thức Q = x + y
Giải:
Đ iều kiện: x 1; y 2.
Gọi T tập giá trịcủa Q. Khi đ
ó, m T hệsau có nghiệm :
x 3 x + 1 = 3 y + 2 y 3( x + 1 + y + 2 ) = m

(*)

x
+
y
=

m
x
+
y
=
m


Đặ
t u = x + 1 ; v = y + 2 thìu,v 0 và hệ(*) thành :
m

u
+
v
=

3(u + v) = m
3

2

2
2
u + v = m+ 3 uv = 1 ( m m 3)

2 9

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 11


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị
u,v là nghiệm của ph ơng trì
nh :
m 1 m2
t t + ( m 3) = 0 18t2 6mt + m2 9m 27 = 0 (**)
3
2 9
Từ đó, hệ(*) có nghiệm (x,y) thoả mã n x 1; y 2
(**) có nghiệm không â
m
2


' = 9(m2 18m 54) 0

m
9 + 3 21

S = 0

m 9 + 3 15
3
2


m2 9m 27
0

P =
18
9 + 3 21
.
2
Vídụ 12: Cho 2 số thực x,y thay đ
ổi thoã mã n đ
iều kiện x2 + y2 = 2(x + y) + 7
Vậy:

maxQ = 9 + 3 15; minQ =

Tì
m GTLN của biểu thức Q = 3 x(x 2) + 3 y(y 2)
Giải:

Đ iều kiện: x,y Ă .

Gọi T là tập giá trịcủa Q. m T hệsau có nghiệm
x2 + y2 = 2(x + y) + 7
3
x(x 2) + 3 y(y 2) = m

(*)

Đặ
t u = 3 x(x 2) ; v = 3 y(y 2)
x2 2 x u3 = 0. PT này có nghiệm ' 0 1 + u3 0
(1 + u)(1 u + u2 ) 0 u 1
T ơng tự : v 1.

Từ đ
ó ta có hệ:
u3 + v3 = 7 (u + v)[(u + v)2 3uv] = 7
m(m2 3uv) = 7



u + v = m
u + v = m
u + v = m
7

2
m

m3 + 3m2 + 3m 7

3

m = m 7 (do m 0) (u + 1)(v + 1) =
uv =

(**)
3m
3
3
m

u + 1 + v + 1 = m+ 2
u + v = m

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 12


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị
m3 + 3m2 + 3m 7
u + 1,v + 1 là nghiệm pt t (m+ 2)t +
= 0 (***)
3m
Hệ(*) có nghiệm (x,y) hệ(**) có nghiệm (u,v) vớ i u,v 1
pt (***) có nghiệm t 0
2

4(m3 + 3m2 + 3m 7)

2
0
(m+ 2)
0
3m


28

S 0 m+ 2 0
m [ 2; 0 ) 1; 3

3

P 0 m3 + 3m2 + 3m 7


0
3m

Vậy:

maxQ =

3

28
; minQ = 2.
3

4.Bài tập đề nghị
1) Cho các số thực x,y thay đổi sao cho 4 x2 3 xy + 3y2 = 6 .
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức A = x2 + xy 2 y2
2) Cho 2 số thực x,y thoã mãn x2 + y2 = 1 . Tìm GTLN,GTNN của biểu
thức:
2( x2 + 6 xy)
B=
1 + 2 xy + 2 y2
3) Cho các số thực không âm x,y thoã mãn

x + y= 4.

Tìm GTLN,GTNN của biểu thức: C = x + 1 + y + 9

4) Cho 2 số thực x,y thoã mãn x2 + y2 = 2 . Tìm GTLN,GTNN của biểu
thức:
D = 2( x3 + y3 ) 3xy

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 13


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị

Phần III

kết quả thực nghiệm

Trong quá trình giảng dạy, tôi đã nhiều lần kiểm chứng kết quả
sau khi truyền đạt cho học sinh phơng pháp trên. Trong lần kiểm
tra vào học kì 1 năm học 2008-2009 tôi thực hiện nh sau:
1. Đối tợng khảo sát:
- 2 lớp: 11B1, 11B2
- Lớp thực nghiệm : 11B2
- Lớp đối chứng: 11B1
2. Tiến hành:
-Giáo viên dạy ở lớp 11B2 theo phơng pháp trên để tìm
GTLN,GTNN ,
còn ở lớp 11B1 giáo viên truyền đạt theo các phơng pháp sách
giáo khoa
-Kiểm tra 15 phút
-Nội dung: Yêu cầu hs tìm GTLN,GTNN của hai hàm số:
a) sử dụng điều kiện có nghiệm của pt

asin x + bcos x = c
b) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng
trình bậc 2
3. Kết quả:
Kết quả khảo sát cho ở bảng phân bố tần
số,tần suất nh sau:
Điểm số
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ĐTb
Cộng

Lớp 11B1
Tần
Tần số
suất(%)
1
2,17
3
6,52
1

2,17
7
15,22
8
17,39
10
21,74
9
19,57
5
10,87
2
4,35
0
0,00
0
0,00
4,63
46
100%

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Lớp 11B2
Tần
Tần số
suất(%)
0
0,00
0

0,00
1
2,27
5
11,36
4
9,09
9
20,45
11
25,00
7
15,91
5
11,36
2
4,55
0
0,00
5,46
44
100%
Trang 14


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị
4. Nhận xét:
- Năng lực học tập của học sinh lớp 11B1 tốt hơn lớp 11B2
- Học sinh bị điểm dới 5, điểm 0,1 ở lớp 11B1 nhiều hơn lớp 11B2
- Điểm Tb ở lớp 11B1 thấp hơn lớp 11B2

-Số lợng điểm khá giỏi ở 11B2 nhiều hơn ở lớp 11B1.

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 15


Tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị

Phần IV

kết luận

Việc tìm ra lời giải của một bài toán là vấn đề khó; đặc biệt
đối với bài toán tìm GTLN,GTNN lại càng khó hơn. Đối với học sinh
để giải bài toán tìm GTLN,GTNN các em thờng rất lúng túng, vụng
về, trình bày thiếu chặt chẽ , thiếu lôgic do các em cha đợc trang
bị đầy đủ các phơng pháp để giải loại bài toán này. Thực tế trong
chơng trình toán phổ thông loại bài toán này đợc trình bày rãi rác
trong chơng trình các khối lớp với nhiều phơng pháp khác nhau nên
học sinh thờng không nắm chắc và dễ quên. Việc giáo viên cung
cấp, hệ thống cho học sinh đầy đủ các phơng pháp và rèn luyện
kĩ năng tìm GTLN,GTNN là hết sức cần thiết. Điều đó giúp học
sinh phát triển t duy và giải quyết tốt các bài toán ứng dụng thực tế
trong chơng trình toán phổ thông.
Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp miền giá trị là một trong
những phơng pháp có hiệu quả tốt đối với học sinh. Qua thực tế
cho thấy, sau khi nắm bắt và rèn luyện kỹ năng theo phơng pháp
này học sinh đã có cách nhìn và hớng giải quyết tốt các bài toán
loại này trong các đề thi học kì,đề thi học sinh giỏi, đề thi đại

học, cao đẳng... Mặt khác, khi nắm chắc phơng pháp học sinh
biết chỉ ra các mối liện hệ chặt chẽ giữa bài toán tìm GTLN,GTNN
với bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị... từ đó các
em có cách nhìn khái quát và vận dụng đợc các phơng pháp giải tốt
hơn.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong quá
trình giảng dạy về cách giải bài toán tìm GTLN, GTNN bằng phơng
pháp miền giá trị. Mặc dù tôi đã cố gắng nhng không tránh khỏi
khiếm khuyết, sai sót. Rất mong sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô
giáo và đồng nghiệp để phơng pháp này đợc hoàn thiện và các
phơng pháp tìm GTLN,GTNN khác cũng đợc học sinh tiếp nhận và
sử dụng mang lại hiệu quả tốt hơn.
----- *** -----

Ngời thực hiện

Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo

Trang 16


T×m GTLN, GTNN b»ng ph¬ng ph¸p miÒn gi¸ trÞ

Ph¹m V¨n Hng

Gv: Ph¹m V¨n Hng - Trêng THPT TrÇn Hng §¹o

Trang 17