Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành Phò

Bất đẳng thức này phải đúng với mọi t   0;1 nên
t 1

ln t
1
t 1

- Nếu t  1;2  thì bất đẳng thức  ln a 

ln t
t 1

Bất đẳng thức này phải đúng với mọi t  1;2  nên ln a  lim
x 1

ln t
 1.
t 1

Do đó, ta cần phải có ln a  1  a  e .
Thử lại, với a  e , ta cần chứng minh t  1  ln t , t   0;2
Trang 25


Xét hs f  u   u  1  ln u, u   0;2 , ta có:

f 'u   1 
f ''  u  

1 u 1


, f 'u   0  u  1
u
u

1
 0 nên f  u  đạt giá trị nhỏ nhất tại u  1
u2

Ta có f  u   f 1  1  1  ln1  0 nên ta được t  1  ln t , t   0;2 là đúng.
Vậy giá trị cần tìm là a  e .
x
2

 2  x  y  x  2m
Bài toán 5.41: Tìm m để hệ 
có nghiệm duy nhất:
2
2

x  y  1

Hướng dẫn giải
Giả sử  x; y  là một nghiệm thì   x; y  cũng là nghiệm, mà hệ có nghiệm duy nhất nên x  0 . Do đó:

1  0  y  2m  y  1

 2
 2m  1  y
y 1
Khi y  1  m  1. Khi y  1  m  0

x
2

2  x  y  x  2
Đảo lại, với m  1 thì hệ: 
2
2

x  y  1

Hệ này không nghiệm duy nhất vì  0; 1 , 1;0  đều là nghiệm.

1
 2

x
2

2  x  y  x
Với m  0 thì hệ: 
2
2

x  y  1

Từ  2   x  1, y  1





Và 1 : y  2  x  x 2  2  x 1  x  2  1
x

x

x

Do đó y  1 và x  0 : nghiệm duy nhất. Vậy m  0
Bài toán 5.42: Tìm m để hệ sau có nghiệm:
2 x  x 1

 7 2 x 1  2017 x  2017
7
 2

 x   m  2  x  2m  3  0

1
 2
Hướng dẫn giải

Điều kiện x  1 . BPT 1 : 72

x 1

7

2 x 2

 1  2017 1  x 

- Nếu x  1 thì bất phương trình thỏa
Trang 26


- Nếu x  1 thì 72 x2  1  0,1  x  0 thì BPT thỏa
- Nếu x  1 thì 72 x2  1  0,1  x  0 thì BPT không thỏa

x2  2x  3
- Nếu 1  x  1 thì  2  : m 
x2
Xét f  x  

x2  2x  3
, x   1;1
x2

Lập BBT thì min f  x   2 nên bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m  2 . Vậy điều kiện cần
tìm là m  2 .

3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài tập 5.1: Giải các phương trình:



a) 4  15





tan x

 4  15



tan x

8

b) 81sin

2

x

 81cos x  30
2

Hướng dẫn



a) Đặt ẩn phụ và để ý 4  15
Kết quả x  
b) Kết quả x  



4


6

 4 
tan x

15



tan x

1

 k , k  .

 k hoặc x  


3

 k .

Bài tập 5.2: Giải các phương trình sau:
x 1

a) 3 .2  8.4
x2

x 2

b)

3 3
 
5 5

x 1

53 x 4

5
4

Hướng dẫn
a) Lôgarit hóa. Kết quả x  1 hoặc x  1  log 2 3
b) Lôgarit hóa. Kết quả x 

2  log5 3  4 
4log5 3  7

Bài tập 5.3: Giải các phương trình:
a)




3

6  15

b) 2  3

 
x

3

7  15

  2  3
x

x

  13
x

 4x
Hướng dẫn
Trang 27


a) Kết quả x  3
b) Chia 2 vế cho 4 x . Kết quả x  1
Bài tập 5.4: Giải các phương trình:
a) 3

cos x

2

cos x

 cos x

b) cot 2x  tan 2x  2tan 2 x1
Hướng dẫn giải

a) Đặt t  cos x ,0  t  1 và dùng định lý Lagrange.
Kết quả x  k 2 hoặc x 
b) Kết quả tan 2 x  




2

 k .



2  1 , từ đó suy ra nghiệm x.

Bài tập 5.5: Giải các phương trình:
a) log 4  x  12  .log x 2  1

b)

1
1
log 2  x  2    log 1 3x  5
6
3
8

Hướng dẫn
a) Đưa về cơ số 2. Kết quả x  4
b) Đưa về cơ số 2. Kết quả x  3
Bài tập 5.6: Giải các phương trình:
b) log x2 16  log 2 x 64  3

a) log 4 log 2 x  log 2 log 4 x  2

Hướng dẫn
a) Đưa về cơ số 2. Kết quả x  16
b) Kết quả x  4, x 

1
2

3

Bài tập 5.7: Giải các phương trình:





a) log 2 1  x  log3 x
b) log 2  cot x  tan 3x   1  log 2  tan 3x 
Hướng dẫn





a) Đặt log 2 1  x  log3 x  t thì 1  x  2t và x  3t
Đưa về phương trình 1  3t  2t có nghiệm duy nhất.
Kết quả x  2
b) Kết quả x 


8

 k và x 

3
 k , k  .
8
Trang 28


Bài tập 5.8: Giải các bất phương trình:
a) 4  3.2
x

x x

4x
b) x
4
4  3x

1 x

4

Hướng dẫn
a) Chia 2 vế cho 4 x  0 . Kết quả 0  x  4
b) Kết quả S   ;0   1;  
Bài tập 5.9: Giải các bất phương trình:
a) ln x  2  ln x  4  3ln 2

b) log3 x  log x 3
Hướng dẫn

a) Biến đổi tích. Kết quả 1  17  x  2 hoặc 0  x  1  17

1
 x  1 hoặc x  3
3

b) Kết quả

Bài tập 5.10: Giải các hệ phương trình:
2
2


9 x  y  5
a) 

log5  3x  y   log 5  3x  y   1

2
2

x  y  2
b) 

log 2  x  y   log3  x  y   1

Hướng dẫn
a) Phân tích 9 x 2  y 2   3x  y  3x  y  . Kết quả x  1; y  2
b) Kết quả x 

3
1
;y 
2
2

Bài tập 5.11: Tìm điều kiện m để phương trình:
a) 9sin
b)



2

x

 9cos x  m có nghiệm
2



x

5  1  2m





x

5  1  2 x có nghiệm duy nhất
Hướng dẫn

a) Đặt t  sin 2 x,0  t  1 rồi xét hàm số VT. Kết quả 6  m  10 .
b) Kết quả m  0 hoặc m 

1
8

Bài tập 5.12: Tìm tham số m để bất phương trình
a) 49x  5.7 x  m  0 có nghiệm









b) 1  log5 x 2  1  log5 mx 2  4 x  m có nghiệm với mọi x.
Hướng dẫn
Trang 29


a) Kết quả m 

25
4

b) Đưa về đánh giá tham số m một bên. Kết quả 2  m  3

Đăng ký mua bộ tài liệu file word bồi dưỡng HSG môn Toán trọn bộ:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán”
Gửi đến số điện thoại

Trang 30