HÀM SỐ LUỸ THỪA,HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LỔGARÍT

CHƯƠNG II. HÀM SỐ LUỸ THỪA,HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LỔGARÍT
I.LÝ THUT
§1. LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ
1.LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ NGUN
ĐN: luỹ thừa bậc n của số a ( hay luỹ thừa của a với số mũ n ) là số a
n
và xác định bởi : a
n
= a.a…a , n > 1.
Trong đó : a
1
= a.
a : gọi là cơ số, n : gọi là số mũ.
a> Luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm
ĐN : víi a
≠
0,n = 0 hc n lµ mét sè nguyªn ©m,l thõa bËc n cđa a lµ sè a
n
x¸c ®Þnh bëi: a
0
= 1, a
n
=
1
n
a
−
ch ó ý : +> KH : 0
0
,

0
n
kh«ng cã nghÜa.
+> víi a
≠
0 vµ n nguyªn,ta cã a
n
=
1
n
a
−
.
+> ta thêng dïng l thõa cđa 10 víi sè mò nguyªn ®Ĩ biĨu diƠn nh÷ng sè rÊt lín vµ rÊt bÐ.
b> TÝnh chÊt cđa l thõa víi sè mò nguyªn
Quy t¾c tÝnh :
§Þnh Lý 1: víi a
≠
0, b
≠
0 vµ víi c¸c sè nguyªn m,n ta cã :
1.a
n
.a
m
= a
m + n
2.
n
n m

m
a
a
a
−
=
3. (a
n
)
m
= a
n.m
4. (ab)
n
= a
n
.b
n
5.
n
n
n
a a
b b
 
=
 ÷
 
So s¸nh c¸c c¸c l thõa
§Þnh lý 2 : cho m,n lµ nh÷ng sè nguyªn.khi ®ã :

1. víi a > 1 th× a
n
> a
m
khi vµ chØ khi n > m
2. víi 0 < a < 1 th× a
n
> a
m
khi vµ chØ khi n < m
H q1 : víi 0 < a < b vµ n lµ sè nguyªn th× : 1. a
n
> b
n
khi vµ chØ khi n < 0. 2. a
n
< b
n
khi vµ chØ khi n > 0
H Ư qu¶ 2 : víi a < b , n lµ sè tù nhiªn lỴ th× a
n
< b
n
H Ư qu¶ 3: a,b d¬ng,n lµ sè nguyªn kh¸c 0 th× : a
n
= b
n
khi vµ chØ khi a = b.
2. C¨n bËc n vµ l thõa víi sè mò h÷u tØ
a. C ¨n bËc n

Đ N2: víi n nguyªn d¬ng,c¨n bËc n cđa sè thùc a lµ sè thùc b sao cho : b
n
= a.

Chó ý : ta thõa nhËn c¸c kh¼ng ®Þnh sau :
+> khi n lỴ,mçi sè thùc a cã 1 c¨n bËc n.kÝ hiƯu :
n
a
+> khi n ch½n, mçi sè thùc d¬ng a cã 2 c¨n bËc n lµ 2 sè ®èi nhau.kÝ hiƯu :
n
a
vµ -
n
a
nhËn xÐt :
1. c¨n bËc 1 cđa sè a lµ a 2.c¨n bËc n cđa 0 lµ 0

3. sè ©m kh«ng cã c¨n bËc ch½n v× l thõa bËc ch½n lu«n d¬ng.

4. với n nguyên dương lẻ,ta có :
n
a
> 0 khi a > 0 và
n
a
< 0 khi a < 0.
5.
n n
a

=
,
~
,
,
a nle
a ncha n





b. Tính chất của căn bậc n : với 2 số a,b dương.hai số nguyên dương m,n và 2 số nguyên p,q ta có:

1.
.
n n n
ab a b=
2.
( 0)
n
n
n
a a
b
b
b
= >
3.
( )

p
n p
n
a a=
(a > 0)
4.
m
n mn
a a=
5. nếu
p q
n m
=
thì
n p m q
a a=
( a > 0 ), đặc biệt
nm m
n
a a=
c.Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
ĐN3: cho a > o, r là một số hữu tỉ,giả sử r =
m
n
,m nguyên còn n nguyên dương.khi đó luỹ thừa của a
với số mu hữu tỉ là số a
r
và xác đònh bởi :
m
r n m

n
a a a= =

Chú ý: luỹ thừa với số mũ hữu tỉ ( của số thực dương) có nay đủ tính chất của luỹ thừa với số mũ
nguyên.
§2 .LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
1.Khái niệm luỹ thừa với số mũ thực
Vdụ : cho số vô tỉ
α
=
2
. Luôn tồn tại moat dãy số hữu tỉ r
1
,r
2
,..r
n
mà limr
n
=
2
Chẳng hạn : r
1
= 1, r
2
= 1,4 , r
3
= 1,41 , r
4
= 1,414 , r

5
= 1,4142 …… và limr
n
=
2
.
Cho a là số thực dương và
α
là số vô tỉ xét dãy số hữu tỉ r
1
,r
2
,..r
n
mà limr
n
=
2
.khi đó người ta chứng
minh được rằng dãy số thực
1 2
, ,...., ,....
n
r
r r
a a a
có giới hạn không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ ( r
n
).ta gọi
giới hạn đó là luỹ thừa của a với số mũ

α
.
KH : a
α
và a
α

=
lim
n
r
n
a
→+∞
GHI NHỚ : về cơ số của luỹ thừa
1. khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
2.khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
2.Công thức lãi ké C = A( 1 + r )
N
A: tiền gửi , r : lãi suất, N : kì hạn ( N : tính bằng năm )
§3 . LÔGARÍT
1.ĐỊNH NGHĨA
Cho số thực a dương,
α
tuỳ ý ta luôn xác đònh a
α
.ta có :
+> a
α
là một số dương. +> nếu

α
= 1 thì a
α
= 1
α
= 1,
R
α
∀ ∈
+> nếu a > 1, thì a
α
< a
β
khi và chỉ khi
α β
<

+> nếu 0 < a <1 thì a
α
< a
β
khi và chỉ khi
α β
>
+> 0 < a
1≠
a
α
= a
β

khi và chỉ khi
α β
=
Ta thừa nhận khi : 0 < a
1≠
,với mỗi số dương b,có một số
α
để : a
α
= b,
α
là duy nhất.
ĐỊNH NGHĨA 1
Cho 0 < a
1≠
,b là một số dương.số thực
α
để a
α
= b được gọi là cơ số a của b
Và kí hiệu :
log
a
b
,tức là :
α
=
log
a
b

⇔
a
α
= b .
CHÚ Ý : 1. không có lôgrít của 0 và số âm vì a
α
luôn dương với
α
∀
2. cơ số của lôgrit a : 0 < a
1≠
.
3. theo đònh nghóa lôgrit ta có :
log
log 1 0,log 1
log ,
, , 0
a
a a
b
a
b
a
a b b R
a b b R b
= =
= ∀ ∈
= ∀ ∈ >

2.TÍNH CHẤT
a> SO SÁNH HAI LÔGARIT CÙNG CƠ SỐ

ĐỊNHLÝ 1: cho số dương a khác 1 và các số b,c dương.
1. khi a > 1 thì
log log
a a
b c b c> ⇔ >
2. khi 0 < a <1
log log
a a
b c b c> ⇔ <
.
HỆ QỦA: cho số dương a khác 1 và các số b,c dương.
1. khi a > 1 thì
log
a
b
> 0
⇔
b > 1
2. khi o < a < 1 thì
log
a
b
> 0
⇔
0 < b < 1
3.
log log

a a
b c b c= ⇔ =
b> CÁC QUY TẮC TÍNH LÔGARIT
ĐỊNH LÝ 2 : cho số dương a khác 1 và các số b,c dương,Ta có :

1 log ( ) log log ;
2 log log log ;
3 log log .
a a a
a a a
a a
bc b c
b
b c
c
b b
α
α
> = +
> = −
> =
Chú ý : với các số dương b
1
,b
2
,…,b
n ,
ta có :
1 2 1 2
log ( ... ) log log ... log

a n a a a n
b b b b b b= + + +
HỆ QUẢ: với a dương khác 1, số dương b và số nguyên dương n,ta có :
1.
1
log log
a a
b
b
= −
2.
1
log log
n
a a
b b
n
=

3. ĐỔI CƠ SỐ CỦA LOGARIT
ĐỊNH LÝ 3: với a,b là 2 số dương khác 1 và c là số dương,ta có :
log
log
log
a
b
a
c
c
b

=
hay
log .log log .
a b a
b c c=
HỆ QUẢ 1: với a,b là 2 số dương khác 1, ta có :
1
log
log
a
b
b
a
=
hay
log .log 1
a b
b a =
HỆ QUẢ 2 : với a là số dương khác 1, c là số dương và
0
α
≠
,ta có :
1
log log
a
a
c c
α
α

=
.
Chu y :
log log
b b
c a
a c=
4.LÔGARIT THẬP PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
ĐỊNH NGHĨA 2: lôgrit cơ số 10 của một số dương x được gọi là lôgrit thập phân của x và
kí hiệu là : logx hoặc lgx. Đọc

chú ý : lôgrit thập phân có nay đủ tính chất của lôgrit với cơ số lớn hơn 1.
ứng dụng : tìm các chữ số của một số khi viết số đó trong hệ thập phân.
Vd : tìm các chữ số của số a
n
, ta làm như sau : [ n.loga ] + 1 = ? là số cần tìm.
§4 .SỐ e VÀ LÔGARIT TỰ NHIÊN
1. lãi kép liên tục và số e.
Ta có ,công thức tính lãi kép : C = A( 1 + r )
N
A: tiền gửi , r : lãi suất, N : kì hạn ( N : tính bằng
năm )
Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì ( ngày,tuần,tháng,quý )để tính lãi và vẫn giữ nguyên lãi suất năm.
Thì r lãi suất mỗi kì là
r
m
và số tiền thu được sau N năm ( hay sau Nm kì ) là :
(1 )
Nm
r

A
m
+
Chú ý : khi tăng số kì m trong năm thì số tiền thu được sau N năm ( hay Nm kì ) cũng tăng theo.tuy
nhiên nó không thể tăng lên vô hạn được.
Thật vậy,ta xét dãy số : S
m
=
(1 )
Nm
r
A
m
+
=
1
1
Nr
m
r
A
m
r
 
 
 
 ÷
 
+
 ÷

 
 ÷
 
 
 
 
(1)
Để xét giới hạn của dãy số (1) ta xét giới hạn :
1
lim 1
m
r
m
m
r
→+∞
 
 ÷
+
 ÷
 ÷
 

Ta xét giới hạn tổng quát :
1
lim 1
x
x
x
→+∞

 
+
 ÷
 
Người ta cm được : e =
1
lim 1
x
x
x
→+∞
 
+
 ÷
 

≈
2,718281828….(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra rằng : limS
m
= A.e
Nr
Vâỵ ta có công thức tính lãi kép liên tục : S = A.e
Nr
2.LÔGARIT TỰ NHIÊN
Đn :lôgrit cơ số e của một số dương a được gọi là lôgrit tự nhiên ( hay lôgrit Ne-pe ) của số a.
KH: lna và đọc : loga nêpe của a.
CHÚ Ý : lôgarit tự nhiên có nay đủ tính chất của lôgarit với cơ số lớn hơn 1.
§5 . HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
1.khái niệm hàm số mũ và hàm số lôgarit

Với 0 < a
≠
1 .
+> với mỗi x
R∈
ta luôn xác đònh một giá trò a
x
( duy nhất )
+> với mỗi x
R∈
, x > 0,ta luôn xác đònh được 1 giá trò log
a
x ( duy nhất )
= > hàm số y = a
x
xác đònh trên R, hàm số y = log
a
x xác đònh trên ( 0; +
∞
)
ĐỊNH NGHĨA : giả sử 0 < a
≠
1.
i. Hàm số dạng y = a
x
được gọi là hàm số mũ cơ số a.
ii. Hàm số dạng y = log
a
x được gọi lag hàm số lôgarit cơ số a.
chú ý : +> kí hiệu y = logx để chỉ hàm lôgarit cơ số 10.

+ kí hiêụ y = lnx để chỉ hàm lôgarit cơ số e. ( một số tài liệu y = exp(x) ).
2.GIỚI HẠN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

+> hàm số mũ và hàm số lôgarit liên tục tại mọi điểm mà nó xác đònh
+> giới hạn đã biết :
1
lim 1
t
t
e
t
→±∞
 
+ =
 ÷
 
. Bằng cách đặt x =
1
t
ta được :
1
0
lim(1 )
x
x
x e
→
+ =
Đònh lí 1 :
0

ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=
và
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM MŨ VÀ LÔGARIT