Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu chất (computational fluid dynamics – CFD) trong các bài toán kỹ thuật

-1-

MỤC LỤC


-2-

DANH MỤC CÁC HÌNH
Computational Fluid Dynamics – CFD là một nhánh của lĩnh vực động lực học
chất lưu đã được phát triển rất lâu trên thế giới, tuy nhiên hiện nay nước ta CFD vẫn
còn là một lĩnh vực còn khá mới mẻ, chưa có nhiều nghiên cứu về lĩnh vực này. Được
sự đồng ý của nhà trường và khoa Kỹ Thuật Giao Thông trường Đại Học Nha Trang,
tôi đã nhận đề tài: “ Nghiên cứu ứng dụng phương pháp tính toán động lực học lưu
chất (Computational Fluid Dynamics – CFD) trong các bài toán kỹ thuật ” với bốn
nội dung chính sau:
1.
2.
3.
4.

Đặt vấn đề
Một số vấn đề cơ bản về phương pháp tính toán động lực học lưu chất – CFD
Kết quả nghiên cứu
Thảo luận kết quả nghiên cứu
Vì lý do CFD là lĩnh vực ở nước ta còn chưa được phát triển, các nghiên cứu về

lĩnh vực còn rất hạn chế và lần đầu tiên thực hiện một đề tài tốt nghiệp nên đề tài chắc
chắn còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô, những
người quan tâm đến lĩnh vực CFD và bạn bè. Nhân đây tôi cũng xin gửi lời cám ơn
chân thành đến gia đình, bạn bè, nhóm nghiên cứu sinh trường Đại Học Vật Lý Kỹ
Thuật Matxcơva, và toàn thể thầy cô giáo, đặc biệt là PGS.TS Trần Gia Thái đã tận

tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức và động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian
hoàn thành đề tài này.


-3-

Chương 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU.
Việc phân tích, đánh giá và hiểu rõ chuyển động của dòng chảy hay biến thiên các
thuộc tính như nhiệt độ, áp suất, vận tốc...của các vật thể chuyển động trong môi
trường chất lưu là rất quan trọng trong việc tính toán, thiết kế tối ưu các sản phẩm để
mang lại hiệu quả nhất. Có thể kể ra một vài ví dụ cụ thể như máy bay chuyển động
trong môi trường khí động, tàu thủy chuyển động trong môi trường chất lỏng, dòng khí
chuyển động trong hệ thống làm mát, dầu nhớt, hóa chất chuyển động trong các ống
dẫn hay bể chứa...Các thuộc tính của dòng chất lưu có thể nhận được từ kết quả thực
nghiệm hay lời giải các hệ phương trình toán học, tuy nhiên hai phương pháp trên chỉ
áp dụng được trong các bài toán đơn giản, đối với các bài toán phức tạp thì gặp rất
nhiều khó khăn. Sử dụng phương pháp tính toán động lực học chất lưu - CFD
(Computational Fluid Dynamics) có thể giải quyết được các bài toán phức tạp, việc
phân tích, tính toán trở nên đơn giản và nhanh chóng hơn và các kết quả nhận được có
độ chính xác cao hơn. Ngày nay CFD được kết hợp cả với thực nghiệm thuần túy và
kết quả lời giải số, ba phương pháp này hỗ trợ bổ xung và là tiêu chuẩn đánh giá của
nhau, trong đó CFD có một vị trí quan trọng trong lĩnh vực động lực học chất lưu từ
nghiên cứu lý thuyết đến tính toán, thiết kế công nghệ. Để ứng dụng CFD vào một bài
toán cụ thể, thì cần phải hiểu biết về lý thuyết cơ bản của CFD, các phương trình mô tả
chuyển động của chất lưu, các phương trình lớp biên, từ đó chọn lựa phương pháp tính,
mô hình tính cũng như chọn phần mềm mô phỏng CFD phù hợp đối với kết quả mong
muốn nhận được của một bài toán kỹ thuật cụ thể. Những vấn đề nêu trên sẽ được thảo
luận cụ thể hơn ở các chương sau.
1.2 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU.

Tìm hiểu và phân tích được các phương trình chủ đạo của chất lưu dưới dạng bảo
toàn và không bảo toàn, sự khác nhau và mối tương quan giữa hai dạng bảo toàn và


-4-

không bảo toàn của các phương trình chủ đạo. Từ các điều kiện biên, dẫn ra được các
phương trình chủ đạo của dòng nhớt và dòng không nhớt ở dạng bảo toàn và không bảo
toàn.
Lựa chọn bài toán kỹ thuật cụ thể và ứng dụng CFD để giải. Dùng phần mềm
ANSYS FLUENT để mô phỏng bài toán, thiết lập các thông số đầu vào, các thuộc tính
vật liệu, các điều kiện biên... Xử lý kết quả và phân tích, đánh giá kết quả nhận được.
1.3 TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU.
CFD là lĩnh vực đã được phát triển mạnh mẽ ở một số nước trên thế giới như Mỹ,
Nga, Đức... Sự phát triển của lý thuyết CFD bắt đầu nhờ xuất hiện của máy tính vào
những năm 1950. Có 2 công cụ cơ bản để giải các phương trình vi phân từng phần nói
chung và CFD nói riêng là phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference MethodsFDM) và phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Methods-FEM). Hai phương
pháp này có xuất xứ khác nhau, bài báo đầu tiên về phương pháp sai phân hữu hạn
(FDM) giải bài toán phân tích ứng suất trong mô hình mô phỏng đê chắn sóng của
Richardson in năm 1910 trong khi công trình đầu tiên sử dụng phương pháp phần tử
hữu hạn (FEM) dùng để phân tích ứng suất máy bay được in năm 1956. Kể từ đó cả hai
phương pháp trên đều được phát triển mạnh mẽ trong các lĩnh vực động lực học lưu
chất, truyền nhiệt và các lĩnh vực có liên quan khác. Gần đây đã có thêm một số
phương pháp mới dùng để giải các bài toán CFD, trong đó nổi bật nhất là phương pháp
thể tích hữu hạn (Finite Volume Methods-FVM). Phương pháp này được sử dụng rỗng
rãi bởi nó lợi dụng được ưu điểm của cả hai phương pháp phần tử hữu hạn và sai phân
hữu hạn, đồng thời có cấu trúc dữ liệu tương đối đơn giản. Ngay từ những năm 1960
kỹ thuật CFD đã được đưa vào ứng dụng trong việc thiết kế, nghiên cứu và phát triển,
chế tạo máy bay và các động cơ phản lực trong ngành công nghiệp hàng không. Trong
đó có thể kể đến một số công trình nghiên cứu như công trình của Kopal năm 1947 đã

biên tập những bảng dòng chảy khổng lồ các dòng siêu âm chảy qua vật thể hình nón


-5-

bằng lời giải số các phương trình vi phân chủ đạo ( phương trình Taylor – Maccoll),
công trình nghiên cứu của Fay, Riddell và Blottner đối với lớp biên và Hall cho dòng
không nhớt... Ngày nay, kỹ thuật CFD đã được ứng dụng hết sức rộng rãi trong hầu hết
các lĩnh vực của cuộc sống, trong đó có việc tính toán, kiểm tra, thiết kế, tối ưu hóa kết
cấu trong ngành đóng tàu.
Ở nước ta hiện nay CFD còn là lĩnh vực còn khá mới mẻ, chưa có nhiều nghiên
cứu về lĩnh vực này. Tuy nhiên, đã có một số trường kỹ thuật như Đại học Bách Khoa
Hà Nội, Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minh, Học Viện Kỹ Thuật Quân
Sự,...bước đầu đã đưa lĩnh vực này vào trong chương trình nghiên cứu giảng dạy cho
sinh viên. Trên đà đi lên của nền kinh tế đất nước, chính trị ổn định cùng với sự quan
tâm của Đảng và Nhà nước, chính sách đầu tư cho nghiên cứu khoa học được đặc biệt
quan tâm, cùng với các chương trình hợp tác, liên kết, chuyển giao công nghệ với các
nước phát triển. Trong tương lai gần, lĩnh vực CFD sẽ dần được quan tâm, nghiên cứu
và được ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhiều hơn.
1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Có nhiều phương pháp nghiên cứu về lĩnh vực CFD như: nghiên cứu lý thuyết
CFD, nghiên cứu thực nghiệm về CFD, nghiên cứu lý thuyết kết hợp với thực nghiệm,
sử dụng phần mềm tính toán, mô phỏng bài toán CFD... Trong đề tài này, tôi lựa chọn
phương pháp nghiên cứu lý thuyết CFD kết hợp với việc sử dụng phần mềm mô phỏng
CFD trong bài toán kỹ thuật, phân tích, đánh giá kết quả nhận được từ phần mềm mô
phỏng.
Tuy nhiên giới hạn về nghiên cứu lý thuyết, bài toán CFD trong kỹ thuật và phần
mềm mô phỏng, khả năng của tính toán của máy tính cá nhân. Trong đề tài này chỉ
nghiên cứu về các phương trình chủ đạo của động lựu học chất lưu, cụ thể hơn đó là
các phương trình liên tục, phương trình động lượng và phương trình năng lượng dưới

dạng bảo toàn và không bảo toàn. Trên cơ sở lý thuyết cơ bản, lựa chọn các bài toán


-6-

đơn giản và sử dụng phần mềm ANSYS FLUENT để mô phỏng bài toán chuyển động,
truyền nhiệt của chất lưu.

Chương 2: MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG
PHÁP TÍNH TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT-CFD
2.1 CFD LÀ GÌ?
CFD-Computational Fluid Dynamics: Đây là lĩnh vực khoa học sử dụng các
phương pháp số kết hợp với công nghệ mô phỏng trên máy tính để giải quyết các bài
toán liên quan đến các yếu tố chuyển động của môi trường, đặc tính lý hóa của các quá
trình trong môi trường đang xét, đặc tính sức bền của môi trường, đặc tính nhiệt động,
đặc tính động học, hay đặc tính động lực học hoặc khí động lực học, đặc tính lực, hoặc
đặc tính lực moment và tương tác của các môi trường với nhau....phụ thuộc vào từng
đối tượng và phạm vi cụ thể của từng vấn đề, từng lĩnh vực khoa học mà CFD có thể
ứng dụng được.
Những khía cạnh vật lý của bất kỳ dòng lưu chất nào đều được kiểm soát bởi ba
nguyên lý cơ bản sau:
1. Bảo toàn khối lượng.
2. F = ma (định luật 2 Newton).
3. Bảo toàn năng lượng.

Những nguyên lý cơ bản này có thể biểu thị dưới dạng các số hạng của phương
trình toán học, mà dạng tổng quát nhất của chúng là những phương trình đạo hàm
riêng. Tính toán động lực học lưu chất là thuật thay thế những phương trình đạo hàm
riêng chủ đạo của dòng lưu chất bằng số và đưa những số này vào không gian và hoặc
thời gian để nhận được sự mô tả số cuối cùng của trường dòng chảy đầy đủ cần quan

tâm.


-7-

2.2 VAI TRÒ VÀ ỨNG DỤNG CỦA CFD.
Vai trò của CFD: Vai trò của CFD trong dự báo kĩ thuật công nghiệp đã trở nên
mạnh đến mức ngày nay nó có thể được nhìn nhận như “hướng thứ ba” trong động lực
học lưu chất, hai hướng khác là những trường hợp cổ điển của thực nghiệm thuần túy
và lý thuyết thuần túy. Từ năm 1687, với sự công bố Principia của Isaac Newton cho
tới giữa những năm 1960, những tiến bộ về cơ lưu chất được thực hiện bằng cách kết
hợp với các thực nghiệm tiên phong và phân tích lý thuyết cơ bản- những phân tích mà
hầu như luôn yêu cầu sử dụng những mô hình dòng đơn giản đề nhận được lời giải
dạng khép kín của các phương trình chủ đạo. Những lời giải dạng khép kín có lợi thế
nổi bật là đồng nhất ngay lập tức một vài tham số cơ bản của bài toán đã cho, và thể
hiện rõ câu trả lời cho những bài toán bị ảnh hưởng bởi sự biến đổi các tham số như thế
nào. Tuy nhiên chúng có bất lợi là không đưa ra được mọi quá trình vật lý cần thiết của
dòng. Với khả năng kiểm soát các phương trình chủ đạo ở dạng chính xác cùng với
việc xem xét các hiện tượng vật lý chi tiết như phản ứng hóa học ở mức độ hạn chế,
CFD nhanh chóng trở thành một công cụ phổ biến trong phân tích kỹ nghệ. Ngày nay,
CFD hỗ trợ và bổ sung cả thực nghiệm thuần túy lần lý thuyết thuần túy, và quan điểm
của các nhà nghiên cứu, CFD sẽ vẫn được coi là hướng thứ ba trong động lực lưu chất,
có dáng vóc và tầm quan trọng như nhau đối với thực nghiệm và lý thuyết. Nó có một
vị trí cố định trong tất cả các khía cạnh của động lực học lưu chất, từ nghiên cứu cơ
bản đến thiết kế kỹ nghệ.
Ứng dụng của CFD: CFD được phát triển, ứng dụng và mang lại hiệu quả cao
trong các lĩnh vực cơ học môi trường chất lưu (khí, lỏng, plasma,..) và môi trường biến
dạng, đàn hồi... Trên thực tế, CFD được ứng dụng rộng rãi vào các nghành khoa học
tiên tiến và công nghệ cao cũng như các nghành khoa học phục vụ dân sinh. Chẳng
hạn, CFD được ứng dụng mô phỏng về chuyển động của tàu vũ trụ với vận tốc siêu

thanh và dòng chảy bao cũng như các yếu tố khí động tác dụng lên các vật thể bay nói
chung. CFD được úng dụng vào nghành đại dương học để mô phỏng tìm các quy luật


-8-

của dòng biển nóng , lạnh và tác động của chúng lên khí hậu toàn cầu,... CFD được ứng
dụng trong y tế để mô phỏng quá trình hoàn lưu máu ở hai vòng tuần hoàn, ảnh hưởng
của các yếu tố bên trong, bên ngoài lên nhịp đập cũng như sức khỏe của nội tạng nói
riêng, toàn bộ cơ thể nói chung... Thật khó có thể kể hết phạm vi ứng dụng của CFD,
dưới đây ta có thể liệt kê những lĩnh vực mà CFD đóng vai trò như một công cụ hữu
hiệu không thể thiếu để nghiên cứu, ứng dụng, cũng như phát triển chung lên cấp độ
công nghiệp, mang lại nhiều thành tựu rực rỡ nhất. Đó là:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Cơ học chất lưu và thủy khí động lực học;
Vật liệu học và sức bền vật liệu;

Công nghiệp chế tạo máy, đóng tàu;
Năng lượng nguyên tử;
Công nghiệp ô tô, máy bay;
Công nghệ composite;
Xây dựng;
Công nghiệp dầu khí;
Ống dẫn;
Va chạm và phá hủy;
Y học;
Sinh học;
Khí tượng thủy văn;
.......

Với những ứng dụng to lớn và hiệu quả kinh tế mà CFD mang lại, ngày nay các
công ty đóng tàu lớn trên thế giới (Hyundai, Samsung...) đã đưa CFD vào trong chương
trình nghiên cứu và ứng dụng để mô phỏng, tính toán trường lưu chất bao quanh thân
tàu để nâng cao chất lượng thiết kế vỏ tàu, kết cấu thân tàu, thiết kế chân vịt, tính toán
thủy động lực học chân vịt, thiết kế các hệ thống bơm, ....


-9-

2.3 NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐẠO CỦA CFD.
2.3.1 MỞ ĐẦU.
Nền tảng của CFD là những phương trình chủ đạo cơ bản của động lực học lưu
chất
•
•
•

Phương trình liên tục (The Continuity Equation)
Phương trình động lượng (The Momentum Equation)
Phương trình năng lượng (The Energy Equation)

Những phương trình trên nói đến quá trình vật lý. Chúng là những phát biểu toán học
của ba nguyên lý vật lý cơ bản mà toàn bộ động lực học lưu chất đặt trên cơ sở đó:
1) Bảo toàn khối lượng.
2) F = ma (định luật 2 Newton).
3) Bảo toàn năng lượng.

2.3.2 MÔ HÌNH HÓA DÒNG.
Để nhận được những phương trình cơ bản của chuyển động lưu chất, quan điểm
sau luôn được tuân thủ:
1) Chọn những nguyên lý vật lý cơ bản thích hợp từ những định luật vật lý
a) Bảo toàn khối lượng
b) F = ma (định luật 2 Newton)
c) Bảo toàn năng lượng
2) Áp dụng những nguyên lý vật lý này cho một mô hình dòng thích hợp.
3) Từ áp dụng này, rút ra những phương trình toán học gồm những nguyên lý vật

lý như vậy.
Với một lưu chất liên tục ta có thể chọn 1 trong 2 mô hình sau để mô hình hóa dòng:
2.3.2.1 Thể tích kiểm soát hữu hạn (quan điểm Euler).
Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong
hình 2.1. Ta hãy tưởng tượng một thể tích khép kín vẽ trong một khu vực hữu hạn của
dòng. Thể tích này xác định một thể tích kiểm soát V và một bề mặt kiểm soát S, xác


- 10 -

định bề mặt khép kín bao quanh thể tích. Thể tích kiểm soát này có thể cố định trong
không gian với lưu chất chuyển động vòng qua nó, như hình 2.1a. Tương tự, thể tích
kiểm soát có thể chuyển động cùng với lưu chất, sao cho những hạt lưu chất cùng nhau
luôn ở trong nó, như hình 2.1b

a

b
Hình 2.1 Thể tích kiểm soát hữu hạn.

Trong mọi trường hợp, thể tích kiểm soát là một vùng đủ lớn, hữu hạn của dòng.
Những nguyên lý vật lý cơ bản được áp dụng cho lưu chất nằm trong thể tích kiểm
soát, và với lưu chất cắt qua bề mặt kiểm soát (nếu thể tích kiểm soát cố định trong
không gian). Bởi vậy, thay vì xem xét toàn bộ trường dòng một lúc, với mô hình thể
tích kiểm soát chúng ta giới hạn sự chú ý chỉ với lưu chất trong vùng hữu hạn của
chính thể tích đó. Những phương trình dòng lưu chất mà chúng ta nhận được trực tiếp
do việc áp dụng những nguyên lý vật lý cơ bản cho một thể tích kiểm soát hữu hạn có
dạng tích phân. Những dạng tích phân này của những phương trình chủ đạo có thể thao
tác gián tiếp để nhận được những phương trình đạo hàm riêng. Những phương trình
như vậy nhận được từ thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian ở dạn tích
phân hoặc dạng đạo hàm riêng, được gọi là dạng bảo toàn của những phương trình chủ
đạo. Những phương trình nhận được từ thể tích kiểm soát hữu hạn chuyển động cùng
với lưu chất ở dạng tích phân hoặc đạo hàm riêng, được gọi là dạng không bảo toàn của
những phương trình chủ đạo.


- 11 -

2.3.2.2 Phần tử lưu chất vô cùng bé (quan điểm Lagrange).
Xét một trường dòng tổng quát như được thể hiện bởi những đường dòng trong

hình 2.2. Ta hãy tưởng tượng một phần tử lưu chất vô cùng bé trong dòng, với một thể
tích vi phân dV. Phần tử lưu chất là vô cùng bé theo khái niệm phép tính vi phân; tuy
nhiên là đủ lớn để chứa một số khổng lồ những phần tử để có thể nhìn nhận như một
môi trường liên tục. Phần tử lưu chất có thể cố định trong không gian với lưu chất
chuyển động vòng qua nó, như hình 2.2a. Tương tự, nó có thể chuyển động dọc theo
dòng chảy với vận tốc vector thể tích bằng vận tốc dòng tại mỗi điểm như hình 2.2b.

a

b
Hình 2.2 Phần tử lưu chất vô cùng bé.

Thay vì xét toàn dòng tại một lúc, những nguyên lý vật lý cơ bản chỉ ứng dụng cho
chính phần tử lưu chất. Ứng dụng này trực tiếp dẫn tới những phương trình cơ bản ở
dạng phương trình đạo hàm riêng. Hơn nữa, những phương trình vi phân đạo hàm riêng
đặc biệt nhận được trực tiếp từ phần tử lưu chất cố định trong không gian là dạng bảo
toàn của các phương trình. Những phương trình nhận được trực tiếp từ phần tử lưu chất
chuyển động là dạng không bảo toàn của các phương trình chủ đạo.
2.3.3 ĐẠO HÀM RIÊNG.
Theo mô hình hóa dòng, xét sự chuyển động của phần tử lưu chất vô cùng bé
chuyển động cùng với dòng theo hình 2.3.


- 12 -

Hình 2.3 Phần tử lưu chất chuyển động trong trường dòng.
Ở đây phần tử lưu chất chuyển động trong không gian Descartes. Những vector đơn vị
dọc theo trục x ,y, và z là , ,

tương ứng. Trường vector vận tốc trong không gian

Descartes này bằng:
=
trong đó những thành phần x, y và z của vận tốc đã cho tương ứng với

chú ý rằng về tổng quát chúng ta đang xét một dòng không ổn định, trong đó u, v, w là
những hàm của cả không gian lần thời gian t. Ngoài ra, trường mật độ vô hướng cho
bằng


- 13 -

Tại thời gian t1, phần tử lưu chất được định vị tại điểm 1 trong hình 2.3. Tại điểm này
và thời gian này, mật độ của phần tử lưu chất là:

vào thời gian t2 về sau, phần tử lưu chất đó đã di chuyển đến điểm 2 trong hình 2.3.
Mật độ của phần tử lưu chất này là:

Khai triển theo chuỗi Taylor hàm quanh điểm 1:

dấu 3 chấm ở đây là các phần tử bậc cao hơn
Chia cho (t2-t1) và bỏ đi các số hạng bậc cao chúng ta nhận được

Khảo sát vế trái của phương trình (2.1). Về mặt vật lý đây là suất biến đổi mật độ
trung bình thời gian của phần tử lưu chất khi nó di chuyển từ điểm 1 tới điểm 2. Trong
giới hạn, khi t2 tiến đến t1 số hạng này trở thành

Ở đây Dρ/Dt là ký hiệu suất biến đổi mật độ của phần tử lưu chất ở thời gian tức thời
khi nó di chuyển qua điểm 1. Theo định nghĩa, ký hiệu này được gọi là đạo hàm riêng
D/Dt. Chú ý rằng (Dρ/Dt) là suất biến đổi mật độ theo thời gian của phần tử lưu chất đã

cho khi nó di chuyển qua không gian. Khác với (Dρ/Dt), ( /) là suất biến đổi theo thời
gian của mật độ của lưu chất tại điểm cố định 1.
Trong phương trình (2.1) ta thấy rằng:


- 14 -

Như vậy lấy giới hạn của phương trình (2.1) khi t2 tiến đến t1 được

Khảo sát phương trình (2.2) chúng ta có thể nhận được biểu thức cho đạo hàm riêng
trong tọa độ Descartes:

Trong tọa độ Descartes toán tử vector được định nghĩa là

Do đó phương trình (2.3) có thể viết lại như sau

Trong đó:

: Đạo hàm riêng là suất biến đổi theo thời gian của một phần tử lưu chất
chuyển động.

: Đạo hàm riêng là suất biến đổi theo thời gian của lưu chất tại một thời
điểm cố định.


- 15 -

: Đạo hàm đối lưu là suất biến đổi theo thời gian do chuyển động của phần
tử lưu chất từ vị trí này sang vị trí khác trong trường dòng.
Đạo hàm riêng áp dụng cho bất kỳ biến trường dòng nào, ví dụ Dp/Dt, DT/Dt, Du/Dt,

v..v tróng đó p và T là áp suất thủy tĩnh và nhiệt độ tương ứng. Ví dụ:

Một lần nữa về mặt vật lý phương trình (2.6) phát biểu rằng nhiệt độ của phần tử lưu
chất thay đổi khi phần từ đi qua một điểm trong dòng vì tại điểm đó chính nhiệt độ
trường dòng có thể dao động theo thời gian (đạo hàm riêng) và vì phần tử lưu chất đơn
giản đi trên đường của nó tới điểm khác trong trường dòng, tại đó nhiệt độ khác (đạo
hàm đối lưu).
Chúng ta có thể thỏa mãn với hầu hết các thảo luận trên bằng việc nhận thức rằng đạo
hàm riêng thực chất cũng như phép tính đạo hàm toàn phần. Vậy nếu

Thì quy tắc dây chuyền từ phép tính vi phần cho ta.

Từ phương trình (2.7) chúng ta có

Vì dx/dt = u, dy/dt= v và dz/dt= w, phương trình (2.8) trở thành

So sánh phương trình (2.20 và (2.9) chúng ta thấy rằng Dρ/Dt và dρ/dt là như nhau.
Bởi vậy, đạo hàm riêng không khác gì đạo hàm toàn phần theo thời gian. Tuy nhiên,


- 16 -

việc dẫn xuất phương trình (2.2) làm sáng tỏ nhiều ý nghĩa vật lý của đạo hàm riêng,
trong khi xuất xứ của phương trình (2.9) thiên về hình thức toán học hơn.
2.3.4 Ý NGHĨA VẬT LÍ CỦA ĐẠI LƯỢNG .
Xét một thể tích kiểm soát chuyển động với lưu chất như hình 2.1b. Thể tích kiểm
soát này luôn luôn được tạo ra do cùng các hạt lưu chất đều di chuyển cùng với dòng,
do đó khối lượng của nó cố định, bất biến với thời gian. Tuy nhiên thể tích kiểm soát V
và bề mặt kiểm soát S của nó đang thay đổi với thời gian trong khi nó di chuyển những
vùng khác nhau của dòng, trong đó những giá trị khác nhau của ρ tồn tại. Như vậy, thể

tích kiểm soát đang chuyển động có khối lượng không đổi này thường xuyên tăng hoặc
giảm thể tích của nó và thay đổi hình dạng của nó, phụ thuộc vào những đặc trưng của
dòng. Xét thể tích kiểm soát này tại một thời điểm nào đó. Xét một phần tử vô cùng bé
có bề mặt dS chuyển động với vận tốc như hình 2.4.

Hình 2.4 Thể tích kiểm soát chuyển động với dòng chảy.
Sự thay đổi thể tích ΔV của thể tích kiểm soát chỉ do chuyển động của dS qua một diện
tích đáy dS và độ cao (Δt). , trong đó là vector đơn vị thẳng góc với bề mặt tại dS


- 17 -

trong đó vector được định nghĩa đơn giản là . Sau bước thời gian Δt, thay đổi tổng
cộng về thể tích của toàn bộ thể tích kiểm soát là tổng của phương trình (2.10) trên
toàn bộ diện tích kiểm soát. Trong giới hạn, khi dS dần đến 0

Chia tích phân này cho Δt

Kết quả nhận được là suất biến đổi theo thời gian của thể tích kiểm soát V. Áp dụng
định lý phân kỳ từ phép tính vector cho vế phải phương trình (2.11) ta nhận được
phương trình

Xét thể tích kiểm soát chuyển động trong hình 2.4 đang co lại tới một thể tích rất nhỏ
δV, tương đương với phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động như hình 2.2b. Vậy
phương trình (2.12) có thể viết lại như sau

Giả thiết rằng δV đủ nhỏ sao cho về thực chất có cùng giá trị đó khắp δV. Như vậy,
tích phân trong phương trình (2.13) có thể xấp xỉ như . Thay vào phương trình (2.13) ta
được

Hoặc

Kết luận: có ý nghĩa vật lý là suất biến đổi theo thời gian của thể tích của một phần
tử lưu chất chuyển động trên một thể tích đơn vị.


- 18 -

2.3.5 PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC
Để làm sáng tỏ sự khác nhau giữa 2 dạng bảo toàn và không bảo toàn của các
phương trình chủ đạo ta xét cả hai mô hình đó là thể tích kiểm soát hữu hạn cố định
trong không gian như hình 2.1a và phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động với dòng
như hình 2.2b.
Đầu tiên, xét mô hình của một phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động với dòng.
Khối lượng phần tử này cố định và bằng δm. Biểu thị thể tích của phần tử này bởi δS
như trong mục 2.4

Theo nguyên lý bảo toàn khối lượng, chúng ta có thể phát biểu rằng suất biến đổi của
khối lượng của phần tử lưu chất theo thời gian bằng 0 khi phần tử này chuyển động
cùng với dòng. Như vậy, chúng ta có

Kết hợp phương trình (2.15) và phương trình (2.16), chúng ta được

Hay

Số hạng trong dấu [ ] có ý nghĩa vật lý như của . Vậy kết hợp hai phương trình (2.14)
và (2.17) chúng ta được

Phương trình (2.18) là dạng phương trình liên tục trong dạng không bảo toàn
Kết luận:

- 19 -

•

Bằng việc áp dụng mô hình phần tử lưu chất vô cùng bé, chúng ta nhận

được phương trình (2.18) trực tiếp trong dạng đạo hàm riêng.
• Bằng việc chọn mô hình chuyển động cùng với dòng, chúng ta nhận
được dạng không bảo toàn của phương trình liên tục
Tiếp theo, xét mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian so với
dòng. Tại một điểm trên bề mặt kiểm soát, vận tốc dòng là và diện tích bề mặt của
phần tử vector là . Gọi dV là thể tích phần tử trong thể tích kiểm soát hữu hạn. Áp dụng
nguyên lý bảo toàn khối lượng.

Khối lượng dòng chảy ra khỏi thể tích kiểm
Suất
soát
giảm
qua
khối
bề lượng
mặt S trong thể tích kiểm soát the
(2
=

Xét vế trái của phương trình (2.19)
Dòng khối lượng của lưu chất chuyển động qua bất kỳ bề mặt cố định nào bằng tích
của mật độ × thành phần vận tốc thẳng góc với bề mặt. Do đó dòng khối lượng phần tử

qua vùng dS là

Khảo sát hình 2.5, theo quy ước luôn hướng ra khỏi thể tích kiểm soát. Do đó, khi
cũng hướng ra khỏi thể tích kiểm soát, như vậy là số dương. Khi hướng ra khỏi thể
tích kiểm soát, dòng khối lượng về mặt vật lý là rời khỏi thể tích kiểm soát, tức là một
sự chảy ra, do đó dương biểu thị sự chảy ra, ngược lại khi hướng vào thể tích kiểm
soát thì âm, tức là biểu thị sự chảy vào.


- 20 -

Hình 2.5 Thể tích kiểm soát hữu hạn cố định trong không gian.
Dòng khối lượng vòng ra khỏi toàn bộ thể tích kiểm soát qua bề mặt kiểm soát S là
tổng trên S của những dòng khối lượng phần tử trong phương trình (2.20). trong giới
hạn, nó trở thành một tích phân mặt.

Xét vế phải của phương trình (2.19). Khối lượng chứa trong thể tích phần tử dV là dV.
Toàn bộ khối lượng trong thể tích kiểm soát là một tích phân thể tích

Suất tăng khối lượng theo thời gian trong V là

Lần lượt, suất giảm khối lượng theo thời gian trong V là âm của nó là

Thay phương trình (2.22) và (2.23) vào phương trình (2.19) chúng ta có


- 21 -

Hoặc

Phương trình (2.24) là dạng tích phân của phương trình liên tục trong dạng bảo toàn.
Đưa phương trình (2.24) về dạng phương trình vi phân. Vì thể tích kiểm soát cố
định trong không gian, những giới hạn tích phân trong phương trình (2.24) không thay

đổi và do đó đạo hàm thời gian

có thể đặt trong tích phân.

Áp dụng định lý phân kỳ từ phép tính vector, tích phân mặt trong phương trình (2.25)
có thể biểu thị như một tích phân thể tích

Thay phương trình (2.26) vào phương trình (2.25) chúng ta được

Hoặc

Để tích phân trong phương trình (2.28) bằng 0 là cho biểu thức dưới dấu tích phân
bằng 0, do đó

Phương trình (2.29) là phương trình liên tục dạng bảo toàn.
Kết luận:


- 22 -

•

Bằng việc áp dụng mô hình thể tích kiểm soát hữu hạn, chúng ta

nhận được phương trình (2.29) trực tiếp ở dạng tích phân.
• Chỉ sau dùng các phép biến đổi tích phân chúng ta gián tiếp nhận

•

được phương trình đạo hàm riêng, phương trình (2.29).
Bằng việc chọn mô hình cố định trong không gian, chúng ta nhận
được dạng bảo toàn của phương trình liên tục.

Chúng ta cũng có thể đưa phương trình liên tục ở dạng bảo toàn về dạng không bảo
toàn và ngược lại bằng cách xét đồng nhất vector bao gồm sự phân kỳ của tích vô
hướng vector theo thời gian
Thay phương trình (2.30) vào phương trình liên tục dạng bảo toàn (phương trình (2.29)
Biểu thức trong ngoặc là đạo hàm riêng của mật độ. Do đó, phương trình (2.31) trở
thành

Đây chính là dạng không bảo toàn của phương trình liên tục.
Kết luận: Việc sử dụng dạng bảo toàn hoặc không bảo toàn của những phương trình
chủ đạo tạo nên sự khác biệt nhỏ trong hầu hết lý thuyết động lực học. Ngược lại, sử
dụng bất cứ dạng nào cũng đều có thể tạo sự khác nhau trong những ứng dụng CFD.
2.3.6 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG.
Trong mục này, chúng ta áp dụng nguyên lý vật lý cơ bản khác cho mô hình
dòng, tức là:
Nguyên lý vậy lý: F = ma (định luật thứ 2 của Newton)
Chúng ta sẽ sử dụng mô hình phần tử lưu chất chuyển động được thể hiện ở phía
bên phải của hình 2.2b. Mô hình phần tử lưu chất chuyển động được phác họa chi tiết
hơn trong hình 2.6.


- 23 -

Định luật thứ 2 của Newton biểu thị ở trên, khi ứng dụng cho phần tử lưu chất
chuyển động trong hình 2.6, nói rằng lực ròng tác động lên phần tử lưu chất cân bằng

với khối lượng của nó nhân với gia tốc của phần tử. Đây là một quan hệ vectơ, và do
đó có thể chia ra ba quan hệ vô hướng dọc theo các trục x, y, z. Chúng ta hãy chỉ xét
thành phần x của định luật thứ 2 Newton,
Fx = max

(2.33)

trong đó Fx và ax là thành phần vô hướng của lực và gia tốc tương ứng.

Hình 2.6 Phần tử lưu chất vô cùng bé chuyển động, giới hạn minh họa theo hướng x.
Trước hết hãy xét vế trái của phương trình (2.33). Chúng ta nói rằng phần tử lưu
chất chịu một lực trong hướng x. Cái gì là nguồn của lực này? Có hai nguồn:
(1) Lực khối, tác động trực tiếp lên khối lượng thể tích của phần tử lưu chất. Những

lực này tác động lên một khoảng cách, ví dụ trọng lực, lực điện từ.
(2) Lực mặt, tác động trực tiếp lên bề mặt phần tử lưu chất. Chúng chỉ do hai
nguồn: (a) phân bố áp suất tác động lên bề mặt, ép bởi lưu chất bên ngoài bao
vây phần tử lưu chất, và (b) những phân bố ứng suất tiếp tuyến và pháp tuyến


- 24 -

tác động lên trên bề mặt, cũng bị ép bởi lưu chất bên ngoài ‘kéo’ hoặc ‘đẩy’ trên
bề mặt bởi ma sát.

Hình 2.7 Minh họa ứng suất tiếp tuyến và pháp tuyến.
Chúng ta hãy biểu thị lực khối trên đơn vị khối lượng tác động lên phần tử lưu
chất bằng fx với thành phần hướng x. Thể tích của phần tử lưu chất là (dxdydz), do đó:
Lực khối tác động lên phần tử lưu chất theo hướng x= fx(dxdydz)

(2.34)

Ứng suất tiếp biểu thị bằngyx trong hình 2.7a, liên quan tới suất xuất biến đổi
theo thời gian gian của biến dạng trượt của phần tử lưu chất, trong khi ứng suất pháp
tuyến biểu thị bởi xx trong hình 2.7b, liên quan tới suất biến đổi theo theo thời gian của
thể tích của phần tử lưu chất. Trong đa số các dòng nhớt, ứng suất pháp tuyến ( xx) nhỏ
hơn nhiều so với ứng suất tiếp tuyến và nhiều lần được bỏ qua. Lực mặt trong hướng x
tác động lên phần tử lưu chất được phác họa trong hình 2.6. Quy ước sử dụng ở đây là

ij

biểu thị ứng suất trong hướng j tác động thẳng góc lên mặt phẳng thẳng góc với trục i.
Trên mặt abcd, lực duy nhất trong hướng x là do ứng suất tiếp tuyến yxdxdz Mặt efgh
cách mặt abcd một khoảng dy, do đó lực ứng suất trong hướng x trên mặt efgh là
[yx + yx/] dxdz
Tương tự và chú ý hướng của lực ứng suất trên các mặt còn lại, đối với phần tử
lưu chất chuyển động chúng ta có thể viết
Lực mặt tổng hợp trong hướng x =


- 25 -

Lực tổng hợp Fx trong hướng x, bằng tổng phương trình (2.34) và (2.35). Cộng
và giản ước các số hạng chúng ta nhận được:
Phương trình (2.36) biểu thị vế trái của phương trình (2.33).
Xét vế phải của phương trình(2.33). khối lượng của phần tử lưu chất cố định và
bằng
m = dxdydz

(2.37)

Cũng như vậy, gọi gia tốc của phần tử lưu chất là suất biến đổi theo thời gian
của vận tốc của nó. Do đó thành phần gia tốc trong hướng x biểu thi bằng ax, đơn giản
là suất biến đổi theo thời gian của u, vì chúng ta theo phần tử lưu chất chuyển động,
suất biến đổi theo thời gian này là đạo hàm riêng. Như vậy,
Kết hợp phương trình (2.33), (2.36), và (2.38), chúng ta nhận được:
Là thành phần x của phương trình động lượng cho một dòng nhớt. Tương tự,
những thành phần y và z có thể nhận được như sau

Và
Phương trình(2.39a-c) là các thành phần tương ứng x, y và z của phương trình
động lượng. Chú ý rằng chúng là dạng không bảo toàn. Chúng là những phương trình
vô hướng, và được gọi là phương trình Navier-Stokes.
Phương trình Navier-Stokes có thể nhận được trong dạng bảo toàn như sau. Viết
vế trái của phương trình (2.39a) đối với số hạng theo định nghĩa của đạo hàm riêng,