Ảnh hưởng của sóng điện từ lên hệ số hall và từ trở hall trong siêu mạng hợp phần với cơ chế tán xạ điện tử phonon quang

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------

TÔ DUY QUANG

ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ LÊN HỆ SỐ HALL VÀ
TỪ TRỞ HALL TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VỚI CƠ
CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – 2016

i


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------

TÔ DUY QUANG

ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ LÊN HỆ SỐ HALL VÀ
TỪ TRỞ HALL TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VỚI CƠ
CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON QUANG

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã Số: 60.44.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Nguyễn Quang Báu

Hà Nội – 2016
ii


LỜI CẢM ƠN
Với lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn GS.TS. Nguyễn Quang
Báu, người thày đã tận tình hướng dẫn chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em
hoàn thành luận văn này. Những ngày cuối khóa, may mắn được học tập và làm việc
dưới sự hướng dẫn của thày đã giúp em hiểu thêm được phần nào về hoạt động học
tập và nghiên cứu khoa học, về mối quan hệ gần gũi giữa những người làm khoa học,
về những khó khăn và cả những ứng xử trong đời sống thường ngày.
Em xin chân thành cảm ơn các thày cô trong khoa Vật lý trường Đại học Khoa
học Tự Nhiên, những người đã trực tiếp giảng dạy cũng như giúp đỡ em trong quá
trình học tập tại trường. Các thày cô là những người đưa đò nhiệt thành nhất, luôn
chỉ dạy tận tình và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập, giúp đỡ cho chúng
em không chỉ kiến thức mà còn nhiều mặt khác trong cuộc sống. Em xin gửi lời cảm
ơn đến các thày cô ở phòng sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã giúp
đỡ và xác nhận các thủ tục hành chính để em được bảo vệ.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn đến cha mẹ, anh em, bạn bè và những
người thân trong gia đình đã luôn ở bên động viên và chỉ bảo trong suốt quá trình
học tập. Gia đình và bạn bè luôn là chỗ dựa vững chắc nhất cho em trong mọi hoàn
cảnh để em yên tâm học tập và hoàn thành luận văn này.
Không thể nào kể tên hết tất cả mọi người trong trang giấy ngắn này, em chỉ
biết bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến tất cả mọi người!
Luận văn này được hoàn thành với sự tài trợ của đề tài NAFOSTED mã số
103.01-2015.22.
Hà nội, ngày 15 tháng 9 năm 2016

Học viên
Tô Duy Quang

iii


MỤC LỤC
MỤC LỤC……………………………………………………………………………
i
DANH SÁCH HÌNH VẼ…………………………………………………………….
iii
MỞ ĐẦU……………………………………………………………………………..
1
CHƯƠNG I. TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG HALL VÀ PHỔ NĂNG LƯỢNG,
5
HÀM SÓNG CỦA ĐIỆN TỬ TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN.……………….

1.1.

5
Tổng quan về siêu mạng hợp phần……………………………………………..

1.1.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần……………………………………………...
5
7
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần………….

1.2.

Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối……………………………………………...

11

1.2.1. Hiện tượng luận về hiệu ứng Hall……………………………………………...
11
14
1.2.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối………………………..

CHƯƠNG II. ẢNH HƯỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ LÊN HỆ SỐ HALL VÀ
22
TỪ TRỞ HALL TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN……………………………...

2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần khi có mặt
sóng điện từ…………………………………………………………………………...
22
26
2.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall và từ trở Hall…………………………………...

CHƯƠNG III. KẾT QUẢ TÍNH TOÁN SỐ CHO SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
37
GaN/ALGaN…………………………………………………………………………

3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ và nhiệt độ của hệ ………….
37
3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo nhiệt độ của hệ ứng với các giá trị khác nhau
38
của biên độ sóng điện từ……………………………………………………………….

3.3 Sự phụ thuộc của từ trở Hall theo nhiệt độ của hệ ứng với các giá trị khác nhau
39
của biên độ sóng điện từ……………………………………………………………….

i


41
KẾT LUẬN…………………………………………………………………………..

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………………...
43

ii


DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1.1
Cấu trúc của một siêu mạng bán dẫn hợp phần gồm hai lớp mỏng bán dẫn A và B đặt
cạnh nhau………………………………………………………………………….. 5
Hình 1.2.
Cấu trúc vùng của một siêu mạng hợp phần với các thông số được cho trên hình
vẽ……………………………………………………………………..................... 6
Hình 1.3
Hiệu ứng Hall. (a) Cơ chế hiệu ứng Hall trên một thanh Hall kim loại. 1: electron. 2:
thanh Hall. 3: nam châm. 4: từ trường. 5: nguồn điện. Màu đỏ trên thanh Hall thể hiện
sự tập trung của điện tích dương tại đó, còn màu xanh là nơi tập trung điện tích âm.
Trên các hình B, C, D, chiều của nguồn điện và từ trường được đổi ngược. (b) Hướng
12
và chiều tác dụng trong hiệu ứng Hall…………………………………………………

Hình 3.1

Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số của sóng điện từ và nhiệt độ của hệ …..……….
38
Hình 3.2
Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo nhiệt độ của hệ ứng với các giá trị khác nhau của
biên độ sóng điện từ……………………………………………………………….39
Hình 3.3
Sự phụ thuộc của từ trở Hall theo nhiệt độ của hệ ứng với các giá trị khác nhau của
biên độ sóng điện từ……………………………………………………………….39

iii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Chúng ta đều biết rằng công nghệ bán dẫn với transistor truyền thống đã phát
triển hết sức mạnh mẽ suốt từ thập kỷ 50 của thế kỉ XX. Bằng chứng hùng hồn cho
sự phát triển đó chính là định luật Moore với sự tăng theo hàm mũ của mật độ
transistor trên chip điện tử Silicon. Tuy nhiên, mật độ transistor sẽ đạt đến giới hạn
mà tại đó các nguyên lý hoạt động cho transistor cổ điển không còn đúng nữa, đó là
vấn đề chính mà các nhà vật lý và kỹ thuật đã lo ngại khi tiếp tục giảm kích thước
bóng bán dẫn. Điều đó đã thúc đẩy về kỹ thuật khai sinh ra khoa học nano và công
nghệ nano, hay cụ thể là khoa học nghiên cứu về các hệ thấp chiều và vật liệu thấp
chiều.
Các cấu trúc vật liệu thấp chiều là những cấu trúc mà chuyển động của các
điện tử bị giới hạn một hoặc nhiều phương do sự giảm kích thước. Chính sự giới hạn
chuyển động của điện tử mà nguyên nhân do sự giảm kích thước này đã dẫn đến các
tính chất vật lý của hệ thấp chiều phụ thuộc mạnh vào dạng hình học, kích thước, loại
vật liệu…. cấu tạo nên hệ [1, 2].
Các tính chất vật lý nói chung của hệ thấp chiều sẽ tuân theo quy luật của vật
lý lượng tử. Do trong các cấu trúc thấp chiều, phổ năng lượng của các hạt tải điện bị

lượng tử hóa dẫn đến sự thay đổi cơ bản của các đại lượng vật lý khác như hàm phân
bố, mật độ dòng, tenxo độ dẫn hay tương tác của điện tử với phonon, làm xuất hiện
nhiều hiệu ứng mới mà các hệ cổ điển không có. Chẳng hạn khi đặt một từ trường
mạnh vuông góc với mặt phẳng tự do của hệ điện tử hai chiều thì phổ năng lượng của
điện tử bị lượng tử hóa hoàn toàn, điều này làm cho trong hệ hai chiều xuất hiện một
số hiệu ứng mới lạ khác với trong bán dẫn khối, ví dụ như hiệu ứng cộng hưởng
electron-phonon, các dao động từ trở Shubnikov – de Haas (SdH) hay hiệu ứng Hall
lượng tử số nguyên (integer quantum Hall effect), và hiệu ứng Hall lượng tử phân số.
Đây là những hiệu ứng mà ta chỉ quan sát thấy trong các hệ chuẩn hai chiều ở miền
nhiệt độ thấp và trong từ trường mạnh [3 – 21] .

1


Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối xem xét dưới sự ảnh hưởng của một sóng
điện từ đã được nghiên cứu rất đầy đủ và cụ thể bằng phương pháp phương trình động
cổ điển Boltzmann và phương trình động lượng tử [1, 2, 3, 4, 5, 6, 15,16]. Tuy nhiên
theo những tìm hiểu của chúng tôi thì các nghiên cứu lý thuyết về hiệu ứng này cho
các hệ thấp chiều nói chung và cho siêu mạng hợp phần nói riêng dưới ảnh hưởng
của sóng điện từ mạnh với từ trường dọc theo trục siêu mạng (hiệu ứng Hall dọc) vẫn
chưa được đầy đủ. Đó là lý do chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Ảnh hưởng của
sóng điện từ lên hệ số Hall và từ trở Hall trong siêu mạng hợp phần với cơ chế
tán xạ điện tử - phonon quang”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Trong luận văn này, mục tiêu của chúng tôi là nghiên cứu ảnh hưởng của sóng
điện từ mạnh lên hiệu ứng Hall trong siêu mạng hợp phần dựa trên cơ sở là phương
trình động lượng tử cho hệ điện tử trong siêu mạng với trường hợp cụ thể là từ trường
dọc theo trục siêu mạng. Loại tương tác mà chúng tôi quan tâm đến là tương tác giữa
electron với phonon quang ở miền nhiệt độ cao. Bằng việc giải phương trình động
lượng tử với các điều kiện kể trên cho siêu mạng hợp phần, chúng tôi sẽ thu nhận

được biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn Hall và hệ số Hall trong siêu mạng hợp
phần và từ đó tính số để thu được các mô tả và suy diễn được các tính chất của siêu
mạng hợp phần dưới ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh nói trên.
3. Nội dung nghiên cứu.
Với mục đích nghiên cứu mô tả ở trên, thì nội dung nghiên cứu chính của luận
văn sẽ là: Từ hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần khi
có mặt điện trường và từ trường, chúng tôi sẽ xây dựng toán tử Hamiltonian của hệ
electron-phonon tương tác khi có mặt sóng điện từ mạnh đặt vào hệ. Từ đó chúng tôi
thiết lập phương trình động lượng tử cho toán tử số điện tử trung bình và viết ra biểu
thức của mật độ dòng điện. Sử dụng các phép biến đổi giải tích, chúng tôi thu được
biểu thức cho tenxo độ dẫn điện và từ đó suy ra biểu thức của từ trở và hệ số Hall.
Dùng các kết quả giải tích, chúng tôi tính toán số và thu nhận được đồ thị và thảo

2


luận đối với cấu trúc siêu mạng hợp phần, từ đó so sánh với các kết quả trước đó cả
về lý thuyết lẫn thực nghiệm.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp nghiên cứu của chúng tôi về ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu
ứng Hall trong siêu mạng hợp phần với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang sẽ được
dựa trên phương pháp phương trình động lượng tử. Phương pháp này đã được nhiều
tác giả trong và ngoài nước sử dụng, và tỏ ra là một phương pháp hiệu quả để nghiên
cứu các tính chất động trong bán dẫn. Việc tính số được chúng tôi thực hiện trên phần
mềm tính toán Matlab.
5. Ý nghĩa khoa học và học thuật của luận văn.
Bên cạnh những ý nghĩa về nội dung và phương pháp sử dụng, kết quả nghiên
cứu của luận văn cũng đóng góp một phần nhỏ bé bổ sung cho những kết quả trước
đó nghiên cứu về ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong các cấu trúc vật
liệu thấp chiều và do đó cũng đóng góp vào sự phát triển của vật lý nano hay vật lý

các hệ thấp chiều. Ngoài ra kết quả của luận văn cũng cung cấp thông tin về các tính
chất vật lý của một đối tượng thấp chiều đó là siêu mạng hợp phần. Những thông tin
này cũng có thể xem là cơ sở cho thực nghiệm và cho công nghệ chế tạo các linh kiện
điện tử bằng vật liệu nano, ngành công nghệ mũi nhọn hiện nay.
6. Cấu trúc của luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung của luận
văn được chia làm ba chương:
Chương I. Tổng quan về hiệu ứng Hall và phổ năng lượng, hàm sóng của điện
tử trong siêu mạng hợp phần.
Trong chương này, chúng tôi trình bày tổng quan về siêu mạng hợp phần, hàm
sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần, hiện tượng luận về

3


hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán
dẫn thấp chiều.
Chương II. Ảnh hưởng của sóng điện từ lên hệ số Hall và từ trở Hall trong siêu
mạng hợp phần.
Để khảo sát ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall, trong phần này,
chúng tôi thiết lập phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần
khi có mặt sóng điện từ, và giải phương trình này trong điều kiện từ trường mạnh với
cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang ở nhiệt độ cao, từ đó dẫn ra các biểu thức giải
tích cho hệ số Hall và từ trở Hall.
Chương III. Kết quả tính toán số cho siêu mạng hợp phần GaN/AlGaN.
Sử dụng các biểu thức giải tích thu được trong chương II, chúng tôi khảo sát
tính toán số cho hệ siêu mạng hợp phần cụ thể là siêu mạng hợp phần
GaN / Al0.2Ga0.8 N thông qua phần mềm tính toán Matlab và thu được sự phụ thuộc

của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ và nhiệt độ của hệ; sự phụ thuộc của hệ số

Hall theo nhiệt độ của hệ ứng với các giá trị khác nhau của biên độ sóng điện từ; sự
phụ thuộc của từ trở Hall theo nhiệt độ ứng với các giá trị khác nhau của biên độ sóng
điện từ. Các kết quả tính số này được đánh giá và so sánh với các kết quả thực nghiệm
cũng như lý thuyết của các tác giả khác.

4


CHƯƠNG I. TỔNG QUAN VỀ HIỆU ỨNG HALL VÀ PHỔ
NĂNG LƯỢNG, HÀM SÓNG CỦA ĐIỆN TỬ TRONG SIÊU
MẠNG HỢP PHẦN.

1.3.

Tổng quan về siêu mạng hợp phần.

1.3.1. Khái niệm về siêu mạng hợp phần.
Siêu mạng hợp phần (siêu mạng bán dẫn hợp phần – CSSL) là vật liệu bán dẫn
mà hệ điện tử có cấu trúc chuẩn hai chiều, được tạo nên từ các lớp bán dẫn mỏng với
độ dày là d1 , kí hiệu là A, có độ rộng vùng cấm là  gA hẹp (chẳng hạn: GaAs), đặt
cạnh lớp bán dẫn mỏng có độ dày là d 2 kí hiệu là B có vùng cấm rộng  gB (ví dụ:
AlAs). Các lớp mỏng này xen kẽ nhau vô hạn dọc theo trục siêu mạng (hướng vuông
góc với các lớp trên là trục z, gọi là trục siêu mạng).

Hình 1.1. Cấu trúc của một siêu mạng bán dẫn hợp phần gồm hai lớp mỏng bán
dẫn A và B đặt cạnh nhau.
Trong trường hợp hệ cấu tạo gồm nhiều lớp mỏng kế tiếp dưới dạng ….A/B/A/B….,
và độ rộng rào thế đủ hẹp để có thể xem các lớp mỏng kế tiếp nhau như một hệ tuần
hoàn, khi đó sẽ xuất hiện một thế bổ sung vào thế của mạng tinh thể là thế siêu mạng.

5


Khi đó, điện tử có thể xuyên qua hàng rào thế để từ lớp bán dẫn vùng cấm hẹp này
sang lớp bán dẫn có vùng cấm hẹp khác. Do đó, điện tử ngoài việc chịu ảnh hưởng
của thế tuần hoàn của mạng tinh thể, nó còn chịu ảnh hưởng của thế phụ khác. Thế
phụ này được hình thành do sự chênh lệch năng lượng giữa các đáy vùng dẫn của hai
bán dẫn tạo nên siêu mạng, và cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn
rất nhiều so với hằng số mạng.

Hình 1.2. Cấu trúc vùng của một siêu mạng hợp phần với các thông số được cho
trên hình vẽ.
Độ sâu của một hố thế cô lập đối với điện tử được xây dựng bởi hiệu của các cực tiểu
vùng dẫn của hai bán dẫn A và B.
 C   CA   CB

1.1

đối với lỗ trống được xác định bởi hiệu các cực đại của khe năng lượng hai bán dẫn
A và B.
    vA   vB

6

1.2


Thế của siêu mạng được xác định bởi hiệu của các khe năng lượng của hai bán dẫn
  r    g   gA   gB   c   v  U 0

1.3

Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng của năng lượng chênh lệch của các vùng dẫn
 c và độ chênh lệch năng lượng của các vùng hóa trị  của hai lớp bán dẫn kế tiếp

A và B tạo thành siêu mạng. Từ sự tương quan vị trí giữa đáy và đỉnh vùng dẫn của
các bán dẫn người ta đã phân loại siêu mạng hợp phần thành các loại:
 Loại I: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm hoàn toàn bao
nhau. Trong siêu mạng này, tương tác giữa các hạt mang từ các lớp riêng
biệt chỉ xảy ra giữa các vùng năng lượng cùng loại. Ở đây cả lỗ trống và
điện tử đều bị giam nhốt trong cùng lớp A.
 Loại II: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng vùng cấm nằm gần nhau
nhưng không bao nhau hoặc chỉ trùng nhau một phần. Trong trường hợp
này, các hạt mang khác loại có thể tương tác với nhau. Siêu mạng loại này
lại được chia làm hai loại:
-

Loại IIA: Bán dẫn khe vùng không gian gián tiếp. Lỗ trống bị giam trong
cùng lớp A, điện tử bị giam trong cùng lớp B.

-

Loại IIB: Hoặc không có hoặc có khe năng lượng rất nhỏ giữa các điện tử
trong lớp B và các lỗ trống trong lớp A.
Có thể thấy, sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi phổ năng lượng của

điện tử. Điện tử trong siêu mạng hợp phần khi đó là khí điện tử chuẩn hai chiều, tính
chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của mạng tinh thể và thế phụ
tuần hoàn trong siêu mạng. Do đó, siêu mạng hợp phần có nhiều tính chất mới lạ mà
bán dẫn khối thông thường không có.

1.3.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.
Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần là hệ electron chuẩn hai chiều, các tính
chất vật lý của hệ được xác định bởi nghiệm của phương trình Schrodinger bao gồm

7


cả thế năng tinh thể và thế siêu mạng kí hiệu là   r  [20,21]. Vì chu kì của siêu mạng
lớn hơn rất nhiều so với hằng số mạng và biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn rất
nhiều so với biên độ của thế mạng tinh thể nên ảnh hưởng của thế siêu mạng chỉ đáng
kể ở mép vùng năng lượng. Tại các mép vùng năng lượng, quy luật tán sắc có thể
xem là dạng parabol và phổ năng lượng có thể tìm thấy trong phép gần đúng khối
lượng hiệu dụng mà đối với các vùng năng lượng đẳng hướng không suy biến, phương
trình Schrodinger có dạng [6,10,14,20,21]:


2 2
   r     r   r   E  r 
2m*

1.4

Dựa vào tính chất tuần hoàn của   r  mà siêu mạng có thể là một chiều, hai chiều
hay ba chiều. Để đơn giản ta chỉ xét siêu mạng một chiều   z  . Do thế siêu mạng
  z  là tuần hoàn nên hàm sóng electron   r  có dạng là hàm Bloch trong khi đó

phổ có đặc trưng vùng năng lượng và được xác định bởi chỉ số vùng năng lượng n ,
cho nên các vùng năng lượng mini nhận được sự mô tả phân chia tinh tế các vùng
năng lượng lân cận chúng. Vector sóng kz được xác định trong mini vùng thứ nhất
bởi điều kiện:




d

 kz 


d

1.5

Như vậy, thế siêu mạng có ảnh hưởng rất ít đến chuyển động của electron theo
phương vuông góc với trục siêu mạng (trục z), còn chuyển động theo phương z sẽ
tương ứng với chuyển động trong một trường thế tuần hoàn với chu kì d  d1  d 2 là
chu kỳ của siêu mạng; d1 và d 2 là độ dày của hai lớp bán dẫn tiếp xúc nhau. Kết quả
là ta có được:




n k 

 2 k2
  n  kz 
2m

8

1.6

Đối với k cố định, đường cong tán sắc   kz  của bán dẫn sẽ phân thành các vùng
năng lượng Brillouin mini  n  kz  được ngăn cách nhau bởi mini vùng cấm k z  0 và
kz  


d

.

Các đặc điểm định tính cấu trúc vùng năng lượng của các siêu mạng bán dẫn là giống
nhau đối với các siêu mạng khác nhau (   z  khác nhau). Phổ  n  kz  bao gồm hàng
loạt các vùng năng lượng mini không chồng chéo lên nhau. Khi chỉ số vùng năng
lượng mini n tăng thì độ rộng của khe năng lượng mini lại giảm. Nếu năng lượng của
mini vùng nhỏ hơn cực đại của thế siêu mạng thì trong gần đúng liên kết mạnh, năng
lượng được mô tả bởi [20,21]:

 n  kz    n  n cos  kz d 

1.7

Trong đó n là một nửa độ rộng của mini vùng thứ n được xác định bởi:

 n  4  1

n

d0
n

d  d0



2

exp  2m*  d  d 0  U 0 / 2
2

2 m*  d  d 0  U 0 /  2



1.8

Trong công thức 1.8 thì d 0 là độ rộng của thế biệt lập; U 0   c   v là độ sâu của
hố thế biệt lập;  c   cA   cB là độ sâu của hố thế giam giữ điện tử được xác định bởi
cực tiểu của hai vùng dẫn của hai bán dẫn A và B;  v   vA   vB là độ sâu của hố thế
giam giữ lỗ trống được xác định bởi hiệu các cực đại của các khe năng lượng giữa
hai bán dẫn A và B; n là chỉ số mini vùng ;  n 
hố thế biệt lập.
Mặt khác số hạng cosine có giá trị là:

9

 2 2 2
n là các mức năng lượng trong
2m*d 2

cos  k z d   cos  k1a  sinh  k2b  

k12  k22
sin  k1a  sinh  k2b  ;
2k1k2

1/2
1
*2
2m   S  k z  ;

1/ 2
1
k 2   2m*    r    S  k z   


k1 





1.9

Với   r    c   v là thế siêu mạng được xác định bởi hiệu các khe năng lượng
giữa hai bán dẫn. Như vậy, thế của siêu mạng bằng tổng năng lượng chênh lệch của
các vùng dẫn  c và độ chênh lệch năng lượng các vùng hóa trị  v của hai lớp bán
dẫn kế tiếp.
Từ 1.7 ; 1.8 và 1.9 ta có được:


 

 n k 

2 k2  2 2 n2

  n cos  k z d 
2m* 2m*d 2

1.10

Lưu ý rằng  n và  n có thể thay đổi được bằng cách thay đổi các tham số khác của
siêu mạng. Do ta chỉ xét thế giam giữ là một chiều   z  nên hàm sóng của điện tử
có thể tách thành hai thành phần, một thành phần phụ thuộc vào z, còn một thành
phần phụ thuộc vào x và y:




 r    x, y   z 

1.11

Trong đó   x, y  có dạng là sóng phẳng:
  x , y   exp  i  k x x  k y y  

1.12

Do thế siêu mạng   z  là thế tuần hoàn nên hàm sóng   z  có dạng là hàm Bloch

và thỏa mãn điều kiện biên trên mặt tiếp xúc giữa hố thế và hàng rào. Phương trình
đối với hàm sóng và ngoài hố thế sẽ có dạng:
 2   d 2
a
a
2
2

  2  k x  k y   z     z  khi   z 
2
2
 2m   dz


10

1.13


 2  d 2
a
a

2
2

 2  k x  k y    z     z     z  khi z  ; z  
2
2


 2m  dz



2



 Khi   *  k x2  k y2      z  thì các nghiệm có dạng là sóng phẳng và
2m




phổ năng lượng là liên tục. Trong trường hợp này hạt sẽ có thể vượt qua
hàng rào thế và do đó không bị giam cầm trong hố thế.


2



 Khi   *  k x2  k y2      z  thì nghiệm hàm sóng sẽ có dạng:
2m




  e z
  z    1  z

 2 e

a
2
a
z
2

z

khi

1.14

Với  là số dương thực được xác định bởi


2
k 2  k y2   2     z 
*  x
2m

1.15

Hàm sóng tổng cộng của electron trong siêu mạng hợp phần xét trong gần đúng liên
kết mạnh sẽ có dạng [20]:

 r 



Nd
1


exp i  k x x  k y y    exp  ik z md  S  z  md 
Lx Ly N
m 1

1.16

Trong đó Lx ; Ly là độ dài chuẩn hóa theo hướng x và y ; d và N d là chu kỳ và số chu
kỳ siêu mạng hợp phần;  S  z  là hàm sóng của điện tử trong hố cô lập.
1.4.

Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối

1.4.1. Hiện tượng luận về hiệu ứng Hall.
Hiệu ứng Hall là hiện tượng Vật lý xảy ra khi ta đặt vào một bản kim loại hoặc
một bán dẫn khối hay chất dẫn điện nói chung, một dòng điện theo phương Ox, một
từ trường theo phương Oz thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương Oy. Hiện
tượng này được gọi là hiệu ứng Hall cổ điển và tỷ số giữa hiệu thế Hall và dòng điện

11


chạy qua thanh Hall gọi là điện trở Hall, đặc trưng cho vật liệu. Hiệu ứng này được
khám phá bởi Edwin Herbert Hall vào năm 1879.

 a

b
Hình 1.3. Hiệu ứng Hall.

(a) Cơ chế hiệu ứng Hall trên một thanh Hall kim loại. 1: electron. 2: thanh
Hall. 3: nam châm. 4: từ trường. 5: nguồn điện. Màu đỏ trên thanh Hall
thể hiện sự tập trung của điện tích dương tại đó, còn màu xanh là nơi tập
trung điện tích âm. Trên các hình B, C, D, chiều của nguồn điện và từ
trường được đổi ngược.
(b) Hướng và chiều tác dụng trong hiệu ứng Hall
Hiệu ứng Hall được giải thích dựa trên cơ chế tương tác của dòng điện với từ trường
ngoài. Trong bán dẫn có cả điện tử và lỗ trống cùng nhau tham gia dẫn điện, do đó
mật độ dòng điện trong bán dẫn khối chính là tổng hợp của mật độ dòng điện tử và
mật độ dòng lỗ trống tham gia vào dẫn.
  
j  je  jh


 Hall

Trong đó với điện tử thì j e  ene v e

 Hall

với v e

12

1.17


  e E . Từ đó ta có được:



  
j e  en  e E   v e , H 





1.18


Trong biểu thức 1.18 thì n là mật độ điện tử, e là độ linh động của điện tử, E là


điện trường xuất hiện trong hiệu ứng Hall, H là từ trường đặt vào, ve là vận tốc trung
bình của điện tử, dấu trừ là tính đến điện tích âm của điện tử.
Viết lại biểu thức 1.18 :


i

 
j e  ene  E  vex

Hx



j
vey
Hy


k 

vez 
Hz 


1.19

Giả sử từ trường hướng theo phương Oz vuông góc với bề mặt của bán dẫn khối, khi
đó ta có H x  H y  0; H  H z thì:
jex  ene  Ex  vey H 
jey  ene  E y  vex H 

1.20 
1.21

Trong đó thì jez  0 . Mặt khác ta có:
vex   e  E x  vey H 

1.22

vey   e  E y  vex H 

1.23

Xét trong trường hợp từ trường yếu, ta chỉ giữ lại các số hạng bậc nhất đối với từ
trường, đặt 1.22 vào 1.21 và 1.23 vào 1.20 ta được:
jex  en  e  E x   e E y H   e vex H 2    en  e  E x  e E y H 

1.24

jey  en  e  E y  e E x H  e vey H 2    en  e  E y   e E x H 

1.25

Tương tự đối với lỗ trống ta có được:
jhx  ep  h  E x   h E y H 

13

1.26


jhy  ep  h  E y   h E x H 

1.27

Từ các kết quả trên, ta có mật độ dòng trong bán dẫn được cho bởi:
jx   en  e  ep  h  E x   en e2  ep  h2  E y H

1.28

j y    en  e  ep  h  E y    en  e2  ep  h2  E x H

1.29

Ở trạng thái cân bằng thì j y  0 nên từ 1.29 ta rút ra:

Ey 

 en

2
e

 ep  h2 

 ene  eph 

Ex H

1.30

Thay 1.30 vào 1.28 và bỏ qua số hạng H 2 ta rút ra:
Ex 

jx
ene  ep h

1.31

Từ 1.30 và 1.31 suy ra:

Ey

 en


2
e

 ep h2 

 ene  ep h 

2

Hjx

1.32

Do đó hằng số Hall sẽ bằng:
RHall 

p  h2  ne2
e  ne  p  h 

2

1.33

1.4.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối.
Trong phần trên, chúng ta đã trình bày hiện tượng luận về hiệu ứng Hall, hay
hiệu ứng Hall cổ điển. Trong các bán dẫn thấp chiều, phương trình mô tả các đại

lượng vật lý đặc trưng của hệ là các phương trình của vật lý lượng tử, do đó hiệu ứng
Hall lúc này sẽ là hiệu ứng Hall lượng tử. Ở đây, để có thể xét đến ảnh hưởng của
sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối, ta xét bán dẫn khối đặt trong điện
trường và từ trường không đổi, vuông góc với nhau cùng với đó là sự có mặt của một

14


sóng điện từ mạnh, đặc trưng bởi vector cường độ điện trường cho bởi

E   E0 sin t , 0,0  với E0 và  tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ.

Trước hết, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối
khi có mặt trường sóng điện từ. Sử dụng Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong
bán dẫn khối [20,21], ta có
H  H e  H ph  H e ph

1.34

Trong đó:
  e    
He  

 p  A  t  a p a p

c


p

1.35

H ph   q bqbq



H e ph  
Dq ap  q ap bq  bq
 



q, p

Thay 1.35 vào 1.34 ta có được:
  e    

H 

Dq ap  q ap bq  bq
 p  A  t  a p a p   q bq bq  

 
c


p
q, p





Trong đó:
ap ; ap tương ứng là toán tử sinh và hủy điện tử.

bq ; bq tương ứng là toán tử sinh và hủy phonon.

Dq là hằng số tương tác điện tử - phonon.
  
p; p  q tương ứng là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ.


 

 p

là năng lượng của điện tử.


A  t  là thế vector của trường điện từ.

15

1.36


q là tấn số của phonon.

Số điện tử trung bình ứng với xung lượng p là np  t   ap a p

.
t

Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng:
 
n p  t    ap ap , H 


t



i



1.37

t

Thay 1.36 vào 1.37  ta có được số hạng thứ nhất có dạng:
 
  e     
 a ,
a

 p p 
 p  A  t   a p 'a p ' 


c


p






e



  p  A  t   ap  p , p'  ap' ap ap'  ap  p , p'  ap ap' ap  0

c


p

 



 



1.38

Số hạng thứ hai có dạng:
 a a ,    b b       a a , b  b   0
q q q
q  p p
q q
 p p

1.39

Số hạng thứ ba:
 



 a  a b  b 
D
 ap ap , 

q
p
'

q
p
'
q

q
 

p ,q













t

 ap  q ap bq


Dq ap ap' p ,p' q  ap' q ap p , p' bq bq
 

1.40

p ,q


Dq

q

aa


   
p p q q t

b

 ap ap  q b q

t

 ap  q ap b q

t




Dq  Fp , p  q ,q  t   Fp* q , p , q  t   Fp , p  q ,q  t   Fp ,p  q , q  t  

q

Trong đó ta đã đặt:

  t   a a  b
Fp , 
p ,q
p p q

1

2

1

2

t

Thay các biểu thức 1.39 ; 1.40 ; 1.41 vào phương trình 1.37  ta thu được:

16

1.41


i

 
np t   
Dq  Fp , p q ,q  t   Fp*q , p , q  t   Fp ,p q , q  t   Fp , p q , q  t  



t
q





1.42

Để giải phương trình 1.42 , trước tiên ta sẽ đi tính hàm F  t  . Ta có:
   
F
 t    ap1 ap2 bq , H 
t p1 , p2 ,q



i



1.43

t

Khai triển vế phải của phương trình 1.43 , một cách tương tự như các bước tính của
phương trình 1.37  , ta thu được:
i


   
e   
 

 t  

Fp , p ,q  t    p2   p1  * p2  p1 A  t   q  Fp , 
p ,q
1 2
t
mc

 1 2





   





 b  b  b

Dq ap a
p p
q
q
q

q1

1

1

2

1

1

1










Dq ap  q a
bq  b q bq
p


t

1

q1

1

1

2

1

1

1.44

t

Ta giả thiết rằng tương tác giữa điện tử - phonon và của sóng điện từ có tính chất
đoạn nhiệt, khi đó t   . Tương tác điện tử - phonon khi đó sẽ được giả thiết là yếu
và khảo sát như là một nhiễu loạn.
Đặt:
np  t   ap ap

1.45

nq  t   bq bq

Giải phương trình 1.44 với điều kiện ban đầu là:
  t     0
Fp , 
p ,q
1

1.46 

2

Xét trường hợp hàm phân bố ứng với các tần số thấp, đồng thời giả thiết phân bố
phonon có tính chất đối xứng, ta thu được phương trình:
 np  t 
2
  2  Dk  2 N k  1 
 eE1

r
 p
k



  jl2  k np  k  np   p  k   p  l
np  t 

l 

 

 

17



1.47


Thêm vào ảnh hưởng của từ trường ta có được:

  np  t 

 eE1  c  p, h 
r
 p


2
  2 N   1 
 2 
D
 jl2  k np k  np   p k   p  l
k
k

np  t 





l 

k

 

Ta nhân cả hai vế của phương trình 1.48 với

 

1.48




e 
p    p và lấy tổng theo p ta
m





thu được:

R  
T  

 


 c  p, R      Q     S   

1.49

Trong đó:

e  
R    
pn p    p
*

m
p






   np
e
Q    * 
p  F      p
m p   p




2 e
S     * 
D
m k k

 

2

 2N


k


 1  k

   n n

 


p


p

 
pk

1.50


1.51

 




 np 



 

 2  p  k   p    p  k   k      p  k   k        k 

1.52

Giải phương trình 1.50 ta thu được:

R   

T  

1   T   
2
c

2






 

  

 Q     S     cT     h, Q     S      c2T 2    h h, Q     S   





 



1.53

Hàm R    có ý nghĩa là mặt độ dòng riêng được chuyển dời bởi các electron với
năng lượng  . Đại lượng này liên hệ với mật độ dòng cho bởi hệ thức:

18




j   R   d

1.54

0

Mặt khác ta có được mật độ dòng liên hệ với tenxo độ dẫn:
ji   im Eim

1.55

Từ 1.54 và 1.55 ta rút ra biểu thức của tenxo độ dẫn:
 im 

T  
e

m  l  c2T 2    


T  
 a0 ik  b0b1
 ik  cT   F   ikl hl  c2T 2   F  hi hk  

2 2
 l  c T    

T  F   
b0b2
 ik  cT  F     ikl hl  c2T 2  F    hi hk  
1  c2T 2   F   
b0b3

T  F   
2

c

1  T

2


   
F

ik

1.56


 cT   F     ikl hl  c2T 2   F    hi hk   


  km  cT   F   kmn hn  c2T 2   F  hk hm 

Trong đó:
a0 
b0 

eLx  0



1.57

;

eLx  2 k BT e2 E02 eE1c
I  N , N ' ;
4 2 m  0 S 2  4  4 02

1.58

  24   74   ;
0
0
0 



3


2


3


2


3



2
 0
 0
1
2
0
3
1
2
3 
 4  7 

 2  52
b2  7
;
57
b1  4

b3 

 72   62
6 7

1.59

1.60
1.61

Với:

19