ẢNH HƯỞNG của PHONON GIAM cầm lên HIỆU ỨNG RADIO điện TRONG SIÊU MẠNG hợp PHẦN với cơ CHẾ tán xạ điện tử PHONON âm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ LEN

ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM
LÊN HIỆU ỨNG RADIO - ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
VỚI CƠ CHẾ TÁN XẠ ĐIỆN TỬ - PHONON ÂM

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết - Vật lý Toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. HOÀNG ĐÌNH TRIỂN

Hà Nội - Năm 2014


MỤC LỤC
Trang

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 2
2. Mục tiêu nghiên cứu...................................................................................... 3
3. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 3
4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ............................................... 3
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ...................................................... 3
6. Cấu trúc của luận văn .................................................................................... 4
Chương 1: SIÊU MẠNG HỢP PHẦN VÀ HIỆU ỨNG RADIO –
ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI .................................................................. 5

1.1. Siêu mạng hợp phần................................................................................. 5
1.1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần ..................................................... 5
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần........ 6
1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối ...... 6
Chương 2: HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP
PHẦN DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM ...................... 9
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon và phương trình động
lượng tử của điện tử trong siêu mạng hợp phần .......................................... 9
2.1.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong siêu mạng hợp phần .... 9
2.1.2. Phương trình động lượng tử của điện tử trong siêu mạng hợp phần 10
2.2. Biểu thức mật độ dòng toàn phần......................................................... 24
2.3. Biểu thức giải tích cho cường độ dòng điện......................................... 35
Chương 3: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CHO SIÊU MẠNG
HỢP PHẦN GaAs - Al0.3Ga0.7As.................................................................. 40
3.1. Sự phụ thuộc của trường radio – điện vào tần số của sóng điện
từ mạnh .......................................................................................................... 40


3.2. Sự phụ thuộc của trường radio – điện vào tần số của sóng điện
từ phân cực phẳng......................................... Error! Bookmark not defined.
KẾT LUẬN .................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 44
PHỤ LỤC ....................................................................................................... 46


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Trang

Bảng 3.1 .......................................................................................................... 40

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1 ......................................................... Error! Bookmark not defined.0
Hình 3.2 ......................................................... Error! Bookmark not defined.1


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn em
là TS. Hoàng Đình Triển đã luôn chỉ bảo, hướng dẫn tận tình những vướng
mắc em gặp phải trong suốt quá trình thực hiện, để em có thể hoàn thành tốt
nhất bản Luận văn thạc sĩ này.
Em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các thầy cô giáo trong khoa Vật lý đã
dạy dỗ và truyền đạt kiến thức bổ ích cho em trong suốt những năm qua, tạo
điều kiện để em có kiến thức thực hiện nội dung bài Luận văn thạc sĩ này.
Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo, tập
thể cán bộ làm việc tại Bộ môn Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán - Trường Đại
học Khoa học tự nhiên đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian qua.
Cuối c ng, em xin gửi lời cảm ơn tới bạn b , những người đã ủng hộ,
động viên, giúp đỡ em trong quá trình làm Luận văn thạc sĩ.
Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2014
Học viên

Nguyễn Thị Len

1


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các chất bán dẫn được ứng dụng rộng rãi trong
điện tử học. Một hướng nghiên cứu mới được hình thành trong việc tạo ra bán dẫn

có nhiều lớp mỏng xen kẽ có độ dày cỡ nano mét, gọi là bán dẫn có cấu trúc nano.
Bán dẫn có cấu trúc nano giúp tạo ra được những linh kiện, thiết bị mới ưu việt hơn
cho kỹ thuật và đời sống [8].
Việc chuyển từ hệ ba chiều sang các hệ thấp chiều đã làm thay đổi nhiều tính
chất vật lý của vật liệu. Trong các vật liệu kể trên, hầu hết các tính chất của điện tử
thay đổi, xuất hiện các tính chất khác biệt so với vật liệu khối (gọi là hiệu ứng giảm
kích thước) [2].
Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng
tinh thể (cấu trúc 3 chiều). Với hệ thấp chiều và cấu trúc nano, các quy luật lượng tử
bắt đầu có hiệu lực, trước hết là sự thay đổi phổ năng lượng. Ở các hệ thấp chiều,
chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt dọc theo một (hoặc hai hoặc ba)
hướng tọa độ nào đó [1-3]. Phổ năng lượng của các hạt tải trở nên bị gián đoạn theo
phương mà chuyển động của điện tử bị giới hạn.
Như vậy, sự chuyển đổi từ hệ 3D sang 2D, 1D hay 0D đã làm thay đổi đáng
kể những đại lượng của vật liệu như: hàm phân bố, mật độ trạng thái, mật độ dòng,
tương tác điện tử - phonon… làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới mà hệ điện tử ba
chiều không có [5-6].
Với sự phát triển của vật lý chất rắn và một số công nghệ hiện đại, ta hoàn
toàn có thể tạo ra những cấu trúc thấp chiều khác mà chúng ta phải kể tới chính là
cấu trúc siêu mạng. Trong đó việc nghiên cứu kĩ hơn các hệ hai chiều ví dụ như:
siêu mạng pha tạp, siêu mạng hợp phần, hố lượng tử… ngày càng nhận được sự
quan tâm của rất nhiều người [2-6].
Ta đã biết bức xạ laser mạnh có thể ảnh hưởng đến độ dẫn điện và các hiệu
ứng động khác trong các chất bán dẫn khối. Trong số các hiệu ứng vật lý được
nghiên cứu, ta không thể không kể tới hiệu ứng radio – điện [3-4]. Nghiên cứu về

2


hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối với các cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm

hay điện tử – phonon quang đã thu được những kết quả cụ thể. Tuy nhiên, hiệu ứng
radio – điện trong các cấu trúc siêu mạng, đặc biệt là siêu mạng hợp phần có tính
đến ảnh hưởng của sự giam cầm phonon lên vẫn còn là một vấn đề mở [7].
Do đó, trong luận văn của mình, tôi xin được trình bày các kết quả nghiên
cứu về đề tài: “Ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio – điện trong
siêu mạng hợp phần với cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm”
2. Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hiệu ứng radio –
điện trong siêu mạng hợp phần với cơ chế tán xạ điện tử – phonon âm trên cơ sở lý
thuyết hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối [9-11]. Với mục tiêu là thu nhận
được biểu thức giải tích của điện trường lên các trục, từ đó khảo sát sự ảnh hưởng
của các thông số lên cường độ điện trường của siêu mạng. Kết quả thu được của đề
tài đóng góp cho sự hiểu biết thêm về các hiệu ứng vật lý trong vật liệu thấp chiều,
góp phần thức đẩy sự pháp triển chung về khoa học cơ bản[5-10].
3. Phương pháp nghiên cứu
Đối với bài toán về hiệu ứng radio điện trong siêu mạng hợp phần (trường
hợp tán xạ điện tử - phonon âm), tôi sử dụng một số phương pháp nghiên cứu quan
trọng. Trước tiên là phương pháp phương trình động lượng tử. Phương pháp được
sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu các hệ bán dẫn thấp chiều, đạt hiệu quả cao và cho
các kết quả có ý nghĩa khoa học nhất định[8-12]. Sau đó, tôi d ng chương trình
Matlab để có được các kết quả tính toán số và đồ thị sự phụ thuộc của cường độ
điện trường vào các thông số của siêu mạng hợp phần GaAs/Al 0.3Ga0.7As.
4. Nội dung nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
Với mục tiêu đã đề ra, tôi nghiên cứu sự phụ thuộc của trường radio – điện
vào cường độ và tần số của sóng điện từ mạnh, tần số của sóng điện từ phân cực
phẳng, đặc biệt là phụ thuộc vào chỉ số giam cầm của phonon m. Bài toán về hiệu
ứng radio – điện được nghiên cứu đối với siêu mạng hợp phần GaAs/Al0.3Ga0.7As.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Những kết quả thu được của đề tài đóng góp một phần vào việc hoàn thiện lý

3


thuyết lượng tử về các hiệu ứng động trong hệ thấp chiều mà cụ thể là lý thuyết về
hiệu ứng radio – điện trong siêu mạng hợp phần.
Về mặt phương pháp, với những kết quả thu được từ việc sử dụng phương
pháp phương trình động lượng tử và chương trình Matlab, đề tài góp phần khẳng
định thêm tính hiệu quả và sự đúng đắn của các phương pháp này cho các hiệu ứng
phi tuyến trên quan điểm lượng tử [9-13].
Bên cạnh đó, tác giả cũng hi vọng kết quả của đề tài có thể đóng góp một
phần vào việc định hướng, cung cấp thông tin về các hiệu ứng động cho vật lý thực
nghiệm trong việc nghiên cứu chế tạo vật liệu nano. Các kết quả nghiên cứu có thể
được sử dụng làm thước đo, làm tiêu chuẩn hoàn thiện công nghệ chế tạo vật liệu
cấu trúc nano ứng dụng trong điện tử siêu nhỏ, thông minh và đa năng hiện nay[14].
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, gồm có
3 chương:
Chương 1: Siêu mạng hợp phần và hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối.
Chương 2: Hiệu ứng radio – điện trong siêu mạng hợp phần dưới ảnh hưởng
của phonon âm giam cầm.
Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị cho siêu mạng hợp phần GaAs Al0.7Ga0.3As.

4


Chương 1
SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
VÀ HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG BÁN DẪN KHỐI
1.1. Siêu mạng hợp phần
1.1.1. Tổng quan về siêu mạng hợp phần

Siêu mạng hợp phần được tạo thành từ một cấu trúc tuần hoàn các hố lượng
tử trong đó khoảng cách giữa các hố lượng tử đủ nhỏ để có thể xảy ra hiệu ứng
đường hầm. Do đó, đối với các điện tử có thể xem các lớp mỏng như là thế phụ bổ
sung vào thế mạng tinh thể của siêu mạng. Thế phụ này cũng tuần hoàn nhưng với
chu kỳ lớn hơn nhiều so với hằng số mạng. Thế phụ tuần hoàn này được hình thành
do sự chênh lệch năng lượng giữa các cận điểm đáy v ng dẫn của hai bán dẫn tạo
nên siêu mạng. Sự có mặt của thế siêu mạng đã làm thay đổi cơ bản phổ năng lượng
của điện tử và do đó siêu mạng có một số tính chất đáng chú ý mà bán dẫn khối
thông thường không có.
Hệ điện tử trong siêu mạng hợp phần là hệ điện tử chuẩn hai chiều. Các tính
chất vật lý của siêu mạng được xác định bởi phổ điện tử của chúng thông qua việc
giải phương trình Schrodinger với thế năng bao gồm thế tuần hoàn của mạng tinh thể
và thế phụ tuần hoàn trong siêu mạng, việc giải phương trình Schrodinger tổng quát
là rất khó. Vì chu kỳ của siêu mạng lớn hơn nhiều so với hằng số mạng tinh thể
nhưng biên độ của thế siêu mạng lại nhỏ hơn nhiều so với biên độ của thế mạng tinh
thể nên ảnh hưởng của thế tuần hoàn của siêu mạng chỉ thể hiện ở mép v ng năng
lượng. Tại đó, quy luật tán sắc của điện tử có thể coi là dạng bậc hai; phổ năng lượng
của điện tử trong siêu mạng bán dẫn có thể xác định bằng phương pháp gần đúng
khối lượng hiệu dụng đối với các v ng năng lượng đẳng hướng không suy biến.
Dựa vào sự tương quan vị trí giữa đáy và đỉnh v ng dẫn của các bán dẫn,
người ta phân loại siêu mạng hợp phần như sau:
+ Loại I: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng v ng cấm hoàn toàn bao
nhau. Trong siêu mạng này, sự tương tác giữa các mạng hay từ các lớp riêng biệt
chỉ xảy ra giữa các v ng năng lượng c ng loại. Ở đây cả lỗ trống và điện tử đều bị
giam nhốt trong c ng lớp A.
+ Loại II: Được tạo thành từ các bán dẫn có độ rộng v ng cấm nằm gần
nhau, nhưng không bao nhau hoặc chỉ tr ng nhau 1 phần. Trong trường hợp này,
các hạt mang khác loại có thể tương tác với nhau. Siêu mạng này lại có thể chia
thành 2 loại:

5


Loại IIA: Bán dẫn khe v ng không gian gián tiếp. Lỗ trống bị giam trong
c ng lớp A, điện tử bị giam trong c ng lớp B.
Loại IIB: Hoặc không có hoặc có khe năng lượng rất nhỏ giữa các điện tử
trong lớp B và các lỗ trống trong lớp A.
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.
+ Phương trình Schrodinger có dạng:
2

− ∇2ψ (r) + U (r)ψ (r) = Eψ (r)
2m *
với m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử.
Hàm sóng của điện tử trong mini v ng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng
(Oxy) có dạng sóng phẳng và theo phương của trục siêu mạng (có dạng hàm Block).

1

x

y

 (ρ) =
Lx L y Nd
Z

nn,k

ξεξπ{ι(κ

+κ

Nd

ϕζ)ψ
ψ)}
εξπ(ικ

j=1

(ζ − ϕδ)∑

Với :

L x : Độ dài chuẩn theo phương x
L y : Độ dài chuẩn theo phương y
ψ n ( z) : Hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập
Dựa vào tính chất tuần hoàn của U (r ) mà các siêu mạng có thể có một, hai
hoặc ba chiều. Đối với hệ điện tử chuẩn hai chiều, cấu trúc v ng năng lượng có thể
tìm được bằng cách giải phương trình Schrodinger, trong đó ta đưa vào thế tuần
hoàn một chiều có dạng hình chữ nhật.
Thế tuần hoàn của siêu mạng ảnh hưởng rất ít tới sự chuyển động của điện tử
theo phương vuông góc với trục siêu mạng (trục z). Chuyển động của điện tử theo
phương z sẽ tương ứng với chuyển động trong một trường thế tuần hoàn với chu kỳ
bằng chu kỳ d của siêu mạng.
+ Phổ năng lượng của điện tử:

()

2

p nπ⊥
cos nznnp
p dε = + − ∆
∗
2m2d∗ 2m
Trong đó: d là chu kì siêu mạng và ∆ n là độ rộng của mini v ng n.
⊥

2

222

,

1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng radio – điện trong bán dẫn khối
Ta khảo sát hệ hạt tải của bán dẫn khối đặt trong một trường sóng điện từ phân
cực phẳng:
E(t ) = E (e−iωt + eiωt ) ; H (t ) = n, E (t )

6


c ng một điện trường không đổi E0 và trường bức xạ cao tần F (t ) = F0 sin (Ωt ) .
Trong biểu thức trên n là vectơ sóng của photon.
Với ε là năng lượng trung bình của hạt tải, τ là thời gian hồi phục thì trường
sóng điện từ phân cực phẳng và trường sóng điện từ mạnh phải thỏa mãn điều kiện:

ω ε và Ωτ

1

Nếu không có tác dụng của trường điện từ phân cực phẳng và trường điện từ
mạnh, các hạt tải trong bán dẫn khối chuyển động định hướng theo E0 . Dưới tác dụng
của 2 trường bức xạ có tần số ω và Ω sẽ làm cho chuyển động định hướng của hạt tải
theo E0 sẽ bị bất đẳng hướng. Sự chuyển động bất đẳng hướng này làm xuất hiện các
điện trường E0 x , E0 y , E0 z trong điều kiện mạch hở. Đó chính là hiệu ứng radio – điện.
+ Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối:

∂f ( p, t ) 
∂f ( p, t )   ∂f ( p, t ) 
 + eE0 ,  =
+ eE (t ) + ωH p, h (t) ,
∂t ∂p ∂p



+∞

= 2π

(q) J (a, q ) 
∑M ∑

trong đó ωH =

q

l2
l =−∞

H (t )

eH
, h (t ) =
mc

H

(

f ( p +q,tδ) −εf p+q
( p,t )p − lΩ
,a=

)

−ε

(1)

p2
eF
, εp =
mΩ2
2m

Xét trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm, ta tìm biểu thức mật độ dòng
toàn phần và xét trong điều kiện mạch hở, thu được biểu thức trường radio – điện:
τ 2 ( Ω) 1 − ω τ ( Ω)τ (ε F )


 λ − τ (ε ) 
E0 x = EW 
2
zx
1 + ω τ 2 ( Ω)

2

22

F

1 − ω τ ( ε F )
A

zx  2 2
1 + ω τ (ε F )




E0 y = EW τ (Ω) λzy−τ (ε F ) Azy 
E0 z = −Ew {1 −τ (Ω) λzz + τF (εzz)+Α ×
τ 2 (Ω) 1
 − ω xxτ(λΩ)−τ τ(ε(εF ))
×
2
1 + ω τ 2 (Ω)



2

2

22
F

(2)
(3)

1
τ (ε F )
1 −A ω
 τ (ε F )
xx 
2
1 + ω τ 2 (ε F )

7


(4)


trong đó: λil =

β=

e2F 2

mΩ , a0 =

2β

τ ( Ω)

(δ il − 3a0i a0l ) , Αil = β δ il , τ (ε ) = τ (ε F )  
3τ ( Ω)
 εF 

ε

1/2

α (ω ) ε W
a
; α (ω ) là hệ số hấp thụ.
EW =
a
enec

Biểu thức (2), (3), (4) cho thấy trường radio điện trong bán dẫn khối phụ thuộc
vào đặc trưng của trường bức xạ laser và sóng điện từ phân cực phẳng.

8


Chương 2
HIỆU ỨNG RADIO – ĐIỆN TRONG SIÊU MẠNG HỢP PHẦN
DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM

2.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon và phương trình động lượng tử của
điện tử trong siêu mạng hợp phần
2.1.1. Hamiltonian của hệ điện tử – phonon trong siêu mạng hợp phần
Điện tử khi bị giam cầm trong siêu mạng hợp phần sẽ bị lượng tử hoá. Gọi z
là trục lượng tử hoá. Hamiltonian tương tác của hệ điện tử - phonon trong siêu
mạng hợp phần có dạng:

H = H0 + U
Trong đó:

H0 =



∑ εn  c p

n, p⊥

⊥

+
+
A(t )  an, pa n, p +

e
−

⊥

m,q

∑∑C

U=

(1)

q,m

'

q,m n,n , p⊥

I m ( qz )a +
n'
n,

n

', p
⊥

+ q⊥

⊥

a

n,p
⊥

(b

∑ωbb

(2)

)

(3)

m,q m,q m,q

q,m

+ b−+q,m

Với:
+ a + p⊥n ,, a n , p⊥ : toán tử sinh, hủy điện tử ở trạng thái n, p⊥

{a

n, p ⊥ n

{a }=a

+

⊥

} = a, a

' n

n n, p +',
⊥ p

+

⊥

, an+', p ⊥ n,p ' n
,p

⊥⊥

⊥

a +', p ' + a=δ
+', p 'n,n
an,'δp p
⊥

⊥

⊥

, p⊥ '

an+', p⊥' + an+', p 'a n+, p ⊥= 0

(4)
(5)

+ bq+,m , bq ,m : Toán tử sinh hủy phonon ở trạng thái m, q

b
+  = b b+ − b+',m 'bq,m =δ m,m 'δ q,q '
 q,m, qb',m
' 
q,m q ',m '
(6)
b , b =q,m
b b − bqq',m 'b',m
q,m = 0

'  q,m q ',m '
 + + + + + +
b q,m q ',m ' − bq ',m 'bq,m = 0
b
 q,m, qb',m '  =b
+ p⊥ : Xung lượng của điện tử trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng
hợp phần.
+ ω : Tần số của phonon âm
m, q
+

A(t ) : Thế véc – tơ của trường điện từ mạnh thỏa mãn

9

(7)


1 ∂ A(t )
F (t ) = F0 sin ( Ωt ) = − ⇒ A(t ) =
c ∂t

cF0
cos (Ωt )
Ω

+ I mn' n(, qz ) : Thừa số dạng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.
I mn ,'n( qz )0 =

∫

N .d

N .d

∗

iq zz

,

ψ n ( z)ψ n ( z)e

mπ

i z
L

dz

,

0

+ ε n, p⊥ : Năng lượng của điện tử trong siêu mạng hợp phần.

ξ2

+ Cm,q =

q⊥ 2 + qz 2 : Hằng số tương tác điện tử – phonon âm

2VO ρVs

Với: VO là thể tích chuẩn hóa (chọn VO = 1)
Vs : vận tốc sóng âm
ξ : hằng số thế biến dạng
ρ : mật độ tinh thể
2.1.2. Phương trình động lượng tử của điện tử trong siêu mạng hợp phần
+ nn, p⊥

(t ) = a⊥+, p a⊥n, p

n

là số điện tử trung bình tại thời điểm t.
t

+ Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng hợp phần có dạng:

i

∂nn, p (t )
∂t
⊥

∂nn, p⊥ (t )

Hay: i

∂t

=  na +, p an, p , H 

⊥

⊥

t

=  na +, p an,p , H 0 + U ⊥

⊥

(8)

t

∗ Ta lần lượt tính các số hạng trong biểu thức (8)



e

+
+ Số hạng thứ nhất: sh1 t = an+, p n, p , ∑aε n ' n', p ' − A(t ) a
c

 n ', p
n ', p


Ta có: an+, p ⊥n,⊥ap ,
c


=

∑ε
n ', p'⊥

n'

'

⊥

⊥ ⊥

'
⊥

 e

+
∑n ', p εp'n '  A⊥(' t−) a ' '  =

 n ', p ⊥ ⊥ 
n ', p ⊥

a

' e 
+
A(t )  an+, pa n, p , aan ', p  
p −

n ', p 


⊥

⊥

'

⊥

'

⊥

10

⊥

'
⊥


⊥p

a


t


∑ε

=

' e  + +
A(t )  an+, p n, p
p −



c

n'

⊥

n ', p'⊥

=

∑

'

∑ε

' e  +
p −



n'



∑ε

'

'

'

p⊥ , p

'

⊥

'

⊥

'

⊥

⊥

⊥

⊥

'

'

⊥

p⊥ , p

'

p⊥ , p ⊥

',
p

 p' e−  A(t )  an+, p , a δ n,n δ

  n ', p 
'

⊥

⊥

n'

'



'

−n ', ap an, p δ n,n δ

A(t )  an+, pa − an, p aδ n,n δ 
 n n ', p

⊥

n ', p'⊥

=

⊥

⊥ ⊥⊥ ⊥

a a a − a a a a

n+, p ' n,' p '
nn',',pp ⊥ n ', ⊥p n ', p ⊥
⊥

⊥

 e  +
+

A
(
t
)

a
n, p a δ n,n δ


 n',p 
c

n ', p⊥

=

⊥

'

⊥

p⊥ , p '⊥

n ', p'⊥

=0
Vậy:

sh1

t

=0

(9)

+ Số hạng thứ hai: sh2

t

 n
= a +, p


⊥

⊥


,+a∑
n, p ω b b
m,qm,q m,q 
m,q


=0

(10)

t

+ Số hạng thứ ba:


sh3 t = an+, p n, p a, ∑


⊥

∑C

⊥

n1 ,n2 , p ⊥

Iq

m,q n1 2n
m,q

'

()


a



a

z m n+ , p ' + q

bm,q

2

⊥ ⊥

m+,− q
n1 , p⊥'

(

) +b 
t

Ta có:

an+, p an, p ,

⊥
⊥

n1 ,n2 , p

∑ ∑C

m,q

m,q

n1 ,n2 , p ⊥
'

q

m,q

I

2

,n

2

,n

⊥

⊥



⊥

n, p⊥

, p'⊥ m,q

I

m,q n1n2 z n, p⊥ − p m,q m,qm
n1 n2 z + q ⊥

+

an,p

)

+b
a

n1 , p⊥'

m,q n1 2
2

⊥ , p '⊥ +q⊥

2

⊥

⊥ + q⊥

I
n2 , p⊥ ⊥

n2 ,m,q

Chuyển n2 → n1; n1 → n ' ta suy ra:

11

a

n1 , p⊥'

2
⊥ + q⊥

+

1 ⊥ ⊥

n1 ,m,q

m 
 =∑Cm,qI

a

a
= +bmm,−q − +b

)

+b

'

⊥ + q⊥

n1 , p⊥'

( =

n1 , p ⊥
⊥ ⊥

2

+
z

m+,− q
n1 , p⊥'

2

an, p a n+ , p '

+

, p'⊥ m,q

I mn
n1

a

'
⊥

m,q n1n z n,m
p⊥

n1

()


I nm1n2 qz a a+ bm,q
, p '⊥ + q⊥
n2 

⊥



⊥

⊥

, p '⊥

= −a+,p' ,pn
= −a+,p'n,pδ1


an, p

+b
+ b+

m,q m,−q

b

m,q

m+,− q

)


∑C

sh3 t =

(q )

Im

n ',m,q

⊥

( )

∑C

−

a n+, a
p n,p

z

m,q nn '

I nn ' m qz

m,q

n
',
,

I

(

)

+

an, p bm,q + bm,− q

+ a +, p a n ', p

a n ', p ⊥ − p⊥ bm,q

⊥

)

+ bm+,−q

m,q

a+

n', p⊥ + q⊥

=

m,q nn ' z n, p⊥
n ',m,q

(b

⊥ − p⊥

'

−
t

t

+

m

⊥−

p⊥

bm+,−q

t

− a +', p an, p m,q − a +', p ⊥ + q⊥

∑C

=

m,q

an, p bm,− q 

⊥ + q⊥

b

', p

p n ', p


⊥

t

()

I nnm ' qz− aa+n+, p⊥ an ', p⊥ − p⊥ bm,q


t

n ',m,q

− a + an, p m,q + a +

t

+q ⊥ +q

b

⊥ ⊥

a

t

bm,q

⊥

*

⊥ ⊥

n ', p⊥ − p⊥

*

n

a +, p⊥ bm,− q


t 


−
t

(11)

+ Thay (9), (10), (11) vào (8) ta được:

()

∂nn, p (t ) = ∑ C m,q nn ' I m qz− aan+, p a n , p p bm,q

i
∂t
n ',m,q
− a + an, p m,q + a +
a bm,q
b
⊥

−

'

⊥

⊥

', p

=

p n ', p
⊥ + q⊥

I

( q ) F

m

m,q nn '

(t ) − Fn ', p+q ,n, p
⊥

⊥ ,n ', p⊥ +q⊥ ,m,q

∑C

m,q

( )

−Fn, p
Với: Fn1 , p1 ,n2 , p

⊥

m

I nn ' qz  Fn ', p

n ',m,q

2 ,m,q

⊥

(t )
,m,− q (t ) + F *
⊥

1

2

,p

1

2

bm,q

⊥

⊥

1

1 2

2 ,m,q

∂t

a b

2

−

⊥

t

(t ) +

2

⊥ , n ', p⊥ − p⊥ , m , q

(t ) −

(t )

(12)
(13)

t

2 ,m,q

(t )
2 ,m,q

(t ) = a + , pn , p m,q , H  = a + , p n , p m,q , H 0 + U 
1 1



,m,q

+ Phương trình động lượng tử cho Fn1 , p1 ,n2 , p

∂Fn , p ,n , p

,m,−q

n p

− p⊥ ,n, p⊥

n an
a+,p

⊥

*



,
⊥

⊥

n ', p⊥ − p⊥

an, p m,− q
b

,m,q

(t ) − Fn*', p+q ,n, p

,n ', p⊥ +q⊥ ,m,q

(t ) =

⊥


t 


− p ,n, p

⊥

∗ Xây dựng biểu thức tính Fn1 , p1 ,n2 , p

i

*

⊥ + q⊥

(t ) − Fn*', p

n, p⊥ ,n ', p⊥ − p⊥ ,m,q

z

n ',m,q

=−

⊥

t

∑C

+ Fn*, p

⊥

+

t

a b 
t

∗ Ta lần lượt tính các số hạng của (14)
+ Số hạng thứ nhất:

12

1 1

(t ) :
2 2



(14)

t

−
t



e



a b, ∑ ε n  p A
(t ) an+, p n, p 
sht1 t = an+ , p n , p m,q
⊥ −
 11 22
 
n, p⊥

∑ε

=



∑ ε  p
n

⊥

e
, an+,ap
− A(t )  an+ , ap n , bp m,q
c 



e

∑ ε  p c−

=

n

⊥

n, p⊥





()

e
A(t )−aan+a, p δan,nbδ p , p


∑ ε  p c−

=

n

⊥

n, p⊥

n

n

(δ

δ



=

2

n,n1 p , p1

⊥

n, p⊥

2

n, p

⊥

⊥

⊥

n+, p n , p

− a+

Ta có : ε n, p⊥ =

*

e

⊥

−ε
mc
2 2

=
 

1 1

−ε
,p

n,p

t

=

m1 ,q1

112 1 1

1 1

()

− p∗ (t ) an+
a , pbn , p m,q
e sh1 t p= ε2n , p n ,1p − A


()

1 1

2 2

t

e
(t ()t )
− ∗  Fnp, p2 ,n−,1ppA
,m,q
 mc
(15)


a a b , b b

t


t

13

2 2

2 2

)

δ n,n δ p ,ap b
1

1⊥ 1

2

t

2 2

−ε
e mcA(t )  = ε n , p n , p −

 n a b , ∑+ ω 
= a+ , p n , p m,q m ,q bm ,q bm ,q 
 1 1 2 2 m1 ,q1 1 1 1 1 1 1 

∑

2

* 2

+ Số hạng thứ hai:
sh2

1 1

an, p ⊥ an2 , p2 bm,q t

) (

2 2



2 2

d cos p

e
Do đó : ε n2  p2 −  A(1tn )p−1 ε−
 c   c 
Suy ra :

1

n+, p n , p m,q

a ba a

1 1

⊥

⊥

⊥

1 1

⊥

n, p m,q

⊥

1 1

zn

t

A(t )  an+ , p n , p m,q
a b

1

p ⊥2
2
+ 2 − ∆n
2m
2m d

t

 

⊥

⊥

⊥

2

⊥



⊥

n+, p n, p n+ , p n , p m,q

e
A(t ) −aan+ , ap n, pbm,qδ n,n δ p , p


e
e
A(t n) −p1ε − p2 −


  c   c 

= ε n

n, p

−a +, p ⊥

1,p

∑ ε  p c−
n

⊥

2 2

A(t ) −aan+ ,ap n ,ap m,q
a n+,b p



n, p

2 2

1 1

n, p⊥

⊥

t

⊥

1 1

a

⊥

e


 ,a a
 p − c A(t )  an+ ,ap n ,bp m,q
n+, p



n

n, p⊥

=



∗

p2 − p1
A( t )

()

2 2

1


=

1

1

1

1

bm,q

t

m1 ,q1

=

+ bm

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

bm,q

m
q

t

(16)

=

ω
m

,

q

F
n

1

1

2

2

,

m

,

q

(
t

)
+ Số hạng thứ ba:



1 1

2 2

1 1

n3 ,n4 , p ⊥ m1 ,q1

1 1

1

1

+b

n

,
t


Xét:
+

+

+
⊥

= a+

1

−a +

an

,p⊥

2

n

n

−a +
1

,p⊥

2

a+
+

⊥

∑ω

,p⊥

⊥

⊥

2

(

bm,q bm

⊥

a∑+ωm ,q + , p n , p

+

1

(δ δ

2

+

1

+q ⊥

m,q m ,q m ,q

2

a, p+,n , p

⊥

1

⊥

m ,q + , p n , p

⊥

t

⊥

2

4 ⊥

⊥

a a1 1b b b1 1

+

4

aa

2

1

1 1 2 2
1

m,m1 q,q11 1

1

)−
) b− b

11 11
1

1

1

1

b

m ,q m ,q
m,q

b

,q m ,q

1 1 2 2

1

3 ⊥

2

1

3

1

2

+ bm

,q1

1

)b

m ,q

)b

m,q

1

1

()

a b, ∑
sh3 t = an+ , p n , p m,q
m ,q∑
I n3 C
41mn qz a n+ , p + q a nb
,m
p ,q m+ ,− q
4 ⊥


= a + 1 an3 , p⊥ bm,q bm1 1 + bm1 1
2 , p ⊥ +q ⊥ −
1

(
∑a ∑ (Cb

=

−a +

,p⊥

1

n2 2

, p ⊥ m1 1

⊥
n3 4

1

1

1

1

=a+n,p

13⊥

, p m,q+
bm,q n , p n−a
1 1 2 2

(b +

,p⊥

n

⊥

(

a n  bm
2

2

1

n

n

= a+

1

(

3

=a+,

⊥

2

2 2

(b

m ,q

⊥

n4 , p + q m1 ,q1 1 1

⊥

⊥

,p

( )( )

−a+,p δ p, +,pan,p b +bm,−qm,q +q n1,n3

,q

+1 , p

n

,p

4

+q

1

4

,q

+1 , p

m1 ,q1

2

,p

+q

4

,−q

n2 ,n4

δp

n2 ,n4

δp

⊥

+ bm ,− q

+ q4

,q

,−q

)

)δ

+ bm ,− q bm,qδ n ,n δ p
,q

,−q

1

)δ



⊥

+q ⊥

−

n2 ,n4

3

δp

+b

3

b

)δ

, p ⊥ +q ⊥

⊥

14
an , p b b
3

,q

2

an , p⊥ b b

⊥

+ bm ,−q an , p

−a

⊥

δp

3

3

1

⊥

m ,q

an , p

+ bm ,−q an , p

+q

(b

1 ,q

+q

+1 , p

+n

+q

a

n

+n

1

+1 , p n , p

=a+,
4

1

1 1 1 1⊥

n

n

()

,−q+ q

an , p bm,q bm + bm

11

n

a

+1 , p n , p

n2 ,n4

−

+1 , p , p

n

m1 1 2,p⊥+q

m,q

1

ab, +m,−q=

n13 , p⊥1

1

1

)+bb δ

I

m1

+ q4

+ bm ,q bm ,q

+b

⊥

3 ⊥

( q ) a b , a

(
m1 m1 1,q1 n3n4 1z n1 , p1 n2 ,1p2 m,q

)
1+ q

,q m ,− q

m1 + + +



−a +

,p
n4

+q
⊥ ⊥

(b

an

+,2 p m1,q 1

2

1

∑

Khi đó: sht3 t =

)

+ bm ,− q bm,qδ n ,n δ p
Cm

1

1

1

+n21,q

n1

1 ,q

3

( )

∑ ()a

+

n

3 1

n
n
q

(

an , p m ,qCm ,q I nm n q1z

+,p

21 4

1

i

2 ,m,q

(t )

= ε n , p n−, pεe−

∂t



2 2

1 1

+

n

+
−

mc

∑ ()a

+

n

3

1⊥

m,q

22



I q

+ bm

(

−q

1

+ bm ,− q

1

1

)

−
t

(17)

⊥ 1⊥4

t

1 1 2 2

a

+ , p n , p − q m,q m ,q m ,q nm21n3 1z

+,p

11

1

−1 pA(t ) + ωm,q  Fn , p ,n , p ,m,q (t ) +

2

(C

b

2

+ q1 1

( ) p

∗

∑ ()a

n2 ,n3 ,q1

1

) bb

1

+ Thay (15), (16), (17) vào (14) ta được:
∂Fn1 , p1 ,n2 , p

(

I mn q1zan a + , p bm,q b,q m ,− q,+p bm

n2 ,n3 ,q1

−

⊥

1

b

11

1 1

11

,−q3 2 1⊥

1

an , p m ,qCm ,q I nm n q1z

)

1 14

1

1

n1 ,n4 ,q1

b
bm,q
+ q1 1

22

11

+ bm ,−q

)

−
t

⊥ 1⊥4

(18)
t

Để giải (18), trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất:
1

∂F 0

n , p1 , n2 , p2 , m , q

i

∂t

(t ) = 

()

e
p2−F
1p
A0 (t ) + ω(tm,q) (19)
mc

−ε
,p

n

n ,p,n,p,m,q

1 12 2

1

Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt ln Fn0, p1 , n2

(t )

,p

2,m,q

nghiệm của phương trình thuần nhất (19) trên có dạng:

F0

n,p,n,p,m,q

(t )=i exp  ∫t ε


1
1
2
2

−∞

(

e
− p p2
mc

− εn,p −

n2 , p2

1

= 0 , ta dễ dàng tính được

t =−∞

1

 
A(t ) + ωm,q  dt1 
 

)

1

(20)

Khi đó, nghiệm của phương1 ,ntrình
(18) có dạng:
2,p

Fn , p ,n , p
1

1 2

(t ) = M (t ) Fn0, p

2 ,m,q

Suy ra:

i

Fn , p ,n , p ,m,q
∂t
1

1

2

2

(t )

=i

1

2

,m,q

(t )

(21)

∂M (t ) 0
∂Fn0, p ,n , p ,m,q (t )
M (t )

Fn , p ,n , p ,m,q (t ) + i
∂t ∂t

2

2

1 1
1 1

(22)

2

2

i t  vào (18),erồi đồng nhất các
 hệ số ta được kết quả sau:
+ Thay (20), (21)i và(22)
= exp  ∫ ε n , p
 −∞ 

∂ M (t )
∂t

n,p

()

×  ∑ Cm ,q I n2 31mn q1z

 n2 3 1q,
,n

11
1

2 2

1 1

−

(p

∗

mc
−p

−ε
1 1

2

an+ , p n ,3p 2− q 1⊥bm,q
a
11

1

)

A(t ) + ωm,q  dt1  ×

1

(

m ,q

b +b

15

m+ ,−q

)

−
t


−

∑

Cm ,q I nm1n1 4

(q )+ b a ab 
+,p n ,p m ,q m ,−q m,q

1z

4

n1 ,n4 ,q1

⊥ 1⊥

(

1 1 +q 2 1 1 1



)

b

t



Suy ra:


∫−∞ n ∑n, ,q Cm
t

i

M (t ) =

1 4 1

−

+

n

n
n
q

∑ ()a

 i

×exp 


∫ ε

t1


n2 , p2

1 1,q

a+

I n n q1z
1 14

,p
n4

(

b + bC I q

− εn ,p − ∗

⊥

b

e

(p

11

mc

)

−

+ bm ,− q bm,q

+,2 p m1,q 1

2

1⊥

2

1 1

(b

an

+q

a

+ , p n , p − q m,q m ,q mm
,q 1 nm21n3 1 1z



−∞

()

m

11

11

1

1


×
t 

)

,−q3 2 1⊥

t


A(t ) + ωm,q  dt2  dt1
−p

 

)

1

(23)

Thay (20), (23) vào (21) ta được dạng của biểu thức hàm trung gian:

Fn

, p ,n , p
1

1

2

2

−

,m,q

(t ) =
+

n


i ∫  n ∑n, ,q Cm ,q mI n n q1z

a + , p a n , p bm,q m ,qCm ,q I nm n q1z
b
+ bm

t
−∞

∑ ()

1

(

14 1

a+

n4
,p

1⊥
⊥

+q

an

2

(b

+, p
2

,q
m1

−q

21 3

11

11

11

)

,− q3 2 1⊥

1

t2

−ε −ω

× exp  ε n , p



n,p

1 1

+ bm ,−q
1

1

1

)b

m,q

 ( t − t2 ) −

∫p

*


×


 i ie 
− p A(t ) dt  dt
( ) (24)
t

1

2

1

1

m c t2

2





2 2

∑C

+ Thay (24) vào (12) rồi biến
I đổi chỉ số ta thu được:

∂nn, p (t )
∂t
⊥

=−
−

( )
()

1

m
 m,q nn ' qz ×
∫ dtn2',m,qCm,q I nm' n z
2

t

−∞

q

n '

(

)

−

a + an, p bm,− q + bm,q bm,q
p⊥

⊥

an ', p

n

( )

+

n,

(

+

×

t2

)

−Cm,q I mn qz
bm,q bm,−q + bm,q
a +', p +q
i 

ie t 

×expε −ω
− ε n, p m,q (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  −
m c tt


 n ', p +q


+
+
− Cm,q I nm' n z

−
q a+
an, p +q bm,−q bm,−q + bm,q

t
⊥

⊥

⊥+q

⊥

2

2

()

⊥

⊥

⊥

+q

n ', p

⊥ ⊥

⊥

(

⊥

16

)

2

−

m,q

1 4 1

1

n
n
q

()

1

t2


( )

()

−Cm,q I mnn ' qz

i
× exp − ε n, p n−',ε p−+qω 

⊥

()


− Cm,q I nm' n qz


⊥

an+', p

⊥

⊥

ie t

m,− q  (t − t2 ) − *
an ', p

−q ⊥

⊥

(b

⊥

⊥


b pb n , p m+,− q
+ Cm,q I nm' nq z aan+,

4

1 1

⊥

−Cm,q I nm' n q1z
 i
× exp − ε n ', p −q
 mct2 

()

m ,q

m+,q

1

m ct

)

*

−



−
t2


×
t2 

∫ q A(t
⊥

1

2

1

m ct


) dt 


+

1
2

−

+b
t2

⊥ − q⊥

⊥n, p⊥

)

1

ie t

m,q  (t − t2 ) −

⊥

⊥

+

a +n p⊥, an, p⊥ +bm,q
,q b,−mq1 1 + bm1

 i
× exp  ε
 n, p n− ε', p− ω−q


∫ q A(t ) dt

+ bm,q bm,q

m,−q

−q ⊥

(

( )

−Cm,q I mnn ' qz

⊥


×
t2 

a n+, p⊥ bm+,q
⊥
bm,−
m,−
q q++ ban, p

an ', p
⊥

⊥ −q m,q

( ) a (b
+', p

ie t
−m,qε (−
t −ωt2 ) −
⊥

+

*

+

)

+ bm,q bm,−q  ×

∫ q A(t
⊥

1 1

t2




 ) dt 



Hay:

∂nn, p (t )
1
=−
∂t
⊥

t



× ∫ dt2  a + an, p
 t 
−∞
p

2

2

∑

×

m
2

n ',m,q

(b

m,−
q
⊥

( )C

2
m,q

I nn ' qz


+
b
b
−
a
b q +m,qb  ×
m,q m,q
+', p +q a n ', p
bm,q m,−

)

⊥

+q
⊥ ⊥

 i
ie t
−
ε
−
ω
× exp  ε
n
',
p
+q

n,
p
m,q

(
t
−
t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 1  −


m ct



b q +m+,q
b −n+,ap a n, p bm+,q
+ b m,−qb m+,−q
−  a + an ', p +q m+,−bq m,−
⊥

⊥

⊥

2

n ', p + q
⊥ ⊥

⊥

(

⊥

 i
× exp − ε n, p n−',ε p−+qω 

⊥

⊥

⊥

⊥

)

⊥

() ()


+b b
−  an+', p⊥−q ⊥ n ',ap⊥ −q⊥ b
m,− q m+,q m,q



)



) dt 



()

t2

ie t
m,− q  (t − t2 ) −

(

⊥ ⊥

*

∫ q A (t
⊥

1

m ct

−

17

) dt 



2

b b +−ba n+, p an, p m,q
⊥
⊥
t2

2



1

m+,q

×
 t

m,−q

×
 t2 

t

i
−ε −ω
× exp  ε
 n, p n ', p −q

⊥

⊥

⊥

()


+  an+, p⊥ n,ap⊥bm+,−bq +m,qb
 i
× exp − ε n ', p −q
 m c t2 

ie t

 (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  +
m ct

m,q


b+
− ba n+',bp − q an ', p −q

m+,q

⊥ ⊥

t2

ie t
−m,qε (−
t −ωt2 ) −

⊥n, p⊥



2

⊥

∫ q A( t
⊥

*

⊥

⊥

×
 t2

m+,q m,q m+,−q



1 1

 ) dt 



(25)

+ Toán tử số hạt của điện tử:

nn, p n(t2 ) = a +, p an, p
⊥

⊥

⊥

và nn ', p

t2

⊥

±q ⊥ n

(t2 ) = a +', p ±q an ', p
⊥

⊥

⊥

±q ⊥

t2

+ Toán tử số hạt của phonon:

()

+

Nm,q = bm,qbm,q

và N=m,qbm,qbm,q++ 1

t2

+ Chuyển kí hiệu: nn, p (t) = f n, p (t ) .
⊥

t2

⊥

+ Do tính đối xứng nên ta sử dụng q = −q và ωm,q = ωm,− q ; bỏ qua số hạng
+ +

chứa bm,q m,qb

t2

của (25) trong quá trình biến đổi. Khi đó phương

và bm,qbm,q

t2

trình (25) được viết lại dưới dạng:

∂f n, p (t )
∂t
⊥

1

=−

2

( q ) ∫ dt {n
2t

∑

m
m,q nn '

CI

z2

−∞

n ',m,q

i
× exp  ε
 n ', p +q

⊥

⊥

− ε− ω

n, p

⊥

m,q

i
× exp − ε n, p n−',ε p−+qω 


− nn ', p

⊥

−q ⊥

⊥

⊥

m,− q

⊥

⊥

(t2 )( N m,q + 1) ×


⊥ ⊥

ie t

 (t − t2 ) − *

∫ q A(t ) dt
⊥

1

m ct

1

−



2

(t2 ) Nm,qN −n
n, p (t2 )( ) ×
m,q + 1 
⊥

i
× exp  ε
 n, p n− ε', p− ω−q

⊥

⊥

⊥

m,q

ie t

 (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  +

m ct
2

()

+ nn, p (t2 ) Nm,q −n
n ', p −q (t2 )
×
Nm,q
+ 1 
⊥

⊥+q

2

()

⊥

(t2 ) N m,q −nn ', p

ie t

 (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  +
m ct

+ 1nn, p (t2 )× − nn ', p +q (t2 ) Nm,q 

+  Nm,q

n, p⊥

⊥

⊥

18




 i


1

=−

2

∑

ie t

×exp−ε −εn,p−ωm,q
 n ', p⊥ −q⊥



⊥

( q ) ∫ dt { f
2t

m
m,q nn '

CI

z2

i
× exp  ε
 n ', p +q

⊥

(t2 ) N m,q − f n ', p
⊥+q

⊥

⊥



2

 i

× exp − ε n, p n−',ε p−+qω 

⊥

−q ⊥

(t2 )( N m,q + 1) ×

t

()

⊥

⊥


ie
−ε −ω
n, p m,q  (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  +
m ct

+ 1 f n, p (t2 ×
) − f n ', p +q (t2 ) N m,q 

+  Nm,q

−  f n ', p

n, p⊥

−∞

n ',m,q



q
⊥ A(t1 ) dt1 
*
m c t ∫2


 ( t − t2 ) −

⊥

⊥

⊥

⊥ ⊥


ie
m,− q  (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  −
m ct
t



2

(t2 ) Nm,q
− f+n,1p 
(t2 )( ) ×
N m,q
⊥

i
× exp  ε
 n, p n− ε', p− ω−q

⊥

⊥

t

ie
m,q  (t − t2 ) − * ∫ q⊥ A(t1 ) dt1  +
m ct

⊥



2

()

+  f n, p (t2 ) Nm,q −
f n ',+p 1−q (t2 )  ×
Nm,q
⊥

⊥

× exp − ε n ', p −q
 m c t2 

⊥n, p⊥

⊥

−m,qε (−
t −ωt2 ) −
⊥

*

∫ q A(t ) dt
⊥

1

1





 i ie t 

(26)

cF0 cos ( Ωt ) vào các biểu thức
Ω

+ Thay thế véc – tơ của trường bức xạ: A(t ) =
t

∫q

⊥

-77A(t1 )dt1 ta được:

t2
t

∫q

⊥

A(t1)dt1 =

t2

+ Thay (27) vào (26) ta được:

q⊥ F 0 c
Ω2

(sin Ωt − sin Ωt2 )

(27)

( ) {

CI
q ∫2 dt
 f
(t2 ) N m,q − f n ', p
t
∂f n, p (t )
1
m
=− 2 ∑ m,q nn '
z2
(t2 ) N m,q + 1  ×
n, p
∂t  i
n ',m,q
ie q⊥ F−∞c

× exp  ε n ', p +q n,−pε − ω m,q  (t − t2 ) − * 20 (sin Ωt − sin Ωt2 ) +
mc Ω
 



⊥

⊥

⊥

⊥

⊥

19

⊥+q⊥

(

)


()

+ 1 f n, p (t2 )× − f n ', p +q (t2 ) N m,q 

+  Nm,q

i
ω
× exp − ε n, p n−',ε p−+q



⊥

−  f n ', p

⊥

−q ⊥

⊥

⊥

⊥

⊥ ⊥

ie q⊥ F c
 (t − t 2 ) −

m,q

*

20



(sin
Ωt − sin Ωt2 ) −

mc Ω


(t2 ) m,q
Nm,q
(t2 )( ) ×
+−
1Nf n, p 
⊥

i
−ε −ω
× exp  ε
 n, p n ', p −q

⊥

⊥

m,q

⊥

ie q⊥ F c
 (t − t 2 ) − *

20



(sin
Ωt − sin Ωt2 ) +
mc Ω


()

+  f n, p (t2 ) Nm,qm,q−+f n1N
', p −q (t2 )
×

⊥

⊥

× exp − ε n ',p −q


⊥

−m,q
ε − ω  (t − t2 ) −


n, p

⊥ ⊥

⊥

*

20

(sin Ωt
− sin Ωt2 ) (28)
mc Ω

i ieq⊥Fc 


+ Áp dụng khai triển:
+∞

exp ( ±iz sin α ) = ∑ J (kz )e

(với J k ( z ) là hàm Bessel)

±ikα

k =−∞

ecq⊥ F0 Λ
=2
m*Ω Ω

Đặt: Λ = ecq⊥ F0 ⇒

m*Ω

 ie q⊥ F c

exp − * 20 (sin Ωt − sin Ωt2 ) =
 mc Ω


Ta có:

=

∧∧
J s   J l   exp[iΩ(s − l )t − isΩ(t − t2 )]
ΩΩ
s ,l =−∞
+∞

∑

(29)

+ Thay (29) vào (28) và thêm thừa số e−δ (t −t2 ) với δ → +0 ta được:

∂f n, p (t )
∂t
⊥

1

=−

2

∑

m
m,q nn '

CI

n ',m,q
t

{ ()

∧∧
l
 zexp[iΩ(ss − lJ )t
q ∑
J   Ω
− isΩ(t − t 2)] ×
Ω
s ,l =−∞

( )

×−∞∫ dt2  f n, p (t2 ) N m,q − f
n ', p

+q
⊥ ⊥

⊥

i
× exp  ε n ', p +q⊥


+  Nm,q

2 +∞

(t2 ) N m,q + 1  ×


− ⊥ε m,q −−sΩ
ω + iδ  (t − t2 ) +



n, p
⊥

()

+ 1 f n, p (t2 )× − f n ', p +q (t2 ) N m,q 

i
× exp  ε
n ', p +q
 

⊥ ⊥

−ε

n, p

⊥

m,q

⊥

⊥ ⊥


+ sΩ
ω + iδ  (t − t2 ) −
−



20