Đề thi thử có lời giải chi tiết môn Toán THPT Quốc gia 2017

UBND TỈNH BÌNH PHƯỚC
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2017
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút;

ĐỀ CHÍNH THỨC

(50 Câu trắc nghiệm)
Đề đã được tổ biên tập TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sắp xếp lại theo mức độ dễ đến khó.
Câu 1:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 4 y + 2 z + 4 = 0 và điểm
A (1; –2;3 ) . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) .

5
A. d = .
9

Câu 2:

B. d =

Cho hàm số y =
1 3
A.  ;  .
 2 2

Câu 3:

C. d =

B. max y = 6 .

C. max y =

[ 2;4]

[ 2;4]

Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?
x −1
A. y =
.
x+2

5
.
3

11
.
3

D. max y =
[ 2;4]

19
.
3

B. y = x 3 + 4 x 2 + 3 x –1 .

C. y = x 4 – 2 x 2 –1 .

Câu 6:

D. d

x2 + 3
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
trên đoạn [ 2; 4] .
x −1
[ 2;4]

Câu 5:

5
.
29

3x − 1
có đồ thị là ( C ) . Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị ( C ) .
2x +1
1 3
 1 3
 1 3
B.  ; −  .
C.  − ; −  .
D.  − ;  .

2 2
 2 2
 2 2

A. max y = 7 .
Câu 4:

5
.
29

D. y =

1 3 1 2
x − x + 3x + 1 .
3
2

Tính đạo hàm của hàm số y = 3e − x + 2017e cos x .
A. y′ = −3e − x + 2017.sin x.ecos x .

B. y′ = −3e − x − 2017.sin x.e cos x .

C. y ′ = 3e − x − 2017.sin x.e cos x .

D. y ′ = 3e − x + 2017.sin x.ecos x .

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:
x
y′

−∞
−

−1
0

0
0
5

+

+∞

−

1
0

+∞
+
+∞

y

3

3

Tìm m để phương trình f ( x ) = 2 − 3m có bốn nghiệm phân biệt

1
A. m < −1 hoặc m > − .
3
1
C. m = − .
3
Câu 7:

1
B. −1 < m < − .
3
D. m ≤ −1.
2

Tìm tập xác định của hàm số y = ( x 2 + 2 x − 3) .
A. ( −∞; −3] ∪ [1; +∞ ) .

B. [ −3;1] .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) . D. ( −3;1) .
Trang 1/22


Câu 8:

Câu 9:

Khố i lập phương là khố i đa diện đều loại:
A. {5;3}.
B. {3;4}.

C. {4;3}.

D. {3;5}.

2x −1
có đồ thị là ( C ) . Gọi M là giao điểm của ( C ) với trục hoành. Khi đó
2x + 3
tích các khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của đồ thị ( C ) bằng

Cho hàm số y =

A. 4 .

B. 6 .

C. 8. .

D. 2 .

Câu 10: Cho khố i chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = 2a . Tính thể tích khố i chóp S . ABC .
A.

a3 3
.

6

B.

a3 3
.
2

C.

a3 3
.
3

D.

a3 3
.
12

Câu 11: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2 − 6 z + 5 = 0 . Tìm iz0 ?
A. iz0 =

1 3
− i.
2 2

B. iz0 =

1 3

+ i.
2 2

1 3
C. iz0 = − + i .
2 2

1 3
D. iz0 = − − i .
2 2

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Biết tọa độ các đỉnh
A ( −3; 2;1) , C ( 4; 2;0 ) , B′ ( −2;1;1) , D ′ ( 3;5; 4 ) . Tìm tọa độ điểm A′ của hình hộp.
A. A′ ( −3;3;1) .

B. A′ ( −3; −3;3) .

C. A′ ( −3; −3; −3) .

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

D. A′ ( −3;3;3) .

x +1 y z − 5
=
=
và mặt
1
−3
−1

phẳng ( P ) : 3x − 3 y + 2 z + 6 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d vuông góc với ( P ) .

B. d nằm trong ( P ) .

C. d cắt và không vuông góc với ( P ) .

D. d song song với ( P ) .
2

Câu 14: Hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên R và đạo hàm f ′ ( x ) = 2 ( x − 1) ( 2 x + 6 ) . Khi đó hàm

số f ( x ) .
A. Đạt cực đại tại điểm x = 1 .
C. Đạt cực đại tại điểm x = −3 .

B. Đạt cực tiểu tại điểm x = −3 .
D. Đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .

Câu 15: Cho 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1, 0 < x ≠ 1 và các đẳng thức sau:

(I): log ab x b = log a x.
(II): log a

ab log b a + 1 − logb x
.
=
x
log b a

(III): log a b.log b x.log x a = 1.
Tìm đẳng thức đúng.
A. (I); (II).

B. (I); (II); (III).

C. (I); (III).

D. (II); (III).

Câu 16: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( O; R ) , với OO′ = R 3 và một hình nón có đỉnh
O′ và đáy là hình tròn ( O; R ) . Kí hiệu S1 , S 2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và

hình nón. Tính k =

1
A. k = .
3

S1
.
S2
B. k = 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. k = 3 .

D. k =

1
.
2
Trang 2/22


Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 4;1; − 2 ) . Tọa độ điểm đố i xứng với A

qua mặt phẳng ( Oxz ) là

y

A. A′ ( 4; − 1;2 ) .

B. A′ ( −4; − 1;2 ) .

C. A′ ( 4; − 1; − 2 ) .

D. A′ ( 4;1;2 ) .

Câu 18: Tìm a , b , c để hàm số y =

ax + 2
có đồ thị
cx + b

1
−2

như hình vẽ bên:
A. a = 2; b = −2; c = −1.
B. a = 1; b = 1; c = −1.
C. a = 1; b = 2; c = 1.
D. a = 1; b = −2; c = 1.

O

2

x

−1

Câu 19: Biết phương trình z 2 + az + b = 0 , ( a, b∈ ℝ ) có một nghiệm phức là z0 = 1 + 2i . Tìm a, b

 a = −2
A. 
.
b = 5

a = 5
.
B. 
b = −2

a = 5
.
C. 
b = −2

a = −2
.
D. 
b = 5

Câu 20: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. Nếu f ( x ) , g ( x ) là các hàm số liên tục trên ℝ thì ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
B. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) − G ( x ) = C (với C là

hằng số).
C. Nếu các hàm số u ( x ) , v ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thì

∫ u ( x ) v ′ ( x ) dx + ∫ v ( x ) u ′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) .
D. F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của f ( x ) = 2 x .
π 
Câu 21: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos 2 x , biết rằng F   = 2π
2
3π
A. F ( x ) = sin x + 2π .
B. F ( x ) = x + sin 2 x +
.
2
1
C. F ( x ) = sin 2 x + 2π .
D. F ( x ) = 2 x + 2π .
2

Câu 22: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 3 + 2i ,

z2 = 3 − 2i , z3 = −3 − 2i . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. B và C đối xứng nhau qua trục tung.
 2
B. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm G  1;  .
 3
C. A và B đối xứng nhau qua trục hoành.

D. A , B , C nằm trên đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 13 .
Câu 23: Cho số phức z = ( m − 1) + ( m − 2 ) .i
A. −3 ≤ m ≤ 0.

( m ∈ ℝ ) . Giá trị nào của m để

B. 0 ≤ m ≤ 3.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

 m ≤ −3
C. 
.
 m≥0

z ≤ 5.
 m ≤ −6
D. 
.
 m≥2

Trang 3/22

Câu 24: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x 3 − x và y = x − x 2 .
A. S =

12
.
37

B. S =

37
.
12

C. S =

9
.
4

D. S =

19
.
6

Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = log 2017 ( x 2 − 5 x + m ) xác định trên ℝ .
A. m >

25

.
4

B. m ≥

25
.
4

C. m >

4
.
25

D. m ≥

4
.
25

Câu 26: Cho tam giác ABC với A (1; 2; − 1) , B ( 2; − 1; 3) , C ( − 4; 7; 5 ) . Độ dài phân giác trong của
∆ABC kẻ từ đỉnh B là

A.

2 74
.
5

B.

2 74
.
3

C.

3 73
.
3

D. 2 30 .

Câu 27: Đường thẳng y = 6 x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 3 x − 1 khi m bằng
 m = −3
A. 
.
m = 1

m = 3
B. 
.
m = 1

m = 3
C. 
.
 m = −1

 m = −3
D. 
.
 m = −1

Câu 28: Tìm nghiệm của phương trình 3 − log 2 ( 5x + 2 ) = 2 log ( 5x + 2 ) 2 .
A. x = log 2 5.

C. x = log5 2.

B. x = 2.

D. x = 1; x = 2.

Câu 29: Kı́ hiêụ ( H ) là hıǹ h phẳ ng giới haṇ bởi đồ thi ha
̣ ̀ m số y = tan x , hai đường thẳ ng x = 0, x =

π
3

và truc̣ hoà nh. Tıń h thể tıć h vâṭ thể trò n xoay khi quay ( H ) xung quanh truc̣ hoà nh

π

A. π  3 +  .
3


B.

3−

π
3

.

C.

3+

π
3

π

D. π  3 −  .
3


.

 x3 
Câu 30: Cho phương trıǹ h log 4 x.log 2 ( 4 x ) + log 2   = 0 . Nế u đăṭ t = log 2 x , ta đươc̣ phương trıǹ h
 2
nà o sau đây?
A. t 2 + 14t − 4 = 0.
B. t 2 + 11t − 3 = 0.
C. t 2 + 14t − 2 = 0.
D. t 2 + 11t − 2 = 0.

SB SC
=
=a.
Câu 31: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
2
3
Tính thể tích khố i chóp S . ABCD .

a3
.
A.
2

a3
.
B.
3

a3
.
C.
6

a3
.
D.
12
1

1

1

1

Câu 32: Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 thỏa mãn các điều kiện log a
< log a
và b 2016 > b 2017 .
2016
2017
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. 0 < log b a < 1 .
B. log a b < 0 .
C. log b a > 1 .
D. 0 < log a b < 1 .
Câu 33: Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn log 4 a = log 6 b = log9 ( a + b ) . Tính
A.

1
.
2

B.

−1 + 5
.
2

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C.

−1 − 5
.
2

D.

a
.
b

1+ 5
.
2
Trang 4/22


5

Câu 34: Biết I = ∫
1

2 x − 2 +1
dx = 4 + a ln 2 + b ln 5 với a, b ∈ ℤ . Tính S = a + b .
x

A. S = 9 .
C. S = −3 .

B. S = 11 .
D. S = 5 .

Câu 35: Bất phương trình ln ( 2 x + 3) ≥ ln ( 2017 − 4 x ) có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A. 169 .

B. 168 .

Câu 36: Cho f (x ) là hàm số liên tục trên ℝ và
A. I = 8.

C. 170 .

D. Vô số.

2

3

2

0

1

0

∫ f ( x ) dx = −2, ∫ f ( 2 x ) dx = 10 . Tính I = ∫ f ( 3x ) dx

B. I = 6.

C. I = 4.

D. I = 2.

Câu 37: Với m là tham số thực dương khác 1 . Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
log m ( 2 x 2 + x + 3) ≤ log m ( 3x 2 − x ) . Biết x = 1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

1 
A. S = [ −1; 0 ) ∪  ;3 .
3 
1 
C. S = ( −2;0 ) ∪  ;3 .
3 

1 
B. S = [ −1; 0 ) ∪  ; 2  .
3 

D. S = ( −1;0 ) ∪ (1;3] .

Câu 38: Cho khố i lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy bằng 2 , diện tích tam giác A′BC
bằng 3 . Tính thể tích của khố i lăng trụ.
A.

2 5
.
3

B. 2 5 .

C.

D. 3 2 .

2.

Câu 39: Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ , V1 là thể tích của tứ diện A′ABD . Hệ

thức nào sau đây là đúng ?
A. V = 6V1 .
B. V = 4V1 .

C. V = 3V1 .

D. V = 2V1 .

Câu 40: Ông Khang muốn làm cửa rào sắt có hình dạng
và kích thước như hình vẽ bên, biết đường
cong phía trên là một Parabol. Giá 1(m2 ) của
rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông Khang phải
trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy
(làm tròn đến hàng phần nghìn).
B. 6.320.000 đồng.
A. 6.520.000 đồng.
C. 6.417.000 đồng.
D. 6.620.000 đồng.

2m

1, 5m

5m

n

Câu 41: Cho số phức z = (1 + i ) , biết n ∈ ℕ và thỏa mãn log 4 ( n − 3) + log 4 ( n + 9 ) = 3 . Tìm phần thực

của số phức z .
A. a = 7.

B. a = 0.

C. a = 8.

D. a = −8.

Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 + z − 2 = 8 . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M

biểu diễn cho số phức z là?
A. ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
16 12
2

B. ( E ) :
2

C. ( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 64 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

x2 y 2
+
= 1.
12 16
2

2

D. ( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 8 .

Trang 5/22


S

Câu 43: Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên ABCDE vớ i
ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE là một cung
của đường tròn có tâm là trung điểm M của đoạn thẳng
AB . Biết AB = 12 3 cm , BC = 6 cm và BQ = 18 cm .
Hãy tính thể tích của hộp nữ trang.

(
C. 261( 3

)

3 + 4π ) cm .

(
)
D. 261( 4π − 3 3 ) cm .

T

R

P

Q

D

C

E

3

3

18

6

A. 216 3 3 + 4π cm 3 . B. 216 4π − 3 3 cm 3 .
A

B

M
12 3

Câu 44: Một hình nón có diện tích đáy bằng 16π dm 2 và diện tích xung quanh bằng 20π dm 2 . Thể tích
khố i nón là
16
A. 16π dm3 .
B. π dm3 .
C. 8π dm3 .
D. 32π dm3 .
3
 x = −3 + 2t

Câu 45: Trong không gian với hệ tọa trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 :  y = 1 − t
và
 z = − 1 + 4t


x+4 y+2 z−4
=
=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
3
2
−1
A. ∆1 và ∆ 2 chéo nhau và vuông góc nhau.
B. ∆1 cắt và không vuông góc với ∆ 2 .

C. ∆1 cắt và vuông góc với ∆ 2 .
D. ∆1 và ∆ 2 song song với nhau.
∆2 :

Câu 46: Biết đồ thị của hàm số y =

( a − 2b ) x 2 + bx + 1

có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm
x2 + x − b
cận ngang là đường thẳng y = 0 . Tính a + 2b .
A. 6 .
B. 7 .
C. 8 .
D. 10 .

Câu 47: Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m 4 − 3m 2 + 2017 có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 ?
B. m = 3 .
C. m = 4 .
D. m = 5 .
A. m = 2 .
Câu 48: Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có đạo hàm là

y

f ′ ( x ) và hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ bên.
Kết luận nào sau đây là đúng?
A. Hàm số y = f ( x ) chỉ có hai điểm cực trị.

4
O

1

2 3

5

x

B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (1;3) .
C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; 2 ) .
D. Đồ thị của hàm số y = f ( x ) chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của trục hoành.

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 y − 2 z − 1 = 0.
Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng ( P ) đến một điểm thuộc mặt cầu ( S ) là

Câu 49: Cho mặt phẳng

( P ) : 2 x + 2 y − 2 z + 15 = 0

và mặt cầu

3 3
3
3
.
.
.

B. 3.
C.
D.
2
2
3
Câu 50: Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp
chữ nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi
quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền
nhà lần lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài các đường kính của hai quả bóng đó là
A. 64 .
B. 34 .
C. 32 .
D. 16 .
----------HẾT----------

A.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/22


BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
C D A D B B C C D A B D C B B C C D D C C B B B A
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B A C D A B B B D A B A D A C C A A A C A D B A A
GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 4 y + 2 z + 4 = 0 và điểm
A (1; –2;3 ) . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng ( P ) .

5
A. d = .
9

B. d =

5
.
29

C. d =

5
.
29

D. d

5
.
3

Giải
Chọn C.
d ( A; ( P ) ) =

Câu 2:

3.1 + 4. ( −2 ) + 2.3 + 4

Cho hàm số y =
1 3
A.  ;  .
 2 2

32 + 42 + 22

=

5
29

.

3x − 1
có đồ thị là ( C ) . Tìm tọa độ tâm đối xứng của đồ thị ( C ) .
2x +1
1 3
 1 3
 1 3
B.  ; −  .
C.  − ; −  .
D.  − ;  .
2 2
 2 2
 2 2

Giải

Chọn D.
 lim + y = −∞
 x → − 12 
1
  
⇒ x = − là tiệm cận đứng của đồ thị ( C ) .
Ta có: 
y = +∞
2
 lim
−
 1
 x → − 2 

3
3
nên y = là tiệm cận ngang của đồ thị ( C ) .
x →±∞
2
2
 1 3
Vậy I  − ;  là tâm đối xứng của đồ thị ( C ) .
 2 2
lim y =

Câu 3:

x2 + 3

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =
trên đoạn [ 2; 4] .
x −1
A. max y = 7 .
[ 2;4]

B. max y = 6 .
[ 2;4]

C. max y =
[ 2;4]

11
.
3

D. max y =
[ 2;4]

19
.
3

Giải
Chọn A.

 x = −1 ∉ ( 2; 4 )
2
′
;

y
=
0
⇔
x
−
2
x
−
3
=
0
⇔
.

2
( x − 1)
 x = 3 ∈ ( 2; 4 )
19
Tính các giá trị: y ( 2 ) = 7 , y ( 3) = 6 , y ( 4 ) = .
3
Vậy max y = f ( 2 ) = 7 .

Ta có y ′ =

x2 − 2x − 3

[ 2;4]

Câu 4:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên ℝ ?

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/22


A. y =

x −1
.
x+2

B. y = x 3 + 4 x 2 + 3 x –1 .

C. y = x 4 – 2 x 2 –1 .

D. y =

1 3 1 2
x − x + 3x + 1 .
3
2

Giải
Chọn D.
2

1  11

1
1

Hàm số y = x 3 − x 2 + 3 x + 1 có y ′ = x 2 − x + 3 =  x −  + > 0, ∀x ∈ ℝ .
3
2
2
4


Câu 5:

Tính đạo hàm của hàm số y = 3e − x + 2017e cos x .
A. y′ = −3e − x + 2017.sin x.ecos x .

B. y′ = −3e − x − 2017.sin x.e cos x .

C. y ′ = 3e − x − 2017.sin x.e cos x .

D. y ′ = 3e − x + 2017.sin x.ecos x .
Giải

Cho ̣n B.
Ta có y′ = −3e − x − 2017.sin x.e cos x .
Câu 6:

Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình vẽ:
x
y′

−∞
−

−1
0

0
0
5

+

+∞

−

1
0

+∞
+
+∞

y

3

3

Tìm m để phương trình f ( x ) = 2 − 3m có bốn nghiệm phân biệt

1
A. m < −1 hoặc m > − .
3
1
C. m = − .
3

1
B. −1 < m < − .
3
D. m ≤ −1.

Giải
Chọn B.
Số nghiệm của phương trình f ( x ) = 2 − 3m bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và
đường thẳng y = 2 − 3m .

1
Để phương trình f ( x ) = 2 − 3m có bốn nghiệm phân biệt thì 3 < 2 − 3m < 5 ⇔ −1 < m < − .
3
Câu 7:

2

Tìm tập xác định của hàm số y = ( x 2 + 2 x − 3) .
A. ( −∞; −3] ∪ [1; +∞ ) .

B. [ −3;1] .

C. ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) . D. ( −3;1) .
Giải

Cho ̣n C.

x > 1
Điều kiện x 2 + 2 x − 3 > 0 ⇔ 
.
 x < −3

Vậy tập xác định của hàm số là ( −∞; −3) ∪ (1; +∞ ) .
Câu 8:

Khố i lập phương là khố i đa diện đều loại:
A. {5;3}.
B. {3;4}.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. {4;3}.

D. {3;5}.
Trang 8/22


Giải
Chọn C.
Khố i lập phương là khố i đa diện đều loại {4;3}.
Câu 9:

2x −1
có đồ thị là ( C ) . Gọi M là giao điểm của ( C ) với trục hoành. Khi đó
2x + 3
tích các khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của đồ thị ( C ) bằng

Cho hàm số y =

A. 4 .

B. 6 .

C. 8. .

D. 2 .

Giải
Chọn D.
−3
và tiệm cận ngang y = 1 .
2
2 x −1
1
1 
= 0 ⇔ x = ⇒ M  ;0  .
Tọa độ giao điểm của (C ) và trục Ox : Với y = 0 ⇒
2x + 3
2
2 

Ta có tiệm cận đứng x =

Ta có khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d1 = 2 và khoảng cách từ M đến tiệm cận
ngang là d 2 = 1 .
Vậy tích hai khoảng cách là d1.d 2 = 2.1 = 2 .
Câu 10: Cho khố i chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = 2a . Tính thể tích khố i chóp S . ABC
A.

a3 3
.
6

B.

a3 3
.
2

C.

a3 3
.
3

D.

a3 3
.
12

Giải
Chọn A.
1
1
1
1
1
3 a3 3
.
Ta có VS . ABC = .SA.S ABC = .2a. . AB. AC.sin 60° = .2a. .a.a.
=
3
3
2
3
2
2
6

Câu 11: Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 2 z 2 − 6 z + 5 = 0 . Tìm iz0 ?
A. iz0 =

1 3
− i.
2 2

B. iz0 =

1 3
+ i.

2 2

1 3
C. iz0 = − + i .
2 2
Giải

1 3
D. iz0 = − − i .
2 2

Chọn B.


z =
2
Ta có 2 z − 6 z + 5 = 0 ⇔ 
z =


3 1
+ i
2 2 . Do đó z = 3 − 1 i ⇒ iz = 1 + 3 i .
0
0
3 1
2 2
2 2
− i
2 2

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ . Biết tọa độ các đỉnh
A ( −3; 2;1) , C ( 4; 2;0 ) B′ ( −2;1;1) , D ′ ( 3;5; 4 ) . Tìm tọa độ điểm A′ của hình hộp.
,

A. A′ ( −3;3;1) .

B. A′ ( −3; −3;3) .

C. A′ ( −3; −3; −3) .

D. A′ ( −3;3;3) .

Giải

.
Chọn D.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 9/22


1 1
Gọi I là trung điểm của AC ⇒ I  ; 2;  .
2 2
1 5
Gọi J là trung điểm của B′D′ ⇒ J  ;3;  .
2 2

A

B
I

D

C

Ta có IJ = ( 0;1; 2 ) .
 xA ' + 3 = 0
 x A ' = −3


Ta có AA′ = IJ ⇔  y A ' − 2 = 1 ⇔  y A ' = 3 .
z −1 = 2
z = 3
 A'
 A'

A'
B'
J

D'

Vậy A′ ( −3;3;3) .

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

C'

x +1 y z − 5
=
=
và mặt
1
−3
−1

phẳng ( P ) : 3x − 3 y + 2 z + 6 = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d vuông góc với ( P ) .

B. d nằm trong ( P ) .

C. d cắt và không vuông góc với ( P ) .

D. d song song với ( P ) .
Giải

Chọn C.
Ta có ud = (1; −3; −1) , n( P ) = ( 3; −3; 2 ) , điểm A ( −1; 0;5) thuộc d .

Vì ud và n( P ) không cùng phương nên d không vuông góc với ( P ) .
Vì ud .n( P ) ≠ 0 nên d không song song với ( P ) . .
Vì A ∈ d nhưng không nằm trên ( P ) nên d không nằm trong ( P ) .
Do đó d cắt và không vuông góc với ( P ) .
2

Câu 14: Hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục trên R và đạo hàm f ′ ( x ) = 2 ( x − 1) ( 2 x + 6 ) . Khi đó hàm

số f ( x ) .
A. Đạt cực đại tại điểm x = 1 .
C. Đạt cực đại tại điểm x = −3 .

B. Đạt cực tiểu tại điểm x = −3 .
D. Đạt cực tiểu tại điểm x = 1 .
Giải

Chọn B.
( x − 1) 2 = 0
Cách 1. Ta có f ( x ) = 0 ⇔ 2 ( 2 − 1) ( 2 x + 6 ) = 0 ⇔ 
 x = −3
⇒ Hàm số đạt cực trị tại điểm x = −3 .
Do y ′ đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x = −3 nên x = −3 là điểm cực tiểu của hàm số.
2

'

Cách 2. Ta có f ′′ ( x ) =  2 ( 2 − 1) ( 2 x + 6 ) = 4 ( x − 1)( 3 x + 5 ) ⇒ f ′′ ( −3) = 64 > 0


⇒ Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = −3 .
2

Câu 15: Cho 0 < a ≠ 1, 0 < b ≠ 1, 0 < x ≠ 1 và các đẳng thức sau:

(I): log ab x b = log a x.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/22


(II): log a

ab log b a + 1 − logb x
.
=
x
log b a

(III): log a b.log b x.log x a = 1.
Tìm đẳng thức đúng.
A. (I); (II).

B. (I); (II); (III).

C. (I); (III).

D. (II); (III).

Giải
Cho ̣n B.
1
Với mệnh đề (I): log ab x b = .b.log a x = log a x . Đây là mệnh đề đúng.
b
a
ab
log b + 1 log b

log b a + 1 − log b x
x = log ab . Đây là mệnh đề đúng.
x
Với mệnh đề (II):
=
=
a
x
logb a
log b a
log b a

Với

mệnh

đề

(III):

log a b.log b x.log x a

=

log b b
.log b x.log x a
log b a

=

log b x
.log x a
log b a

= log a x.log x a = 1 . Đây cũng là mệnh đề đúng.
Câu 16: Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn ( O; R ) , với OO′ = R 3 và một hình nón có đỉnh
O′ và đáy là hình tròn ( O; R ) . Kí hiệu S1 , S 2 lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ và

hình nón. Tính k =

S1
.
S2

1
A. k = .
3

B. k = 2 .

C. k = 3 .

D. k =

1
.
2

Giải
Chọn C.

Ta có S1 = 2πR.R 3 = 2 3πR 2 .
S 2 = πR 3R 2 + R 2 = 2πR 2 . Vậy

S1
= 3.
S2

Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 4;1; − 2 ) . Tọa độ điểm đố i xứng với A

qua mặt phẳng ( Oxz ) là
A. A′ ( 4; − 1; 2 ) .

B. A′ ( −4; − 1; 2 ) .

C. A′ ( 4; − 1; − 2 ) .

D. A′ ( 4;1; 2 ) .

Giải
Chọn C.
Hình chiếu của A lên mặt phẳng ( Oxz ) là H ( 4; 0; −2 ) .
⇒ tọa độ điểm đố i xứng là A′ ( 4; −1; −2 ) .

Câu 18: Tìm a , b , c để hàm số y =

ax + 2
có đồ thị như hình vẽ sau:
cx + b

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 11/22


y

1
−2
O

2

x

−1

A. a = 2; b = −2; c = −1.

B. a = 1; b = 1; c = −1.

C. a = 1; b = 2; c = 1.

D. a = 1; b = −2; c = 1.

Giải
Chọn D.
b
Để đường tiệm cận đứng là x = 2 thì − = 2 ⇔ b = −2c.
c

a
Để đường tiệm cận ngang là y = 1 thì = 1 ⇔ a = c.
c

Khi đó y =

cx + 2
. Để đồ thị hàm số đi qua điểm ( −2 ; 0 ) thì c = 1. Vậy ta có a = 1; b = −2; c = 1.
cx − 2c

Câu 19: Biết phương trình z 2 + az + b = 0 , ( a, b∈ ℝ ) có một nghiệm phức là z0 = 1 + 2i . Tìm a, b

 a = −2
A. 
.
b = 5

a = 5
.
B. 
b = −2

a = 5
.
C. 
b = −2
Giải

a = −2
.

D. 
b = 5

Chọn D.
z1 = 1 + 2i là nghiệm nên z2 = 1 − 2i cũng là nghiệm của phương trình:

 z1 + z2 = −a
 a = −2
⇔
⇔ a + b = 3.

b = 5
 z1.z2 = b
Câu 20: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. Nếu f ( x ) , g ( x ) là các hàm số liên tục trên ℝ thì ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx .
B. Nếu F ( x ) và G ( x ) đều là nguyên hàm của hàm số f ( x ) thì F ( x ) − G ( x ) = C (với C là

hằng số).
C. Nếu các hàm số u ( x ) , v ( x ) liên tục và có đạo hàm trên ℝ thì

∫ u ( x ) v ′ ( x ) dx + ∫ v ( x ) u ′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) .
D. F ( x ) = x 2 là một nguyên hàm của f ( x ) = 2 x .
Giải
Chọn C.
Ta có

∫ u ( x)v′( x)dx + ∫ v( x)u′( x)dx = ∫ ( u( x)v′( x) + v( x)u′( x) ) dx = ∫ ( u( x)v( x) )′dx = u ( x)v( x) + C. .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/22

π 
Câu 21: Tìm nguyên hàm F ( x ) của hàm số f ( x ) = cos 2 x , biết rằng F   = 2π
2
3π
A. F ( x ) = sin x + 2π .
B. F ( x ) = x + sin 2 x +
.
2
1
C. F ( x ) = sin 2 x + 2π .
D. F ( x ) = 2 x + 2π .
2
Giải
Chọn C.
1
Ta có ∫ cos 2 xdx = sin 2 x + C.
2
1
1
π 
Theo đề F   = 2π ⇔ sin π + C = 2π ⇒ C = 2π . Vậy F ( x ) = sin 2 x + 2π .
2
2
2

Câu 22: Trong mặt phẳng phức, gọi A , B , C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z1 = 3 + 2i ,

z2 = 3 − 2i , z3 = −3 − 2i . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. B và C đối xứng nhau qua trục tung.
 2
B. Trọng tâm của tam giác ABC là điểm G  1;  .
 3
C. A và B đối xứng nhau qua trục hoành.

D. A , B , C nằm trên đường tròn tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 13 .
Giải
Chọn B.

Ta có A ( 3; 2 ) , B ( 3; −2 ) , C ( −3; −2 ) .
 −2 
Trọng tâm tam giác ABC là G  1;  . Do đó, khẳng định B sai.
 3 

Câu 23: Cho số phức z = ( m − 1) + ( m − 2 ) .i
A. −3 ≤ m ≤ 0.

( m ∈ ℝ ) . Giá trị nào của m để

B. 0 ≤ m ≤ 3.

 m ≤ −3
C. 
.
 m≥0
Giải

z ≤ 5.
 m ≤ −6

D. 
.
 m≥2

Chọn B.

z = (m − 1)2 + (m − 2)2 ≤ 5 ⇔ 2m2 − 6m + 5 ≤ 5 ⇔ m2 − 3m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 3.
Câu 24: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y = x 3 − x và y = x − x 2 .
A. S =

12
.
37

B. S =

37
.
12

C. S =

9
.
4

D. S =

19
.

6

Giải
Chọn B.

x = 1
Ta có x − x = x − x ⇔ x + x − 2 x = 0 ⇔  x = −2 .
 x = 0
3

2

0

Vậy S =

3

2

1

∫

x 3 + x 2 − 2 x dx + ∫ x 3 + x 2 − 2 x dx =

−2

0

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

37
.
12
Trang 13/22


Câu 25: Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = log 2017 ( x 2 − 5 x + m ) xác định trên ℝ .
A. m >

25
.
4

B. m ≥

25
.
4

C. m >

4
.
25

D. m ≥

4

.
25

Giải
Cho ̣n A.
2

Hàm số đã cho xác định trên ℝ ⇔ x 2 − 5 x + m > 0, ∀x ∈ ℝ ⇔ ∆ = ( −5) − 4m < 0 ⇔ m >

25
.
4

Câu 26: Cho tam giác ABC với A (1; 2; − 1) , B ( 2; − 1; 3) , C ( − 4; 7; 5 ) . Độ dài phân giác trong của
∆ABC kẻ từ đỉnh B là

A.

2 74
.
5

B.

2 74
.
3

C.

3 73
.
3

D. 2 30 .

Giải
Chọn B.
Gọi D ( a; b; c ) là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh B .

2

a = − 3
2 ( a − 1) = −a − 4


1
2 74
BA AD 1
 11
=
= ⇒ AD = − CD ⇒ 2 ( b − 2 ) = −b + 7 ⇔ b =
⇒ BD =
.
Ta có
2
3
3
BC CD 2



2 ( c + 1) = −c + 5
c = 1


Câu 27: Đường thẳng y = 6 x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 3 x − 1 khi m bằng

 m = −3
A. 
.
m = 1

m = 3
B. 
.
m = 1

m = 3
C. 
.
 m = −1
Giải

 m = −3
D. 
.
 m = −1

Chọn A.
Đường thẳng y = 6 x + m là tiếp tuyến của đường cong y = x3 + 3 x − 1 khi và chỉ khi

3
6 x + m = x + 3x − 1
Hệ phương trình 
có nghiệm
2
6 = 3x + 3
6 + m = 1 + 3 − 1
−6 + m = −1 − 3 − 1
hoặc 
⇔
x =1
 x = −1

⇔ m = −3 hoặc m = 1 .
Câu 28: Tìm nghiệm của phương trình 3 − log 2 ( 5x + 2 ) = 2 log ( 5x + 2 ) 2 .
A. x = log 2 5.

B. x = 2.

C. x = log5 2.

D. x = 1; x = 2.

Giải
Cho ̣n C.
Đặt t = log 2 ( 5x + 2 ) , t > 1 ta có PT trở thành: 3 − t =

t = 2
2
.

⇔ t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ 
t
t = 1

Vì t > 1 nên PT có nghiệm t = 2 ⇔ log 2 ( 5 x + 2 ) = 2 ⇔ 5x + 2 = 4 ⇔ 5x = 2 ⇔ x = log 5 2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 14/22


Câu 29: Kı́ hiêụ ( H ) là hıǹ h phẳ ng giới haṇ bởi đồ thi ha
̣ ̀ m số y = tan x , hai đường thẳ ng x = 0, x =

π
3

và truc̣ hoà nh. Tıń h thể tıć h vâṭ thể trò n xoay khi quay ( H ) xung quanh truc̣ hoà nh

π

A. π  3 +  .
3


B.

3−

π

3

C.

.

3+

π
3

π

D. π  3 −  .
3


.

Giải
Cho ̣n D.
π
3

π

π

3

π
 1


− 1 dx = π ( tan x − x ) 3 = π  3 −  .
Ta có V = π ∫ ( tan x ) dx = π ∫ 
2
cos x 
3

0
0
0
2

 x3 
Câu 30: Cho phương trıǹ h log 4 x.log 2 ( 4 x ) + log 2   = 0 . Nế u đăṭ t = log 2 x , ta đươc̣ phương trıǹ h
 2
nà o sau đây?
A. t 2 + 14t − 4 = 0.
B. t 2 + 11t − 3 = 0.
C. t 2 + 14t − 2 = 0.
D. t 2 + 11t − 2 = 0.
Giải
Chọn A.

Với điều kiện x > 0 phương trình đã cho ⇔

 x3 
1

log 2 x.( log 2 4 + log 2 x ) + 2 log 2   = 0 .
2
 2

1
1
log 2 x. ( 2 + log 2 x ) + 2 ( log 2 x 3 − log 2 2 ) = 0 ⇔ log 2 x. ( 2 + log 2 x ) + 2 ( 3log 2 x − 1) = 0 .
2
2
1
Đăṭ t = log 2 x , ta đươc̣ phương trıǹ h: t. ( 2 + t ) + 2 ( 3t − 1) = 0 ⇔ t 2 + 14t − 4 = 0 .
2
SB SC
=
=a.
Câu 31: Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông. Biết SA ⊥ ( ABCD ) và
2
3
Tính thể tích khố i chóp S . ABCD .

⇔

A.

a3
.
2

B.

a3
.
3

C.

a3
.
6

D.

a3
.
12

Giải
Chọn B.
Đặt cạnh hình vuông là x ⇒ AC = x 2 . Áp dụng định lý Pi-ta-go cho các tam giác vuông
SAB và SAC ta có: SA2 = SB 2 − AB 2 = SC 2 − AC 2 ⇔ 2a 2 − x 2 = 3a 2 − 2 x 2 ⇔ x = a. .

a3
1
1
2
Khi đó thể tích khố i chóp là V = SA.S ABCD = .a.a = .
3
3
3
1

1

1

1

Câu 32: Cho a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 thỏa mãn các điều kiện log a
< log a
và b 2016 > b 2017 .
2016
2017
Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. 0 < log b a < 1 .
B. log a b < 0 .
C. log b a > 1 .
D. 0 < log a b < 1 .
Giải
Cho ̣n B.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/22


1
 1
 2016 > 2017
⇒ 0 < a <1.
Ta có 

log 1 < log 1
a
 a 2016
2017
1
 1
 2016 > 2017
Ta có 
⇒ b > 1.
1
1
 2016
> b 2017
b
Ta có 0 < a < 1, b > 1 ⇒ log b a < log b 1 = 0 ⇒ A sai và C sai.
Ta có 0 < a < 1, b > 1 ⇒ log a b < log a 1 = 0 ⇒ B đúng và D sai.
Câu 33: Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn log 4 a = log 6 b = log9 ( a + b ) . Tính
1
.
2

A.

B.

−1 + 5
.
2

C.

−1 − 5
.
2

D.

a
.
b
1+ 5
.
2

Giải
Chọn B.
Đặt t = log 4 a = log6 b = log 9 ( a + b )
 2 t −1 + 5
 a = 4t
  =
2t
t

2
3
2
2
t
t
t

t
⇒ b = 6
⇒ 4 + 6 = 9 ⇔   +   −1 = 0 ⇔ 
.
t
 2
3
3
−1 − 5


 a + b = 9t
  =
( L)

2
 3 
t

a 4t  2  −1 + 5
= =  =
.
b 6t  3 
2
5

Câu 34: Biết I = ∫
1

A. S = 9 .

2 x − 2 +1
dx = 4 + a ln 2 + b ln 5 với a, b ∈ Z . Tính S = a + b
x
B. S = 11 .

C. S = −3 .
Giải

D. S = 5 .

Chọn D.

 x − 2 khi x ≥ 2
Ta có x − 2 = 
.
2 − x khi x ≤ 2
2
5
2 x − 2 +1
2 x − 2 +1
Do đó I = ∫
dx + ∫
dx .
x
x
1
2
2

5
2
5
2 (2 − x) +1
2 ( x − 2) +1
3
5


dx + ∫
dx = ∫  − 2  dx + ∫  2 −  dx
=∫
x
x
x

1
2
1 x
2

2
5
= ( 5ln x − 2 x ) + ( 2 x − 3ln x ) = 4 + 8ln 2 − 3ln 5 .
1
2
a = 8
⇒
⇒ S = a + b = 5.
b = − 3

Câu 35: Bất phương trình ln ( 2 x + 3) ≥ ln ( 2017 − 4 x ) có tất cả bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
A. 169 .

B. 168 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. 170 .
Giải

D. Vô số.
Trang 16/22


Cho ̣n A.

2017
 3
2 x + 3 > 0
− 


4 ⇒ 1007 ≤ x < 2017 .
BPT ⇔ 2017 − 4 x > 0
⇔ 2
3
4
2 x + 3 ≥ 2017 − 4 x
 x ≥ 1007



3
Mặt khác z ∈ ℤ+ ⇒ 336 ≤ x ≤ 504 ⇒ Bất phương trình có 169 nghiệm nguyên dương.
2

Câu 36: Cho f (x ) là hàm số liên tục trên ℝ và

∫

3

f ( x ) dx = −2,

0

A. I = 8.

∫

2

f ( 2 x ) dx = 10 . Tính I = ∫ f ( 3x ) dx
0

1

B. I = 6.

C. I = 4.

D. I = 2.

Giải
Chọn B.
3

+) Xét

∫ ( 2 x ) dx .
1

3
6
6
 x = 1, t = 2
1
Đặt t = 2 x ⇒ dt = 2dx ⇒ 
⇒ ∫ f ( 2 x ) dx = ∫ f ( t ) dt = 10 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 20 .
22
 x = 3, t = 6 1
2

2

+) Xét I = ∫ f ( 3x ) dx .
0
6
2
6


 x = 0, t = 0
1
1
Đặt t = 3x ⇒ dt = 3dx ⇒ 
⇒ I = ∫ f ( t ) d t =  ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt  .
30
3 0
 x = 2, t = 6
2


6
 1
1 2
I =  ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx  = ( −2 + 20 ) = 6 .
3 0
2
 3

Câu 37: Với m là tham số thực dương khác 1 . Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
log m ( 2 x 2 + x + 3) ≤ log m ( 3x 2 − x ) . Biết x = 1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

1 
A. S = [ −1; 0 ) ∪  ;3 .
3 
1 
C. S = ( −2;0 ) ∪  ;3 .
3 

1 
B. S = [ −1; 0 ) ∪  ; 2  .
3 

D. S = ( −1;0 ) ∪ (1;3] .
Giải

Chọn A.
log m ( 2 x 2 + x + 3) ≤ log m ( 3x 2 − x ) .

Với x = 1 , bpt: logm 6 ≤ log m 2 ⇔ 0 < m < 1 .
2
 2 x + x + 3 > 0
1

Điề u kiên:
⇔ x ∈ ( −∞;0 ) ∪  ; +∞  .
̣  2
3

3x − x > 0

Bpt ⇔ 2 x 2 + x + 3 ≥ 3x 2 − x ⇔ − x 2 + 2 x + 3 ≥ 0 ⇔ x ∈ [ −1;3] .
1 
3 

Kế t hơp̣ với điề u kiêṇ x ∈ [ −1;0 ) ∪  ;3 .
Câu 38: Cho khố i lăng trụ tam giác đều ABC. A′B′C ′ có cạnh đáy bằng 2 , diện tích tam giác A′BC
bằng 3 . Tính thể tích của khố i lăng trụ.
A.

2 5
.
3

B. 2 5 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C.

2.

D. 3 2 .
Trang 17/22


Giải
Chọn D.
A′

B′

C′

A

C

M

.

B

 BC ⊥ AM
Gọi M là trung điểm của BC .Vì 
⇒ BC ⊥ A′M .
 BC ⊥ AA′
1
1
S ∆A′BC = 3 ⇔ A′M .BC = 3 ⇔ A′M .2 = 3 ⇔ A′M = 3 .
2
2
AA′ =

AM 2 − A′M 2 = 32 −

VABC . A′B′C ′ = S ∆ABC . A′A =

( 3)

2

= 6.

22 3
. 6 =3 2.
4

Câu 39: Gọi V là thể tích của hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ , V1 là thể tích của tứ diện A′ABD . Hệ

thức nào sau đây là đúng ?
A. V = 6V1 .
B. V = 4V1 .

C. V = 3V1 .

D. V = 2V1 .

Giải
Chọn A.
1
Ta có V = S ABCD .AA '; V1 = .S ABD . AA′ .
3
1
V 2.S ABD . AA′
Mà S ABD = S ABCD ⇒ =
= 6.
2
V1 1 S . AA′
ABD
3

Câu 40: Ông Khang muốn làm cửa rào sắt có hình dạng
và kích thước như hình vẽ bên, biết đường
cong phía trên là một Parabol. Giá 1( m 2 ) của

rào sắt là 700.000 đồng. Hỏi ông Khang phải
trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy

(làm tròn đến hàng phần nghìn).
A. 6.520.000 đồng.
B. 6.320.000 đồng.
C. 6.417.000 đồng.
D. 6.620.000 đồng.
Giải
Cho ̣n C.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

2m

1, 5m

5m

Trong đó A ( −2, 5;1,5 ) , B ( 2,5;1, 5 ) , C ( 0; 2 ) .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 18/22


Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có dạng y = ax 2 + bx + c , với a; b; c ∈ ℝ .
Do Parabol đi qua các điểm A ( −2, 5;1,5 ) , B ( 2,5;1, 5 ) , C ( 0; 2 ) nên ta có hệ phương trình.

2

a ( −2,5 ) 2 + b ( −2,5 ) + c = 1,5 a = −
25



2

.
a ( 2,5 ) + b ( 2,5 ) + c = 1,5 ⇔ b = 0
c = 2
c = 2



y
2 C
A

B

1
−3

−2

−1

O

1

2

3

x

2 2
x +2.
25
Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số
2
y = − x 2 + 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = −2, 5 , x = 2,5 .
25

Khi đó phương trình Parabol là y = −

2,5

2,5

 2 x3

55
 2

Ta có S = ∫  − x 2 + 2  dx =  −
+ 2x 
= .
25

 25 3
 −2,5 6
−2,5 

Vậy ông Khang phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là S . ( 700.000 ) =

55
.700000 ≈ 6.417.000
6

(đồng).
n

Câu 41: Cho số phức z = (1 + i ) , biết n ∈ ℕ và thỏa mãn log 4 ( n − 3) + log 4 ( n + 9 ) = 3 . Tìm phần thực

của số phức z .
A. a = 7.

B. a = 0.

C. a = 8.
Giải

D. a = −8.

Chọn C.

n = 7
Đk: n > 3 pt ⇔ ( n − 3)( n + 9 ) = 43 ⇔ n 2 + 6n − 91 = 0 ⇔ 
⇒ n = 7.
 n = −13
7

z = ( i + 1) = 8 − 8i. Phần thực của z là 8 .

Câu 42: Cho số phức z thỏa mãn z + 2 + z − 2 = 8 . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M

biểu diễn cho số phức z là?
A. ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
16 12
2

B. ( E ) :
2

x2 y 2
+
= 1.
12 16
2

C. ( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 64 .

2

D. ( C ) : ( x + 2 ) + ( y − 2 ) = 8 .
Giải

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/22


Chọn A.
Gọi M ( x; y ) , F1 (−2; 0) , F2 (2;0) .

Ta có z + 2 + z − 2 = 8 ⇔ x 2 + ( y + 2) 2 + x 2 + ( y − 2) 2 = 8 ⇔ MF1 + MF2 = 8 .
Do đó điểm M ( x; y ) nằm trên elip ( E ) có 2a = 8 ⇔ a = 4, ta có F1 F2 = 2c ⇔ 4 = 2c ⇔ c = 2.
Ta có b 2 = a 2 − c 2 = 16 − 4 = 12. Vậy tập hợp các điểm M là elip ( E ) :
Câu 43: Một hộp nữ trang (xem hình vẽ) có mặt bên ABCDE
với ABCE là hình chữ nhật, cạnh cong CDE là một
cung của đường tròn có tâm là trung điểm M của đoạn

thẳng

AB . Biết

AB = 12 3 cm ,

BC = 6 cm

)
3 + 4π ) cm .

và

E

Q
C

18

6

(
)
D. 261( 4π − 3 3 ) cm .

A. 216 3 3 + 4π cm 3 . B. 216 4π − 3 3 cm 3 .
3

R

P
D

BQ = 18 cm . Hãy tính thể tích của hộp nữ trang.

(
C. 261( 3

x2 y 2
+
= 1.
16 12
S
T

A

M

3

B

12 3

Giải
Chọn A.
Ta có V = BQ.SABCDE .

Trong đó SABCDE = SABCE + SCDE = SABCE + ( SMCDE − S∆MCE )
 π .122.120 1

= 6.12 3 + 
− .6.12 3  = 12 3 3 + 4π .
2
 360


(

)
Thể tích hộp nữ trang là V = 18.12 ( 3 3 + 4π ) = 216 ( 3

)

3 + 4π cm 3 .

Câu 44: Một hình nón có diện tích đáy bằng 16π dm 2 và diện tích xung quanh bằng 20π dm 2 . Thể tích

khố i nón là
A. 16π dm3 .

B.

16
π dm3 .
3

C. 8π dm3 .

D. 32π dm3 .

Giải
Chọn A.
Gọi r là bán kính mặt đáy.

S đáy = 16π ⇔ π r 2 = 16π ⇔ r = 4 .
S xq = 20π ⇔ π rl = 20π ⇔ π .4.l = 20π ⇔ l = 5 .

Suy ra đường cao h của hình nón : h = l 2 − r 2 = 52 − 42 = 3 .
1
1
Vậy thể tích của khố i nón : V = S đáy .h = 16π .3 = 16π ( dm 3 ) .
3
3
 x = −3 + 2t


Câu 45: Trong không gian với hệ tọa trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng ∆1 :  y = 1 − t
và
 z = − 1 + 4t


∆2 :

x+4 y+2 z−4
=
=
. Khẳng định nào sau đây đúng?
3
2
−1

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/22


A. ∆1 và ∆ 2 chéo nhau và vuông góc nhau.

B. ∆1 cắt và không vuông góc với ∆ 2 .

C. ∆1 cắt và vuông góc với ∆ 2 .

D. ∆1 và ∆ 2 song song với nhau.
Giải

Chọn C.

 x = −4 + 3t ′

Phương trình tham số của ∆ 2 :  y = −2 + 2t ′ .
 z = 4 − t′


Vectơ chỉ phương của ∆1 và ∆ 2 lần lượt là u1 = ( 2; −1; 4 ) và u2 = ( 3; 2; −1) .
Do u1.u2 = 2.3 + ( −1) .2 + 4. ( −1) = 0 nên ∆1 ⊥ ∆ 2 .
−3 + 2t = −4 + 3t ′
2t − 3t ′ = −1
t = 1


Xét hệ phương trình 1 − t = −2 + 2t ′ ⇔ t + 2t ′ = 3 ⇔ 
.
′
=
1
t



−1 + 4t = 4 − t ′
4t + t ′ = 5

Vậy ∆1 cắt và vuông góc với ∆ 2 .
Câu 46:

Biết đồ thị của hàm số y =

( a − 2b ) x 2 + bx + 1

x2 + x − b
ngang là đường thẳng y = 0 . Tính a + 2b .

A. 6 .

có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 1 và tiệm cận

B. 7 .

C. 8 .

D. 10 .

Giải
Chọn A.
Theo giả thiết ta có lim y = 0 ⇔ a − 2b = 0 và lim y = ±∞ ⇔ b = 2, a = 4 . Vậy a + 2b = 8 .
x →1

x→±∞

Câu 47: Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị hàm số y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m 4 − 3m 2 + 2017 có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32 ?
B. m = 3 .
C. m = 4 .
A. m = 2 .
Giải
Chọn D.

x = 0
Ta có y ′ = 4 x3 − 4 ( m − 1) x = 4 x ( x 2 − m + 1) , y′ = 0 ⇔  2
.
 x = m −1

D. m = 5 .

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y ′ = 0 có ba nghiệm phân biệt ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1(*) .
Khi đó tọa độ ba cực trị là:
 A ( 0; m 4 − 3m 2 + 2017 )

4


 AB = AC = m − 1 + ( m − 1)
4
2
 B − m − 1; m − 4m + 2m + 2016 ⇔ 

 BC = 2 m − 1
C m − 1; m 4 − 4m 2 + 2m + 2016


(
(

)

)

2

Suy ra tam giác ABC cân tại A , gọi AH đường cao hạ từ đỉnh A ta có AH = ( m − 1) .
Suy ra S ∆ABC =

1
2
AH .BC = (m − 1)
2

(m − 1) = 32 ⇔ (m − 1)5 = 1024 ⇔ m − 1 = 4 ⇔ m = 5 .

Kết hợp điều kiện ( *) ⇒ m = 5 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 21/22


y

Câu 48: Cho hàm số y = f ( x ) . Biết f ( x ) có đạo hàm là

f ' ( x ) và hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình
vẽ sau. Kết luận nào sau đây là đúng?

4

A. Hàm số y = f ( x ) chỉ có hai điểm cực trị.

O

1

2 3

5

x

B. Hàm số y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (1;3) .
C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( −∞; 2 ) .
D. Đồ thị của hàm số y = f ( x ) chỉ có hai điểm cực trị và chúng nằm về hai phía của trục hoành.
Giải
Chọn B.
Vì y ′ = 0 có ba nghiệm phân biệt nên hàm số hàm số y = f ( x ) có ba điểm cực trị. Do đó loại

hai phương án A và D.
Vì trên ( −∞; 2 ) thì f ′ ( x ) có thể nhận cả dầu âm và dương nên loại phương án C.
Vì trên (1;3) thì f ′ ( x ) chỉ mang dấu dương nên y = f ( x ) đồng biến trên khoảng (1;3) .

( S ) : x 2 + y 2 + z 2 − 2 y − 2 z − 1 = 0.
Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng ( P ) đến một điểm thuộc mặt cầu ( S ) là

Câu 49: Cho mặt phẳng

A.

3 3
.

2

( P ) : 2 x + 2 y − 2 z + 15 = 0
B.

3.

và mặt cầu

C.

3
.
2

D.

3
.
3

Giải
Chọn A.

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1;1) và bán kính R = 3 . Gọi H là hình chiếu của I trên ( P ) và A
là giao điểm của IH với ( S ) . Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng ( P ) đến
một điểm thuộc mặt cầu ( S ) là đoạn AH . AH = d ( I , ( P ) ) − R =

3 3
.

2

Câu 50: Hai quả bóng hình cầu có kích thước khác nhau được đặt ở hai góc của một căn nhà hình hộp
chữ nhật. Mỗi quả bóng tiếp xúc với hai bức tường và nền của căn nhà đó. Trên bề mặt của mỗi
quả bóng, tồn tại một điểm có khoảng cách đến hai bức tường quả bóng tiếp xúc và đến nền
nhà lần lượt là 9, 10, 13. Tổng độ dài các đường kính của hai quả bóng đó là
A. 64 .
B. 34 .
C. 32 .
D. 16 .
Giải
Chọn A.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz gắn với góc tường và các trục là các cạnh góc nhà. Do hai quả cầu
đều tiếp xúc với các bức tường và nền nhà nên tương ứng tiếp xúc với ba mặt phẳng toạ độ, vậy
tâm cầu sẽ có toạ độ là I ( a; a; a ) với a > 0 và có bán kính R = a .
Do tồn tại một điểm trên quả bóng có khoảng cách đến các bức tường và nền nhà lần lượt là 9,
10, 11 nên nói cách khác điểm A ( 9;10;13) thuộc mặt cầu.
2

2

2

Từ đó ta có phương trình: ( 9 − a ) + (10 − a ) + (13 − a ) = a 2 .
Giải phương trình ta được nghiệm a = 7 hoặc a = 25 .
Vậy có 2 mặt cầu thoả mãn bài toán và tổng độ dài đường kính là 2 ( 7 + 25 ) = 64 .
----------HẾT---------TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/22