Sang kien kinh nghiem 2.doc

phần I
phần Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong trờng THCS việc nâng cao chất lợng dạy và học là vấn đề thờng
xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lợng học sinh ngày càng đợc nâng
cao yêu cầu ngời giáo viên phải có một phơng pháp giảng dạy phù hợp và hệ thống
bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối tợng học sinh.
Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu
tỷ, chứng minh quan hệ, giải một phơng trình bậc cao, tìm nghiệm nguyên của
một phơng trình, chứng minh một bất đẳng thức, giải một bất phơng trình đối với
học sinh lớp 8 đều cần phải biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính vì vậy ngời giáo
viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em một cách hệ thống các
phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ giải toán rất hữu hiệu,
giải quyết hầu hết các dạng toán trong chơng trình lớp 8.
Các vấn đề trong đề tài đều đợc lựa chọn để mọi đối tợng học sinh đều có
thể tiếp thu đợc. Ngoài ra, trong đề tài một số vấn đề khó đợc diễn đạt một cách
đơn giản, dễ hiểu; các lời giải trình bày ngắn gọn để vừa tăng lợng thông tin trong
khuôn khổ có hạn của đề tài, vừa dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh;
đồng thời nêu bật những khâu mấu chốt của lời giải.
Xuất phát từ yêu cầu và mong ớc trên, tôi đã chọn đề tài: Các phơng
pháp phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó.
2. Mục đích của đề tài:
- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phơng pháp phân
tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng
toán này.
- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức.
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.
- Thấy đợc vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán
để từ đó giáo dục ý thức học tập của học sinh.
3. Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu: Với sáng kiến này tôi đã thực hiện
trong nhiều năm qua. Bản thân đã nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về

1
phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học
sinh phổ thông cơ sở:
- Sách giáo khoa lớp 6, 7, 8, 9.
- Sách giáo viên lớp 7, 8, 9.
- Sách bồi dỡng thờng xuyên và các tài liệu tham khảo cho học sinh, giáo
viên.
2
Phần II
Nội dung
I. Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi nó thành tích của
những đa thức bậc nhỏ hơn.
Ví dụ: x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
+ xy + y
2
)
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp.
Ph ơng pháp 1 : Phơng pháp đặt nhân tử chung (thừa số)
1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. 12x
2
y - 18y
3
b. 3x

2
(y - 2z) - 15x(y - 2z)
2
Giải
a. Các dạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó:
12x
2
y - 18y
3
= 6y.2x
2
- 6y.3y
2
= 6y(2x
2
- 3y
2
)
b. Các hạng tử có nhân tử chung là 3x(y - 2z)
Do đó ta có: 3x
2
(y - 2z) - 15x(y - 2z)
2
= 3x(y - 2z) [x -5(y - 2z)]
= 3x(y - 3z)(x - 5y + 10z)
2. Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
Chẳng hạn đa thức: 2x
2
(3y - z) + (z - 3y)(x + y)
Có thể viết là: 2x

2
(3y - z) - (3y - z)(x + y) và xuất hiện nhân tử chung là (3y
- z).
Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp dùng hằng đẳng thức.
1. Các ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhâ tử
a. 4x
2
- 12x + 9 c. 16x
2
- 9(x + y)
2
b. 27 - 27x + 9x
2
- x
3
b. 1 - 27x
3
y
6
Giải
a. 4x
2
- 12x + 9 = (2x)
2
- 2.2x.3 + 3
2
= (2x - 3)
2
b. 27 - 27x + 9x
2

- x
3
= 3
3
- 3.3
2
x

+ 3.3x
2
- x
3
= (3 -x)
3
c. 16x
2
- 9(x + y)
2
= (4x)
2
- [3(x + y)]
2

= (x - 3y)(7x + y)
3
d. 1 - 27x
3
y
6
= 1

3
- (3xy
2
)
3
= (1- 3xy
2
)(1 + 3xy
2
+ 9x
2
y
4
)
2. Chú ý: Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức, chẳng hạn:
- x
4
y
2
- 8x
2
y - 16 = -(x
4
y
2
+ 8x
2
y + 16) = - (x
2
y + 4)

2
Ph ơng pháp 3 : Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
1. Các ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10) = y(x - 5) + 2(x - 5)
= (x - 5)(y + 2)
b. 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)
= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)
c. x
2
+ 2x + 1 - y
2
= (x
2
+ 2x + 1) - y
2

= (x + 1)
2
- y
2
= (x + y +1)(x - y + 1)
2. Chú ý: Đối với một đa thức có thể có nhiều cách nhóm những hạng tử.
Chẳng hạn ở ví dụ a có thể phân tích nh sau:
xy - 5y + 2x - 10 = (xy + 2x) - (5y + 10)
= x(y + 2) - 5(y + 2) = (y + 2)(x - 5)
3. Nhận xét: Khi phân tích đa thức thành nhân tử thờng phối hợp 3 phơng
pháp kể trên. Nếu đa thức có nhân tử chung thì đầu tiên nên đặt nhân tử chung ra
ngoài hoặc đa thức trong ngoặc đơn giản hơn đa thức đã cho. Do đó tiếp tục phân
tích sẽ đơn giản hơn.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

5x
5
y
2
- 10x
4
y
2
- 5x
3
y
4
- 10x
3
y
3
z - 5x
3
y
2
z
2
+ 5x
3
y
2

= 5x
3
y

2
(x
2
- 2x - y
2
- 2yz - z
2
+ 1)
= 5x
3
y
2
[(x
2
- 2x +1) - (y
2
+ 2yz + z
2
)] = 5x
3
y
2
[(x - 1)
2
- (y + z)
2
]
= 5x
3
y

2
(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)
Ph ơng pháp 4 : Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
1. Dạng tam thức bậc hai: F
(x)
= ax
2
+ bx + c
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau nhân tử: x
2
- 6x + 8
Giải
Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng
đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể nhóm các hạng tử. Ta biến đổi đa thức
ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2 hay
nhiều hạng tử.
4
Cách 1: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8
= x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 2: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 6x + 9 - 1
= (x - 3)
2

- 1 = (x - 2)(x - 4)
Cách 3: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4x + 4 - 2x + 4
= (x - 2)
2
- 2(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 4: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4 - 6x + 12
= (x - 2)(x + 2) - 6(x - 2) = (x - 2)(x - 4)
Cách 5: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
Cách 6: x
2
- 6x + 8 = 3x
2
- 6x - 2x
2
+ 8
= 3x(x - 2) - 2(x
2

- 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]
= (x - 2)(x - 4)
Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản và dễ làm nhất. ở
đây ta đã tách số hạng bậc nhất - 6x thành 2 số hạng - 2x và - 4x. Trong đa thức x
2
- 2x - 4x + 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; - 2; - 4; 8 các hệ số thứ 2 và thứ 4
đều gấp - 2 lần hệ số liền trớc, nhờ đó xuất hiện thừa số chung (x - 2).
Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax
2
+ bx + c thành nhân tử
và tách hạng tử bx thành b
1
x + b
2
x sao cho:
a
b1
=
2b
c
, tức là b
1
.b
2
= a.c
Trong thực hành ta làm nh sau:
Bớc 1: Tìm tích a.c
Bớc 2: Phân tích a.c thành tích của 2 thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bớc 3: Chẳng hạn thừa số mà có tổng bằng b.
Trong ví dụ trên x

2
- 6x + 8 có a = 1; b = - 6 và c = 8.
Tích a.c = 8, ta phân tích 8 thành tích của 2 thừa số, hai thừa số này cùng
dấu nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm (để tổng của chúng bằng - 6); ví
dụ: (- 4, - 2).
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 9x
2
+ 6x - 8
Giải
Cách 1: Cách hạng tử thứ 2
9x
2
+ 6x - 8 = 9x
2
- 6x + 12x - 8 = 3x(3x - 2) + 4(3x - 2)
= (3x - 2)(3x + 4)
5