giải bài toán theo phương pháp quy nạp

PHẦN I : GIỚI THIỆU CHUNG
1.Lời dẫn
Phương pháp quy nạp toán học là một trong những hình thức suy luận,hơn nữa, là
một phương pháp chứng minh cổ điển trong toán học (một số sử gia cho rằng
phương pháp này đã được sử dụng từ trước công nguyên bởi Plato,Aristotle). Có
thể nói đây là một trong những phương pháp chứng minh cơ bản và hiệu quả, do đó
việc đưa nó vào chương trình Toán trung học phổ thông là tất yếu. Bên cạnh đó,
việc thực hiện các bước chứng minh quy nạp còn giúp học sinh phát triển năng lực
trí tuệ (tổng hợp, khái quát hóa).
Phép quy nạp được sử dụng rộng rãi trong số học đại số và lý thuyết số. Và phép
quy nạp được coi là 1 tuyệt chiêu trong toán học. Nó là một trong những phương
pháp tiếp cận bài toán rất độc đáo. Quy nạp thường được dùng trong việc chứng
minh một khẳng định nào đó. Nhìn chung, giải bài toán theo phương pháp quy nạp
nghĩa là đưa bài toán này thành 2 bài toán con nhỏ hơn để giải quyết. Hai bài toán
con nhỏ hơn này thường là : Phần 1: Là bài toán tương tự như bài toán đã cho, có
giả thiết là trường hợp đặc biệt của giả thiết của bài toán ban đầu, Phần 1 thường
được giải dễ dàng. Phần 2: Ta chứng minh sau 1 phép biến đổi (*) giả thiết của bài
toán tương tự như bài toán ban đầu thành một giả thiết khác, điều khẳng định vẫn
còn đúng. (Với điều kiện rằng sau 1 số lần hữu hạn thực hiện phép biến đổi (*) như
vậy đối với giả thiết của Phần 1, ta thu được bài toán ban đầu, nhờ vậy bài toán ban
đầu được chứng minh).Quy nạp toán học là một trong những nét đặc trưng của suy
luận trong toán học. Tư duy quy nạp rất cần thiết trong số học, đại số, tổ hợp, hình
học và giải tích, nói chung là trong tất cả các lĩnh vực của toán học.
2.Vai trò và chỗ đứng
“Tuy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai
trò của quy nạp cũng không phải là không quan trọng. Vai trò của quy nạp thể hiện
trong khi xây dựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng minh một
định lí, có thể nói rằng những lúc các nhà toán học dùng phương pháp quy nạp là
những lúc quan trọng trong sự phát triển toán học”. Mặc dù vậy trên thực tế dạy
học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn, suy luận ,chứng minh mà chưa chú ý
đến quy nạp, đến khả năng tư duy độc lập sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học

sinh. Điều này sẽ được trình bày rõ hơn trong phần sau của khoá luận này. Là một
sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đề đổi mới
phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của
khoa học kĩ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới phục vụ cho công
tác xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Phương pháp chứng minh quy nạp”.

1


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phép quy nạp toán học và các bài toán liên quan.
Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán sử dụng phương pháp quy nạp toán học.
4. Phương pháp nghiên cứu
Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên
internet có liên quan đến đề tài của bài tiểu luận) để thu thập thông tin và trình bày
lại theo một thể khép kín; tập hợp các dạng toán phục vụ cho yêu cầu của đề tài,
tìm hiểu cách giải và phân loại.

2


PHẦN II: PHÉP CHỨNG MINH QUY NẠP
1.Khái quát chung :
1.1.Khái niệm quy nạp:

- “Quy nạp” theo nghĩa đầu tiên của nó được dùng để chỉ các quy luật nhờ đó mà
thu được các kết luận tổng quát, dựa vào một loạt các khẳng định riêng biệt.
- Quy nạp hoàn toàn là một mệnh đề tổng quát được chứng minh theo từng trường
hợp của một số hữu hạn các trường hợp có thể có.
Ví dụ 1:: Chúng ta xác lập rằng : “ Mỗi số chẵn n trong khoảng

biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố ”.
Muốn vậy chúng ta phân tích:

[ 4;100]

đều có thể

4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 5+3
10 = 7+3
12 = 7+5
......
......
98 = 93+5
100 = 97+3
Sau khi thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức này chứng tỏ rằng, thực tế mỗi số chẵn
trong khoảng xét được biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố.
-Quy nạp không hoàn toàn:
Trong trường hợp kết luận tổng quát rút ra không dựa trên sự kiểm tra tất cả các
trường hợp có thể xảy ra mà chỉ trên cơ sở một số đủ lớn các trường hợp thì ta có
quy nạp không hoàn toàn.
Quy nạp không hoàn toàn được vận dụng nhiều trong các khoa học thực nghiệm.
Chẳng hạn bằng cách đó người ta đã thiết lập nên định luật cơ bản bảo toàn khối
lượng: định luật này được Lômônôxôp phát biểu và chỉ được thừa nhận khi
Lavoadiê đã kiểm tra sự đúng đắn của nó với độ chính xác đủ lớn và trong các điều
kiện đủ khác nhau.
Trong toán học, quy nạp không hoàn toàn không được xem là một phương pháp
chứng minh chặt chẽ, do đó nó chỉ được áp dụng rất hạn chế. Bởi vì một mệnh đề
3

toán học bao hàm một số vô hạn các trường hợp riêng, nhưng con người ta không
thể tiến hành kiểm tra một số vô hạn các trường hợp được.Chẳng hạn sau khi có kết
quả đúng với 49 trường hợp như ở ví dụ 1, ta chưa thể đưa ra kết luận rằng, mọi số
tự nhiên chẵn đều có thể phân tích được thành tổng của hai số nguyên tố.
Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn là một phương pháp “gợi mở” rất hiệu lực
để tìm ra chân lý mới. Chúng ta hãy tham khảo một vài ví dụ.
Ví dụ 2. Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp đầu tiên.
Chúng ta hãy xét các trường hợp riêng biệt:
+ với n=1 : 1=1

1 = 12

mà

+ với n=2 : 1+3=4

4 = 22

mà

+ với n=3 : 1+3+5=9

9 = 32

mà

+ với n=4 : 1+3+5+7=16

mà

+ với n=5 : 1+3+5+7+9=25

mà

16 = 4 2

25 = 5 2

Sau khi xét một số trường hợp riêng này, ta nảy ra kết luận tổng quát :
1+3+5+7+9+...+(2n-1) =

n2

tức là : “ tổng của n số lẻ liên tiếp đầu tiên bằng

(1)
n2

”.

Việc chứng minh kết luận này một cách chặt chẽ đã chứng tỏ kết luận này là đúng.
Ví dụ 3: Tính tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp đầu tiên:
S n = 13 + 2 3 + 33 + ... + n 3

Ta xét các trường hợp riêng biệt:
S1 = 13 = 1

= 12

S 2 = 13 + 2 3 = 9

= (1 + 2) 2

S 3 = 13 + 2 3 + 33 = 36

= (1 + 2 + 3) 2

S 4 = 13 + 2 3 + 33 + 4 3

= (1 + 2 + 3 + 4) 2

Do đó có thể nảy ra kết luận tổng quát :
4


S n = (1 + 2 + 3 + ... + n) 2

(2)

Tất nhiên, điều nhận xét trên không phải là sự chứng minh sự đúng đắn của các
công thức (1) hay (2). ở phần sau, chúng ta sẽ làm quen với một phương pháp giúp
chúng ta chứng minh được các công thức (1) và (2) là đúng.
1.2.Phương pháp quy nạp toán học được sử dụng như thế nào ?
Phương pháp qui nạp thực sự có hiệu lực với lớp các bài toán chứng minh một
∈

mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n N.
Nhìn chung, quy nạp hoàn toàn ít sử dụng hơn quy nạp không hoàn toàn ,quy

nạp hoàn toàn chỉ dùng để chứng minh các bài toán quy nạp theo từng trường hợp
của một số hữu hạn các trường hợp có thể có (theo ví dụ 1 ở trên).Mà như ta đã
biết, đa số các bài toán quy nạp đều phải chứng minh trên tập hợp tất cả các số
nguyên dương, do đó nếu dùng quy nạp hoàn toàn để chứng minh là một việc hết
sức khó khăn.Như vậy, quy nạp không hoàn toàn là một trong những con đường để
dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu một số hữu hạn các trường hợp riêng để
tìm ra quy luật tổng quát. Thế nhưng, như ta đã biết, quy nạp không hoàn toàn
thường dẫn đến các kết quả sai.
Ví dụ : Người ta nói :
Sắt là chất rắn
Đồng là chất rắn
Platin là chất rắn
Vàng là chất rắn
…………………
Sắt, đồng, Platin, vàng là kim loại
Kết luận quy nạp : “Tất cả cá kim loại đều là chất rắn” . Kết luận này không đúng,
vì người ta có thể chỉ ra rằng thủy ngân là kim loại nhưng không phải là chất rắn.
Vậy làm thế nào để biết được quy luật tổng quát mà ta đưa ra là đúng đắn,chẳng
lẽ ta lại cứ thử tiếp, thử tiếp cho đến khi nào gặp một trường hợp riêng mà kết luận
đó không đúng. Và lấy gì để đảm bảo rằng số lần thử là hữu hạn.
Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế ta áp dụng một
phương pháp suy luận đặc biệt được gọi là “ phương pháp quy nạp toán học”, cho
phép thay thế những hình dung tìm tòi theo phương pháp quy nạp không hoàn toàn
bằng sự chứng minh chặt chẽ.
2. Cơ sở lý thuyết :
2.1. Nguyên lý quy nạp toán học: (Quy nạp cổ điển)
2.1.1.Cơ sở lý thuyết:
n∈ N*

Một mệnh đề phụ thuộc vào n (

) được coi là đã được chứng minh với mọi
số n nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
 Mệnh đề đúng với n = 1
 Từ sự đúng đắn của mệnh đề với một số tự nhiên n = k nào đó thì suy ra sự đúng
đắn của nó với n = k+1.
5


2.1.2.Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1 : Chứng minh với mọi số nguyên dương n : “Tổng của n số lẻ liên tiếp đầu
tiên bằng

n2

” (chứng minh dự đoán ở ví dụ 2 trong phần 1.1 )

Bài giải :
Theo yêu cầu bài toán , ta chứng minh : 1+3+5+7+9+...+(2n-1) =

n2

(1)

Với n=1, ta có : 1=12 => (1) đúng với n=1
Giả sử (1) đúng với n=k, tức là : 1+3+5+7+9+...+(2k-1) = k2
Ta cần chứng minh (1) cũng đúng với n=k+1, tức là ta chứng minh :
1+3+5+7+9+...+(2k+1) = (k+1)2
Thật vậy,theo giả thiết quy nạp , ta có :
1+3+5+7+9+...+(2k+1) = 1+3+5+7+9+...+(2k-1) + (2k+1) = k2 +(2k+1) = (k+1)2
Vậy theo nguyên lí quy nạp thì (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Bình luận : Lời giải trên không có gì đặc biệt ngoài kĩ năng nhóm số hạng tinh
tế để thành lập sự xuất hiện của giả thiết qui nạp ở bước n = k+1 dẫn đến giải
quyết bài toán.
Ví dụ 2: CMR với mọi số nguyên dương n :
12 + 2 2 + 3 2 + ... + ( n − 1) + n 2 =
2

n( n + 1)( 2n + 1)
6
(2)

Bài giải :
Khi n = 1, 12=1 , nên (2) đúng.
≥

Giả sử (2) đúng với n = k 1 , tức là :

Ta phải chứng minh (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là

Thật vậy :
==+
=
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n thuộc N*.
6


Bình luận : Lời giải trên không có gì đặc biệt ngoài kĩ năng nhóm số hạng tinh
tế để thành lập sự xuất hiện của giả thiết qui nạp ở bước n = k+1 dẫn đến giải
quyết bài toán.
y=

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau :

1
1+ x

Hướng dẫn :

, = , , …,

Ta có :

Bây giờ ta tìm
y

(k)

Giả sử
y

Ta có :

( k +1)

y (n )

bằng quy nạp như sau :

k
(

− 1) k!
=
(1 + x ) k +1

=y

(k ) ,

[

]

 ( −1)( k + 1)(1 + x ) k  (−1) k +1 ( k + 1)!
= ( − 1) k! .
=
2 ( k +1)
(1 + x) ( k +1) +1
 (1 + x )

k

Vậy =


Bình luận : Phương pháp giải chung cho dạng toán này có thể phân làm

hai bước như sau :

Bước 1 : Tính đạo hàm cấp một , hai,ba,…,cho tới khi dự đoán
được đạo hàm cấp n.


Bước 2: Chứng minh đạo hàm cấp n đúng bằng qui nạp toán học .


Chú ý : Dạng này khi làm cần phải tính ít nhất đến đạo hàm cấp ba để

việc dự đoán của chúng ta chính xác hơn.

Qua các ví dụ trên ta thấy bài toán chứng minh đẳng thức bằng cách
dùng phương pháp qui nạp toán học chỉ khó khăn và phức tạp ở phần cuối bước
2 , tức là chứng minh đẳng thức đúng với n=k+1.Khi đó, từ đẳng thức cần
chứng minh ứng với n=k+1,ta biến đổi khéo léo,(dùng kĩ thuật thêm bớt ,hoặc
tách số hạng… ), để sử dụng được giả thiết đẳng thức đúng với n=k, tiếp tục
thực hiện tính toán một số bước nữa ta sẽ có điều phải chứng minh.
2.1.3.Bài tập tự luyện :
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có :
a.
7


b.
c.
d.
Bài 2 : a) Chứng minh rằng số chia hết cho 9 với mọi số nguyên n.
b) Chứng minh rằng s ố chia hết cho 23.
Bài 3 :Tính đạo hàm cấp n của hàm số :
2.2.Quy nạp mạnh:
2.2.1.Cơ sở lý thuyết :
Nguyên lí quy nạp mạnh được mô phỏng theo sơ đồ sau :
Với mọi <=>

Sơ đồ quy nạp mạnh được minh họa bằng định lý (Thuật chia Euclide).
Nếu P(x), Q(x), Q(x) không đồng nhất 0, là các đa thức với hệ số thực thì tồn tại
duy nhất cặp đa thức S(x), R(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau
i) P(x) = Q(x).S(x) + R(x);
ii) deg R < deg Q.
2.3.Quy nạp nhảy cách :
2.3.1.Cơ sở lý thuyết :
Nguyên lí quy nạp nhảy cách được mô phỏng theo sơ đồ sau :
Với mọi , A(n) <=>
2.3.2.Ví dụ minh họa :
Chúng ta đều đã đọc truyện hoặc xem phim Tây Du Ký. Câu chuyện sau đây rút
từ chuyến đi kỳ vĩ của thầy trò Đường Tăng đến Tây Trúc.
Vừa thoát khỏi kiếp nạn Bạch cốt tinh, thầy trò Đường tăng lại đi vào một vương
quốc mới, gọi là vương quốc Ngũ Bát. Sở dĩ có cái tên này là bởi vì Ngân hàng
trung ương của Vương quốc này chỉ phát hành 2 loại tiền 5 quan (Ngũ) và 8 quan
(Bát). Vương quốc này cũng chưa được phát triển lắm nên người dân ở đây chỉ biết
phép tính cộng, không biết phép tính trừ. Vì thế, khi bán hàng, nếu mình đưa thừa
người ta sẽ không trả lại (còn đưa thiếu thì người ta ... không chịu - khôn lắm).
Thầy trò Đường tăng đang đi tung tăng trong thành thì thấy một siêu thị có tên là
"Over 28". Thấy tên lạ lạ, họ bèn bước vào. Nhân viên bảo vệ ra chặn lại, xem
chừng không muốn cho vào. Trư bát giới xông ra nói
- Sao không cho chúng ta vào?
Tay bảo vệ chỉ tay vào số 28 (nhị thập bát) nói: Ông có thấy số gì đây không?
- 28 à. 28 tuổi mới được vào à. Yên tâm đi nhé chú em. Anh đây 360 tuổi rồi nhé.
8


Còn ông anh đang gãi mông kia 720 tuổi. Cái chú đang gánh hàng 240. Ngay cả
con ngựa này cũng 130 tuổi rồi. Trẻ nhất ở đây có lẽ là sư phụ của bọn anh, ôngấy
vừa làm sinh nhật lần thứ 30. Các chú có cần xem chứng minh nhân dân không,

loại mới
nhé, có cả tên bố mẹ.
- Không, không, đây không phải tuổi, đây là ...
- Đây là gì ... (Trư bát giới kín đáo ... nhìn xa xôi)
- Đây là siêu thị mà mọi món hàng đều từ 28 quan trở lên. Tôi thấy mấy ông nhà
quê quá, sợ không đủ tiền nên không muốn cho vào.
- Ấy, chú đừng nghĩ thế. Bọn anh đây đều là con nhà có điều kiện nhé, tiền 5 quan,
8 quan bọn anh mới đổi ở cửa khẩu ních túi nhé.
- Vậy xin mời các anh vào ạ.
Bài toán: Chứng minh rằng thầy trò Đường tăng có thể mua đúng (tức là trả đúng
giá tiền) mọi món hàng ở trong siêu thị "Over 28".
Hướng dẫn:






Theo bài toán , ta xét 5 trường hợp đầu tiên:
Mặt hàng giá 28 quan : 28=5*4+8*1 , bao gồm 4 đồng 5 quan và 1 đồng 8 quan.
Mặt hàng giá 29 quan : 29=5*1+8*3 , bao gồm 1 đồng 5 quan và 3 đồng 8 quan.
Mặt hàng giá 30 quan : 30=5*6 , bao gồm 6 đồng 5 quan.
Mặt hàng giá 31 quan : 31=5*3+8*2 , bao gồm 3 đồng 5 quan và 2 đồng 8 quan.
Mặt hàng giá 32 quan : 32=8*4 , bao gồm 4 đồng 8 quan.






Ta chỉ xét 5 trường hợp đầu là đủ, ứng với N mua được thì N+5 cũng mua được.
Ngoài ra ,bài toán trên cũng có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp cổ điển.
Khi N mua đúng thì N+1 cũng mua đúng, nghĩa là cứ sau mỗi lần tăng lên 1 đồng ,
bằng một cách nào đó mà ta vẫn mua được mặt hàng, thật vậy :
Nếu trong đó có 3 đồng 5 quan thì thay bằng hai đồng 8 quan
Nếu trong đó có 3 đồng 8 quan thì thay bằng năm đồng 5 quan
Nhận xét ,bình luận :
Bài toán tuy dài nhưng ta cần để ý đến điểm mấu chốt của bài
toán.



Khi xét các trường hợp đầu tiên, cần để ý rằng khi xét đến trường

hợp thứ 6, ứng với mức 33 quan, thì khi đó cách chi tiền có chút liên quan đến
cách chi tiền ứng với mức 28 quan.

Khi đó ta có thể vận dụng phép chứng minh quy nạp nhảy cách để
giải bài toán.
2.4.Quy nạp lùi :
2.4.1.Lịch sử phép quy nạp lùi :
9


Quy nạp lùi là một dạng của phép chứng minh quy nạp (nó còn được gọi là “Quy
nạp ki Cauchy”) ,do chính Cauchy sử dụng lần đầu khi chứng minh bất đẳng thức
trung bình cộng-trung bình nhân:
với mọi số nguyên dương n và với mọi bộ n số thực không âm .

2.4.2.Cơ sở lý thuyết :

Cho là một dãy vô hạn các số nguyên dương mà . Giả sử P(n) là một hàm mệnh đề
của biến n biến thiên trên tập hợp tất cả các số nguyên dương sao cho
đúng , với mọi
hơn nữa với mọi số nguyên dương ,nếu P(n) đúng thì P(n-1) cũng đúng. Khi đó
P(n) đúng với mọi số nguyên dương n.
2.4.3.Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1 : Chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân của Cauchy:
Với mọi số nguyên dương n và với mọi bộ n số thực không âm , ta có :
(1)
Với n=1 , (1) hiển nhiên đúng
Với n=2 , <=> đ úng
Với n=4 , hay
Thật vậy, 4 =
Như vậy, đúng với mọi k, và đây chỉ mới là cơ sở quy nạp.
Ta thực hiện bước lùi, tức là ta sẽ chứng minh P(n) đúng thì P(n-1) đúng.
Ta xét n-1 số thực không âm với n nguyên dương, có :
(*)
Ta áp dụng P(n) cho n số :
(**)
Chọn ,ta được :

10


=
Chuyển vế , trả lại a =>
 Nhận xét,bình luận :

Cách giải bài toán mới nhìn có vẻ rất đơn giản, nhưng khi đi vào chi


tiết thì thấy khó hơn.
Cách chứng minh không yêu cầu cao về trình độ, nhưng đòi hỏi sự tinh

tế và nhạy bén trong cách giải, đó là ở bước lùi , ta phải chọn a làm sao để từ (**),
ta đưa được về (*).

Ở các bài toán khác,ta cần để ý đến giả thiết và yêu cầu bài toán để vận
dụng phương pháp chứng minh này một cách hiệu quả.
2.4.4.Bài tập tự luyện :
Bài 1 :Trong tam giác ABC, chứng minh rằng : sin A+sin B+ sin C
Bài 2 : Dùng phương pháp quy nạp lùi, chứng minh rằng :

với mọi dãy số hữu hạn ⊂ [0;1]
Hướng dẫn : Dùng bất đẳng thức Jensen

3.Một số biến thể khác của phép chứng minh quy nạp :
Dưới đây là hai biến thể khác của phép chứng minh quy nạp, tuy nhiên, mức độ
phổ biến và ứng dụng của nó không nhiều nên chúng tôi chỉ đề cập đến cơ sở lý
thuyết của chúng như là một hình thức mà chúng tôi giới thiệu đến các bạn nội
dung của hai phương pháp này.
3.1.Quy nạp phân rã :
3.1.1.Cơ sở lý thuyết :
Giả sử P(n) là một hàm mệnh đề của biến n biến thiên trên tập hợp tất cả các số
nguyên dương sao cho
P(1) và P(p) đúng
với số nguyên tố p; hơn nữa, với mọi cặp số nguyên dương m và n, nếu P(m) và
P(n) đều đúng thì P (mn) cũng đúng.
Khi đó, P(n) đúng đối với mọi số nguyên dương n
3.1.2.Ví dụ minh họa:

11


Bài toán: Chứng minh rằng từ 2n−1 số nguyên bất kỳ (n ∈ N*) ta luôn có thể trích
ra n số có tổng chia hết cho n. (Phỏng theo một đề thi chọn học sinh giỏi Toán
Trung Quốc) Lời giải của bài toán (Pn) sẽ được trình bày qua các bước như sau
- Chứng minh rằng nếu kết luận của P(n) và P(m) là đúng (m, n ∈ N*) thì kết luận
của P(nm) cũng đúng.
- Kiểm tra rằng kết luận của P(n) là đúng khi n là số nguyên tố (hoặc n = 1).
- Từ đó ta sẽ thấy kết luận của bài toán P(n) đúng cho mọi số nguyên dương n.
3.2.Quy nạp cấu trúc:
Phương pháp quy nạp này dùng trong Automatic và ứng dụng ngôn ngữ hình thức,
ngôn ngữ lập trình.
Cho {A, B}* là một tập hợp sinh bởi phần tử A,B





Xâu rỗng thuộc L
Nếu X L thì AXB L
Nếu X L thì BXA L
Nếu X, Y L thì XY L

Ví dụ : X=ABBA . Khi đó, AXB = AABBAB
Mệnh đề : “Nếu xâu X L thì số ký tự A trong X bằng số ký tự B trong X”

12

PHẦN III:BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có :

a.
b.
c. =
d.
Bài 2 : Chứng minh rằng
a.

2 n > 2n + 1

với

∀n ∈ N ; n ≥ 3

.

b.
Bài 3 :Chứng minh rằng với mọi ,ta luôn có :

a.

n 3 + 2n

chia hết cho 3

13 − 1
n

b.
c.
d.

chia hết cho 6
n+2

6 +3
2n

+3

n

4.32 n + 2 + 32n − 36

16 − 15n − 1

chia hết cho 11
chia hết cho 64

n

e.

chia hết cho 225

Bài 4 : Cho tổng :
a. Tính
b. Dự đoán công thức tính và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Bài 5 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên đồng (tiền Việt Nam) lớn hơn 6 có thể
đổi ra tiền lẻ không dư bằng những đồng tiền gồm những tờ 2 đồng và 5 đồng (1
đồng ở đây bằng 1000 đồng trong thực tế)?
Bài 6 : Chứng minh rằng tổng các góc trong của một n-giác lồi bằng ( n – 2 ) 1800.
Bài 7 : Cho 111 chia hết cho 3, số 111111111 chia hết cho 9, số 111...111 (27 chữ số
1) cũng chia hết cho 27. Chứng minh rằng 111...111 (3n chữ số 1) chia hết cho 3n
với mọi n.
13


Hướng dẫn : Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3 và dấu hiệu chia hết cho 9 để chứng
minh bài toán.

14


Bài 8 : Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau :

Bài 9 : (Bất đẳng thức Jensen ) Cho đoạn thẳng I. Chứng minh rằng nếu bất đẳng
thức:

đúng với mọi x , y thuộc I thì với mọi n nguyên dương và với mọi thuộc I ta có bất
đẳng thức:

Bài 10 : Cho một số đường thẳng chia mặt phẳng thành những miền khác nhau.
Chứng minh rằng ta có thể tô những miền này bằng hai màu trắng và đen sao cho
những miền cạnh nhau (có chung một đoạn biên) có màu khác nhau.

15

PHẦN IV : TỔNG KẾT ĐỀ TÀI
1. Về mặt nội dung:
Đề tài đã đưa ra khái niệm về phép chứng minh quy nạp, một số dạng của nguyên
lý quy nạp toán học và một số biến thể của nó. Cuối chương là tuyển chọn các bài
toán tổng hợp để áp dụng.
2. Về mặt thực tiễn:
Khi thực hiện đề tài, nhóm thực hiện đã cố gắng bám sát những dạng của nguyên lý
quy nạp toán học và một số biến thể của nó cùng với các ví dụ cụ thể bà bài tập tự
luyện. Hy vọng đề tài có thể là một tập tài liệu tham khảo có ích cho học sinh tại
các trường THPT, các bạn học sinh đam mê toán học và sinh viên các trường Đại
học.
3. Những mặt đạt được:
Trong quá trình thực hiện đề tài, với sự nỗ lực ,cố gắng của các thành viên cùng với
sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Nam Dũng, nhóm đã hoàn thành đề tài đúng
thời hạn đặt ra.
4. Những mặt còn hạn chế :
Vẫn còn một vài dạng quy nạp cần đào sâu ,nghiên cứu, nhưng do nhóm thực hiện
còn hạn chế về thời gian và năng lực, chúng tôi chưa có điều kiện để nghiên cứu
kỹ. Chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu về mảng này trong thời gian tới.

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO

.Nguyễn Thị Thùy Dương , Quy nạp toán học: Phương pháp và các bài toán, Đại
học Đà Nẵng, năm 2011.
.TS Trần Nam Dũng, Bài giảng Số học và Logic toán học, Lớp Số học và logic toán
học, Năm học 2014-2015 .

.TS Trần Nam Dũng ,Assignment 1,Phần Logic ,Lớp Số học và logic toán học ,Năm
học 2014-2015
.Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên ), Đại số và Giải tích 11 Nâng cao,Nhà xuất bản Giáo
dục-2008
.Đỗ Danh Thắng ,Bài viết :Phép quy nạp và phương pháp quy nạp toán học ở
trường phổ thông (Tại Hòa Bình -Tháng 5 năm 2008)
.Nguyễn Hữu Điển, Chuyên đề: Phương pháp quy nạp toán học, Đại học Khoa học
Tự nhiên
Nguyễn Gia Thơ, Những đặc điểm cơ bản của logic quy nạp cổ điển, Triết học, Số
3(121), tháng 6 năm 2001
.Giáo án trực tuyến Violet , truy cập ngày 14 tháng 11 năm 2014
/>
17


18