Một số dạng bài tập về thiết diện dành cho học sinh giỏi

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM KHÁNH TÙNG

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
VỀ THIẾT DIỆN DÀNH CHO
HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM KHÁNH TÙNG

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP
VỀ THIẾT DIỆN DÀNH CHO
HỌC SINH GIỎI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành:
Mã số:

PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - 2016


i

Mục lục

Mở đầu

1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

Khái niệm thiết diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Thiết diện của một số hình thường gặp . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Thiết diện của hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Thiết diện của hình nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.3

Thiết diện của hình trụ tròn xoay . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4

Thiết diện của hình đa diện lồi . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Các định lý, tính chất thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Một số bài toán cơ bản về xác định thiết diện . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Mặt phẳng cắt qua ba điểm cho trước . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với một mặt
phẳng (hoặc hai đường thẳng cắt nhau) . . . . . . . . . . . 10

1.4.3

Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho
trước) và song song với một đường thẳng . . . . . . . . . . 12

1.4.4

Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với hai đường
thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.5

Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho

trước) và vuông góc với một mặt phẳng . . . . . . . . . . . 15

1.4.6

Mặt phẳng cắt qua một điểm cho trước và vuông góc với
một đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16


ii

Chương 2. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT DIỆN
2.1

19

Dạng bài tập liên quan đến diện tích của thiết diện . . . . . . . . 19
2.1.1

Tính diện tích thiết diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2

Tìm điều kiện để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2

Dạng bài tập về xác định hình dạng thiết diện . . . . . . . . . . . 61

2.3

Dạng bài tập thiết diện phụ thuộc vào điểm di động . . . . . . . . 78

Kết luận

96

Tài liệu tham khảo

97


1

MỞ ĐẦU
Trong chương trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề thi
học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập về thiết diện rất phong phú, đa dạng.
Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm chuyên môn,
tôi chọn hướng nghiên cứu của luận văn Thạc sĩ với đề tài: "Một số dạng bài
tập về thiết diện dành cho học sinh giỏi" với nhiệm vụ:
1. Hệ thống hóa để chọn lọc một số dạng bài tập về thiết diện thường xuất
hiện trong các đề thi học sinh giỏi.
2. Đưa ra lời giải tường minh cho một số bài tập dành cho học sinh giỏi, một
số bài tập khó mà tài liệu tham khảo chưa đưa ra lời giải chi tiết.
Cấu trúc phần nội dung của luận văn:
- Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương này đề cập, trình bày các kiến thức cơ sở về mặt phẳng, giao tuyến,
thiết diện và những kiến thức nền tảng áp dụng trong việc giải các bài tập của
chương 2.
- Chương 2. Một số dạng bài tập về thiết diện

Đây là nội dung trọng tâm của luận văn. Các bài tập dành cho học sinh giỏi
về thiết diện được trình bày có hệ thống với những bài tập khó theo từng dạng.
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Trịnh
Thanh Hải cùng sự giúp đỡ, tạo điều kiện của các thầy giáo, cô giáo khoa ToánTin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các thầy cô giáo tham
gia giảng dạy lớp Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp (Khóa 8).
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô Lãnh đạo trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Sở GDĐT tỉnh Yên Bái, Phòng GDĐT thành


2

phố Yên Bái cùng tập thể lớp Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp
đã động viên, giúp đỡ tác giả trong khóa học và quá trình hoàn thành luận văn.
Thực hiện luận văn này, tác giả đã đầu tư nhiều thời gian, tham khảo nhiều
tài liệu, cẩn thận trong trình bày để thực hiện luận văn này nhưng không thể
tránh khỏi những hạn chế. Tác giả kính mong được sự góp ý của quý thầy cô và
bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
Thái Nguyên, tháng 6 năm 2016
Tác giả

Phạm Khánh Tùng


3

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Khái niệm thiết diện

Hình phẳng có được do cắt một hình khối T bằng một mặt phẳng (P ) gọi là
thiết diện của hình khối T cắt bởi mặt phẳng (P ).

1.2
1.2.1

Thiết diện của một số hình thường gặp
Thiết diện của hình cầu

Mặt phẳng (P ) cắt hình cầu T luôn cho ta một thiết
√
diện là một hình tròn bán kính r = R2 − k 2 . Trong đó R
là bán kính hình cầu; k là khoảng cách từ mặt phẳng tới
tâm hình cầu (0 ≤ k < R). (Hình 1.1)
1.2.2

Thiết diện của hình nón

Hình 1.1.

Hình 1.2.


4

- Mặt phẳng qua đỉnh, cắt hình nón theo hai đường

sinh ta được thiết diện là một tam giác cân. (Hình 1.2)
- Cắt hình nón bởi mặt phẳng không qua đỉnh:
+ Nếu mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh của hình nón thì ta được thiết
diện là một hình elip (Hình 1.3). Đặc biệt trong trường hợp này, mặt phẳng
vuông góc với trục hình nón thì thiết diện thu được là một hình tròn có tâm
nằm trên trục hình nón. (Hình 1.4)
+ Nếu mặt phẳng song song với hai đường sinh của hình nón thì thiết diện
thu được là một hình phẳng giới hạn bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với
mặt đáy của hình nón (là một đoạn thẳng) và mặt bên của hình nón (là một
đường cong thuộc một nhánh của một hypebol). (Hình 1.5)

Hình 1.3.

Hình 1.4.

Hình 1.5.

Hình 1.6.

+ Nếu mặt phẳng song song với một đường sinh của hình nón thì thiết diện
thu được là một hình phẳng giới hạn bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với


5

mặt đáy của hình nón (là một đoạn thẳng) và mặt bên của hình nón (là một
phần đường cong parabol). (Hình 1.6)
1.2.3

Thiết diện của hình trụ tròn xoay

- Thiết diện của hình trụ tròn xoay (bán kính r) bị cắt bởi một mặt phẳng
vuông góc với trục hình trụ là một hình tròn có tâm nằm trên trục hình trụ, có
bán kính bằng r. (Hình 1.7)
- Thiết diện của hình trụ tròn xoay (bán kính r) bị cắt bởi mặt phẳng hợp
với trục hình trụ một góc α 0 < α < 900 cắt tất cả các đường sinh của hình
trụ là một hình elip có trục nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng

2r
. (Hình 1.8)
sin α

- Thiết diện của hình trụ tròn xoay (bán kính r) bị cắt bởi mặt phẳng song
song với trục hình trụ, cách trục hình trụ một khoảng k (0 ≤ k < r) là một hình
chữ nhật có hai cạnh có độ dài bằng chiều cao hình trụ, hai cạnh còn lại có độ
√
dài bằng 2 r2 − k 2 . (Hình 1.9)

Hình 1.7.
1.2.4

Hình 1.8.

Hình 1.9.

Thiết diện của hình đa diện lồi

Để xác định thiết diện của khối đa diện lồi T (gọi tắt là hình T ) cắt bởi mặt
phẳng (P ) ta thường thực hiện qua các bước sau:
Bước 1. Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P ) với một mặt nào đó của

hình T gọi là giao tuyến gốc (giao tuyến này thường dễ dàng xác định được dựa
vào giả thiết của đề bài).
Bước 2. Xác định giao điểm của giao tuyến gốc với các cạnh của hình T.


6

Bước 3. Từ các giao điểm trên, xác định các giao tuyến còn lại của mặt
phẳng (P ) với các mặt của hình T.
Bước 4. Chỉ ra phần hình phẳng trong mặt phẳng (P ) giới hạn bởi các giao
tuyến trên là thiết diện cần xác định.
Thực chất quy trình trên là tìm giao của mặt phẳng (P ) với các mặt của hình
T (Mặt phẳng (P ) có thể không cắt hết các mặt của hình T ).
Hình dạng của thiết diện là đa giác lồi có các đỉnh là giao điểm của mặt
phẳng (P ) với các cạnh của hình T .

1.3

Các định lý, tính chất thường dùng

* Quan hệ song song, quan hệ vuông góc:
Định lí 1.1. [9] Trong không gian, cho đường thẳng d và điểm A ngoài d. Lúc
đó tồn tại duy nhất một đường thẳng a đi qua A và song song với đường thẳng
d.

Mệnh đề 1.1. [9] Nếu hai mặt phẳng chứa lần lượt hai đường thẳng song song
với nhau và hai mặt phẳng đó cắt nhau theo một đường thẳng thì đường thẳng
này song song với cả hai đường thẳng trên hoặc trùng với một trong hai đường
thẳng đó.
Mệnh đề 1.2. [9] Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường

thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Định lí 1.2. [9] Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng d không thuộc (α). Khi đó,
d và (α) song song với nhau khi và chỉ khi tồn tại một đường thẳng a thuộc (α)
sao cho d và a song song với nhau.
Mệnh đề 1.3. [9] Nếu hai mặt phẳng cùng song song hoặc chứa một đường
thẳng và chúng cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng thì giao tuyến này
song song hoặc trùng với đường thẳng trên.
Định lí 1.3. [9] Cho điểm P và hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó tồn tại
duy nhất một mặt phẳng (α) đi qua điểm P sao cho (α) song song hoặc chứa a
và song song hoặc chứa b.
Mệnh đề 1.4. [9] Cho điểm P và hai đường thẳng a, b chéo nhau sao cho P
không thuộc a và b. Giả sử đường thẳng a không song song với mặt phẳng (P ; b)


7

và đường thẳng b không song song với mặt phẳng (P ; a) . Khi đó tồn tại duy nhất
một mặt phẳng (α) đi qua P sao cho (α) song song với a và b.
Hệ quả 1.1. [9] Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất
một mặt phẳng (α) đi qua a và song song với b.
Mệnh đề 1.5. [9] Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) . Nếu đường
thẳng b song song với đường thẳng a thì b song song hoặc thuộc (α).
Hệ quả 1.2. [9] Cho một đường thẳng và một mặt phẳng song song với nhau.
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc mặt phẳng đã cho và song song với
đường thẳng đã cho thì nó phải thuộc mặt phẳng này.
Định lí 1.4. [9] Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Khi đó (α) và (β) song song với
nhau khi và chỉ khi trong mặt phẳng (β) tồn tại hai đường thẳng a1 , a2 cắt nhau
sau cho cùng cùng song song với (α).
Định lí 1.5. [9] Cho một điểm P nằm ngoài mặt phẳng (α) . Khi đó tồn tại duy
nhất một mặt phẳng đi qua P và song song với (α). Mặt phẳng (α) chứa mọi

đường thẳng qua P và song song với (α).
Mệnh đề 1.6. [9] Cho một đường thẳng d song song với (α) . Khi đó tồn tại
duy nhất một mặt phẳng đi qua d và song song với (α).
Mệnh đề 1.7. [9] Cho (α) và (β) là hai mặt phẳng song song với nhau. Nếu
mặt phẳng (γ) cắt (α) theo một đường thẳng thì (γ) cũng cắt (β) theo một đường
thẳng và các đường thẳng này song song với nhau.
Mệnh đề 1.8. [9] Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng
thứ ba thì song song với nhau.
Định lí 1.6. [9] Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau
cùng nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng ấy vuông góc với mặt phẳng đó.
Mệnh đề 1.9. [9]
- Mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông
góc với đường thẳng còn lại.
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc trùng
nhau.
Mệnh đề 1.10. [9]
- Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Đường thẳng vuông góc


8

với mặt phẳng (P) thì đường thẳng đó cũng vuông góc với đường thẳng a.
- Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng cùng vuông góc với một đường
thẳng khác thì đường thẳng và mặt phẳng ấy song song với nhau hoặc đường
thẳng nằm trong mặt phẳng.
Mệnh đề 1.11. [9]
- Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng
vuông góc với mặt phẳng còn lại.
- Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song hoặc trùng
nhau.

Định lí 1.7. [9]
- Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua điểm O cho trước và vuông góc với
đường thẳng cho trước.
- Có duy nhất một đường thẳng ∆ đi qua điểm O cho trước và vuông góc với
mặt phẳng (P) cho trước.
Định lí 1.8. [9] Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và
đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a
là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
* Định lý Ta-lét:
Định lí 1.9. [Định lý Ta-lét trong tam giác] Nếu một đường thẳng song
song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai
cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí 1.10. [Định lý Ta-lét đảo trong tam giác] Nếu một đường thẳng
cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng
tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Định lí 1.11. [Định lý Ta-lét trong không gian] Ba mặt phẳng song song
chắn trên hai cát tuyến bất kỳ các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí 1.12. [Định lý Ta-lét đảo trong không gian] Cho hai đường thẳng
d1 , d2 chéo nhau và các điểm A1 , B1 , C1 trên d1 ( B1 nằm giữa A1 và C1 ) các
điểm A2 , B2 , C2 trên d2 ( B2 nằm giữa A2 và C2 ) sao cho
A1 B1
A2 B2
=
.
B1 C1
B1 C2

Khi đó, các đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1 C2 cùng song song với một mặt phẳng.

9

1.4

Một số bài toán cơ bản về xác định thiết diện

Để giải các bài tập về thiết diện (đặc biêt là các bài tập dành cho học sinh
giỏi) thì việc xác định thiết diện là công đoạn quan trọng trước khi thực hiện
các yêu cầu khác của bài toán.
Xác định thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và
phần biện luận nếu có. Dưới đây là một số ví dụ cụ thể:
1.4.1

Mặt phẳng cắt qua ba điểm cho trước

Phương pháp. Trong trường hợp này ta đã xác định được mặt phẳng (P ) qua
3 điểm cho trước. Ta chỉ cần dựa vào giả thiết để tìm giao tuyến gốc từ đó xác
định giao của mặt phẳng (P ) với các mặt của hình khối.
Ví dụ 1.4.1. [13] Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC , N và
P lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tìm thiết diện của mặt phẳng (M N P )

với hình chóp đã cho.
Lời giải.
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E ,
F lần lượt là giao của N P với EF. Ta
có M E , M F lần lượt là giao tuyến của
mặt phẳng (M N P ) với các mặt phẳng
(SBC) và (SCD), gọi I , J lần lượt là
giao của M F , M E với SD và SB.
Suy ra:

(M N P ) ∩ (SBC) = M J;
(M N P ) ∩ (SAB) = JN ;

Hình 1.10.

(M N P ) ∩ (ABCD) = N P ;
(M N P ) ∩ (SAD) = P I;(M N P ) ∩ (SCD) = IM.

Ta được thiết diện của mặt phẳng (M N P ) với hình chóp là ngũ giác JM IP N (Hình
1.10).
Ví dụ 1.4.2. [13] Cho hình chóp S.ABCD, gọi M là một điểm ở trong tam
giác SBC, N là một điểm ở trong tam giác SCD. Tìm thiết diện của mặt phẳng
(AM N ) với hình chóp đã cho.


10

Lời giải.
Gọi E và F lần lượt là giao của SM với BC và SN với DC. O là giao của EF
với AC ; I là giao của M N với SO; Gọi H là giao của AI với SC.
Dựng các đường thẳng HM và HN.
Có 4 trường hợp xảy ra:
- Trường hợp 1. HM cắt cạnh SB tại P , HN cắt
cạnh SD tại Q. Nối QA, P A ta được thiết diện là tứ
giác AP HQ (Hình 1.12).
- Trường hợp 2. HM cắt cạnh CB tại P , HN cắt
cạnh SD tại Q. Nối QA, P A ta được thiết diện là tứ
giác AP HQ (Hình 1.13).
Các trường hợp còn lại được xét tương tự:
- Trường hợp 3. HM cắt cạnh SB tại P , HN cắt

cạnh CD tại Q.

Hình 1.11.

- Trường hợp 4. HM cắt BC tại P , HN cắt CD tại
Q.

Hình 1.12.
1.4.2

Hình 1.13.

Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với một mặt phẳng
(hoặc hai đường thẳng cắt nhau)

Phương pháp. Áp dụng các Định lí 1.1, 1.2, Mệnh đề 1.3 và Định lý "Nếu
đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) thì mọi mặt phẳng chứa d mà cắt
(P ) thì cắt theo giao tuyến song song với d" để xác định giao tuyến của (P ) với


11

các mặt của hình khối.
Ví dụ 1.4.3. [13] Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang có các cạnh đáy
AB, CD với CD < AB. α là một mặt phẳng qua điểm M trên cạnh AD và song
song với mặt phẳng (SAB). Xác định thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng
α, chứng tỏ thiết diện là hình thang.
Lời giải.
Vì (α) song song với SAB nên (α) song song với các
cạnh AB , BS và SA.

Gọi N , P , Q lần lượt là giao của (α) với BC , SC ,
SD. Ta có M N//AB , N P//SB , M Q//SA và QP//DC.

Ta thực hiện vẽ lần lượt M N//AB , N P//SB ,
M Q//SA, nối P Q ta được thiết diện là tứ giác M N P Q
(Hình 1.14).
ABCD là hình thang nên CD//AB nên DC// (α)

Hình 1.14.

⇒ DC//P Q và DC//M N
⇒ P Q//M N suy ra M N P Q là hình thang.

Ví dụ 1.4.4. [13] Cho hình chóp S.ABCD đáy là nửa lục giác đều ABCD. Mặt
bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD, SD vuông góc với
AC. Gọi (α) là mặt phẳng qua điểm M trên cạnh BD (M không trùng với B, D)
và song song với SD, AC. Xác định thiết diện của S.ABCD cắt bởi (α).
Lời giải.
Nhận xét: Nếu M trùng với O thì thiết diện là tam giác SAC. Khi M khác
điểm O thì các giao tuyến của (α) với các mặt bên thay đổi, do đó hình dạng
của thiết diện cũng khác nhau.
* Trường hợp 1. M thuộc đoạn BO, M khác B.
Ta có M ∈ (α) ∩ (ABCD) và (α) //AC suy ra giao tuyến của (α) với (ABCD)
là đường thẳng qua M song song với AC , giao tuyến này cắt các cạnh BA và
BC của hình chóp. Gọi Q là giao của (α) với SB. (α) //SD ⇒ M Q//SD.
Ta dựng đường thẳng qua M song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại N
và P. Dựng đường thẳng qua M song song với SD, cắt SB tại Q. Nối P Q, N Q
ta được tam giác N P Q (Hình 1.15) là thiết diện của S.ABCD cắt bởi (α).

12

Hình 1.15.

Hình 1.16.

* Trường hợp 2. M thuộc đoạn DO, M khác O và D.
Khi đó giao tuyến của (α) với (ABCD) song song với AC và cắt các cạnh AD
và DC của hình chóp.
Gọi E , F , H , Q, K lần lượt là giao của (α) với AD, CD, SC , SB và SA.
Ta có EK//SD, F H//SD, M Q//SD (vì (α) //SD). Dựng các đường thẳng qua
M song song với AC cắt AD và DC lần lượt tại E và C. Qua E và F dựng các
đường thẳng song song với SD và lần lượt cắt các cạnh SA và SC tại K và H.
Đường thẳng qua M song song với SD, cắt SB tại Q. Nối KQ, QH ta được thiết
diện của hình chóp cắt bởi (α) là ngũ giác EF HQK (Hình 1.16).
1.4.3

Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước)
và song song với một đường thẳng

Phương pháp. Giả sử mặt phẳng (P ) chứa đường thẳng d, (P )//d . Ta dựng
đường thẳng a cắt đường thẳng d và a//d để xác định mặt phẳng (P ). Áp dụng
Mệnh đề 1.1 và các quan hệ song song, vuông góc trong không gian để tìm giao
tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình khối.
Ví dụ 1.4.5. [11] Cho hình chóp S.ABCD. và ABCD là hình bình hành. Gọi
M là trung điểm của SC, (P ) là mặt phẳng qua AM và song song với BD. Xác
định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi (P ).
Lời giải.
Gọi O là giao của AC và BD; I là giao của AM và SO.
Vì (P ) //DB suy ra giao tuyến của (P ) với (SDB) song song với DB.

13

Qua I dựng đường thẳng song song với DB , cắt SD và SB lần lượt tại F và
E. Nối M E , M F , AE , AF ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ) là tứ
giác AEM F (Hình 1.17).

Hình 1.17.
Ví dụ 1.4.6. [11] Cho hình chóp S.ABCD có G là trọng tâm tam giác ABC.
Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC, CB, BA, G là trọng tâm tam giác
SBC. Xác định thiết diện của S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (α) qua GG và song
song với BC.
Lời giải.
Vì (α) //BC nên (α) cắt (ABCD) và (SBC) theo
các giao tuyến qua G, qua G và song song với BC.
Dựng đường thẳng qua G song song với BC , cắt
AB và AD lần lượt tại F và L. Dựng đường thẳng
qua G song song với BC , cắt SB và SC lần lượt tại
T và I.

Trong tam giác SAP có
PG
1
PG
=
=
PS
PA
3

(vì Gvà G là trọng tâm của các tam giác ABC và
tam giác SBC ). Suy ra GG //SA, GG ∈ (α) ⇒ SA// (α).

Hình 1.18.

Gọi K là giao của (α) với SD suy ra KL//SA (vì trong tam giác SAP có
GG //SA). Dựng LK//SA, K thuộc SD và nối T F , IK ta được thiết diện của
hình chóp S.ABCD cắt bởi (α) là ngũ giác F LKST (Hình 1.18).


14

1.4.4

Mặt phẳng cắt qua một điểm và song song với hai đường thẳng
chéo nhau

Phương pháp. Áp dụng Định lí 1.3, các Mệnh đề 1.4, 1.5 và các Hệ quả 1.1,
1.2 để xác định giao tuyến của (P ) với các mặt của hình khối.
Ví dụ 1.4.7. [13] Cho hình lập phương ABCD.A B C D . (α) là mặt phẳng qua
tâm O của mặt ABCD và song song với B D và BC. Xác định thiết diện của
hình lập phương cắt bởi (α).
Lời giải.
Gọi R là giao của (α) với BB , (α) //B D nên
OR//B D. Gọi Q là giao của (α) với B C . Vì
(α) //BC nên RQ//BC .
Dựng các đường thẳng qua O song song với B D,
cắt B B tại R; Đường thẳng qua R song song với BC
và lần lượt cắt B C , BC , CC tại Q, I , K ; Đường

thẳng IO lần lượt cắt AB và DC tại M và N ; Đường
thẳng KN cắt D C tại P.
Ta được thiết diện của hình lập phương cắt bởi
(α) là ngũ giác M N P QR (Hình 1.19).

Hình 1.19.

Ví dụ 1.4.8. [13]
Cho hình lăng trụ ABC.A B C . Gọi M là trung điểm của trung tuyến AI của
đáy BC. (α) là mặt phẳng qua M và song song với AC và B C. Xác định thiết
diện của lăng trụ cắt bởi α.
Lời giải.
Gọi M N là giao tuyến của (α) với (AIC ), N thuộc IC suy ra M N//AC (vì
(α) //AC ). M là trung điểm của AI nên N là trung điểm của IC .
Gọi K , H lần lượt là giao của (α) với B C và CC , suy ra KH qua N và
KH//CB (vì KH thuộc (BCC B ) và (α) //CB ).
Gọi R là giao của (α) với AC suy ra trong mặt phẳng (ACC’) có RH//AC’
(vì (α)//AC’).


15

Gọi Q là giao của (α) với AB , suy ra Q thuộc
đường thẳng M R (Đường thẳng M R là giao tuyến
của (α) với (ABC)).
Gọi P là giao của (α) với A B suy ra P K//QR.
P Q là giao của (α) với (ABB A ).

Dựng đường thẳng qua M song song với AC , cắt
C I tại N. Qua N dựng đường thẳng song song với

B C cắt B C và CC lần lượt tại K và H. Qua H
dựng đường thẳng song song với AC cắt AC tại R.
Đường thẳng RM cắt AB tại Q. Dựng đường thẳng

Hình 1.20.

qua K song song với QR, cắt A B tại P. Nối P Q ta
được thiết diện của (α) với lăng trụ là ngũ giác P QRHK (Hình 1.20).
1.4.5

Mặt phẳng cắt qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước)
và vuông góc với một mặt phẳng

Phương pháp. Áp dụng tính chất "Nếu d vuông góc với (P ) thì d vuông góc
với mọi đường thẳng trong (P )" để xác định đường thẳng d cắt d và nằm trong
(P ) từ đó xác định được mặt phẳng (P ). Sau đó áp dụng các quan hệ song song,

vuông góc trong không gian để xác định giao tuyến của (P ) với các mặt của
hình khối.
Hoặc ta xác định đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng đã cho sau đó áp
dụng các xác định thiết diện qua hai điểm (chứa một đường thẳng cho trước)
và song song với đường thẳng a để xác định thiết diện cần tìm.
Ví dụ 1.4.9. [13] Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B;
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi E là trung điểm của SC; M là một
điểm trên cạnh AB. Gọi (P) là mặt phẳng chứa EM và vuông góc với mặt phẳng
(SAB). Xác định thiết diện của hình chóp S.ABC cắt bởi (P).
Lời giải.
Ta có SA⊥ (ABC) ⇒ BC⊥SA; BC⊥AB (theo đề bài) suy ra BC⊥ (SAB); BC
và M E chéo nhau nên BC//(P ).
Gọi F là giao của (P ) với SB , suy ra F E//BC. E là trung điểm của SC suy

ra F là trung điểm của SB. Gọi N là giao của (P ) với AC , suy ra M N//BC.


16

Dựng đường thẳng qua M song song vớiBC , cắt
AC tại N. Nối N E , M F , EF (F là trung điểm của
SB ) ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ) là

tứ giác M N EF (Hình 1.21).
Ví dụ 1.4.10. [13] Cho hình chóp S.ABCD, đáy là
hình vuông, SA vuông góc với (ABCD). Xác định
thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bởi mặt
phẳng (P) qua tâm O của đáy ABCD, trung điểm
M của SD và vuông góc với (ABCD).

Hình 1.21.

Lời giải.
Gọi E là giao của (P ) với AD suy ra EM//SA (vì
(P ) ⊥ (ABCD) và SA⊥ (ABCD)). M là trung điểm
của SD suy ra E là trung điểm của AD. O là tâm
của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC ,
do đó đường thẳng EO đi qua trung điểm F của BC.
Gọi I là giao điểm của (P ) với SC suy ra OI//SA
(vì (P ) ⊥ (ABCD) và SA⊥ (ABCD)).
Trong tam giác SAC , OI//AS , O là trung điểm
của AC nên I là trung điểm của SC.

Hình 1.22.

Ta được thiết diện của hình chóp cắt bởi (P ) là
tứ giác M IF E (Hình 1.22), trong đó M , I , F , E lần
lượt là trung điểm của SD, SC , BC , AD.
1.4.6

Mặt phẳng cắt qua một điểm cho trước và vuông góc với một
đường thẳng

Phương pháp. Ta xác định hai đường thẳng a và a cùng song song với đường
thẳng đã cho, sau đó áp dụng cách xác định thiết diện qua một điểm và song
song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc song song với một mặt phẳng để xác
định thiết diện cần tìm.
Ví dụ 1.4.11. [13] Cho hình tứ diện SABC có ABC là tam giác đều, SA vuông
góc với (ABC). Xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (α) qua trung
điểm M của SC và vuông góc với AB.


17

Lời giải.
Ta có SA⊥ (ABC) ⇒ SA⊥AB . (α) ⊥AB ⇒ (α) //SA.
Gọi K là trung điểm của AB. Tam giác ABC đều nên CK vuông góc với AB
suy ra (α) //CK.
Như vậy, bài toán trở thành xác định thiết diện của
hình tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng song song với hai đường
thẳng chéo nhau.
Gọi N, P, Q lần lượt là giao của (α) với AC, AB, SB
suy ra MN//SA, NP//CK, PQ//SA. MQ là giao của (α)
với (SBC).

Dựng đường thẳng qua M song song với SA, cắt AC tại
N; Đường thẳng qua N song song với CK, cắt AB tại P;
Đường thẳng qua P song song với SA, cắt SB tại Q. Nối
MQ ta được thiết diện là tứ giác M N P Q (Hình 1.23).

Hình 1.23.

Ví dụ 1.4.12. [13] cho hình tứ diện S.ABC có AB là tam giác đều. SA vuông
góc với (ABC). Gọi M là một điểm tùy ý trên AC (M = A, M = C), mặt phẳng
(α) qua M và vuông góc với AC. Tùy theo vị trí của điểm M, xác định thiết diện
tạo bởi (α) và tứ diện S.ABC.
Lời giải.

Hình 1.24.

Hình 1.25.

Ta có SA⊥ (ABC) ⇒ SA⊥AC⇒ (α) //SA. Gọi I là trung điểm của AC , vì tam
giác ABC đều nên BI⊥AC mà (α) ⊥AC suy ra SA⊥AC .
Như vậy, bài toán trở thành xác định thiết diện của hình tứ diện bị cắt bởi


18

mặt phẳng song song với hai đường thẳng chéo nhau.
* Trường hợp 1. M thuộc đoạn AI , (M = A, M = I) (Hình 1.24).
Khi đó, (α) cắt cạnh AB tại điểm N . Ta có M N//IB (vì BI// (α)).
Gọi P , Q lần lượt là giao của (α) với SB và SC. Ta có N P//SA, M Q//SA (vì
(α) //SA).
Dựng đường thẳng qua M song song với BI , cắt AB tại N . Qua M và N dựng

các đường thẳng song song với SA, cắt SC và SB tại Q và P. Nối P Q ta được
thiết diện của tứ diện bị cắt bởi (α) là tứ giác M N P Q.
Nhận xét: Vì M Q//N P (cùng song song với SA), M Q⊥ (ABC) ⇒ M Q⊥M N
suy ra thiết diện M N P Q là hình thang vuông tại M và N.
* Trường hợp 2. M thuộc đoạn IC , M khác C (Hình 1.25).
Khi đó (α) cắt cạnh BC tại K. Thực hiện tương tự như trong trường hợp
1, xác định được thiết diện là tam giác QM K . Trong đó K thuộc cạnh BC ,
KM//BI , M Q//SA.
Nhận xét: Vì M Q⊥ (ABC) ⇒ M Q⊥KM suy ra thiết diện QM K là tam giác
vuông tại M.


19

Chương 2

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ
THIẾT DIỆN
Thống nhất một số ký hiệu thường dùng trong chương này:
- Ký hiệu diện tích là S (SABCD là diện tích của đa giác ABCD).
- Ký hiệu thể tích là V (VABCD.A B C D là thể tích của hình ABCD.A B C D ).
- Giá trị lớn nhất là max (max SABCD là giá trị lớn nhất của diện tích hình
ABCD).
- Giá trị nhỏ nhất là min (min SABCD là giá trị nhỏ nhất của diện tích hình
ABCD).

2.1

Dạng bài tập liên quan đến diện tích của thiết diện

Đối với những bài tập liên quan đến diện tích thiết diện ta cần lưu ý các kiến
thức sau:
- Công thức tính diện tích tam giác:
1
abc
1
S = ah = ab sin C =
= pr =
2
2
4R

p (p − a) (p − b) (p − c),

Trong đó:
+ S là diện tích của tam giác;
+ a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác;
+ C là góc đối diện với cạnh c;
+ R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;


20

+ r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; p là nửa chu vi của tam giác.
- Các công thức tính diện tích hình thang, hình bình hành, hình vuông quen
thuộc.
- Công thức tính diện tích tứ giác lồi ABCD bất kỳ
1
SABCD = AC.BD. sin (AC, BD) .
2

- Công thức tính diện tích của đa giác dựa vào diện tích hình chiếu của nó
trên một mặt phẳng chiếu
S
.
cos α
Trong đó: S là diện tích đa giác cần tìm; S là diện tích của hình chiếu đa giác
S=

đó trên mặt phẳng chiếu; α là góc giữa mặt phẳng chứa đa giác và mặt phẳng
chiếu.
- Các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacovxki, . . . để xác định giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất của biểu thức.
- Định lý Ta-lét trong tam giác, tính chất đường trung bình trong tam giác,
hình thang.
2.1.1

Tính diện tích thiết diện

Bài tập 2.1.1. [13] Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a. (α) là mặt
phẳng qua tâm O của mặt ABCD và song song với B D và BC.
a) Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi (α).
b) Tính diện tích thiết diện theo a.
Lời giải.
a) Xác định thiết diện
Theo ví dụ 1.4.7 (Mục 1.4.4), ta có thiết diện của
hình lập phương cắt bởi (α) là ngũ giác M N P QR.
b) Tính diện tích thiết diện
Ta có B Q//BI nên tam giác B QR đồng dạng với
tam giác BIR suy ra

RI
IB
RB
=
=
.
RQ
BQ
RB

Hình 2.1.


21

Trong tam giác BB D có OR//B D, O là trung
điểm của BD nên R là trung điểm của BB .
Suy ra
IB
RB
RI
=
=
= 1 ⇒ IR = RQ, IB = B Q, RB = RB .
RQ
BQ
RB

(1)

Xét tương tự có tam giác B QR đồng dạng với tam giác C QK suy ra
RQ
RB
BQ
=
=
= 1 ⇒ RQ = QK.
QK
KC
QC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra
1
3

IR = RQ = QK = IK.
Trong tam giác IN K có M R//KN (vì (ABB A ) // C DD C ) suy ra tam giác
IM R đồng dạng với tam giác IN K với tỷ số
IR
IK

=

1
SIM R
⇒
=
3

SIN K

1
3

2

=

1
1
⇒ SIM R = .SIN K .
9
9

1
9

Tương tự có SQC K = .SIN K suy ra diện tích thiết diện M N P QK
7
SM N P QR = SIN K − SIM R + SKP Q = SIN K .
9

Hai tam giác vuông ICN và KCN bằng nhau (c.g.c) suy ra N I = N K , suy
ra tam giác IN K cân tại K.
O là tâm của hình vuông ABCD nên OM = ON, OB = OD, M OB = N OD

(đối đỉnh) suy ra ∆M BO = ∆N DO (c.g.c) ⇒ M B = N D.
M B//N C ⇒

IB
RI
1
3
3
MB
=
=
= ⇒ N C = 3M B = 3N D ⇒ N C = DC = a.
NC
IC
IK
3
4
4

Trong tam giác vuông ICN có
IN 2 = IC 2 + CN 2 =

3a
2

2

+

3a
4

2

=

45a2
.
16

Suy ra
IN =

9a
9a
⇒ NK = .
4
4

Trong tam giác vuông BB C có BB = B C = 1 và RQ là đường trung bình
nên
1
1 √
RQ = BC = a 2.
2
2