Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 8 Nguyên hàm hàm vô tỉ và hàm lôgarit Lê Hoành Phò File word
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (681.6 KB, 27 trang )
CHUYÊN ĐỀ 8 - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Nguyên hàm vô tỉ:
Với 1 thì:
x 1
u 1
x .dx 1 C ; u .u '.dx 1 C
m
Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số
n
a m a n ,…
Các dạng tích phân vô tỉ:
b
dx
: nhân hợp liên hiệp (trục căn ở mẫu)
px q px r
b
xk
dx : trục căn ở tử
xk
a
a
b
dx
x m x n : Đặt t
xm
xn
a
b
a
px
x m
2
dx : Đặt u x 2 m
b
k 2 x 2 dx : Đặt x k sin t hoặc k cos t
a
b
a
1
x m
2
:Đặt t x x 2 m
b
x 2 mdx : Đặt u x 2 m , dv dx
a
b
x
a
dx
px 2 qx r
: Đặt t
1
x
R x,
k 2 x 2 dx : Đặt x k sin t hoặc k cos t
R x,
k 2 x 2 dx : Đặt x k tan t hoặc k cot t
b
a
b
a
Trang 1
R x,
b
x 2 k 2 dx : Đặt x
a
b
R x;
x
x
n
a
k
k
hoặc
sin t
cos t
x
dx : Đặt t n
x
R x, x x dx : Đặt x sin
b
2
t
a
R x,
b
px 2 qx r dx : Đặt
a
px2 qx r t x p hoặc
px 2 qx r t x r
Nguyên hàm mũ và lôgarit:
e dx e
x
x
e .u ' dx e
c
u
u
c
au
a .u '.dx ln a c a 0, a 1
ax
a dx ln a c
u
x
Các dạng tích phân từng phần:
b
P x .e
x
dx : Đặt u P x , dv e x dx
a
b
x
.ln xdx : Đặt u ln x, dv x .dx
a
b
e
x
.sin xdx : Đặt u e x , dv sin xdx
a
b
e
x
.cos xdx : Đặt u e x , dv cos xdx
a
2. CÁC BÀI TOÁN
Bài toán 8.1: Tính a)
x 3 x dx
b)
x
3
x 4 x 1 dx
Hướng dẫn giải
1
12
2 23 3 43
3
x x dx x x dx x x C
3
4
a)
b)
x
3
3
3
1
56
6 116 4 74 4 23
4
2
x x 1 dx x x 2 x dx x x x C
11
7
3
4
Trang 2
Bài toán 8.2: Tính a)
x x x
dx
x2
1
1
3 dx
x
x
b)
Hướng dẫn giải
3
1
x x x
2
a)
dx
x 2 dx 2 x
C
2
x
x
x
1
1
1
3
1
b)
3 dx
x 3 dx 2 x 3 x 2 C
2
x
x
x
Bài toán 8.3: Tính
a) I
dx
x3 x4
b) J
dx
, a 0, b c
ax b ax c
Hướng dẫn giải
1
7
a) I
b) J
x 3 x 4 dx
3
3
2
2 x 4 2 C
x
3
21
1
bc
1
1
1
2 x 4 2 dx
x
3
7
ax b ax c dx
2
a b c
ax b
Bài toán 8.4: Tính a) E
3
ax c
3
C
x 4 x 4 2dx
b) F
3
xdx
x2
Hướng dẫn giải
2
1
1
1
x 2 dx x 2 2 dx x3 C
x
3
x
a) E
x
b) F
2
1
5
2
x22
3
3 2 x 2 3 dx
3 3 x 2 3 C
dx
x
2
x
2
3 x2
5
2
Bài toán 8.5: Tính: a) A
2 x 3
x 3dx
b) B
1
1
x
dx
Hướng dẫn giải
Trang 3
a) Đổi biến: Đặt t
x 3 x t 2 3 dx 2t.dt
A 2 2t 2 3 dt 2 2t 4 3t 2 dt
2
3
4
2
t 5 2t 3 C x 3 2 2 x 1 C
5
5
b) Đặt t 1 x x 1 t dx 2 1 t dt
2
Q 2
t 1
1
dt 2 1 dt
t
t
2 t ln t C 2
Bài toán 8.6: Tính: a)
x ln 1 x C
dx
x 1 x
b)
2
1
x 9
2
dx
Hướng dẫn giải
a) Đặt t 1 x x t 2 1 dx 2t.dt
1 x
t 2 dt
1
dx 2 2
2 1 2 dt
x
t 1
t 1
1
1
2 dt
dt 2t ln t 1 ln t 1 C
t 1 t 1
2 1 x ln
1 x 1
C
1 x 1
b) Đặt t 1 x x t 2 1 dx 2t.dt
1 x
t 2 dt
1
dx 2 2
2 1 2 dt
x
t 1
t 1
1
1
2 dt
dt 2t ln t 1 ln t 1 C
t 1 t 1
2 1 x ln
1 x 1
C
1 x 1
b) Đặt t x x 2 9 dt 1
dx
x2 9
x
dx
x2 9
dt
t
Trang 4
dx
x 9
2
dt
ln t C ln x x 2 9 C
t
7/3
Bài toán 8.7: Tính: a) K
0
x 1
dx
3
3x 1
3
b) L
2
dx
x 1 x 1
Hướng dẫn giải
t3 1
a) Đặt t 3x 1 x
dx t 2 dt
3
3
Khi x 0 thì t 1, x
Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên
7
thì t 2 .
3
đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
2
1
K t 4 2t dt
31
3
1
b) L
22
2
t5 t3
46
15 3 1 15
2
3
3
1
73 3 2 2
x 1 x 1 dx x 1 2 x 1 2
3
3
1
a
Bài toán 8.8: Tính: a) A
a /2
a x dx
2
2
b) B
0
0
dx
a x2
2
Hướng dẫn giải
a) Đặt x a sin t với
2
t
2
thì dx a cos t
Khi x 0 thì t 0, x a thì t
/2
Aa
2
/2
cos t .cos tdt a
0
2
0
2
.
a2
cos tdt
2
2
/2
1 cos 2t dt
0
/2
a 2 sin 2t
a2
t
2
2 0
4
Trang 5
b) Đặt x a sin t với
2
/6
0
a cos tdt
a cos t
/6
dt
0
6
b
Bài toán 8.9: Tính: a) C
thì dx a cos tdt
2
a
thì t .
6
2
Khi x 0 thì t 0; x
B
t
b
dx
x b
0
b) D
2
x 2 b .dx
0
Hướng dẫn giải
dx
x2 b
x
a) Đặt t x x 2 b dt 1
b 2b
C
b
dt
ln t
t
b 2b
b
b
b) D
ln 1 2
x 2 bdx x x 2 b
0
b
b 2
x2 b b
0
x b
b 2 b
nên D
2
2
2
0
0
x2
x b
2
b
dx b 2 D b
1
x b
2
2
Bài toán 8.10: Tính: a) K
0
b
0
dx
x b
2
dt
t
dx
1
x b
2
dx
b 2 1
ln 1 2
2
2
1 x2
dx
x4
0
b
b
dx
2
b) L
x
1/2
2
1 dx
x x4 1
Hướng dẫn giải
1
t
a) Đặt x dx
1/2
1
dt
t2
K t 1 t 2 dt
1
2
b) L
1/2
1
2
1
1 5 5
2 2
2
1
t
d
1
t
2
2
1
3 8
1/2
1
2
1
1
x 2 dx
d
x
2
x
1
2
1/2
1
x 2
x 2
x
x
1
Trang 6
2
2
1
1
13 3
ln x x 2 ln
x
x
13 3
1/2
1
1
Bài toán 8.11: Tính: a) A x 2 1 x 2 dx b) B x5 1 x 2 dx
0
0
Hướng dẫn giải
t dx cot dt
2
2
a) Đặt x sin t
Khi x 0 thì t 0, x 1 thì t
/2
A
sin 2 t cos 2 tdt
0
1
4
/2
0
1
4
2
/2
sin
2
2tdt
0
/2
1 cos 4t 1 sin 4t
t
2
8
4 0
16
b) Đặt t 1 x 2 x 2 1 t 2 xdx tdt
Khi x 0 thì t 1, x 1 thì t 0 .
0
B 1 t
2 2
1
1
t7 2
1
8
.t t dt t 4 2t 2 1 t 2 dt t 5 t 3
3 0 105
7 5
0
1
Bài toán 8.12: Tính:
1
a) I
a/ 3
x 2 dx
b) J
x x 1
2
0
0
xdx
a2 x2
a
2
x2
3
Hướng dẫn giải
2
1 3
x x 1 x , x 2 x 1 ' 2 x 1
2 4
2
a) Ta có
2
1 3
Đặt x A x B x 1 C
2 4
2
Đồng nhất thì được A 1, B 2, C
1
nên
2
Trang 7
2
1
1 3
2x 1
1
1
I x
2
3
2 4
0
1 3 2
1 3
2
x
x
2
4
2
4
dx
1
2x 1 2
1
1
x x 1 ln x x 2 x 1
8
2
0
4
3 3 1 1
2
ln 1
4
8
3
a/ 3
b) J
xdx
a2 x2 . 1 a2 x2
0
xdx
Đặt t 1 a 2 x 2 dt
2 a 1
J
a 1
dt
2 t
t
2 a 1
a 1
2
a2 x2
2a 1 a 1
4096
Bài toán 8.13: Tính: a) K
xdx t 1 dt
xdx
3
128
x2 4 x
6
b) L
4
dx
x2 5x 6
Hướng dẫn giải
a) Đặt x t12 thì dt 12t11dt
Khi x 128 thì t 2, x 4096 thì t 2 .
2
9 4
t14
t4
dt
12
t
t
dt
5
5
t
1
t
1
2
2
2
K 12
t10 t 5 1
12 ln t 5 1
10 5 5
b) Đặt t
2
2
464 4 2 1
31
12
ln
5
5 4 2 1
x 2 x 3
1
1
x 2 x 3 dt
dx
2
x
2
2
x
3
1
1
dt
dx
2
x
2
2
x
3
dx
x 2 x 3
2dt
t
Trang 8
6
2 3
dx
L
x 2 x 3
4
2dt
t ln t
2 1
:
2 3
2 1
ln
2 3
2 1
Bài toán 8.14: Tính:
1
a) A
1/2
dx
x 1
b) B
x2 2x 2
0
x
0
dx
2
1 x 2 2
Hướng dẫn giải
a) Đặt t
1/2
1
1
dt
x 1 dx 2
x 1
t
t
dt
A
t2 1
1
dt
. Đặt u t t 2 1
t2 1
du
u
Đăng ký mua file word trọn
bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
1 5 /2
Do đó A
1 2
2 1 2
du
1 5 /2
ln u 1 2 ln
u
1 5
2t 2
2dx
b) Đặt t x 2 x
dt
2
1 t
x2 2 x2 2
2
2
3/2
D
dt
1
3t 2 1 2 3
2
1 t 3 1
ln
2 3 t 3 1
1
1
t 3 1 t 3 1 dt
2
3/2
3/2
2
1
2 3
6
5 3 12 3
ln
23 7 2
Bài toán 8.15: Tính:
1
a) I n
1 x
n
0
1
1
n
1 x
n
dx
b) J n x n . 1 xdx
0
Hướng dẫn giải
Trang 9
1
a) I n
1 xn xn
1 x
n
0
n
1
1 xn
dx
1 xn
n
0
1
1
1
xd
n
1 xn 0 0 n 1 xn
x
1
1
xn
dx
n n
n
0 1 x 1 x
dx
1
xn
dx
n n
n
0 1 x . 1 x
1
1
1
xn
xn
1
n
dx
dx n
n n
n
2 0 1 x n n 1 x n
2
0 1 x . 1 x
b) u x n , dv 1 xdx
Khi đó du nx n1dx, v
2
Jn x
3
0
1 x
3
1
2
3
1 x
3
1
2n n1
x x 1 1 xdx
3 0
0
2n
2n
J n1
J n1 J n J n
3
2n 3
2n 2 n 1 2
2n1.n!
Vậy J n
.
... J 0
2n 3 2n 1 5
3.5... 2n 3
x
Bài toán 8.16: Tìm hàm số f và số thực a 0 thỏa mãn điều kiện:
a
f t
dt 6 2 x với mọi x 0 .
t2
Hướng dẫn giải
Gọi F t là một nguyên hàm của hàm số
f t
t2
Theo định nghĩa tích phân, ta có với mọi x 0
F x F a 6 2 x
Cho x a ta được a 9 và F x F 0 6 2 x
nên F ' x
f x
1
1
2
f x x3
x
x
x
Bài toán 8.17: Tính: a)
2
x
3
x 2
dx
b)
5x 1 5 x
3x
dx
Hướng dẫn giải
Trang 10
a)
2
x
3
4x
6x
9x
dx 4 2.6 9 dx
2
C
ln 4
ln 6 ln 9
x 2
x
x
x
x
5
x
x
x
5x 1 5 x
5 1
5
x
3 3 C
b)
dx
3
dx
3x 3
5 ln 3
3x
ln
3
Bài toán 8.18: Tính: a)
e
sin x
cos xdx
b)
e
1
dx
e x
x
Hướng dẫn giải
a)
e
sin x
cos xdx esin x d sin x esin x C
1
t
b) Đặt t e x thì dt e x dx dx dt
e
x
1
1
1
1 1
1
dx
dt 2
dt
dt
x
1
e
t 1
2 t 1 t 1
t t t
1
1 ex 1
ln t 1 ln t 1 C ln x
C .
2
2 e 1
Bài toán 8.19: Tính: a)
1 tan x
2
e2 x dx b)
x 1 dx
x 1 xe
x
Hướng dẫn giải
a)
1 tan
2
e2 x dx 1 tan 2 x 2 tan x e2 x dx
tan x.e2 x dx tan x.e2 x C
b) Đặt t 1 xe x thì dt x 1 e x dx
x 1 dx
t 1
xe x
1 1
x 1 xe x t 1 t dt ln t C ln 1 xe x C
Bài toán 8.20: Tính: a) I x3 .e x dx
b) J e
3 x 9
dx
Hướng dẫn giải
a) Đặt u x3 , v ' e x thì J x3 .e x dx e x x3 3 x 2 .e x dx
Đặt u x 2 , v ' e x thì
x .e dx x e
2
x
2 x
2 xe x dx 2 xe x I
Trang 11
Do đó J e x x3 3x 2 6 x 6 C
b) Đặt t 3x 9 3x t 2 9 dx
J
2
tdt
3
2 t
te dt . Đặt u t , v ' et thì tet dt t.et et C
3
nên J
2
3
3x 9e
Bài toán 8.21: Tính: a)
3 x 9
e
ln xdx
3 x 9
C
b)
x ln xdx
Hướng dẫn giải
a) Đặt u ln x, dv dx . Khi đó du
1
dx, v x . Ta có:
x
1
ln xdx x ln x x. x dx x ln x dx x ln x x C
1
2 32
b) Đặt u ln x, v ' x u ' , v x . Ta có:
x
3
x ln xdx
2 32
2 1
2 3
4 3
x ln x x 2 dx x 2 ln x x 2 C
3
3
3
9
Bài toán 8.22: Tính: a)
ln x
2
x
dx b) x ln
x
dx
1 x
Hướng dẫn giải
a)
ln x
2
x
1
2
dx ln x d ln x ln 3 x C
3
b) Đặt u ln
x
1
x2
, du xdx . Khi đó du
,v
1 x
x 1 x
2
x
x2
x
1 x
x ln 1 x dx 2 ln 1 x 2 1 x dx
x2
x
1 1
x2
x
1
1
ln
1 dx ln
ln 1 x x C
2 1 x 2 1 x
2 1 x 2
2
Bài toán 8.23: Tìm nguyên hàm
a) I x3 ln 2 x dx
b) J x 2 cos 2 x dx
Hướng dẫn giải
Trang 12
1
x4
a) Đặt u ln 2 x , dv x dx . Khi đó du dx, v
.
x
4
3
x 4 ln 2 x
x 4 ln 2 x x 4
x3
Ta có: I
dx
C
4
4
4
16
b) Đặt u x 2 , dv cos 2 x dx . Khi đó du 2 xdx, v
x 2 sin 2 x
Ta có: J
x sin 2 x dx
2
sin 2 x
.
2
Đăng ký mua file word trọn bộ
chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
Đặt u x, dv sin 2 x dx . Khi đó du dx, v
x sin 2 x dx
cos 2 x
:
2
x cos 2 x
cos 2 x
x cos 2 x sin 2 x
dx
C
2
2
2
4
x 2 sin 2 x x cos 2 x sin 2 x
C
nên J
2
2
4
Bài toán 8.24: Tính:
a) I sin ln x dx
b) J e x cos x 2 x sin x dx
2
Hướng dẫn giải
a) Đặt u ln x thì x eu nên dx eu du
A sin u.eu du sin ud eu sin u.eu cos u.eu du
sin u.eu cos u.d eu sin u.eu cos u.eu sin u.eu du
Từ đó suy ra A
1
x sin ln x cos ln x C
2
b) Đặt u e x , dv cos x . Khi đó du 2 xe x dx, v sin x
2
2
Trang 13
e
x2
.cos xdx e x .sin x 2 xe x .sin xdx
2
2
nên J e x cos x 2 x sin x e x .sin x C
2
2
1
x
Bài toán 8.25: Tính: a) K
2
1
x 1 e dx
b) L
x
0
x
3
2 e x dx
0
Hướng dẫn giải
a) Đặt u x 2 x 1, dv e x dx . Khi đó du 2 x 1 dx, v e x .
K x x 1 e
21
x
1
1
2 x 1 e dx 3e 1 2 x 1 e x dx
1
x
0
0
0
Đặt tiếp u 2 x 1, dv dx thì được K 2 e 1 .
b) Đặt u x3 2, dv e x dx . Khi đó du 3x 2 dx, v e x .
1
L e x 2 3 x 2e x dx
x
3
1
0
0
Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L 4 .
ln 4
Bài toán 8.26: Tính: a) A
ln 2
1
dx
e 1
x
b) B
xe x
1 x
2
dx
0
Hướng dẫn giải
a) Đặt u x 2 x 1, dv e x dx . Khi đó du 2 x 1 dx, v e x .
K x x 1 e
2
x
1
0
1
1
2 x 1 e dx 3e 1 2 x 1 e x dx
x
0
0
Đặt tiếp u 2 x 1, dv dx thì được K 2 e 1 .
b) Đặt u x3 2, dv e x dx . Khi đó du 3x 2 dx, v e x .
1
L e x x3 2 3 x 2e x dx
1
0
0
Dùng tích phân từng phần 2 lần nữa thì L 4 .
ln 4
Bài toán 8.26: Tính: a) A
ln 2
dx
ex 1
1
b) B
xe x
1 x
2
dx
0
Hướng dẫn giải
Trang 14
a) Đặt t e x 1 e x t 2 1 dx
3
A
t
1
2tdt
t2 1
dt
. Đặt t tan u thì B
6
1
2
1
1
ex
ex
b) B
dx
dx
2
1
x
1
x
0
0
e x 1 1 e x
e
ex
dx
dx 1 .
1 x 0 0 1 x 2
1 x
0
1
Bài toán 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J e 2 x sin 2 xdx
x
0
0
Hướng dẫn giải
a) Đặt u cos x, dv e x , du sin x, v e x
I cos x.e
x
0
e .sin xdx 1 e sin xd e x
x
0
1 e sin x.e
0
x
e
0
x
cos xdx 1 e I
0
Do đó 2 I 1 e I
1 e
.
2
1
1
1
b) J 1 cos 2 x d 22 x e 2 x 1 cos 2 x e 2 x .sin 2 xdx
40
4
20
0
Dùng từng phần 2 lần liên tiếp thì J
1 2
e 1 .
8
1 x 1x
Bài toán 8.28: Tính a) I 1 x e dx
x
0.5
1
2
b) J
3x
0 3x 3 x dx
Hướng dẫn giải
2
a) I
e
x
0,5
Đặt u e
1
x
1 x 1x
dx x e dx
x
0,5
x
2
1
x
1 x 1x
, dv dx . Khi đó du x e dx, v x
x
Trang 15
1
x
1 x 1x
Ta có: x e dx xe x
x
0,5
2
Suy ra I xe
x
1 2
x
0,5
2
2
0,5
e
x
1
x
dx
0,5
3
e 2,5 .
2
3 x
b) Xét E x
dx thì J E dx 1
3 3 x
0
0
1
1
3x 3 x
1
1
5
và J E x
dx
.ln 3x 3 x
ln
x
3 3
ln 3
ln 3 3
0
0
1
1
Do đó: J
1
1
5
ln .
1
2 ln 3 3
1
Bài toán 8.29: Tính: a) A
1
1 x2
dx
1 2x
1
b) B x 2e x sin xdx
0
Hướng dẫn giải
0
a) A
1
1 x2
1 x2
dx
0 1 2x dx
1 2x
1
0
Đặt x t thì
1
1
Do đó A
1 x2
2t 1 t 2
2x 1 x2
dx
dt
dx
1 2x
1 2t
1 2x
0
0
1
1 2
x
1 x2
1 2
0
Đặt x sin t thì A
x
4
1
1
dx 1 x 2 dx
0
.
b) Đặt u x2 sin x, dv e x dx thì
1
B e x sin x e x 2 x sin x x 2 cos x dx
x
2
1
0
0
1
1
0
0
e sin1 2 xe x sin xdx x 2e x cos xdx
Từ đó tính được B e sin1
1
dx
Bài toán 8.30: Tính a) I x
2
1 e 1 x 1
sin 2 x
b) J x
dx
3 1
Trang 16
Hướng dẫn giải
a) Đặt x t thì dx dt . Khi x 1 t 1, x 1 t 1 .
1
1
1
dx
dt
et
Ta có I x
dt
2
t
2
t
2
e
1
x
1
e
1
t
1
e
1
t
1
1
1
1
1
ex
I x
dx
2
1 e 1 x 1
1
nên 2 I I I
t
1
dt
. Vậy I .
1 2
4
Đăng ký mua file word trọn bộ
2
chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
b) Đặt x t thì dx dt nên: J
sin 2 t
3x.sin 2 x
dt
dx
x
1
1
3
1
3t
1
Do đó 2 J sin xdx 1 cos 2 x dx J
2
2
2
3
2
Bài toán 8.31: Tính a) A ln x x dx b) B x5 ln xdx
2
2
1
Hướng dẫn giải
a) A x ln x 2 x
3
2
2x 1
1
dx 3ln 6 2ln 2 2
dx 3ln 3 2
x
1
x
1
2
2
3
3
b) Đặt u ln x, dv x5dx . Khi đó du
dx
1
, v x6
x
6
2
2 5
x 6 ln x
x dx 32
7
B
ln 2
3
4
6 1 1 6
e
e
Bài toán 8.32: Tính a) C x ln xdx
1
2
b) D
x
2
x 1 ln xdx
1
Trang 17
Hướng dẫn giải
a) Đặt u ln 2 x, dv xdx . Khi đó du
2ln x
1
dx, v x 2
x
2
e
e
e
x2
e2
C ln 2 x x ln xdx x ln xdx
2 1
2
1 1
Đặt u ln x, dv xdx . Khi đó du
e
dx
x2
,v
x
2
x2
1
e2 1 2
e2 1
1 x ln xdx 2 ln x 2 1 xdx 2 4 e 1 C 4
1
e
e
b) Đặt u ln x, dv x2 x 1 dx thì:
e
e
x3 x 2
x3 x 2
1
D x ln x x dx
3 2
3 2
x
1
1
e
x2 x
e3 e 2
2e3 e2 31
e 1 dx
3 2
3 2
9
4 36
1
1 ln x
ln x
dx
dx b) J
x
x
1
e
Bài toán 8.33: Tính: a) I
4
1
Hướng dẫn giải
e
a) I
1 ln x
1
2
1
4
b) J 2 ln xd
e
x 2
x .ln x
1
4ln 4 4
3
1
2
d 1 ln x 1 ln x 2 2 2 1
2
3
1
x
4
1
4
1
4
2
1
dx
x
4 ln 4 1
/2
Bài toán 8.34: Tính: a) A
cos x ln sin x dx
3
b) B ln
2
/4
x 1
dx
x 1
Hướng dẫn giải
/2
a) A
/2
ln sin x d sin x sin x.ln sin x
/4
/4
/2
cos xdx
/4
Trang 18
/2
2
2
2 2
ln 2 sin x
ln 2
4
4
2
/4
3
x 1
2x
b) B x ln
2 dx 3ln 3 6ln 2
x 1 2 2 x 1
3
3
Bài toán 8.35: Tính: a) C
3 ln x
x 1
3
b) D
dx
2
1
x ln x x 2 1
0
x2 1
dx
Hướng dẫn giải
3 ln x
dx
1
a) C 3 ln x d
x 1 1 1 x x 1
x 1
2
3
3
3
3 ln 3 3
1
dx
1
27
dx
3 ln
4
2 1x
x 1 4
16
1
3
3
x
b) Đặt u ln x x 2 1 , dv
D x 1.ln x x 1
2
2
x2 1
3
0
thì:
3
dx 2ln 3 3
0
Bài toán 8.36: Tính:
e
a) I
1 2 x ln x 3 dx
2
b) I
1 x ln x
1
x 2ln x
x 1
3
dx
1
Hướng dẫn giải
e
a) Ta có I
1 2 x ln x 3 dx e 2 1 x ln x 1 ln x dx
1 x ln x
1
1 x ln x
1
1 ln x
1 ln x
e
dx 2 x 1
dx 2 e 1 J
1
x
ln
x
1
x
ln
x
1
1
e
e
2 dx
1
e
Tính J
e
1 ln x
1 x ln x dx
1
Đặt t 1 x ln x dt 1 ln x dx
Khi x 1 thì t 1 , khi x e thì t 1 e
1 e
nên J
1
dt
1 e
ln t 1 ln 1 e nên I 2 e 1 ln 1 e
t
Trang 19
2
b) I
x 2ln x
x 1
3
1
1
1
2ln x
dx
dx
2
3
3
x 1 x 1
1 x 1
2
2
2
2
2
1
1
1
ln x
7
ln x
.
2
dx 2
dx
2
3
3
x 1 1 2 x 1
12
1 x 1
1 x 1
1
2
Tính J
ln x
x 1 dx
3
1
Đặt u ln x, dv
dx
x 1
2
J
ln x
2 x 1
2
1
3
dx
1
1
,v .
x
2 x 12
. Khi đó du
2
2
1
dx
ln 2 1 1
1
1
dx
2 1 x x 12
18 2 1 x x 1 x 12
2
ln 2 1
x
1
ln 2 1 4 1
ln
ln
18 2 x 1 x 1 1
18 2 3 6
ln 2 1 4 1
ln
18 2 3 12
Suy ra I
7
4 ln 2 5
ln 2 1 4 1
2
ln ln
12
3 9 72
18 2 3 12
ln 2
Bài toán 8.37: Tính: a) I
0
2 xe x
0 x2 2 x 1dx
1
x
dx
x
e e x 2
b) I
Hướng dẫn giải
ln 2
a) Ta có I
0
x
dx
x
e e x 2
Đặt u x, dv
e
ex
x
1
ln 2
x
Ta có: I x
e 1 0
ln 2
Tính J
e
0
2
ln 2
0
e
xe x
x
1
2
dx
dx . Khi đó du dx, v
ln 2
0
dx
ln 2
x
e 1
3
ln 2
e
0
1
e 1
x
dx
1
x
dt
dx
. Đặt e x t thì x ln t dx
t
1
x
Khi x 0 t 1; x ln 2 t 2
Trang 20
2
2
dt
1 1
J
dt ln t 1 ln t 1 1
t t 1 1 t t 1
1
2
2
5
2ln 2 ln3 nên I ln 2 ln 3 .
3
2
xe x
xe x
b) Ta có I
dx
dx
dx
1
dx
2
2
2
2
x
1
x
1
x
1
x
1
x
1
0
0
0
0
0
1
1
Tính
1
2
xe x
x 1
2
1
xe x
dx . Đặt u xe x , dv
0
Khi đó du x 1 e x .dx; v
dx
x 1
1
x 1
2
1
1
.
Đăng ký mua file word trọn bộ
chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
1
xe x
1
dx
Ta có:
x 1 e x dx
2
x 1 0 0 x 1
0 x 1
1
xe x
1
1
1
e
e
e
e x dx e x dx 1
0
2 0
2
2
Thay vào ta được I
e
2.
2
Bài toán 8.38: Chứng minh F x là nguyên hàm của f x :
a) F x ln x 1 x 2 C; f x
1
1 x2
1
x
C; f x
cos x
2 4
b) F x ln tan
Hướng dẫn giải
Trang 21
a) F ' x
b) F ' x
x
1
x2 1
x x2 1
1
x2 1
đpcm.
1
1
.
x
x
2cos 2 tan
2 4
2 4
1
1
1
cos x
x x
2cos sin sin x
2
2 4 2 4
Bài toán 8.39: Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số f x
e2 x
t ln tdt
ex
Hướng dẫn giải
Gọi F t là một nguyên hàm của hàm số t ln t trên 0;
f ' x F ' e 2e F ' e e
Ta có: f x F e2 x F e x , suy ra:
2x
2x
x
x
4 xe4 x xe2 x xe2 x 4e2 x 1
f ' x 0 x 0 x ln 2
Lập BBT thì f đạt cực tiểu tại x 0 và đạt cực đại tại x ln 2 .
Bài toán 8.40: Đặt I n x ne x dx, n ¥ * . Tính I theo I n 1 với n 2 . Suy ra I 3 .
Hướng dẫn giải
I n x n d ex x n .e x n x n1e x dx x n .e x nI n1
Do đó I 3 x3e x 3I 2 , I 2 x 2e x 2I1 , I1 xe x dx e x x 1 C
nên I 3 e x x3 3x 2 6 x 6 C .
1
Bài toán 8.41: Cho I n x n e x dx . Tính I n theo I n 1 .
0
Hướng dẫn giải
1
In x d e
n
x
x .e
n
x
0
1
0
1
n x n1e x dx e nI n1
0
e
Bài toán 8.42: Cho J n
ln x
1
n
dx . Chứng minh J n1 J n
e
n 1
Trang 22
Hướng dẫn giải
J n x ln x
n e
1
e
n ln x
n 1
e nJ n1
1
Với 1 x e 0 ln x 1 J n1 J n
Do đó J n e nJ n1 e nJ n
n 1 J n e đpcm.
Bài toán 8.43: Tính tích phân
x2 1
b) I 2 ln xdx
x
1
2
1
a) I x 2 x dx
2
0
Hướng dẫn giải
1
1
1
1/2
1
1
a) I x 2 x dx 2 x 2 d 2 x 2 u1/2 du
20
22
0
2
2
1
1
1
u1/2 du (đặt u 2 x 2 ) u 3/2 2 2 1 .
21
3
1 3
2
x2 1
1 x2 ln xdx
2
b) I
dx
Đặt t ln x
dt , x et , t 1 0, t 2 ln 2 I
x
ln 2
t e
t
e t dt
0
Đặt u t du dt , dv et et , chọn v et et
I t et et
0
ln 2
ln 2
e
t
et dt
0
Cách khác: Đặt u ln x du
dv
5ln 2 3
2
dx
x
x2 1
1
1
dx 1 2 dx v x
2
x
x
x
2
2
1
1 dx 5
1
5
1
I x ln x x ln 2 1 2 dx ln 2 x
x
x x 2
x
2
x 1
1
1
1
2
2
5
1 5
3
ln 2 2 ln 2 .
2
2 2
2
Trang 23
3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài toán 8.1: Chứng minh F x là một nguyên hàm của f x :
a) F x x ln x x; f x ln x
b) F x ln tan
x
1
C; f x
2
sin x
Hướng dẫn
a) Dùng định nghĩa và công thức đạo hàm
b) Dùng định nghĩa và công thức ln u '
u'
u
b) P
Bài tập 8.2: Tính: a) A x 7 3x 2 dx
x
3
x 4
2
dx
Hướng dẫn
3
1
2 2
a) Đổi biến t 7 3x . Kết quả 7 3x C
3
2
b) Kết quả
2
3 2
x
4
3 C
4
Bài tập 8.3: Tính a)
dx
x 1 x
b)
2
2x
xdx
2
1 3 x2 1
Hướng dẫn
a) Đổi biến t 1 x . Kết quả
b) Kết quả
x2 1 1
2
C
1 x
2
1
ln
C
2
2
2 x 1 1
Bài tập 8.4: Tính
a) I
b) I
1 x 2 dx
1 2 x x2 1 2 x2
1 x x 1
2
dx
Hướng dẫn
a) Dùng nguyên hàm từng phần
Kết quả
1
ln x 1 x 2 x 1 x 2 C
2
Trang 24
b) Kết quả
1
x x2 1
2
1
Bài tập 8.5: Tính: a) I
0
x 1
2
x3dx
4 x2
x 2 1 2ln x x 2 1 1 C
3
b) J
x5 2 x3
0
x2 1
dx
Hướng dẫn
a) Đổi biến t 4 x 2 . Kết quả
b) Kết quả
16
3 3
3
26
5
1
1
dx
Bài tập 8.6: Tính: a) C
x x 1
0 1
b) D
x
0
x3dx
x2 1
Hướng dẫn
a)
Trục căn thức ở mẫu. Kết quả
1
3 2 ln 1 2
3
Đăng ký mua file word
trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:
HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ
Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”
Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851
b) Kết quả D
2 2 1
15
Bài tập 8.7: Tính a)
4 x
x e dx
b)
12 x dx
16x 9x
Hướng dẫn
a) Dùng tích phân từng phần 4 lần liên tiếp.
Kết quả x 4 4 x3 12 x 2 24 x 24 e x C
1
4 x 3x
b) Kết quả
.ln x
C
2 ln 4 ln 3
4 3x
Bài tập 8.8: Tính: a)
ln sin x
2
cos2 x dx b) ln x 1 x dx
Trang 25
