Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơron tế bào vào giải phương trình truyền nhiệt 2 chiều

i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TRUYỀN THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGÀNH KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ MẠNG NƠRON TẾ BÀO
VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 2 CHIỀU

Học viên: PHẠM THANH HẢI
Giáo viên hƣớng dẫn: TS. VŨ ĐỨC THÁI

THÁI NGUYÊN - 2016

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan những kết quả nghiên cứu đƣợc trình bày trong
luận văn là hoàn toàn trung thực, không vi phạm bất cứ điều gì trong luật
sở hữu trí tuệ và pháp luật Việt Nam. Nếu sai, tôi hoàn toàn chịu trách
nhiệm trƣớc pháp luật.

Thái nguyên, ngày 14 tháng 4 năm 2016
Tác giả luận văn

Phạm Thanh Hải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iii

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo, TS. Vũ Đức Thái,
ngƣời đã tận tình hƣớng dẫn và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình
làm luận văn tốt nghiệp.
Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo đã giảng dạy tôi trong suốt thời gian
học tập tại trƣờng và các cán bộ Phòng Đào tạo đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi
hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của gia đình, bạn bè
và tập thể lớp Cao học K13C đã cổ vũ động viên tôi hoàn thành tốt luận
văn của mình.
Tuy đã có những cố gắng nhất định nhƣng do thời gian và trình độ có
hạn nên luận văn này còn nhiều thiếu sót và hạn chế nhất định. Kính mong
nhận đƣợc sự góp ý của thầy cô và các bạn.
Thái nguyên, ngày 14 tháng 4 năm 2016

Học viên Phạm Thanh Hải

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

iii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN.............................................................................................. ii
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. iii
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................. iii
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................... vi
DANH MỤC CÁC HÌNH .............................................................................. vii
MỤC LỤC ........................................................................................................ iii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1 VẤN ĐỀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT BẰNG
CÔNG NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO ...................................................... 3
1.1. Giới thiệu về phƣơng trình đạo hàm riêng ................................................. 3
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về phƣơng trình đạo hàm riêng ........................... 3
1.1.2. Phân loại các phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai
biến độc lập ....................................................................................................... 4
1.1.3. Phƣơng pháp sai phân Taylor.................................................................. 4
1.1.4. Bài toán sai phân ..................................................................................... 6
1.2. Phƣơng trình truyền nhiệt 2 chiều .............................................................. 8
1.3. Công nghệ mạng nơron tế bào ................................................................. 12
1.3.1. Các định nghĩa về mạng nơ ron tế bào.................................................. 12
1.3.2 Kiến trúc chuẩn về công nghệ mạng nơ ron tế bào................................ 13
1.3.3. Các dạng kiến trúc mạng CNN ............................................................. 14
1.3.4. Một số ứng dụng của công nghệ CNN .................................................. 20
CHƢƠNG 2 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT HAI CHIỀU ........ 24
2.1. Mối quan hệ giữa mạng CNN và phƣơng trình đạo hàm riêng [12]........ 24
2.2. Phƣơng pháp giải phƣơng trình đạo hàm riêng bằng công nghệ mạng nơ
ron tế bào ......................................................................................................... 28

2.2.1. Mẫu và thiết kế mẫu .............................................................................. 28
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iv

2.2.2. Ứng dụng máy tính CNN-UM trong một số bài toán đơn giản ............ 29
2.2.3. Sự ổn định của mạng CNN ................................................................... 39
2.3. Phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều và các ràng buộc............................. 50
2.3.1. Thành lập phƣơng trình truyền nhiệt .................................................... 50
2.3.2. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên ..................................................... 53
2.4. Giải phƣơng trình truyền nhiệt 2 chiều bằng CNN.................................. 54
2.4.1. Phân tích sai phân Taylor phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều ............ 54
2.4.2. Thiết kế mẫu CNN cho phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều ............... 54
2.4.3. Kiến trúc điện tử cuả mạng nơ ron giải phƣơng trình truyền nhiệt hai
chiều ................................................................................................................ 55
2.5. Kết luận .................................................................................................... 57
CHƢƠNG 3. CÀI ĐẶT MÔ PHỎNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN
NHIỆT HAI CHIỀU ....................................................................................... 58
3.1. Xây dựng bài toán .................................................................................... 58
3.2. Các kết quả tính toán ................................................................................ 59
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 69
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 71

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

v

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Tiếng Anh

Tiếng Việt

CNN

Cellular Neural Network

Công nghệ mạng nơron tế bào

PDE

Partial Difference Equation

Phƣơng trình đạo hàm riêng
Ma trận cổng logic lập trình

FPGA

Field Programmable Logic Array

VLSI

Very Large Scale Intergrated

VHDL

Very High Description Language Ngôn ngữ đặc tả phần cứng dù

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

đƣợc
Chip tích hợp mật độ cao




vi

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Giá trị ban đầu của nhiệt độ trong tấm phẳng thực nghiệm ........... 60
Bảng 3.2: Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 61
Bảng 3.3. Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 62
Bảng 3.4. Kết quả tính toán sau 10 giây. ........................................................ 63
Hình 3.4 Giá trị nhiệt độ sau 10 giây .............................................................. 63
Bảng 3.5. Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 64
Hình 3.5 : Giá trị nhiệt độ sau 5 giây .............................................................. 64
Bảng 3.6. Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 65
Bảng 3.7. Giá trị của các điểm biên đƣợc xác định ........................................ 66
Bảng 3.8. Kết quả tính toán sau 10 giây ......................................................... 67

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

vii

DANH MỤC CÁC HÌNH
Hình 1.1: Kiến trúc CNN chuẩn..................................................................... 13
Hình 1.2: Kiến trúc làm việc của mạng CNN ................................................. 14
Hình 1.3 Một số kiến trúc CNN không chuẩn ............................................... 14
Hình 1.4 Kiến trúc CNN hai chiều 3 lớp ....................................................... 15
Hình 1.5: CNN không gian bất biến với 3 láng giềng ................................... 18
Hình 1.6 Mô tả cấu trúc tƣơng tác của CNN tổng quát ................................. 19
Hình 1.7: CNN hồi tiếp bằng 0: C(0,B,z) ...................................................... 19
Hình 1.8: Mạch điện của CNN có hồi tiếp bằng 0 C(0,B,z) ........................... 19
Hình 1.9: CNN đầu vào bằng 0, C(A,0,z) ...................................................... 20
Hình 1.10: Mạch điện CNN đầu vào bằng 0:C(A,0,z)................................... 20
Hình 2.1: Mạch CNN hai lớp. Lớp u có ảnh hƣởng đến lớp v ...................... 25
Hình 2.2: Lƣới sai phân 2 chiều ...................................................................... 26
Hình 2.3: Mô hình mạch cho bài toán giải hệ PDE ........................................ 28
Hình 2.4: Kiến trúc tế bào mở rộng thêm vào 3 khối (LLM, GW, GCL) ..... 30
Hình 2.5: Tế bào mở rộng có thêm hai khối cell khác nhau .......................... 31
Hình 2.6 Thủ tục SUBSET nhƣ một hàm ....................................................... 32
Hình 2.7: Lƣu đồ xử lý của bài toán dò biên .................................................. 33
Hình 2.8: Quá trình nạp TEM1 (a,b) .............................................................. 35
Hình 2.9: Nạp kết quả vào LLM3 ................................................................. 36
Hình 2.10: Ảnh kết quả xử lý bỏ đi các điểm ảnh cô lập............................... 38
Hình 2.11: Giá trị ban đầu của phƣơng trình ................................................. 39
Hình 2.12: Ảnh kết quả nghiệm của phƣơng trình ....................................... 39
Hình 2.13. Đặc trƣng của mạch phi tuyến tính trong mạch ô tƣơng đƣơng .. 45
Hình 2 .14: Mạch tƣơng đƣơng vững chắc của một ô trong một nơron tế bào
......................................................................................................................... 46

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




viii

Hình 2.15: Các tuyến động và các điểm cân bằng của mạch tƣơng đƣơng với
các giá trị khác nhau của g(t). ......................................................................... 50
Hình 2.16: Sao chép khuôn mẫu của một khối tƣơng tác toán tử. .................. 50
Hình 2.16: Sơ đồ khối CNN 2D cho giải phƣơng trình truyền nhiệt.............. 56
Hình 2.17: Khối xử lý số học của mạng CNN giải phƣơng trình truyền nhiệt .56
Hình 3.1. Tấm phẳng làm thực nghiệm .......................................................... 58
Hình 3.2: Giá trị nhiệt độ ban đầu ................................................................... 61
Hình 3.3: Giá trị nhiệt độ sau 5 giây ............................................................... 62
Hình 3.4 Giá trị nhiệt độ sau 10 giây .............................................................. 63
Hình 3.5 : Giá trị nhiệt độ sau 5 giây .............................................................. 64
Hình 3.6 : Giá trị nhiệt độ sau 10 giây ............................................................ 65
Hình 3.7: Giá trị của nhiệt độ sau 5 giây ........................................................ 66
Hình 3.8 : Giá trị nhiệt độ sau 10 giấy ............................................................ 67

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




1

MỞ ĐẦU
Trong nhiều bài toán khoa học các đại lƣợng biến thiên phức tạp theo

nhiều tham số không gian, thời gian và các điều kiện ngoại cảnh. Để giải
quyết các bài toán trên thƣờng đƣa đến việc giải phƣơng trình vi phân, thậm
chí là phƣơng trình vi phân đạo hàm riêng.
Phƣơng trình vi phân có nhiều loại, có nhiều cách giải khác nhau nhƣ:
phƣơng pháp giải tích, phƣơng pháp sai phân với các công thức sai phân đã
tiến hành cài đặt trên máy vi tính. Các máy tính thông thƣờng hiện nay có thể
giải đƣợc nhƣng với tốc độ hạn chế, một số trƣờng hợp không đáp ứng đƣợc
với ứng dụng trong thời gian thực.
Việc áp dụng công nghệ mạng nơron tế bào CNN vào giải phƣơng trình
đạo hàm riêng với tốc độ cao là cần thiết và có nhiều triển vọng trong tƣơng
lai đáp ứng cho các bài toán trong thời gian thực.
Do đó, em đã chọn “Nghiên cứu ứng dụng công nghệ mạng nơ ron tế bào
vào giải phương trình truyền nhiệt hai chiều” nhằm mục tiêu tìm hiểu công
nghệ mạng nơ ron tế bào và tìm hiểu phƣơng pháp, kỹ thuật thuật thực hiện
giải phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều bằng công nghệ này. Để thực hiện
mục tiêu này, đề tài này tập trung nghiên cứu các nội dung sau:
Chương 1: Vấn đề giải phương trình truyền nhiệt bằng công nghệ
mạng nơ ron tế bào: Nghiên cứu công nghệ mạng nơron tế bào, các phƣơng
trình đạo hàm riêng, phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều và các ứng dụng thực
tiễn.
Chương 2: Giải phương trình truyền nhiệt hai chiều: Đề xuất phƣơng
pháp giải và xây dựng mô hình bài toán phƣơng trình truyền nhiệt hai
chiều đƣợc giải bằng công nghệ mạng nơ ron tế bào.
Chương 3: Mô phỏng thực nghiệm: Mô phỏng tính toán kết quả trên
Matlab, đánh giá so sánh kết quả.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

2

Luận văn nghiên cứu với mục tiêu tìm hiểu một công nghệ mới ứng dụng
trong việc giải phƣơng trình đạo hàm riêng trong lĩnh vực tính toán khoa học.
Đó là một nhu cầu rất quan trọng trong thời đại phát triển khoa học công nghệ
ngày nay, khi mà hầu hết các hiện tƣợng lý hoá sinh trong tự nhiên đƣợc biểu
diễn bởi các phƣơng trình phi tuyến phức tạp mà phƣơng trình đạo hàm riêng
chiếm số lƣợng lớn. Việc giải phƣơng trình truyền nhiệt hai chiều là một ứng
dụng trong lĩnh vực vật lý hiện .
Trong nội dung của luận văn chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, em
rất mong quý thầy cô và các bạn đọc quan tâm, đóng góp ý kiến, để luận văn
đƣợc hoàn thiện hơn.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




3

CHƢƠNG 1
VẤN ĐỀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT BẰNG CÔNG
NGHỆ MẠNG NƠ RON TẾ BÀO
1.1. Giới thiệu về phƣơng trình đạo hàm riêng
1.1.1. Các khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng
Định nghĩa: Phƣơng trình đạo hàm riêng là phƣơng trình có chứa đạo hàm
riêng của hai hay nhiều hơn hai biến phải tìm [7,8]. Ví dụ:
u u u
 
0

x y z

(1.1)

 2u  2u  2u


u
x 2 y 2 z 2

(1.2)

trong đó (1.1) và (1.2) là các phƣơng trình đạo hàm riêng của hàm chƣa biết là
u(x,y,z);
Cấp của phƣơng trình: Là cấp của đạo hàm cấp cao nhất. Ví dụ cấp của
(1.1) là cấp 1; cấp của (1.2) là cấp 2.
Phƣơng trình đạo hàm riêng đƣợc gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm và
các đạo hàm của nó chỉ xuất hiện với luỹ thừa bậc nhất và không có tích của
chúng với nhau.
Dạng tổng quát của phƣơng trình tuyến tích cấp hai đối với hàm hai
biến x,y là:
A( x, y )

 2u
 2u
 2u
u
u

2

B
(
x
,
y
)

C
(
x
,
y
)
 D( x, y )  E ( x, y ) F ( x, y)u  G( x, y)
2
2
x
xy
y
x
y

(1.3)

Nếu G(x,y)  0 thì phƣơng trình gọi là thuần nhất, nếu không gọi là
không thuần nhất.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

4

Nghiệm của phƣơng trình đạo hàm riêng: Là mọi hàm mà khi thay nó
vào phƣơng trình ta đƣợc một đồng nhất thức. Ví dụ: u(x,y) = x + y – 2z là
nghiệm của (1.1), hàm u = ex+3y32z là nghiệm của phƣơng trình (1.2).
1.1.2. Phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai với hai

biến độc lập
Dạng tổng quát của phƣơng trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, trong
đó hàm u( x, y) chƣa biết phụ thuộc hai biến độc lập ( x, y) là
A( x, y )

 2u
 2u
 2u
u
u

2
B
(
x
,
y
)

C
(

x
,
y
)
 D( x, y )  E ( x, y )  F ( x, y )u  G ( x, y )
2
2
xy
x
y
x
y

(1.4)

Ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng mọi phƣơng trình có dạng (1.4) nhờ
những phép biến đổi thích hợp có thể đƣa về một trong ba dạng sau:
a) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì bằng các phép biến đổi thích
hợp có thể đƣa phƣơng trình (1.4) trong miền ấy về dạng
 2u  2u
u
u

 D1
 E1
 F1u  G1 ( , )
2
2






(1.5)

Trong trƣờng hợp này phƣơng trình (1.5) gọi là phƣơng trình loại eliptic.
b) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phƣơng trình (1.4) trong miền
ấy có thể đƣa về dạng
 2u  2u
u
u

 D2
 E2
 F2 u  G2 ( , )
2
2





(1.6)

Trong trƣờng hợp này phƣơng trình (1.6) gọi là phƣơng trình loại hypebolic.
c) Nếu AC  B 2  0 trong một miền nào đó thì phƣơng trình (1.4) trong miền
ấy có thể đƣa về dạng
 2u
u
u

 D3
 E3
 F3 u  G3 ( , )
2




(1.7)

Trong trƣờng hợp này phƣơng trình (1.7) gọi là phƣơng trình loại parabolic.
1.1.3. Phương pháp sai phân Taylor
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




5

Trong các phần trƣớc ta đã xét các phƣơng pháp tìm nghiệm tƣờng
minh của bài toán dƣới dạng các công thức sơ cấp, các tích phân hoặc các
chuỗi hàm đối với một số ít trƣờng hợp [5,7]. Còn đại đa số trƣờng hợp khác,
đặc biệt là đối với các bài toán có hệ số biến thiên, các bài toán phi tuyến, các
bài toán trên miền bất kỳ thì nghiệm tƣờng minh của bài toán không có, hoặc
có nhƣng rất phức tạp. Trong những trƣờng hợp đó việc tính nghiệm phải dựa
vào các phƣơng pháp giải gần đúng.
Để giải quyết vấn đề nêu trên thì trong phạm vi bài giảng đƣa ra
phƣơng pháp sai phân để giải quyết vấn đề đó.
Để tiện trình bày phƣơng pháp ta xét một bài toán cụ thể sau.
Đặt bài toán:

Cho các số a, b với a < b.
QT  a  x  b ; 0  t  T  ;

QT  a  x  b ; 0  t  T  .

Tìm hàm số u(x, t) thoả mãn
u  2 u
Lu 

 f ( x, t )
t x 2

( x, t )  QT

(1.8)

u( x,0)  g ( x)

a xb

(1.9)

0t T

(1.10)

u (a, t )  g a (t )

u (b, t )  g b (t )

Lưới sai phân.
Chọn hai số nguyên N  1 , M  1 và đặt

h

ba
N

xi  a  ih



T
M

t j  j.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

i  0,1,2,....,N
j  0,1,2,....,M




6

Ta chia miền QT thành ô bởi những đƣờng thẳng x  xi , t  t j , mỗi điểm

x

i

, t j  đƣợc gọi là một nút và ký hiệu là i , j  . Mục tiêu của phƣơng pháp

là tìm nghiệm gần đúng của bài toán tại các nút i , j  .
Trong đó:

h gọi là bƣớc đi không gian.



gọi là bƣớc đi thời gian.

Tập tất cả các nút i , j  tạo thành một lƣới sai phân trên QT .
Xấp xỉ các đạo hàm:
Áp dụng công thức Taylor ta có
u ( xi , t j 1 )  u( xi , t j 1 )
2



u
( xi , t j )  o( )
t

u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j )
h2

(1.11)

 2u
 2 ( x i , t j )  o( h 2 )
x

(1.12)

Từ đó ta thấy có nhiều cách xấp xỉ đạo hàm dẫn đến có nhiều phƣơng án khác
nhau để thay thế bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
1.1.4. Bài toán sai phân
Bài toán đặt ra là phải tìm nghiệm gần đúng vi  u( xi , t j ) .
j

* Xuất phát từ

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )





u
( xi , t j )  o( )
t

u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j )
h2

 2u
 2 ( x i , t j )  o( h 2 )

x

suy ra

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )






u ( xi 1 , t j )  2u ( xi , t j )  u ( xi 1 , t j )
h2

u
 2u
( xi , t j )  2 ( xi , t j )  o(  h 2 ) .
t
x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN






7

Để tính

vij ta đƣa về bài toán sai phân sau:

vij 1  vij



vij1  2vij  vij1

 f ( xi , t j ) i  1..N  1, j  0..M  1 (1.13)
h2

vi0  g ( xi )

i  1..N  1

(1.14)

v0j  ga (t j ) vNj  gb (t j )
đặt  


h2

( 





h2

j  1..M

(1.15)

1
) thì (1.13) đƣợc viết thành:
2

vij 1  (1  2 )vij   (vij1  vij1 )   f ( xi , t j )

(1.16)

Từ (1.16) ta thấy nếu biết ba điểm vij1 , vij , vij1 thì tính đƣợc v ij 1 với các điều
kiện đầu cho giá trị ở lớp thời gian đầu tiên j  0 , các giá trị trên biên cho ở
(1.14).
* Nếu ta xuất phát từ

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )





u
( xi , t j 1 )  o( )
t

u ( xi 1 , t j 1 )  2u ( xi , t j 1 )  u ( xi 1 , t j 1 )

h2

thì ta có

u ( xi , t j 1 )  u ( xi , t j )





 2u
 2 ( xi , t j 1 )  o(h 2 )
x
u ( xi 1 , t j 1 )  2u( xi , t j 1 )  u ( xi1 , t j 1 )

h2

u
 2u

( xi , t j 1 )  2 ( xi , t j 1 )  o(  h 2 )
t
x
Từ đó ta có bài toán sai phân sau:

vij 1  vij



vij11  2vij 1  vij11


 f ( xi , t j 1 )
h2

i  1..N  1, j  0..M  1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




8

vi0  g ( xi ) i  1..N  1
v0j  g a (t j ) vNj  g b (t j )
Đặt  



j  1..M

ta đƣa hệ về dạng sau:

h2

 vij11  (1  2 )vij 1   vij11  vij   f ( xi , t j 1 ) i  1..N  1, j  0..M  1

v0j 1  0.v1j 1
0.vNj 11

 ga (t j 1 )

 vNj 1  gb (t j 1 )

Từ hệ trên ta thấy nếu biết

vi0  g ( xi )

vij

j  0..M 1
j  0..M 1

thì ta tính đƣợc

vij11 , vij 1 , vij11

với

.

Việc giải hệ này đƣợc thực hiện bằng phƣơng pháp truy đuổi ba đƣờng chéo.
1.2. Phƣơng trình truyền nhiệt 2 chiều
Phương trình nhiệt: Là một phƣơng trình đạo hàm riêng miêu tả sự
biến thiên của nhiệt độ trên một miền cho trƣớc qua thời gian [7,8].
Mô tả bài toán: Giả sử ta có một hàm số u miêu tả nhiệt độ tại bất kì vị
trí (x, y) nào đó. Hàm số này sẽ thay đổi theo thời gian khi nhiệt truyền đi ra
khắp không gian. Phƣơng trình nhiệt đƣợc sử dụng để xác định sự thay đổi
của hàm số u theo thời gian.
Một trong những tính chất của phƣơng trình nhiệt là định luật maximum
nói rằng giá trị lớn nhất của u hoặc là ở thời gian trƣớc đó hoặc là ở cạnh biên

của miền đang xét. Điều này đại khái nói rằng nhiệt độ hoặc nhiệt độ đến từ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




9

một nguồn nào đó hoặc là từ thời gian trƣớc đó chứ không đƣợc tạo ra từ không
có gì cả. Đây là một tính chất của phƣơng trình vi phân parabolic và không khó
chứng minh.
Một tính chất khác nữa là ngay cả nếu nhƣ u không liên tục tại thời
gian khởi đầu t = t0, thì nhiệt độ sẽ ngay lập tức trơn ngay tức khắc sau đó
cho các giá trị t > t0. Chẳng hạn, nếu một thanh kim loại có nhiệt độ 0 và một
thanh khác có nhiệt độ 100 và đƣợc gắn với nhau đầu này với đầu kia, thì
ngay lập tức nhiệt độ tại điểm nối là 50 và đồ thị của nhiệt độ chạy trơn từ 0
đến 100. Về mặt vật lý điều này là không thể đƣợc, vì nhƣ vậy là thông tin
đƣợc truyền đi với vận tốc vô hạn, sẽ phá vỡ luật nhân quả. Đây là một tính
chất của phƣơng trình nhiệt hơn là bản thân của sự truyền nhiệt. Tuy nhiên,
cho nhiều mục đích thực tế, sự khác nhau là có thể bỏ qua.
Phƣơng trình nhiệt đƣợc sử dụng trong xác suất và để diễn tả bƣớc
ngẫu nhiên (random walks). Nó cũng đƣợc áp dụng trong toán tài chính vì lý
do này.
Bài toán vật lý và phương trình:

Biểu diễn đồ họa cho nghiệm của một phƣơng trình nhiệt 1D. Trong trƣờng
hợp đặc biệt khi nhiệt truyền đi trong một vật liệu đẳng hƣớng và đồng
nhất trong không gian 2-chiều, phƣơng trình này là:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

10

(1.17)

với:


u=u ( t, x, y) là một hàm số theo thời gian và không gian;
là mức độ thay đổi của nhiệt độ tại một điểm nào đó theo thời gian;



đạo hàm bậc 2 (lƣu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo



hƣớng x, y, theo thứ tự.


k là một hệ số phụ thuộc vào vật liệu phụ thuộc vào độ dẫn nhiệt, mật
độ và dung tích nhiệt.

Phƣơng trình nhiệt là hệ quả của định luật Fourier cho dẫn nhiệt.
Nếu môi trƣờng truyền đi không phải là toàn bộ không gian, để giải
phƣơng trình nhiệt chúng ta cần phải xác định các điều kiện biên cho hàm
số u. Để xác định tính duy nhất của các nghiệm trong toàn bộ không gian
chúng ta cần phải giả thiết một chặn trên với dạng hàm mũ, điều này là hợp

với các quan sát từ thí nghiệm.
Nghiệm của phƣơng trình nhiệt đƣợc đặc trƣng bởi sự tiêu tán dần của
nhiệt độ ban đầu do một dòng nhiệt truyền từ vùng ấm hơn sang vùng lạnh
hơn của một vật thể. Một cách tổng quát, nhiều trạng thái khác nhau và nhiều
điều kiện ban đầu khác nhau sẽ đi đến cùng một trạng thái cân bằng. Do đó,
để lần ngƣợc từ nghiệm và kết luận điều gì đó về thời gian sớm hơn hay các
điều kiện ban đầu từ điều kiện nhiệt hiện thời là hết sức không chính xác
ngoài trừ trong một khoảng thời gian rất ngắn.
Phƣơng trình nhiệt là một ví dụ phổ biến của phƣơng trình vi phân
parabolic.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




11

Sử dụng toán tử Laplace, phƣơng trình nhiệt có thể tổng quát thành
với toán tử Laplace đƣợc lấy theo biến không gian.
Phƣơng trình nhiệt miêu tả sự tiêu tán nhiệt, cũng nhƣ nhiều quá trình
tiêu tán khác, nhƣ là tiêu tán hạt hoặc là sự lan truyền của thế năng phản
ứng trong tế bào thần kinh. Mặc dù không có bản chất tiêu tán, một số bài
toán trong cơ học lƣợng tử cũng đƣợc miêu tả bằng một phƣơng trình tƣơng
tự nhƣ là phƣơng trình nhiệt. Nó cũng có thể đƣợc sử dụng để mô phỏng các
hiện tƣợng xảy ra trong tài chính, nhƣ là Black-Scholes hay là các quá trình
Ornstein-Uhlenbeck. Phƣơng trình này, và các phƣơng trình phi tuyến tƣơng
tự khác, đƣợc sử dụng trong phân tích ảnh.
Phƣơng trình nhiệt, về mặt kỹ thuật, là vi phạm thuyết tƣơng đối hẹp,
bởi vì nghiệm của nó đã lan truyền nhiễu loạn đi tức khắc.
Điều kiện biên và điều kiện ban đầu:

* Điều kiện ban đầu và điều kiện tham số đầu vào:
Trong vật lý ta biết rằng muốn xác định đƣợc nhiệt độ tại mọi điểm
trong vật ở mọi thời điểm, ngoài phƣơng trình (1.17) ta còn cần phải biết phân
bố nhiệt độ trong vật ở thời điểm đầu và chế độ nhiệt độ ở biên s của vật.
Điều kiện biên có thể cho bằng nhiều cách
* Cho biết nhiệt độ tại mỗi điểm P của biên S u | S   1 ( P, t )
* Tại mọi điểm của biên s cho biết dòng nhiệt
u
biên : n

Trong đó

q  k

u
n vậy ta có điều kiện

(1.19)

  2 ( P, t )
S

 2 ( P, t ) 

 q ( P, t )
k
là một hàm cho trƣớc.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

(1.18).




12

* Trên biên s của vật có sự trao đổi nhiệt với môi trƣờng xung quanh, mà
nhiệt độ của nó là uo ó điều kiện biên sau:
 u

 n  h(u  u0 )  0
S
u
Nếu biên s ách nhiệt thì h=0 suy ra (1.20) trở thành n

(1.20)
0
S

Nhƣ vậy bài toán truyền nhiệt trong một vật rắn, đồng chất truyền nhiệt đẳng
hƣớng đặt ra nhƣ sau: Tìm nghiệm của phƣơng trình (1.17) thoả mãn điều
kiện đầu u t 0   ( x, y, z) và một trong các điều kiện biên.
1.3. Công nghệ mạng nơron tế bào
1.3.1. Các định nghĩa về mạng nơ ron tế bào
Khi phát triển lý thuyết về mạng nơron tế bào, các nhà nghiên cứu đã
đƣa ra một số định nghĩa có tính hình thức về kiến trúc mạng [10,11]:
Định nghĩa 1: Hệ mạng nơron tế bào – CNN:
a) Là ma trận 2-, 3- hoặc n- chiều của những phần tử động giống nhau (gọi là
tế bào - cell)

b) Mỗi tế bào có hai thuộc tính:
- Chỉ tƣơng tác trong vùng có bán kính là r
- Mọi biến trạng thái là tín hiệu có giá trị liên tục
Định nghĩa 2: CNN là mạch phi tuyến động kích thƣớc lớn đƣợc tạo bởi cặp
các phần tử liên kết với nhau, phân bố đều trong không gian mà mỗi phần tử
là một mạch tích hợp gọi là cell. Mạng này có thể có cấu trúc hình chữ nhật,
lục giác đều, cầu v.v... Hệ CNN cấu trúc MxN đƣợc định nghĩa một cách toán
học theo 4 đặc tả sau:
1) CNN là phần tử động học nghĩa là trạng thái điện áp của tế bào thay đổi
theo thời gian tùy theo tƣơng tác giữa nó và các láng giềng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




13

2) Luật tiếp hợp trong CNN biểu diễn sự tƣơng tác cục bộ trong từng cặp lân
cận trong các tế bào láng giềng, mỗi tế bào có: Điều kiện ban đầu; Điều kiện
biên.
Chú ý:
- Giá trị của biến không gian thì luôn luôn rời rạc và biến thời gian t có thể là
liên tục hay rời rạc.
- Tƣơng tác giữa các cell thì luôn luôn xảy ra thông qua mẫu vô tính mà có
thể là hàm phi tuyến của trạng thái x, đầu ra y, và đầu vào u của mỗi cell
C(i,j) trong lân cận Nr có bán kính r;
Nr(i,j) = {C(k,l)|max{|k-i|,|l-j|}  r, 1 k  M, 1  l  M}
Mẫu vô tính có ý nghĩa là ta có thể sử dụng để mô tả hình dạng hình học
và đƣa ra phƣơng pháp thiết kế đơn giản.
1.3.2 Kiến trúc chuẩn về công nghệ mạng nơ ron tế bào

Một kiến trúc công nghệ mạng nơ ron tế bào chuẩn là một mảng hình
chữ nhật MxN các cell (C(i,j)) với toạ độ Đề các (i,j); i = 1,…,M; j = 1,…,N.
Cột
1

2

3

N

j

1
2
3
C(i,j)
Dòng i

M

Hình 1.1: Kiến trúc CNN chuẩn
Mạng nơ ron tế bào đƣợc L.O. Chua và L. Yang đƣa ra năm 1988 có
kiến trúc chuẩn là một mảng hai chiều các tế bào (cell) mà mỗi tế bào là một
chip xử lý, các tế bào chỉ có liên kết cục bộ với các tế bào láng giềng. Các tế
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

14

bào có cấu tạo giống hệt nhau gồm các điện trở, tụ tuyến tính; các nguồn dòng
tuyến tính và phi tuyến. Cho đến này kiến trúc mạng CNN đã đƣợc phát triển
đa dạng phức tạp trong nhiều ứng dụng khác nhau nhƣng vẫn hoạt động dựa
trên nguyên tắc mà Chua và Yang đƣa ra.

Hình 1.2: Kiến trúc làm việc của mạng CNN
1.3.3. Các dạng kiến trúc mạng CNN


Phân loại theo hình trạng
Về mặt hình trạng mạch (topology) chúng ta có thể phân loại CNN

thành các mô hình khác nhau. Ngoài kiến trúc chuẩn nhƣ đã giới thiệu trên,
sau đây chúng ta xét một số mô hình tiêu biểu:
+ CNN không đồng nhất: (NUP – CNN) có hai loại tế bào đƣợc mô tả bởi ô
trắng và đen trong Hình 1.8.a. Cấu trúc NUP-CNN có chứa hơn một kiểu tế
bào trên lƣới trong khi các tế bào tƣơng tác với nhau là biến không gian.
+ CNN đa lân cận (MNS-CNN: Multiple Neighborhood Size – CNN): CNN
có hai kiểu lân cận nhƣ Hình 1.3. Mọi chip trong mạch có cấu tạo phần cứng
giống nhau nhƣng chia làm hai lớp lƣới (P, S). Lƣới P có các lân cận

r=1;

lƣới S là lớp trên hoặc dƣới của lƣới P có r=3. Kiến trúc MNS-CNN có chứa
những lớp có những lƣới và lân cận khác nhau, chúng mô phỏng theo hệ
thống tế bào tự nhiên. Trƣờng hợp đặc biệt của MNS-CNN với hai kiểu lân
cận chỉ chứa một chip trong lớp S, và mọi chíp khác đều kết nối tới con chíp
này. Nhƣ đã nói CNN có cấu tạo rất linh hoạt tùy theo yêu cầu giải quyết xử

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




15

lý của mỗi bài toán, do vậy ngƣời ta cũng đƣa ra mô hình MSN-CNN. Loại
MSN-CNN không phổ biến chỉ sử dụng trong một số trƣờng hợp đặc biệt cho
những bài toán thích hợp.

+ Kiến trúc CNN đa lớp: Nhƣ đã xét ở phần trƣớc, một lớp CNN đơn, mỗi tế
bào chỉ có một biến trạng thái. Với bài toán có nhiều biến trạng thái (nhƣ giải
hệ phƣơng trình vi phân có nhiều biến) ngƣời ta cần một hệ có nhiều lớp gọi
là cấu trúc đa lớp. Trong cấu trúc CNN đa lớp có nhiều biến trạng thái cho
mỗi đầu vào. Khái niệm đa lớp nhấn mạnh đến sự tƣơng tác giữa các biến
trong một lớp, giữa các lớp. Có thể hình dung một hệ CNN đa lớp là kết hợp
của nhiều lớp đơn xếp chồng lên nhau, ngoài tƣơng tác giữa các tế bào trong
một lớp còn có tƣơng tác giữa các lớp.
Khi có nhiều biến trạng thái ta có thể chọn nhiều kiểu tƣơng tác đồng
thời cho mỗi biến trạng thái khác nhau. Thuộc tính này làm cho CNN cực kỳ
linh hoạt và cho phép chúng ta giải quyết những bài toán xử lý phức tạp.
23

22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

21

16

Một cách tổng quát trong CNN đa lớp, kích thƣớc và hình trạng liên kết
có thể khác nhau giữa các lớp. Ký hiệu mỗi lớp kj trong đó k kích thƣớc của
lớp (nếu k = 2 nghĩa là ở lớp j có là ma trận 2 chiều MxN), j là chỉ số của lớp.
Xét một hệ CNN hai chiều 3 lớp (Hình 1.4) có ký hiệu các lớp là 21, 22,
23 trong đó mỗi lớp là các ma trận 3x5. Tuy nhiên, để đơn giản hoá ta coi
kích thƣớc của các lớp là giống nhau nên ta có thể bỏ chỉ số k, chỉ còn chỉ số
j (j) với mọi j{1,2,...n}. Ta thấy mỗi tế bào ta xét trong Hình 1.1 không chỉ
liên kết với các tế bào trong lớp mà còn liên kết với các tế bào trong lớp trên
và dƣới. Một cách tổng quát chúng ta có thể coi kích thƣớc của các lân cận
của mỗi tế bào ở mỗi lớp là tùy ý.


Phân loại theo thời gian xử lý:

-Discrete-Time Cellular Neural Network (DT-CNN): Xử lý các tín hiệu rời
rạc theo thời gian
-Continuous-Time Cellular Neural Network (CT-CNN): Xử lý các tín hiệu
liên tục theo thời gian


Phân loại theo tín hiệu đầu vào:

+ CNN tuyến tính (Linear CNN): Tín hiệu đƣa vào xử lý là tín hiệu tuyến
tính. CNN loại này đƣợc sử dụng cho xử lý các tín hiệu tuyến tính rất phù hợp
cho một số thao tác cơ bản trong xử lý ảnh tuyến tính. Mẫu CNN tuyến tính
đƣợc ký hiệu:

A(i,j;l,k);

B(i,j;k,l)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN