bài giảng xử lý tín hiệu số Chuong 5+6

Chương 5: TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR
BÀI 1 KHÁI NiỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ FIR
BÀI 2 ĐÁP ỨNG BIÊN ĐỘ CÁC LỌC SỐ LÝ TƯỞNG
BÀI 3 CÁC TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT LỌC SỐ FIR
BÀI 4 CÁC ĐẶC TRƯNC BỘ LỌC FIR PHA TUYẾN TÍNH
BÀI 5 TỔNG HỢP LỌC SỐ FIR = P2 CỬA SỔ
BÀI 6 SO SÁNH CÁC HÀM CỬA SỔ


BÀI 1. KHÁI NIỆM TỔNG HỢP BỘ LỌC SỐ
FIR
• Lọc số là hệ thống làm biến dạng sự phân bố tần số các
thành phần của tín hiệu theo các chỉ tiêu cho trước.
Các giai đoạn của quá trình tổng hợp lọc số:
- Xác định h(n) sao cho thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ
thuật đề ra
- Lượng tử hóa các thông số bộ lọc
- Kiểm tra, chạy thử trên máy tính
• Trong chương trình Tổng hợp Lọc số chỉ xét đến
giai đọan đầu, tức là xác định h(n) sao cho thỏa mãn
các chỉ tiêu kỹ thuật đề ra, thông thường các chỉ tiêu
cho trước là các thông số của Đáp ứng tần số.


ĐÁP ỨNG BIÊN ĐỘ CỦA BỘ LỌC SỐ THÔNG THẤP
Các chỉ tiêu kỹ thuật:
δ 1 – độ gợn sóng dải thông
δ 2 – độ gợn sóng dải chắn
ωP – tần số giới hạn dải thông
ωS – tần số giới hạn dải chắn

/

1+ δ 1 H(ω)/
1
1- δ 1

δ2
0

ωP ωs

π

ω

Các phương pháp tổng hợp lọc số FIR:
Phương pháp cửa sổ
Phương pháp lấy mẫu tần số
Phương pháp lặp (tối ưu)


BÀI 2. ĐÁP ỨNG BIÊN ĐỘ CÁC LỌC SỐ LÝ TƯỞNG
| H(ω)
1 |

- ωc
0
ωc
π
ω a) Lọc thông thấp lý tưởng

-π

| H(ω)
1 |

-π -ω c2 -ω c1 0 ω c1 ω c2 π
ω a) Lọc thông dải lý tưởng

Ký hiệu:

: Dải thông

| H(ω)
1 |

- ωc
0
ωc
π
ω a) Lọc thông cao lý tưởng
-π

| H(ω)
1 |

-π -ω c2 -ω c1 0 ω c1 ω c2 π
ω a) Lọc chắn dải lý tưởng

: Dải chắn

Ví dụ 1: Tìm h(n) của lọc thông thấp lý tưởng,
π

biết:
1 : −ω c ≤ ω ≤ ω c =
H (ω ) = 
0 :

1
h( n) =
2π

2
ω khác

π

1
jω
jω n
∫ H (e )e dω = 2π
−π

ωc

∫e

−ω c

h(n)
1/2

1/π
1/5π

0 1 2

-1/3 π

n

jω n

1 sin ω c n
dω =
2 ωc n
Đáp ứng xung của
lọc số lý tưởng:
- Có độ dài vô hạn
- Không nhân quả


F
h(n) ←→
H (Ω) = H (Ω) e j arg H ( Ω )

BÀI 3. CÁC TÍNH CHẤT TỔNG QUÁT LỌC SỐ
FIR
a. Bộ lọc số FIR luôn ổn

định
do độ dài L[h(n)]=N:

−∞

N −1

n = −∞

n=0

∑ h(n) = ∑ h(n) < ∞

b. Nếu h(n) không nhân quả, dịch h(n) sang phải n0
đơn vị
thành h(n-nF0), nhưng đáp ứng biên
độ
j arg H
( ω )vẫn không
đổi: h( n ) ←→ H (ω ) = H (ω ) e
F

h( n − n0 ) ←→ e

− jn0ω

H (ω ) = H (ω ) e

j [arg H (ω )− n0ω ]

BÀI 4. CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA BỘ LỌC SỐ
FIR
CÓ PHA TUYẾN TÍNH
 Đáp ứng tần số của bộ
lọc:
 Thời gian lan truyền tín
hiệu:
 Để thời gian lan truyền
τ
không phụ thuộc vào Ω
thì:

H (ω ) = A(ω )e jθ (ω )

− d [θ (ω )]
τ=
=α
dω

θ (ω ) = −αω + β


Trường hợp 1: β = 0, θ(ω) = - αω
 Đáp ứng tần số của bộ
lọc:

H(ω) = A(ω)e

jθ ( ω )

= A(ω)e

− jαω

=

N −1

∑ h(n)e

− jωn

n=0
N −1

A(ω)[ cos αω − j sin αω] = ∑ h(n )[ cos ωn − j sin ωn ]
n=0

N −1

A(ω) cos αω = ∑ h(n ) cos ωn
n=0

A(ω) sin αω =

N −1

∑ h(n) sin ωn

n=0


N −1

sin αω
=
cos αω

∑ h(n) sin ωn

n=0
N −1

∑ h(n ) cos ωn

n=0
N −1

N −1

n=0

n=0

sin αω∑ h(n ) cos ωn = cos αω∑ h(n ) sin ωn
N −1

∑ h(n )[ sin αωcos ωn − cos αωsin ωn] = 0

n=0

N −1

∑ h(n ) sin[ ( α − n ) ω] = 0

n=0

N −1

α =
2

h(n ) = h( N − 1 − n )


Ví dụ 1: Hãy vẽ đồ thị h(n) của lọc số FIR có pha tuyến
tính ϕ(ω)= -αω:
a) N=7; h(0)=1; h(1)=2; h(2)=3; h(3)=4
b) N=6; h(0)=1; h(1)=2; h(2)=3
Tâm đối xứng: α=(N1)/2=3
h(n) = h(6-n)
h(0)=h(6)=1; h(1)=h(5)= 2
h(2)=h(4)=3
h(n)
4
3
2
1

n
0

1

2

3

4

5

6

7

Tâm đối xứng: α=(N-1)/2=2.5
h(n) = h(5-n)
h(0)=h(5)=1; h(1)=h(4)=2;
h(2)=h(3)=3
h(n)
3
2
1

n
0

1

2

3

4

5

6

7


Trường hợp 2: β ≠ 0, θ(ω) = - αω + β
 Tương tự trường hợp 1, ta
được:
N −1

∑ h(n ) sin[ β + ( α − n ) ω] = 0

n=0

N −1

α =
2

h(n ) = − h( N − 1 − n )

Bộ lọc loại 1: h(n) đối xứng, N lẽ
Bộ lọc loại 2: h(n) đối xứng, N chẵn
Bộ lọc loại 3: h(n) phản đối xứng, N lẽ
Bộ lọc loại 4: h(n) phản đối xứng, N chẵn


F
h(n) ←→
H (Ω) = H (Ω) e j arg H ( Ω )

BÀI 5. PHƯƠNG PHÁP CỬA SỔ
1. KHÁI NIỆM
 Đáp ứng xung h(n) của lọc số lý tưởng là không nhân
quả và có độ dài vô hạn ⇒ không thể thực hiện được
về mặt vật lý.
 Để bộ lọc thiết kế được thì đáp ứng xung hd(n) phải là
nhân quả và hệ ổn định, bằng cách:
- Dịch h(n) đi n0 đơn vị -> h(n-n0): nhân quả
- Giới hạn số mẫu của h(n): hd(n)= h(n). w(n)N
-> hệ ổn định.


F
h(n) ←→
H (Ω) = H (Ω) e j arg H ( Ω )

2. MỘT SỐ HÀM CỬA SỔ
 Cửa sổ chữ nhật:

1 : N - 1 ≥ n ≥ 0

W R ( n) = 
0 : n còn lại

WR(n)
1

n
-1 0 1 2

N-1 N

 Cửa sổ tam giác

(Bartlett):
N -1
 2n
:
0
≤
n
≤
 N −1
2

2n N - 1

WT ( n) =  2 −
:
≤ n ≤ N -1
 N −1 2

0 : còn lại



1

WT(n)

n
01

(N-1)/2

N-1


F
h(n) ←→
H (Ω) = H (Ω) e j arg H ( Ω )

 Cửa sổ Hanning:


 2πn 
0
,
5
−
0
,

5
cos

 : 0 ≤ n ≤ N −1

W Han ( n) = 
 N −1
0
: n còn lại

1

WHan(n)

1

WHam(n)

n
01

(N-1)/2

N-1

n
01

(N-1)/2

 Cửa sổ Hamming:


 2πn 
 : 0 ≤ n ≤ N −1
0,54 − 0,46 cos
W Ham ( n) = 
 N −1
0
: n còn lại


N-1


 Cửa sổ Blackman:


 2πn 
 4πn 
 + 0,08 cos
 : 0 ≤ n ≤ N −1
0,42 − 0,5 cos
W B ( n) = 
 N −1
 N −1
0
: n còn lại


1

WB(n)

n
01

(N-1)/2

N-1


3. CÁC BƯỚC TỔNG HỢP LỌC FIR
CÓ PHA TUYẾN TÍNH BẰNG P2
CỬA SỔ

 Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật: δ1, δ2, ωP , ωS
 Chọn hàm cửa sổ w(n)N và độ dài N

 Chọn đáp ứng xung h(n) của lọc số lý tưởng có tâm
N −1
N −1
n
=
α=
đối xứng
và dịch h(n) đi 0
đơn vị để
2
2

được h’(n)=h(n-n0) nhân quả.
 Nhân hàm cửa sổ w(n)N với h(n): hd(n)= h(n- n0). w(n)N
 Kiểm tra lại các chỉ tiêu kỹ thuật có thỏa mãn không,

nếu không thì tăng N.


Ví dụ 1: Hãy tổng hợp bộ lọc thông thấp FIR có pha tuyến
tính ϕ(ω)= -αω = - ω(N-1)/2 với các chỉ tiêu kỹ thuật:
δ1= δ10 ; δ2= δ20 ; ωp= ωp0 ; ωs= ωs0; ωc= (ωp0+ ωs0)/2=π/2 và
vẽ sơ đồ bộ lọc.

 Chọn 4 chỉ tiêu kỹ thuật: δ1=δ10 ; δ2=δ20 ;

ωp= ωp0 ; ωs=

ωs0
 Chọn hàm cửa sổ1
: 8 ≥N với
n ≥ 0độ dài N=9:
w(n)

W R ( n) = 
0 : n còn lại

 Chọn bộ lọc thông thấp lý tưởng có tần số cắt ωc= π/2

và đáp ứng xung h(n) có tâm đối xứng tại α = (N1)/2 = 4.

Theo ví dụ trước, h(n) của lọc thông thấp lý tưởng có tâm
1 sin πn / 2
đối xứng n=0 và h( n) =
2 πn / 2
Do pha tuyến tính ϕ(ω)= -αω = - ω(N-1)/2 nên h(n) sẽ
có tâm đối xứng tại α = (N-1)/2=4, bằng cách dịch
1 sin π ( n − 4) / 2
h
'
(
n
)
=
h
(
n
−
4
)
=
h(n) sang phải n0=4 đơn vị:
2 π ( n − 4) / 2
Nhân cửa sổ chữ nhật W9(n) với h(n-4) ta được:
hd(n)=h(n-4) W9(n)


W9(n)
1

n
-1

0

1

2

3

h(n-4)

4
1/2

8
1/π

1/5π
-1

9

1/5π
0

1

2 3

-1/3π

hd(n)

4

8

n
9

-1/3π
1/2

1/π

n
-1

0

1

2 3
-1/3π

4

8
-1/3π

9


Thử lại xem Hd(ω) có thỏa các chỉ tiêu kỹ thuật
không?
1 π
H d (Ω ) = H' (ω) * WR (ω ) =
H' (ω' )WR (ω − ω' )dω'
∫
2π − π
Nếu không, ta cần tăng N và làm lại các bước từ
đầu.
Giả sử với N=9, các chỉ tiêu kỹ thật đã thỏa mãn,
−1
1
1
1
−1
ta
có:
hd ( n) =
δ ( n − 1) + δ ( n − 3) + δ ( n − 4) + δ ( n − 5) + δ ( n − 7 )
3π
π
2
π
3π
−1
1

1
1
−1
y ( n) =
x ( n − 1) + x ( n − 3) + x ( n − 4) + x ( n − 5) +
x(n − 7)
3π
π
2
π
3π


y(n)

x(n)
Z-1

-1/3π

+

Z-1
Z-1
Z-1
Z-1

1/π

1/2

1/π

+
+
+

Z-1
Z-1

-1/3π

−1
1
1
1
−1
y ( n) =
x ( n − 1) + x ( n − 3) + x ( n − 4) + x ( n − 5) +
x( n − 7)
3π
π
2
π
3π


Đáp ứng biên độ của bộ lọc thông thấp thiết kế
/H(ω)/

1+ δ 1

1
1- δ 1

N=9

δ2

ωP ωc ωs

0
1+ δ 1
1
1- δ 1

Ω
π

/H(ω)/

N=61

δ2
0

ωP ωc ωs

Ω
π

F
h(n) ←→
H (Ω) = H (Ω) e j arg H ( Ω )

BÀI 6. SO SÁNH CÁC HÀM CỬA SỔ
1. CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG CHO PHỔ CÁC
HÀM CỬA SỔ
 Bề rộng đỉnh trung tâm của phổ cửa sổ ∆ω :

tỷ lệ với bề rộng dải quá độ
 Tỷ số biên độ đỉnh thứ cấp đầu tiên và đỉnh trung tâm:

tỷ lệ với độ gợn sóng dải thông và dải chắn.

W( ω1 )
λ = 20 log10
, dB
W( 0)
 Xét với cửa sổ chữ nhật:

1 : N - 1 ≥ n ≥ 0
W R ( n) = 
0 : n còn lại


ωN
N-1
sin
-jω
F

2 e 2
w R (n) ←
→ WR (ω) =
ω
sin
2
/ WR(ω) /

N

 ω 1= 3π/N
 ∆ω R = 4π/N

0

2π/N

∆ω R = 4π/N

ω 1 4π/N

ω


CÁC THÔNG SỐ ĐẶC TRƯNG CHO PHỔ
CÁC HÀM CỬA SỔ
Lọai cửa sổ Bề rộng đỉnh trung tâm ∆ω Tỷ số λ
Chữ nhật

4π /N

-13

Tam giác

8π /N

-27

Hanning

8π /N

-32

Hamming

8π /N

-43

Blackman

12π /N

-58