Vai trò công cụ của vectơ trong giải toán ở bậc trung học phổ thông

1

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. ĐỊNH NGHĨA VECTƠ VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN
I. Định nghĩa vectơ
Vectơ mà ta nói đến ở đây là vectơ được nghiên cứu trong hình học. Tập hợp các
vectơ hình học là một mô hình của không gian vectơ tổng quát được đề cập trong đại
số tuyến tính. Từ quan điểm toán học thuần tuý, người ta có thể định nghĩa khái niệm
vectơ hình học qua hệ tiên đề của không gian vectơ, qua lớp tương đương các đoạn
thẳng định hướng hoặc qua lớp tương đương các cặp điểm sắp thứ tự.
1. Định nghĩa qua hệ tiên đề của không gian vectơ




Giả sử V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó được kí hiệu là x , y , a ,

b ,… R là trường số thực mà các phần tử của nó được kí hiệu là  ,  ,… Trên V
xác định hai phép toán:

 
 Phép cộng vectơ: là ánh xạ đặt tương ứng hai phần tử x , y bất kì của V với
 
một phần tử của V , kí hiệu là x  y .
 Phép nhân vectơ với một số: là ánh xạ từ R  V vào V , đặt mỗi số thực  và


một phần tử x thuộc V với một phần tử cũng thuộc, kí hiệu  x , gọi là ích

của số thực  với x .
 V được gọi là không gian vectơ trên trường số thực và các phần tử của nó

được gọi là vectơ nếu hai phép toán trên thoả mãn tám tiên đề sau:
1. Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán:

   

x  y  y  x , x , y  V ;

2. Phép cộng vectơ có tính chất kết hợp:












 x  y  z  x   y  z  ,



x , y  V ;



3. Có một phần tử 0 thuộc V sao cho với vectơ x với bất kì của V ta luôn
   

có: x  0  x ( 0 được gọi là vectơ-không);


2



4. Với mỗi vectơ x bất kì của V , luôn luôn tồn tại vectơ x sao cho
   



x  x  0 ( x gọi là vectơ đối của x , kí hiệu x   x );








 
x , y  V ,   R ;






x  V ,  ,   R ;

5.   x  y    x   y
6.



    x   x   x




7.    x     x


x  V ,  ,   R ;

 
8. 1.x  x


x  V .

1.2. Định nghĩa qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng
Xét các đoạn thẳng định hướng trong mặt phẳng, tức là đoạn thẳng trong đó có xác
định một điểm mút là điểm đầu và điểm cuối. Kí hiệu hiệu đoạn thẳng định hướng
AB có nghĩa A là điểm đầu và B là điểm cuối.
Mỗi đường thẳng xác định một phương, mõi phương có hai chiều ngược nhau mà còn
gọi là hướng. Hướng của đoạn thẳng định hướng tính từ điểm đầu đến điểm cuối, theo
một trong hai hướng của đường thẳng chứa nó.
Hai đoạn thẳng định hướng AB và CD gọi là cùng hướng nếu chúng nằm trên hai

đường thẳng song song với nhau và cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng
AC nối hai điểm đầu của chúng. Trường hợp AB và CD cùng nằm trên một đường
thẳng thì chúng được gọi là cùng hướng nếu tia AB là một bộ phận của tia CD hoặc
tia CD là một bộ phận của tia AB .
Hai đoạn thẳng định hướng gọi là tương đương nếu chúng có cùng độ dài và cùng

hướng. Quan hệ tương đương này có ba tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu, do đó
nó chia tập hợp các đoạn thẳng định hướng trong mặt phẳng thành các lớp tương
đương: hai đoạn thẳng định hướng thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi chúng tương
đương. Mỗi lớp tương đương đó gọi là một vectơ.


3



Lớp tương đương chứa đoạn thẳng định hướng AB được kí hiệu là AB , trong đó A
là điểm đầu và B là điểm cuối. Đoạn thẳng định hướng AB được gọi là một đại diện

cho vectơ AB .


Như vậy vectơ AB là tập hợp tất cả các đoạn thẳng định hướng tương đương với
đoạn thẳng định hướng AB . Hai đoạn thẳng định hướng AB và CD tương đương thì
 


vectơ AB hay CD chỉ là một và ta viết AB  CD .
1.3. Định nghĩa theo lớp tương đương những cặp điểm sắp thứ tự
Xét các cặp điểm sắp thứ tự  A, B  trên mặt phẳng, trong đó A gọi là điểm đầu, B

gọi là điểm cuối. Hai cặp điểm

 A, B  và  C , D  gọi là tương đương, kí hiệu

 A, B  ~  C , D  , nếu hai đoạn thẳng

AD và BC có cùng trung điểm. Quan hệ này có

ính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
Quan hệ tương đương này chia tập hợp các cặp điểm sắp thứ tự trên mặt phẳng thành
các lớp tương đương, trong đó hai cặp điểm cùng thuộc một lớp khi và chỉ khi chúng
tương đương. Mỗi lớp tương đương đó gọi là một vectơ.


Lớp tương đương chứa cặp điểm sắp thứ tự  A, B  được kí hiệu là AB .


Theo định nghĩa này, vectơ AB gồm tất cả các cặp điểm sắp thứ tự tương đương với


cặp điểm  A, B  và nếu  A, B  ~  C , D  thì vectơ AB hay CD chỉ là một và ta viết
 
AB  CD .

1.4. Định nghĩa vectơ trong sách giáo khoa phổ thông
Vectơ được định nghĩa chính là một đoạn thẳng định hướng. Đoạn thẳng định hướng

AB có A là điểm đầu và B là điểm cuối được gọi là vectơ AB , kí hiệu là AB .
Nhận xét:
Mặc dù các định nghĩa khái niệm vectơ theo đoạn thẳng định hướng (hay còn gọi là

theo truyền thống) không chính xác và phù hợp với quan điểm lý thuyết tập hợp,
chẳng hạn hai vectơ được định nghĩa bằng nhau lại là hai tập hợp điểm khác nhau,
nhưng trong chương trình phổ thông hiện hành tại nhiều nước trên thế giới như Mỹ,
Anh, Pháp, Úc, Singapore và ngay cả tại Việt Nam, khái niệm vectơ được định nghĩa
theo đoạn thẳng định hướng vì những lý do sau đây:


4

 Trong chương trình phổ thông, học sinh chưa học khái niệm “quan hệ tương
đương” và cấu trúc đại số một cách tường minh.
 Định nghĩa phù hợp với các xây dựng khái niệm và quan niệm thông hường
của học sinh về hai góc bằng nhau, hai tam giác bằng nhau, hai đường trong
bằng nhau, về phép tịnh tiến… ở trường phổ thông.
 Giúp học sinh tiếp thu thuận lợi một số kiến thức vật lý như gia tốc, trọng lực,
phản lực, lực quán tính, lực ly tâm,…
II. Các khái niệm liên quan
1. Vectơ bằng nhau
 Định nghĩa dựa vào ba đặc trưng (phương, hướng, độ dài) của vectơ: Hai
 
vectơ AB , CD được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ
dài.
 

 Định nghĩa dựa vào trung điểm của đoạn thẳng: Hai vectơ AB , CD được gọi
là bằng nhau nếu hai đoạn thẳng AD và BC có cùng chung trung điểm.




 Định nghĩa dựa vào hình bình hành: Hai vectơ AB , CD được gọi là bằng
nhau nếu ABDC là một hình bình hành.
2. Vectơ-không
 Có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
 Có độ dài bằng 0.
 Có phương và chiều tuỳ ý, cùng phương với mọi vectơ.

 
Ký hiệu: 0 hay AA  0 .

3. Vectơ đối












Hai vectơ AB và CD gọi là đối nhau, kí hiệu AB  CD hoặc  AB  CD nếu chúng
ngược hướng và có cùng độ dài.


5

4. Tổng và hiệu của vectơ

4.1. Tổng hai vectơ


Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm A nào đó rồi xác định các điểm

   
B và C sao cho AB  a , BC  b . Khi đó vectơ AC được gọi là tổng của hai vectơ

  

a và b . Kí hiệu: AC  a  b .

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Chú ý: Cộng hai vectơ có các tính chất của phép cộng đại số như tính chất giao hoán,
tính chất kết hợp, tính chất cộng với vectơ-không
 



 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm M , N , P bất kì, ta có: MN  NP  MP hoặc
  
MP  NP  MN .

  
 Quy tắc hình bình hành: Nếu OABC là hình bình hành thì OA  OC  OB .


6

 



 Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA  MB  0 .
  



 Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA  GB  GC  0 .
4.2. Hiệu của hai vectơ




 



Định nghĩa: Hiệu của hai vectơ a và b , kí hiệu là a b , là tổng của vectơ a và


  
vectơ đối của vectơ b , tức là a  b  a  (b ).
Phép lấy hiệu của hai vectơ được gọi là phép trừ vectơ.


 Quy tắc về hiệu vectơ: Nếu MN là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì, ta
  
luôn có MN  ON  OM .

5. Tích của một vectơ với một số




Định nghĩa: Tích của một vectơ a với một số thực k là một vectơ, kí hiệu là k .a
được xác định như sau




 Nếu k  0 thì vectơ k .a cùng hướng với vectơ a .




 Nếu k  0 thì vectơ k .a ngược hướng với vectơ a .


7





 Độ dài của vectơ k .a bằng k . a .






Từ định nghĩa trên ta thấy: 1a  a , (1)a  a với (1)a là vectơ đối của vectơ a .
Tính chất:
 

Với hai vectơ bất kì a , b và mọi số thực k , l ta có:
1. k (la )  (kl )a ;
2. (k  l )a  ka  la ;










 





3. k (a  b )  ka  kb ; k a  b  ka  kb ;
 
 
4. ka  0 khi và chỉ khi k  0 hoặc a  0 .

5.1. Điều kiện để hai vectơ cùng phương



  
Vectơ b cùng phương với vectơ a  a  0  khi và chỉ khi có số k sao cho b  ka .

5.2. Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương
 

Cho hai vectơ a , b




  
a , b  0 và không cùng phương, ta có:









1. c , !m, n  R : c  ma  nb .
  
2. ma  nb  0  m  n  0 .

Chú ý:
 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng:


A, B, C thẳng hàng  AB và CD cùng phương


  k  R : AB  k .CD .



  
 

O là trung điểm của AB  OA  OB  0  MA  MB  2.MO ( M tuỳ ý).



G là trọng tâm tam giác ABC


8

   
  

 GA  GB  GC  0  MA  MB  MC  3.MG ( M tuỳ ý).



 
OA  OB  A  B .
 
  
 
Với O tuỳ ý, thật vậy: OA  OB  OA  OB  0  BA  0  A  B .
 

 AB  DC
ABCD là hình bình hành     .

 AD  BC



6. Tích vô hướng của hai vectơ
6.1. Góc giữa hai vectơ




 Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Từ một điểm O bất kì, ta vẽ các
 
 
vectơ OA  a và OB  b . Khi đó:


 Số đo của góc AOB được gọi là số đo giữa hai vectơ a và b . Kí hiệu là
 

a, b

 


 

 Góc giữa hai vectơ a và b thì 00  a , b  1800 .

 

Chú ý:
 Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ là vectơ-không thì ta xem góc
giữa hai vectơ đó là tùy ý (từ 00 đến 1800 ).




    

 Từ định nghĩa, ta có a , b  b , a .

 

 Nếu a , b  00 thì ta nói rằng hai vectơ a và b cùng hướng.

 


9


 

 Nếu a , b  900 thì ta nói rằng hai vectơ a và b vuông góc với nhau, kí hiệu

 




là a  b .

 

 Nếu a , b  1800 thì ta nói rằng hai vectơ a và b ngược hướng.

 

6.2. Tích vô hướng giữa hai vectơ



Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a.b , được xác


 

 







định bởi a.b  a . b .cos a , b .
Chú ý:












 Nếu a  0 hoặc b  0 thì a.b  0 . Nếu a.b  0 thì không chắc là a  0 hoặc
 
 
 
b  0 vì có thể cos a , b  0  a  b .

 

 Bình phương vô hướng: Bình phương vô hướng của vectơ bằng độ dài của




2

vectơ đó a 2  a.a.cos 00  a .
  













 Với ba vectơ a , b , c tuỳ ý ( a  0 hoặc b  0 hoặc c  0 ) và mọi số thực k , ta
có:




1. a.b  b .a

(Tính chất giao hoán);



2. a.b  0  a  b ;
3.

 





 k .a  .b  a  k .b   k  a.b  ;
 











(Tính chất phân phối đối với phép cộng);

  







(Tính chất phân phối đối với phép trừ);



4. a. b  c  a.b  a.c



5. a. b  c  a.b  a.c

6. Công thức hình chiếu




Vectơ OB gọi là hình chiếu của vectơ OB trên đường thằng OA .
 

 

Ta có công thức sau: OA.OB  OA.OB .


10

 

 ABC vuông tại A  BA.BC  BA2 .

7. Phương tích của một điểm đối với đường tròn:
 

 Giá trị không đổi MA.MB  d 2  R 2 được gọi là phương tích của điểm M
đối với đường tròn  O  và kí hiệu là PM /(O ) . Ta có
 
PM /(O )  MA.MB  d 2  R 2 .

 Khi điểm M nằm ngoài đường tròn  O  , MT là tiếp tuyến của đường
 2

tròn đó ( T là tiếp điểm), thì PM /  O   MT  MT .
6.3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
 Trong không gian Oxy
Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một

điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị i .


Ta kí hiệu trục đó là O; i

 


Cho hai điểm A và B trên trục O; i . Khi đó:

 







Có duy nhất số a sao cho AB  a.i . Ta gọi số a là độ dài đại số của AB đối
với trục đã cho và kí hiệu là a  AB .
Nhận xét:






 Nếu AB cùng hướng với i thì AB  AB , còn nếu AB ngược hướng với

i thì AB   AB .


 Nếu hai điểm A và B trên trục  O; i  có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB  b  a .


11



 Hệ trục toạ độ: Vectơ đơn vị trên trục Ox là i  1;0  , vectơ đơn vị trên


trục Oy là j   0;1 . Điểm O được gọi là gốc toạ độ, trục Ox được gọi
là trục hoành, trục Oy được gọi là trục tung.

 

Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: Đối với hệ trục toạ độ  O, i , j  , nếu

 



a  xi  yj thì cặp số  x; y  được gọi là toạ độ của vectơ a , kí hiệu là a  ( x; y )

hay a ( x; y ) . Số thứ nhất x được gọi là hoành độ, số thứ hai y được gọi là

tung độ của vectơ a .


Tính chất: Cho hai vectơ a  ( x; y ) và b  ( x '; y ') . Khi đó




 x  x
;
 y  y

1. a  b  

 
2. a  b  ( x  x; y  y);
 
a  b  ( x  x; y  y);

ka  (kx; ky ) với k  R ;


Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: a.b  x.x  y. y ;
 
Đặc biệt: a  b  x.x  y. y  0


3. a  x 2  y 2 ;


12

 

4. cos  a , b  

  
( a  0, b  0 );

x.x ' y. y '
x 2  y 2 x '2  y '2



Toạ độ của điểm: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , toạ độ của vectơ OM được gọi
là toạ độ của điểm M . Tổng quát, ta có:


Với hai điểm M ( xM ; yM ) và N ( xN ; yN ) thì MN   xN  xM ; y N  yM  .
Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng: Nếu P là trung điểm của đoạn MN thì:
xP 

xM  xN
y  yN
; yP  M
.
2
2

Cho tam giác ABC có trọng tâm G , khi đó:
xG 

x A  xB  xC
y  yB  yC
; yG  A
.
3
3

Khoảng cách giữa hai điểm M ( xM , yM ) và N ( xN , yN ) là

MN  MN 

 xN  xM 

2

  y N  yM  .
2

 Trong không gian Oxyz




Các vectơ đơn vị trên các trục Ox , Oy , Oz lần lượt là i  (1, 0, 0) , j  (0,1, 0) ,

k  (0, 0,1) .

Chú ý:



1. i 2  j 2  k 2  1 .
    
2. i . j  j .k  k .i  0 .


Toạ độ của vectơ: Trong không gian Oxyz , với mỗi vectơ a , tồn tại duy nhất








bộ ba số  a1 , a2 , a3   a1 , a2 , a3  R  sao cho sao cho a  a1i  a2 j  a3k . Ta gọi


bộ ba  a1 , a2 , a3  là toạ độ của vectơ a .


Kí hiệu là a   a1 , a2 , a3  .


13











Vậy a   a1 , a2 , a3   a  a1i  a2 j  a3k .


Tính chất: Cho hai vectơ a   a1 , a2 , a3  và b   b1 , b2 , b3 

1.

a1  b1
 

a  b  a2  b2 ;
a  b
3
 3

2.

 
a  b   a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  ;

3.


k .a   ka1 , ka2 , ka3  với k  R ;

4.


a.b  a1.b1  a2 .b2  a3b3 ;

5.



a  a12  a22  a32 ; b  b12  b22  b32 ;

6.

 
cos a , b 

7.

 
sin a , b 

8.


a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0 .

 

 

  
với a , b  0;

a1b1  a2b2  a3b3
a12  a22  a32 b12  b22  b32

 a1b2  a2b1    a1b3  a3b1    a2b3  a3b2 
2

2

a12  a22  a32 b12  b22  b32

2

  
với a , b  0.

Toạ độ của một điểm: Trong không gian Oxyz , với mỗi điểm M tồn tại duy

  
nhất bộ ba số ( x; y; z ) ( x; y; z  R) sao cho OM  xi  yj  zk .
Ta gọi bộ ( x; y; z ) là toạ độ của điểm M .
Kí hiệu là M  x; y; z  .

  
Vậy M ( x; y; z )  OM  xi  yj  zk .

Nếu điểm M có toạ độ là ( x ; y ; z ) thì x được gọi là hoành độ, y được gọi là
tung độ, z được gọi là cao độ của điểm M .
Chú ý:


14

M  Ox  M ( x; 0; 0)
M  Oy  M (0; y; 0)
M  Oz  M (0; 0; z )

Toạ độ hai điểm mút: Cho hai điểm A( x A , y A , z A ) và B( xB , yB , zB ) . Ta có:


AB   xB  x A ; yB  y A , z B  z A  .

Độ dài vectơ: AB 

 xB  x A 

2

  yB  y A    z B  z A  .
2

2

7. Tích có hướng của hai vectơ




Định nghĩa: Cho hai vectơ a   a1 , a2 , a3  và b   b1 , b2 , b3  . Tích có hướng của hai


 
vectơ a và b , ký hiệu là  a , b  , là vectơ có toạ độ:
 
 a
a, b   p   2


 b2
 



 



a3 a3
;
b3 b3

 

a1 a1
;
b1 b1

a2 

b2 



Nhận xét: i , j   k ;  j , k   i ;  k , i   j .
Tính chất:



 
1. a cùng phương với b   a , b   0 .


 
  
2.  a , b   a ,  a , b   b .
 
 
 
3.  a , b   a . b .sin  a , b  .

Ứng dụng của tích có hướng:
  
1. Xét sự đồng phẳng của 3 vectơ: a , b , c đồng phẳng 

  
 a , b  .c  0 .



 

2. Diện tích hình bình hảnh ABCD : S ABCD   AB, AD  .
3. Diện tích tam giác ABC : S ABC 

  2
1     1
2
2
AB
,
AC


AB
.
AC

(
AB. AC ) .
 2
2


15

  

4. Thể tích khối hộp: S ABCD. A ' B 'C ' D '   AB, AD  . AA ' .
5. Thể tích tứ diện: VABCD 

1
6

  
 AB, AC  . AD .



8. Bất đẳng thức vectơ
Tính chất 1


a 

2

 
2
 a  0 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  0 .

Tính chất 2 (Bất đẳng thức tam giác)




   
a  b  a  b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng chiều.












Từ đó nếu a  b  c thì a  b  c .
Tổng quát:
n 


a

 i  ai
n

i 1



i 1



   
a  b  a  b . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng chiều.












Từ đó nếu a  b  c thì a  b  c .
Tính chất 3



 

Ta có: a.b  a . b .


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a và b cùng phương.


16

CHƯƠNG II. ỨNG DỤNG CỦA CÔNG CỤ VECTƠ TRONG
HÌNH HỌC PHẲNG
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trong quy trình giải 1 bài tập toán bằng phương pháp vectơ, ta cần có những
kỹ năng cơ bản sau:
Chuyển bài toán sang ngôn ngữ vectơ: Muốn rèn luyện kỹ năng này, trong quá
trình nghiên cứu các phép toán ta phải giúp cho học sinh hiểu ý nghĩa hình học của
các biểu thức vectơ. Tư tưởng này phù hợp với yêu cầu nắm vững hai mặt cú pháp và
ngữ nghĩa, đối tượng và các hình thức biểu đạt của nó trong dạy học toán. Yêu cầu
này sẽ chỉ đạo phương pháp rèn luyện cho học sinh năng lực chuyển đổi ngôn ngữ.
Để rèn luyện kỹ năng dịch bài toán hình học thành ngôn ngữ vectơ và ngược
lại, trước hết cần cho học sinh lập một “bảng từ điển” gồm những “từ” cơ bản nhất,
chẳng hạn như trung điểm, trong tâm, song song, vuông góc, v.v … (Bảng 1).
Bảng 1.
Ngôn ngữ mô tả
I là trung điểm của
đoạn AB .

Ngôn ngữ vectơ


IA   IB;
  1 
AI  IB  AB;
2

  
IA  IB  0 ;
 

MA  MB  2 MI

( M tùy ý).
AM là trung tuyến của
 ABC .

  
AB  AC  2 AM
AB 2  AC 2  AM 2 

BC 2
.
2

Ngôn ngữ hình học


17

là trọng tâm của  2  
AG  AA  2GA
3
 ABC .

G

( AA ' là trung tuyến) ;
   
MA  MB  MC  3MG

( M tùy ý).
Bốn điểm A, B, C , D
đồng phẳng.


 
AB  k . AC  l. AD ;

 

OA  k .OB  l.OC  m.OD

với k  l  m  1 và O tuỳ ý


M chia đoạn AB theo

tỉ số k  0 .

Hai điểm B và C trùng
nhau.

  
AB, AC , AD  0 .





MA  k .MB .

   
AB  AC ; BC  0 .





Ba điểm A, B, C thằng AB  k AC ;
hàng ( hay C  AB ).




OC  kOA  mOB

(với điểm O tuỳ ý và
k  m  1 );

 
 AB, AC   0 .



ABCD
hành.

là hình bình

 
AB  DC ;

  
AB  AD  AC ;
  
hay BC  DC  AC .


18

AB / / CD hay AB  CD

.

AB  CD .



AB  k .CD hay

  
 AB, CD   0 .



 
AB.CD  0 ;
 
 
AB  CD  AB  CD

.

   
Bốn điểm A, B, C , D MA.MB  MC.MD
cùng nằm trên một
( M là giao điểm của hai
đường tròn.
đường thằng AB và CD ).

 
2
Đường thẳng a tiếp xúc 
MA  MB.MC
với đường tròn qua
( M là giao điểm của A và
A, B, C tại A .
BC ).

Phân tích 1 vectơ thành một tổ hợp vectơ: Dựa vào Định lý: Mọi vectơ đều

được biểu thị một cách duy nhất qua hai vectơ không cùng phương (SGK Hình học
Nâng cao 10 trang 22).
Kỹ thuật thường được sử dụng ở đây là dựa vào quy tắc ba điểm để phân tích
một vectơ thành tổng hoặc hiệu hai vectơ nào đó. Khó khăn ở chỗ là phải biết chọn
hai vectơ này sao cho phù hợp. Muốn tìm được các vectơ trung gian đó, phải hướng


19

dẫn học sinh luôn luôn chú ý đến những hệ thức đã cho trong bài toán và hệ thức cần
đi đến.
*Đây là những khâu mấu chốt trong phương pháp giải toán bằng công cụ vectơ.
II. HỆ THỐNG BÀI TẬP
Ở phần này khoá luận sẽ trình bày mười chủ đề:


Chủ đề 1. Ứng dụng của vectơ trong chứng minh một tính chất của hình học
dựa vào đẳng thức vectơ cho trước.



Chủ đề 2. Ứng dụng của vectơ trong chứng minh một hệ thức hình học dựa
vào đẳng thức vectơ cho trước.



Chủ đề 3. Ứng dụng của vectơ trong chứng minh biểu thức hình học.



Chủ đề 4. Ứng dụng của vectơ trong chứng minh các bất đẳng thức hình học.



Chủ đề 5. Ứng dụng của vectơ trong bài toán tìm cực trị hình học bằng vectơ.



Chủ đề 6. Ứng dụng của vectơ trong bài toán chứng minh quan hệ song song,
thẳng hàng, đồng qui và vuông góc.



Chủ đề 7. Ứng dụng của vectơ trong chứng minh hai điểm trùng nhau.



Chủ đề 8. Ứng dụng của vectơ trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức
hình học.



Chủ đề 9. Ứng dụng của vectơ trong trong các bài toán tìm tập hợp điểm (quỹ
tích điểm) thỏa mãn đẳng thức vectơ, đẳng thức môđun cho trước.



Chủ đề 10. Ứng dụng của vectơ trong phép biến hình.

20

CHỦ ĐỀ 1. CHỨNG MINH MỘT TÍNH CHẤT HÌNH HỌC DỰA VÀO
ĐẲNG THỨC VECTƠ CHO TRƯỚC
PHƯƠNG PHÁP
Phân tích một vectơ thành một tổ hợp vectơ hoặc ta có thể dựa vào đẳng thức vectơ
đề cho trước rồi xen điểm vào để đưa về một đẳng thức vectơ quen thuộc. Bằng các
phương pháp biến đổi tương đương ta đưa về những tính chất hình học cần chứng
minh.
Ví dụ 1. Cho ABC , gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Biết điểm G thoả mãn


 
điều kiện BC.GA  AC.GB  AB.GC  0 . Chứng minh rằng: ABC là tam giác đều.
Giải
Đặt a  BC , b  AC , c  AB .
   

 
G là trọng tâm của ABC  GA  GB  GC  0  GA  GB  GC










b 
a

(1)
c 
a

Theo giả thiết ta có: BC.GA  AC.GB  AB.GC  0  GA   GB  GC
b 
a

c 
a

 

Từ (1) và (2) suy ra:  GB  GC  GB  GC 

b  a 
c  a 
GB  
GC
a
a

 
 

GB  0
Lại có:    và GB, GC là hai vectơ không cùng phương.


GC  0

b  a
 a  0
Do đó, (3)  
c  a  0
 a

b  a  0

c  a  0
b  a

c  a

Vậy ABC là tam giác đều.

(2)
(3)


21















Chú ý: Cho hai vectơ a  0 , b  0 không cùng phương thì  .a   .b  0      0
   
 OA  OB  OC  OD
Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD . Giả sử tồn tại điểm O sao cho:      
OA  OB  OC  OD  0

Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Hướng dẫn: Muốn chứng minh tứ giác là hình chữ nhật ta chứng minh hình bình hành
nội tiếp đường tròn.
Giải
 Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta suy ra:
O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD .

(1)

 Gọi M , N , P, Q là trung điểm của AB, BC , CD, DA , từ phương trình thứ
hai của hệ ta được:


  
    
0  OA  OB  OC  OD  2OM  2OP  OM  OP  0

 M , P, O thẳng hàng và O là trung điểm MP .

(2)



  
    
0  OA  OB  OC  OD  2ON  2OQ  ON  OQ  0
 N , Q, O thẳng hàng và O là trung điểm NQ .

(3)

 Từ (2), (3), suy ra MNPQ là hình bình hành suy ra
A, C , O thẳng hàng và O là trung điểm AC .

B, D, O thẳng hàng và O là trung điểm BD .

 Do đó ABCD là hình bình hành.

(4)

Từ (1) và (4) suy ra ABCD là hình chữ nhật.
Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tứ giác có 2
đường chéo vuông góc là tổng bình phương các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Hướng dẫn: Ta chứng minh rằng AB 2  CD 2  BC 2  DA2 .


22

Giải

Trong mọi tứ giác ABCD bất kì ta luôn có:
AB 2  BC 2  CD 2  DA2

   
   
 AB  BC AB  BC  CD  DA CD  DA





 





     
 AB  BC AC  CD  DA CA









    
 AC AB  BC  CD  DA



    
 AC AB  AD  CB  CD






  
 AC DB  DB





 
 2 AC.DB
 

Mà AC  BD  AC.BD  0 .
Suy ra: AB 2  BC 2  CD 2  DA2  0  AB 2  CD 2  BC 2  DA2 .


23

CHỦ ĐỀ 2. ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ TRONG CHỨNG MINH MỘT
HỆ THỨC HÌNH HỌC DỰA VÀO ĐẲNG THỨC VECTƠ CHO TRƯỚC
PHƯƠNG PHÁP
Chuyển hệ thức trên bài toán về dạng chứa bình phương vô hướng của các vectơ
tương ứng hay tích độ dài các vectơ.
Ví dụ 1. Cho ABC có G là trọng tâm của tam giác và điểm M bất kì. Chứng minh
rằng: MA2  MB 2  MC 2  3.MG 2 

1 2
a  b 2  c 2 với BC  a, CA  b, AB  c .
3





(Công thức Leibnitz)
  
Hướng dẫn: Phân tích các vectơ MA, MB, MC bằng cách chèn điểm G .

Giải
Ta có:
   2
 
MA2  MG  GA  MG 2  GA2  2.MG.GA





  
MB 2  MG  GB





  
MC 2  MG  GC



2



2

 
 MG 2  GB 2  2.MG.GB
 
 MG 2  GC 2  2.MG.GC

   
 MA2  MB 2  MC 2  3MG 2  GA2  GB 2  GC 2  2.MG. GA  GB  GC





 3MG 2 

4 2
4 3
ma  mb2  mc2  3MG 2  . a 2  b 2  c 2
9
9 4

 3MG 2 

1 2
a  b2  c2
3













với ma , mb , mc lần lượt là đường trung tuyến của ABC hạ từ đỉnh A, B,C .
Vậy MA2  MB 2  MC 2  3.MG 2 

1 2
a  b2  c2 .
3






24

Ví dụ 2. Cho ABC có AB  c, BC  a, AC  b , điểm M nằm trên đoạn thẳng AB .
Chứng minh rằng: c 2 .CM 2  a 2 . AM 2 b 2 .BM 2  (a 2  b 2  c 2 )




Hướng dẫn: Ta tính vectơ CM theo hai vectơ không cùng phương cho trước là CA

và CM .
Giải

Cho  ABC , có M là điểm nằm trên đoạn thẳng AB .



Ta có: CM  AM CB  BM CA
AB

AB

 
 AB 2 .CM 2  AM 2 .CB 2  BM 2 .CA2  2 AM .BM .CB.CA
 AB 2 .CM 2  AM 2 .CB 2  BM 2 .CA2  2 AM .BM .(a 2  b 2  c 2 )

Vậy c 2 .CM 2  a 2 . AM 2  b 2 .BM 2  (a 2  b 2  c 2 ) .
Đặc biệt khi M là trung điểm của đoạn thẳng AB .


25

2
c2
c2
2 c
2
2
2
Ta có: m .c  a .  b .   a  b  c  .
4
4
4
2
C

 mC2 

2

2

1
2  a 2  b2   c2 

4

 CM 2 

1
 2  BC 2  AC 2   AB 2 

4

 CA2  CB 2  2CM 2 

AB 2
2

Đây là công thức trung tuyến CM của ABC .
Ví dụ 3. Cho ABC có J
a  BC , b  AC , c  AB .

là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, có

JA2 JB 2 JC 2


1
Chứng minh rằng:
bc ca ab

Giải

Đầu tiên ta chứng minh bài toán nhỏ sau: Cho ABC có J là tâm đường tròn nội tiếp

  
tam giác, có a  BC , b  AC , c  AB . Chứng minh rằng: a.JA  b.JB  c.JC  0
Gọi giao điểm của đường phân giác góc BAC với BC là D .
Ta có:

DB
c
  (tính chất đường phân giác)
b
DC



c 
b

 

c  
b



Hay DB   .DC  JB  JD   . JC  JD

