Bai tap day so CSC & CSN

Bài tập chơng III
Dãy số - Cấp số cộng ã Cấp số nhân
*******
Đ1. Phơng pháp quy nạp toán học
1) CMR:
*
n Ơ
a) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n
2
b)
1 4 7 10 ... (3 2) (3 1)
2
n
n n+ + + + + =
c) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
=
6
)12)(1(
++
nnn
d) 1
3
+ 2
3

+ 3
3
+ ... + n
3
=
4
)1(
22
+
nn
e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) =
3
)2)(1(
++
nnn
.
2) CMR:
a) 2
n
> 2n + 3 (n

4) b) (1 + a)
n
> 1 + na (a > 0, n

2)
c)
1 1
1 ... 2
2

n
n
+ + + <
n Ơ
d)
( 1)
2 2
2 ... sin
2
nx n x
sin sin
sinx sin x nx
x
sin
+
+ + + =
*
n Ơ
3) CMR:
n Ơ
a) (13
n
- 1) chia hết cho 12 b) (19
n
- 1) chia hết cho 9.
c)
2 2 2 1
7.2 3
n n
+

chia hết cho 5 (
1n

).c)
3 2 3 1
5.3 2
n n
+
chia hết cho 19. (
1n

).
Đ2. Dãy số
1) Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
a) u
n
= 2n
2
- n + 1 c) u
n
= 1 - 3
n

b) u
n
=
n

3
1
d) u
n
= 2n + sinn
2) Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) u
n
= 5
n
c)
nn
n
+
+
2
2
13
e)
cos
2
n
n
u

=

b) u
n
=
n







5
2
d) u
n
= 4
n
- 3 f)
2
n
n
n
u =
.
4) Cho (u
n
)xác định bởi:

=
=
+
nn
uu
u
2
3
1
1
Tìm số hạng tổng quát.
5) Cho (u
n
)xác định bởi:
66...66
++++=
n
u
(n dấu căn).
Chứng minh dãy tăng và bị chăn trên.
8) Cho (u
n
)xác định bởi:
22...22
++++=
n
u
(n dấu căn).
a) Chứng minh dãy tăng và bị chặn trên.

b) Chứng minh:
1
2
cos2
+
=
n
n
u

.
11) Viết 5 số hạng đầu của dãy số:
1 2
1 1
1
2 1
n
n n
u u
u u u
+
= =


+ =


*
, 2n n Ơ
.

GT 11 11U
Đ3 Cấp số cộng
1) Cho cấp số cộng:
3
, 3 ... Tính u
10.
2) Cho biết:



=
=
75.
8
72
37
uu
uu
Tính u
1
, d.
3) Tìm S
20
của 1 cấp số cộng

biết:
6 10
18; 110S S= =
.
4) Chứng minh rằng:

a
2
, b
2
, c
2
là cấp số cộng khi và chỉ khi
baaccb
+++
1
,
1
,
1
là cấp số cộng.
5) Cho cấp số cộng với các số hạng dơng: u
1
, u
2
, ... u
n
, ...
Chứng minh rằng:
1 2
1
u u
+
+
2 3
1

u u
+
+
...
1
1
n n
u u

+ =
+

1
1
n
n
u u

+
. Và đảo lại.
6) Cho

ABC. Chứng minh rằng:
tan
2
A
, tan
2
B
, tan

2
C
lập thành csc khi và chỉ khi cosA, cosB, cosC lập cấp số cộng.
7) Giải phơng trình;
a) 1 + 4 + 7 + ... + x = 287 (x là số hạng thứ n của cấp số cộng).
b) 2 + 4 + 8 + ... + y = 1022 ( y là số hạng thứ n của cấp số nhân).
c) (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + ... + (x + 28) = 155.
8) Tìm x biết: 4x - 3, 2x
2
+ 4, 7x + 5 là cấp số cộng.
9) a) Tìm u
n
và n biết: u
1
= 2, d= 5, s
n
= 245.
b) Tìm 4 số biết: 4 số đó lập thành 1 csc có tổng bằng 5 và tổng bình phơng bằng 245.
10) Cho 4 số nguyên lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 20, tích bằng 384. Tìm 4 số đó.
11) Tìm cấp số cộng biết:
a)



=+
=+
17.
10
61
351

uu
uuu
b)



=+
=+
1170.
60
12
2
4
2
157
uu
uu
c)





=
=
2
45
9
6
4

s
s
d)



=++
=++
21.
168
654
321
uuu
uuu

12) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1 1 1
, ,a b c
c a
b c a b
ữ ữ + +
+
+ +
.
13)
Cho . 0 . CMR:
n i
u u iữ
1 2 1 1 2 1 1 1
1 1 1 1 2 1 1

... ...
n n n n
n n
u u u u u u u u u u u u


+ + + + = + +

+

.
14) Chứng minh rằng:
1 2
1 2 2 3 1 1
1 1 1 1
, ,..., ... 0
n i
n n
n
n
u u u u
u u u u u u u u


ữ + + + =
.
15) Cho

ABC có:
= ữ1. CMR: cot ,cot ,cot

b
c
mc
B A C
b m
16) Cho

ABC có:
ữ ữ
2 2 2
cot ,cot ,cot . CMR: , ,A g C a b c

17) Xen giữa các số 1 và 25 năm số, tạo với 2 số đã cho 1 cấp số cộng.
18) Tìm csc gồm 3 số hạng có tổng bằng 21, tổng các bình phơng của chúng bằng 309
19) Cho hệ:


=





2 3
2
2
cos cos 1
cos
cos
1 70

x x
x tg x
x
x
Tìm tổng các nghiệm của hệ.
20) Ba số:
2, 3, 5
có thể là 3 số hạng cùng có mặt trong 1 cấp số cộng đợc không?
Đ4 Cấp số nhân
1) Ba số dơng lập cấp số cộng có tổng bằng 21. Thêm lần lợt 2, 3, 9 vào 3 số đó ta đợc cấp số
nhân. Tìm 3 số của cấp số cộng.
2) Cho 2 số 2 và 54. Điền vào giữa 2 số ấy 2 số sao cho 4 số mới lập cấp số nhân.
3) Cho 2 số 3 và 48. Xen giữa 3 số để đợc cấp số nhân.
4) Tìm cấp số nhân có tổng 4 số hạng đầu bằng 15, tổng bình phơng bằng 85.
5) Cho cấp số cộng và cấp số nhân cùng có 3 số hạng. Số hạng đầu của chúng bằng 3, các số
hạng thứ 3 giống nhau. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng nhiều hơn số hạng thứ 2 của cấp số
nhân là 3. Tìm 2 cấp số ấy.
6) Ba số nguyên có tổng bằng 15 lập thành cấp số cộng. Lần lợt thêm 1, 1, 4 vào chúng đợc
cấp số nhân. Tìm cấp số cộng.
7) Ba số dơng có tổng là 114 có thể coi là 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số nhân hoặc là u
1
, u
4
,
u
25
của 1 cấp số cộng. Tìm 3 số ấy.
8) Cho 1 dãy số gồm 4 số nguyên. Ba số hạng đầu lập cấp số cộng, 3 số hạng cuối lập cấp số
nhân. Tổng số hạng đầu và số hạng cuối bằng 37, tổng 2 số hạng giữa bằng 36. Tìm 4 số ấy.
9) Cho 4 số lập csn. Theo thứ tự ta bớt đi 2, 1, 7, 27 thì đợc cấp số cộng. Tìm cấp số nhân.

10) Tính tổng:
2
2 99
1
2
2
10 10 ... 10 9 99 ... 999..9 (n so 9).
7 77 777 ... 777...7 (n so 7) 1 2.2 3.2 ... 100.2
P 1. 2. ... .
n
n
A B
C P
x x nx
= + + + = + + +
= + + + + = + + + +
= + + +
11) Xác định cấp số nhân biết: a)
4 2
5 3
24
72
u u
u u
=


=

b)

1 3 5
7
1
13
18
65
32
u u u
u u

+ =




+ =


12) Tính các góc của tam giác vuông có độ dài 3 cạnh lập thành cấp số nhân.
13) Tìm 3 số có tổng bằng 146 là 3 số hạng đầu của 1 cấp số nhân, đồng thời là các số hạng thứ
nhất, thứ 17 và 19 của 1 cấp số cộng.
3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781
640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223
172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881
097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432
664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171
536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575
959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489
1227938183011949. (1000 chữ số sau dấu phẩy)