On tap HKII

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II-MÔN TOÁN – LỚP 11
A. PHẦN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Chương III : DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương pháp quy nạp toán học:
Để c/m mệnh đề A(n) đúng
∀
n
∈
N
*
ta thực hiện:
B1: C/m A(n) đúng khi n=1.
B2:
∀
n
∈
N
*
giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1.
2. Dãy số tăng, dãy số giảm:
Dãy số
( )
n
u
được gọi là dãy số tăng nếu với mọi
n
ta có
1
+
<

nn
uu
.
Dãy số
( )
n
u
được gọi là dãy số giảm nếu với mọi
n
ta có
1
+
>
nn
uu
.
Phương pháp để chứng minh một dãy số tăng hoặc giảm
Cách 1: (u
n
) là dãy số tăng ⇔ u
n
< u
n+1
∀ n ∈N
*
Cách 2: (u
n
) là dãy số tăng ⇔ u
n+1
- u

n
> 0∀ n ∈N
*
(xét dấu u
n+1
- u
n
)
Cách 3: u
n
>0 ∀ n, (u
n
) là dãy số tăng ⇔
1+n
n
u
u
< 1
3. Dãy số bị chặn:
a) Dãy số
)(
n
u
được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số
M
sao cho
MuNn
n
≤∈∀
,

*
.
b) Dãy số
)(
n
u
được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số
m
sao cho
muNn
n
≥∈∀
,
*
.
c) Dãy số
)(
n
u
được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là, tồn tại một
số
M
và một số
m
sao cho
MumNn
n
≤≤∈∀
,
*

.
4. Cấp số cộng
Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (u
n
) là cấp số cộng
⇔
u
n
=u
n-1
+ d,
∀
n
≥
2.
+ d không đổi gọi là công sai.
+ Kí hiệu cấp số cộng :
÷
u
1
, u
2
, u
3
, …, u
n
, …
*. Tính chất (u
n
) là cấp số cộng

⇔
2
11
+−
+
=
kk
k
uu
u
, (k
≥
2)
* . Số hạng tổng quát: Số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu u
1
và công sai d được cho
bởi công thức : u
n
=u
1
+(n-1)d
* Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng:
Cho cấp số cộng (u
n
), gọi S
n
=u
1
+u
2

+…+u
n
2
)(
1
nuu
S
n
n
+
=
,
∀
n
≥
1.
Chú ý:
[ ]
2
)1(2
1
ndnu
S
n
−+
=
,
∀
n
≥

1
5. Cấp số nhân(u
n
) là CSN
⇔
. 2
1
u u q n
n
n
= ∀ ≥
−
Số q được gọi là công bội của CSN.
* Tính chất: Cho cấp số nhân (u
n
). Ta có:
2
.
1 1
u u u
k k k
=
− +
∀ k ≥ 2, k ∈ N
*
* Số hạng tổng quát: Cho cấp số nhân (u
n
).
n-1
1

. q
n
u u=
với q
0≠
*Tổng n số hạng đầu tiên của CSN
Giả sử có cấp số nhân (u
n
) với công bội q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S
n
là tổng n số hạng đầu
tiên của nó: S
n
= u
1
+ u
2
+ ... + u
n
Nếu q=1 thì u
n
= u
1
với mọi n
1
≥
. Khi đó: S
n
= nu
1

.
Nếu q
1≠
, ta có kết quả:
1
(1 )
1
n
n
u q
S
q
−
=
−
với q
1≠
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu 1. Dãy số nào sau đây không bị chặn trên:
A)
1
sin
n
u n
n
=
B)
1
sin
n

u n
n
=
C)
1
( 1) sin
n
n
u
n
= −
D)
1
sin( 1)
n
n
u
n
= −
Câu 2. Cho dãy số (
n
u
) với
( 5)
n
n
u = −
. Khi đó số hạng
2n
u

bằng:
A) 25
n
B) 10
n
C) -25
n
D)
2
( 5)
n
−
Câu 3. Cho cấp số cộng (
n
u
).Đẳng thức nào sau đây là đúng:
A)
10 20 15
2u u u+ =
B)
10 20 15
. 2u u u=
C)
2
10 20 15
.u u u=
D)
10 20 30
u u u+ =
Câu 4. Cho cấp số nhân (

n
u
).Đẳng thức nào sau đây là đúng:
A)
1 11 6
2u u u+ =
B)
2
1 11 6
u u u+ =
C)
2
1 11 6
.u u u=
D)
1 11 12
.u u u=
Câu 5. Cho cấp số cộng x; 1; y; 9. Khi đ ó:
A) x = -3, y = 5 B) x = -5, y = 3 C) x = -1, y = 7 D) x = -2, y = 6
Câu 6. Cho cấp số nhân 3 số hạng: 2,5 ; x; 40. Hãy chọn kết quả đúng:
A) x = 10 B) x = 5 C) x = 20 D) x = 25
Câu 7.Cho dãy số (
n
u
) với
1 1
2; 2 , 2
n n
u u u n
−

= = ≥
. Khi đó:
7.1. Số hạng thứ 100 bằng:
A) 2
99
B) 2
100
C) 2
101
D)200
7.2. Tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng:
A) 2
99
- 1 B) 2
100
- 1 C) 2
101
- 1 D) 1 - 2
101
Câu 8. Cho cấp số cộng -2; -5; -8; -11;... Khi đó công sai d và tổng 20 số hạng đầu tiên là:
A) d = 3; S
20
= 510; B) d = -3; S
20
= -610
C) d = -3; S
20
= 610 D) d = 3; S
20
= -510

Câu 9. Dãy số nào sau đây không phải là cấp số cộng:
A)
1
2
n
n
u
−
=
B)
1
2
n
n
u
 
=
 ÷
 
C)
2
n
u = −
D)
2 1
n
u n= +
Câu 10. Ba số xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng là:
A) 7; 12; 17 B) 6; 10; 14 C)8; 13; 18 D) 5; 10; 17
Câu 11. Cho cấp số cộng có

1
1 1
;
4 4
u d= = −
. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là:
A)
5
4
B)
4
5
C)
5
4
−
D)
4
5
−
Câu 12. Cho cấp số cộng có
5
0,1; 0,5d s= = −
. Số hạng đầu tiên là:
A) 0,3 B)
10
3
C)
10
3

−
D) -0,3
Câu 13. Cho cấp số cộng có
5 20
15; 60u u= − =
. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là:
A) 200 B)-200 C)250 D)-250
Câu 14. Cho tam giác có số đo 3 góc lập thành một cấp số cộng. Biết số đo một góc là 25
0
, số đo 2
góc còn lại là:
A) 65
0
; 90
0
B)75
0
; 80
0
C) 60
0
; 95
0
D)70
0
; 85
0
Câu 15. Cho cấp số nhân với u
1
= -1; q = - 0,1. Số 10

-103
:
A) là số hạng thứ 103 của cấp số nhân đã cho.
B) là số hạng thứ 104 của cấp số nhân đã cho.
C) là số hạng thứ 102 của cấp số nhân đã cho.
D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho.
Câu 16.Cho dãy số
1
; ; 2
2
b−
. Chọn b để dãy số trên là một cấp số nhân:
A) b = -1 B) b = 1 C) b = 2 D) b = -2
Câu 17. Cho cấp số nhân 1;
1 1 1
; ; ;...
2 4 8
Số hạng thứ 10 bằng:
A) 2
9
B) 2
10
C) 2
-9
D) 2
-10
Câu 18. Các giá trị của x để 3 số 2x – 1; x; 2x + 1 lập thành một cấp số nhân là:
A)
1
3

x = ±
B)
1
3
x = ±
C)
3x = ±
D)
1
9
x = ±
.
Câu 19. Dãy số nào là cấp số nhân?
A) 1; 0,2; 0,04; 0,008; ... B) 2; 22; 222; 2222; ...
C) x, 2x, 3x, 4x, 5x,... D)
1 1 1 1
; ; ; ;...
2 3 4 5
Câu 20. Cho cấp số nhân có u
1
= -3; q =
2
3
. Số
96
243
−
A) là số hạng thứ 6 của cấp số nhân đã cho.
B) là số hạng thứ 5 của cấp số nhân đã cho.
C) là số hạng thứ 7 của cấp số nhân đã cho.

D) không phải là một số hạng của cấp số nhân đã cho.
Câu 21. Cho cấp số nhân có
2 5
1
; 16.
4
u u= =
Khi đó:
A)
1
1 1
;
2 2
u q= =
B)
1
1 1
;
2 2
u q= − = −
C)
1
1
; 4
16
u q= =
D)
1
1
; 4

16
u q= − = −
Câu 22.Cho dãy số
1 1
1
2; 2 , *
n
n
u u n
u
+
= − = − − ∈ ¥
. Công thức số hạng tổng quát của dãy này là:
A)
1
n
n
u
n
− +
=
B)
1
n
n
u
n
+
=
C)

1
n
n
u
n
+
= −
D)
1
n
n
u
n
−
=
Câu 23. Cho dãy số (u
n
) có số hạng tổng quát u
n
= 2n + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A) (u
n
) là cấp số cộng với công sai là d = 3
B) (u
n
) là cấp số cộng với công sai là d = 2
C) (u
n
) là cấp số nhân với công bội là q = 3
D) (u

n
) là cấp số nhân với công bội là q = 2
Câu 24. Một cấp số nhân có 3 số hạng a, b, c khác 0 và công bội q ≠ 0. Đẳng thức nào dưới đây là
đúng?
A)
2
1 1
a bc
=
B)
2
1 1
b ac
=
C)
2
1 1
c ba
=
D)
1 1 2
a b c
+ =
Câu 25. Đặt S
n
=
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
2 3 4 n

     
− − − −
 ÷ ÷ ÷ ÷
     
,
, 2n n∈ ≥¥
. Khi đó :
A)
1
n
n
S
n
−
=
B)
1
2
n
n
S
n
−
=
C)
1
n
n
S
n

+
=
D)
1
2
n
n
S
n
+
=
Bài tập tự luận
Bài 1: Chứng minh bằng phương pháp qui nạp:
*
n N∀ ∈
,
3n ≥
ta có 2
n
> 2n + 1
Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết
7 3
2 7
8
. 75
u u
u u
− =



=


Bài 3: Cho dãy số (u
n
), biết:
1
1
1
3 í i 1
n n
u
u u v n
+
ì
ï
= -
ï
ï
í
ï
= + ³
ï
ï
î
a) Viết sáu số hạng đầu của dãy số
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u
n
và chứng minh công thức đó bằng phương pháp qui nạp
Bài 4: Xác định cấp số nhân (u

n
), biết :
3
5
6
15
135
0
u
u
u
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
ï
<
ï
î
Bài 5: Người ta xếp 3655 học sinh theo đội hình đồng diễn là một tam giác: hàng thứ nhất có 1 học
sinh, hàng thứ hai có 2 học sinh, hàng thứ ba có 3 học sinh, ...Hỏi có bao nhiêu hàng?
Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
1
≥

, biểu thức
13 1
n
n
S
= −
chia hết cho 6.
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn luôn có
( )
2
2
3 3 3
1
1 2
4
...
n n
n
+
+ + + =
Bài 8: Số hạng thứ hai, số hạng đầu và số hạng thứ ba của một cấp số cộng với công sai khác 0 theo
thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm công bội của cấp số nhân đó?
Bài 9: Bốn số lập thành một cấp số cộng. Biết rằng tổng của chúng bằng 22 và tích của chúng bằng
166. Tìm 4 số đó.
------- ( Hết) -------
Chương 4 : GIỚI HẠN
I. Vấn đề 1: Dãy số có giới han 0
* Phương pháp
a)
1

lim 0
n
=
b)
*
2
1
lim 0( )k N
n
= ∈
c)
1
lim 0
n
=
d)
3
1
lim 0
n
=
e) Nếu |q| < 1 thì lim
0
n
q =
f) Nếu
| |
n n
u V<
thì V

n
= 0 thì lim u
n
= 0
4.1. Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0.
a)
( 1)
5
n
n
−
+
b)
sin
5
n
n +
c)
os2n
n 1
c
+
4.2. Chứng minh hai dãy số (u
n
) và (v
n
) với:
1
( 1)
n

u
n n
=
+
:
2
( 1) osn
n 1
n
n
c
V
−
=
+
có giới hạn 0
4.3. Chứng minh rằng các dãy số (u
n
) sau đây có giới hạn 0
a)
(0,99)
n
n
u =
b)
( 1)
2 1
n
n
n

u
−
=
+
c)
sin
5
(1,01)
n
n
n
u
π
= −
4.4. Cho dãy số (u
n
) với
3
n
n
n
u =
a) Chứng minh rằng
1
2
3
n
n
u
u

+
≤
với mọi n.
b) Bằng phương pháp qui nạp chứng minh rằng
2
0
3
n
n
u
 
< <
 ÷
 
với mọi n.
c) Chứng minh dãy số (u
n
) có giới hạn 0.
II. Vấn đề 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn
* Phương pháp
1)
lim lim( ) 0
n n
u L u L= ⇔ − =
2) Sử dụng định lí 1 và định lí 2 .
3) Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u
n
) với công bội q.
Ta có:
1

lim
1
n
u
S
q
=
−
4.5. Cho dãy số (u
n
) với
15 1
n
n
u
n
+
=
. Chứng minh lim u
n
= 15
4.6. Tìm các giới hạn sau:
a)
( 1)
lim 2
2
n
n
 
−

+
 ÷
+
 
b)
sin 3
lim 1
4
n
n
 
−
 ÷
 
c)
1
lim
n
n
−
d)
2
lim
1
n
n
+
+
4.7. Tìm các giới hạn:
a)

6 1
lim
3 2
n
n
−
+
b)
2
2
3 5
lim
2 1
n n
n
+ −
+
4.8. Tìm giới hạn:
a)
2
2
4 5
lim
3
n n
n
+
−
b)
3 2

3 2
17 3 4
lim
2
n n
n n
+ +
+
4.9. Tìm giới hạn
2
3
1 3 2
lim
2
n
n
n n
−
  
+
 ÷ ÷
−
  
4.10. Tìm các giới hạn:
a)
2 2
2 3 1
lim
3
n n n

n
− + +
+
b)
3
2
2
lim
1
n n
n
+
−
4.11. Tìm các giới hạn sau:
a)
1
lim
1
n
n
+
+
b)
3 3
lim
2
n n
n
+
+

c)
2
lim( )n n n+ −
4.12. Tìm các giới hạn:
a)
2
lim( 1 )n n n+ + −
b)
3 3 2
lim( 2 )n n n− +
c)
2 3 3
lim( 1 1)n n+ − +
4.13. Tìm các giới hạn
a)
4
lim
2.3 4
n
n n
+
b)
3 5.4
lim
4 2
n n
n n
+
+
4.14. Tìm các giới hạn:

a)
3 5.7
lim
2 3.7
n n
n n
+
−
b)
1
1
5 11
lim
3 11
n n
n n
+
+
+
+
4.15. Tìm giới hạn
1 1 1 1
lim ....
1.2 2.3 3.4 ( 1)n n
 
+ + + +
 ÷
−
 
4.16. Tìm giới hạn

2
1 2 3 ...
lim
n
n
+ + + +
4.17. Tìm tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)
2 3
1 1 1 1
, , ,..., ,...
2 2 2 2
n
b)
1
1 1 1 1
1, , , ,..., ....
2 4 8 2
n−
 
− − −
 ÷
 
4.18. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,777… dưới dạng phân số.
III. Vấn đề 3: Dãy số có giới hạn vô cực
* Phương pháp
1)
limn
= +∞
2)

lim n = +∞
3)
3
lim n = +∞
4)
*
lim ( )
k
n k= +∞ ∈ ¥