chuyen de bat dang thuc (hay)

Chuyên đề : Bất đẳng thức
A- Mở đầu:
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông .
Nhng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc
hơn về giải và biện luận phơng trình , bất phơng trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố
của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức. Trong quá trình giải
bài tập , năng lực suy nghĩ , sáng tạo của học sinh đợc phat triển đa dang và phong phú
vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả.
Nó đòi hỏi ngời đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với
kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống.
Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp
nhất định nên học sinh rât lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức vì vậy học sinh sẽ
không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hơng nào .Do đó hầu hết học sinh không biết làm
toán về bất đẳng thứcvà không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập
khác.
Trong thực tế giảng dạy toán ở trờng THCS việc làm cho học sinh biết chứng minh
bất đẳng thức và vận dụng các bất đẳng thức vào giải các bài tập có liên quan là công
việc rất quan trọngvà không thể thiếu đợc của ngời dạy toán ,thông qua đó rèn luyện
T duy lôgic và khả năng sáng tạo cho học sinh .Để làm đợc điều đó ngời thầy giáo phải
cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơ bản và một số phơng pháp suy nghĩ ban đầu
về bất đẳng thức .
Chính vì lí do trên nên tôi tự tham khảo biên soạn chuyên đề bất đẳng thức nhằm mục
đích giúp học sinh học tốt hơn.

Danh mục của chuyên đề
S.t.t Nội dung trang
1.
Phần mở đầu
1
2.
Nội dung chuyên đề

2
3.
Các kiến thức cần lu ý
3
4.
Các phơng pháp chứng minh bát đẳng thức
4
5.
Phơng pháp 1:dùng định nghiã
4
6.
Phơng pháp 2:dùng biến đổi tơng đơng
6
7.
Phơng pháp 3:dùng bất đẳng thức quen thuộc 8
8.
Phơng pháp 4:dùng tính chất bắc cầu 10
9.
Phơng pháp 5: dùng tính chấtbủa tỷ số 12
1
10.
Phơng pháp 6: dùng phơng pháp làm trội 14
11.
Phơng pháp 7: dùmg bát đẳng thức tam giác 16
12.
Phơng pháp 8: dùng đổi biến
17
13.
Phơng pháp 9: Dùng tam thức bậc hai
18

14.
Phơng pháp 10: Dùng quy nạp toán học 19
15.
Phơng pháp 11: Dùng chứng minh phản chứng 21
16.
Các bài tập nâng cao 23
17. ứng dụng của bất dẳng thức
28
18.
Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị 29
19.
Dùng bất đẳng thức để: giải phơng trình hệ phơng trình 31
20.
Dùng bất đẳng thức để : giải phơng trình nghiệm nguyên 33
21.
Tài liệu tham khảo
B- nội dung
Phần 1 : các kiến thức cần lu ý
1- Định nghĩa
2- Tính chất
3-Một số hằng bất đẳng thức hay dùng


Phần 2:một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
1-Phơng pháp dùng định nghĩa
2- Phơng pháp dùng biến đổi tơng đơng
3- Phơng pháp dùng bất đẳng thức quen thuộc
4- Phơng pháp sử dụng tính chất bắc cầu
5- Phơng pháp dùng tính chất tỉ số
6- Phơng pháp làm trội

7- Phơng pháp dùng bất đẳng thức trong tam giác
8- Phơng pháp đổi biến số
9- Phơng pháp dùng tam thức bậc hai
10- Phơng pháp quy nạp
11- Phơng pháp phản chứng
Phần 3 :các bài tập nâng cao
PHầN 4 : ứng dụng của bất đẳng thức
1- Dùng bất đẳng thức để tìm cực trị
2
2-Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình và bất phơng trình
3-Dùng bất đẳng thức giải phơng trình nghiệm nguyên
Phần I : các kiến thức cần lu ý
1-Đinhnghĩa

0
0
A B A B
A B A B






2-tính chất
+ A>B
AB
<
+ A>B và B >C
CA

>
+ A>B

A+C >B + C
+ A>B và C > D

A+C > B + D
+ A>B và C > 0

A.C > B.C
+ A>B và C < 0

A.C < B.C
+ 0 < A < B và 0 < C <D

0 < A.C < B.D
+ A > B > 0

A
n
> B
n
n

+ A > B

A
n
> B
n

với n lẻ
+
A
>
B


A
n
> B
n
với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1

A
m
> A
n

+ m > n > 0 và 0 <A < 1

A
m
< A
n

+A < B và A.B > 0


BA

11
>
3-một số hằng bất đẳng thức

+ A
2


0 với

A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ A
n


0 với

A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+
0

A
với
A

(dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ -
A
< A =
A

+
A B A B+ +
( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+
BABA

( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
Phần II : một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Ph ơng pháp 1 : dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B
Ta chứng minh A B > 0
3
Lu ý dùng hằng bất đẳng thức M
2


0 với M
Ví dụ 1 x, y, z chứng minh rằng :
a) x
2
+ y
2
+ z
2


xy+ yz + zx
b) x
2
+ y

2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz

c) x
2
+ y
2
+ z
2
+3

2 (x + y + z)
Giải:
a) Ta xét hiệu
x
2
+ y
2
+ z
2
- xy yz - zx
=
2
1
.2 .( x
2
+ y

2
+ z
2
- xy yz zx)
=
2
1
[ ]
0)()()(
222
++
zyzxyx
đúng với mọi x;y;z
R
Vì (x-y)
2


0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)
2


0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)
2


0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x

2
+ y
2
+ z
2


xy+ yz + zx
Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu
x
2
+ y
2
+ z
2
- ( 2xy 2xz +2yz )
= x
2
+ y
2
+ z
2
- 2xy +2xz 2yz
=( x y + z)
2
0

đúng với mọi x;y;z
R

Vậy x
2
+ y
2
+ z
2

2xy 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
R
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu
x
2
+ y
2
+ z
2
+3 2( x+ y +z )
= x
2
- 2x + 1 + y
2
-2y +1 + z
2
-2z +1
= (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(z-1)

2

0
Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a)
2
22
22






+

+
baba
;b)
2
222
33






++

++
cbacba
c) Hãy tổng quát bài toán
giải
a) Ta xét hiệu
2
22
22






+

+
baba

=
( )
4
2
4
2
2222
bababa
++

+
=
( )
abbaba 222
4
1
2222
+

4
=
( )
0
4
1
2

ba
Vậy
2
22
22






+

+
baba
Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu

2
222
33






++

++
cbacba
=
( ) ( ) ( )
[ ]
0
9
1
222
++ accbba
Vậy
2
222
33

++

++
cbacba
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát

2
21
22
2
2
1
........






+++

+++
n

aaa
n
aaa
nn
Tóm lại các bớc để chứng minh A

B tho định nghĩa
Bớc 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bớc 2:Biến đổi H=(C+D)
2
hoặc H=(C+D)
2
+.+(E+F)
2
Bớc 3:Kết luận A B
Ví dụ:(chuyên Nga- Pháp 98-99)
Chứng minh m,n,p,q ta đều có
m
2
+ n
2
+ p
2
+ q
2
+1 m(n+p+q+1)
Giải:
01
4444
2

2
2
2
2
2
2









++








++

++








+
m
m
qmq
m
pmp
m
nmn
m
01
2222
2222

+






+






+







m
q
m
p
m
n
m

(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi











=
=
=
=
01
2
0
2
0
2
0
2
m
q
m
p
m

n
m










=
=
=
=
2
2
2
2
m
m
q
m
p
m
n

===
=
1
2
qpn
m
Bài tập bổ xung
phơng pháp 2 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
L u ý:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc
bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng.
5
Chú ý các hằng đẳng thức sau:

( )
22
2
2 BABABA
++=+

( )
BCACABCBACBA 222
222
2
+++++=++

( )
3223
3

33 BABBAABA
+++=+
Ví dụ 1:
Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)
ab
b
a +
4
2
2
b)
baabba
++++
1
22
c)
( )
edcbaedcba
+++++++
22222
Giải:
a)
ab
b
a +
4
2
2

abba 44
22
+
044
22
+
baa

( )
02
2

ba
(bất đẳng thức này luôn đúng)
Vậy
ab
b
a +
4
2
2
(dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)
baabba
++++
1
22

)
)(21(2

22
baabba
++>++

012122
2222
+++++
bbaababa

0)1()1()(
222
++
baba
Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy
baabba
++++
1
22
Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)
( )
edcbaedcba
+++++++
22222


( ) ( )
edcbaedcba
+++++++

44
22222



( ) ( ) ( ) ( )
044444444
22222222
+++++++
cacadadacacababa


( ) ( ) ( ) ( )
02222
2222
+++
cadacaba
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa
++++
Giải:
( )( ) ( )( )
4488221010
babababa
++++

128448121210221012
bbabaabbabaa
++++++



( ) ( )
0
22822228
+ abbababa

a
2
b
2
(a
2
-b
2
)(a
6
-b
6
)

0

a
2

b
2
(a
2
-b
2
)
2
(a
4
+ a
2
b
2
+b
4
)

0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và x.y
Chứng minh
yx
yx

+
22

22
Giải:

yx
yx

+
22

22
vì :x

y nên x- y

0

x
2
+y
2


22
( x-y)


x
2
+y
2
-
22
x+

22
y

0

x
2
+y
2
+2-
22
x+
22
y -2

0

x
2
+y
2
+(
2
)
2
-
22
x+
22
y -2xy

0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2

(x-y-
2
)
2


0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4:
6
1)CM: P(x,y)=
01269
222
++
yxyyyx

Ryx

,
2)CM:
cbacba
++++
222
(gợi ý :bình phơng 2 vế)
3)choba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:

++<++
=
zyx
zyx
zyx
111
1..
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
(đề thi Lam Sơn 96-97)
Giải:
Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(
zyx
111
++
)=x+y+z - (
0)
111
>++
zyx
(vì
zyx
111
++
< x+y+z theo gt)

2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dơng.
Nếủ trờng hợp sau xảy ra thì x, y, z >1

x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải
xảy ra trờng hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Ph ơng pháp 3 : dùng bất đẳng thức quen thuộc
A/ một số bất đẳng thức hay dùng
1) Các bất đẳng thức phụ:
a)
xyyx 2
22
+
b)
xyyx
+
22
dấu( = ) khi x = y = 0
c)
( )
xyyx 4
2
+
d)
2
+
a
b
b
a
2)Bất đẳng thức Cô sy:

n
n
n
aaaa
n
aaaa
....
....
321
321

++++
Với
0
>
i
a
3)Bất đẳng thức Bunhiacopski

( )
( )
( )
2
2211
22
2
2
1
22
2

2
2
.............
nnnn
xaxaxaxxaaa
+++++++++
4) Bất đẳng thức Trê- b-sép:
Nếu





CBA
cba



3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++

++
Nếu

CBA
cba



3
.
33
CBAcbacCbBaA
++++

++
Dấu bằng xảy ra khi



==
==
CBA
cba
b/ các ví dụ
ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a)

8abc
Giải:
Cách 1:Dùng bất đẳng thức phụ:
( )
xyyx 4

2
+
7
Tacó
( )
abba 4
2
+
;
( )
bccb 4
2
+
;
( )
acac 4
2
+


( )
2
ba +
( )
2
cb +
( )
2
ac +

( )
2
222
864 abccba
=


(a+b)(b+c)(c+a)

8abc
Dấu = xảy ra khi a = b = c
ví dụ 2(tự giải): 1)Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR:
9
111
++
cba
(403-1001)
2)Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z
)1)(1)(1(4 zyx


3)Cho a>0 , b>0, c>0
CMR:
2
3

+
+
+
+

+
ba
c
ac
b
cb
a
4)Cho x
0

,y
0

thỏa mãn
12
=
yx
;CMR: x+y
5
1


ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và
1
222
=++
cba
chứng minh rằng
3 3 3
1

2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Giải:
Do a,b,c đối xứng ,giả sử a

b

c







+

+

+

ba
c
ca
b
cb
a

cba
222
áp dụng BĐT Trê- b-sép ta có







+
+
+
+
+
++

+
+
+
+
+
ba
c
ca
b
cb
acba
ba
c

c
ca
b
b
cb
a
a .
3
...
222
222
=
2
3
.
3
1
=
2
1
Vậy
2
1
333

+
+
+
+
+

ba
c
ca
b
cb
a
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
3
1
ví dụ 4:
Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
( ) ( ) ( )
10
2222
+++++++++
acddcbcbadcba
Giải:
Ta có
abba 2
22
+

cddc 2
22
+
Do abcd =1 nên cd =
ab
1
(dùng
2

11
+
x
x
)
Ta có
4)
1
(2)(2
222
+=+++
ab
abcdabcba
(1)
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
acddcbcba
+++++

=(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
222
111
++

++






++






+
bc
bc
ac
ac
ab
ab
Vậy
( ) ( ) ( )
10
2222
+++++++++
acddcbcbadcba
ví dụ 5: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:

222222

)()( dcbadbca
++++++
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
tacó ac+bd

2222
. dcba
++
mà
( ) ( ) ( )
2222
22
2 dcbdacbadbca
+++++=+++
( )
22222222
.2 dcdcbaba
++++++

222222
)()( dcbadbca
++++++
8
ví dụ 6 : Chứng minh rằng

acbcabcba
++++
222
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có

( )
( )
2
222222
.1.1.1)(111 cbacba
++++++


3
( )
( )
acbcabcbacba
+++++++
2
222222


acbcabcba
++++
222
Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Ph ơng pháp 4 : Sử dụng tính chất bắc cầu
L u ý: A>B và b>c thì A>c
0< x <1 thì x
2
<x
ví dụ 1:
Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d

Chứng minh rằng ab >ad+bc
Giải:
Tacó



+>
+>
dcb
dca






>>
>>
0
0
cdb
dca


(a-c)(b-d) > cd


ab-ad-bc+cd >cd

ab> ad+bc (điều phải chứng minh)
ví dụ 2:
Cho a,b,c>0 thỏa mãn
3
5
222
=++
cba
Chứng minh
abccba
1111
<++
Giải:
Ta có :( a+b- c)
2
= a
2
+b
2
+c
2
+2( ab ac bc)

0


ac+bc-ab

2
1

( a
2
+b
2
+c
2
)


ac+bc-ab
6
5


1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có
cba
111
+


abc
1
ví dụ 3
Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
Giải:
Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab
Do a>0 , b>0 nên ab>0


(1-a).(1-b) > 1-a-b (1)

Do c <1 nên 1- c >0 ta có


(1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c


(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d)
=1-a-b-c-d+ad+bd+cd


(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
(Điều phải chứng minh)
ví dụ 4
1- Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng
9

accbbacba
222333
3222
+++<++
Giải :
Do a < 1


1
2
<
a
và
Ta có

( )
( )
01.1
2
<
ba


1-b-
2
a
+
2
a
b > 0


1+
2
a
2
b
>
2
a
+ b
mà 0< a,b <1


2

a
>
3
a
,
2
b
>
3
b
Từ (1) và (2)

1+
2
a
2
b
>
3
a
+
3
b
Vậy
3
a
+
3
b
< 1+

2
a
2
b
Tơng tự
3
b
+
3
c
cb
2
1
+

c
3
+
3
a

ac
2
1
+
Cộng các bất đẳng thức ta có :

accbbacba
222333
3222

+++++
b)Chứng minh rằng : Nếu
1998
2222
=+=+
dcba
thì ac+bd =1998
(Chuyên Anh 98 99)
Giải:
Ta có (ac + bd)
2
+ (ad bc )
2
= a
2
c
2
+ b
2222
2 daabcdd
++
22
cb
+
-
abcd2
=
= a
2
(c

2
+d
2
)+b
2
(c
2
+d
2
) =(c
2
+d
2
).( a
2
+ b
2
) = 1998
2
rỏ ràng (ac+bd)
2



( ) ( )
2
22
1998
=++
bcadbdac

1998
+
bdac
2-Bài tập : 1, Cho các số thực : a
1
; a
2
;a
3
.;a
2003
thỏa mãn : a
1
+ a
2
+a
3
+ .+a
2003
=1
c

hứng minh rằng :

a
2
1
+

2
2003
2
3
2
2
.... aaa
+++
2003
1


( đề thi vào chuyên nga pháp 2003-
2004Thanh hóa )
2,Cho a;b;c
0

thỏa mãn :a+b+c=1(?)
Chứng minh rằng: (
8)1
1
).(1
1
).(1
1

cba
Ph ơng pháp 5: dùng tính chấtcủa tỷ số
Kiến thức
1) Cho a, b ,c là các số dơng thì

a Nếu
1
>
b
a
thì
cb
ca
b
a
+
+
>
b Nếu
1
<
b
a
thì
cb
ca
b
a
+
+
<
2)Nếu b,d >0 thì từ

d
c

db
ca
b
a
d
c
b
a
<
+
+
<<

`
ví dụ 1 :
Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng

21
<
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc

c
dcb
b
cba
a
Giải :
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có

dcba
da
cba
a
cba
a
+++
+
<
++
<
++
1
(1)
Mặt khác :
dcba
a
cba
a
+++
>
++

(2)
10