Bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ HUYỀN

BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ HUYỀN

BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO
PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH
CẤP HAI

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên - 2015


i

Mục lục

Mở đầu

1

1

Một số kiến thức liên quan

4

1.1

Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1

Không gian L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.2

Không gian W2m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Không gian W m, (QT ) . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2
2

Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic

7

2.1

Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1

Khái niệm phương trình parabolic . . . . . . . . . .

7

2.1.2

Dạng của phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . .

9

2.1.3

∆,1
Nghiệm suy rộng thuộc W2,0
(QT ) của bài toán biên-

giá trị ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4

Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) của bài toán biêngiá trị ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.5

Nghiệm suy rộng thuộc V21,0 (QT ) của bài toán biêngiá trị ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2

Phương trình parabolic dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1

Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn . . . 20


ii

2.3

2.2.2

Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.3

Tính duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . 25

Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba . . . . . . . . 26
2.3.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.2

Định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá
trị ban đầu thứ hai và thứ ba . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.3
2.4

Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 27

Bất đẳng thức cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


1

Mở đầu
1

Lý do chọn đề tài
Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm

quen với môn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn
đề cơ bản liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền sóng,
phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện
cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình elliptic, hypebolic
và parabolic. Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩ thông
thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn của phương trình,
điều này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với phương trình trên những
miền bất kỳ hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn.
Để khắc phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm

suy rộng, tức là nghiệm có độ khả vi không cao. Sau đó nhờ các công cụ của
giải thích hàm, người ta nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và độ trơn của
nghiệm suy rộng. Chính vì vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề
rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự yêu thích của những sinh viên yêu thích
nó. Nhằm góp phần giúp những bạn sinh viên và những độc giả yêu môn
phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu
hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu
đề tài: “Bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình parabolic cấp hai”.


2

2
2.1

Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với

phương trình parabolic cấp hai
2.2

Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu

trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày một hệ thống
để giải quyết các vấn đề đặt ra của luận văn.
2.3

Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương trình parabolic tuyến tính

cấp hai.

3
3.1

Mục đích - nhiệm vụ và những đóng góp của luận văn
Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về môn phương

trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai. Đóng góp
thêm một tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả những ai
quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng.
3.2

Nhiệm vụ của luận văn
Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu về

bài toán biên-giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic cấp hai. Luận
văn gồm hai chương:


3
• Chương 1. Một số kiến thức liên quan mô tả một số không gian Sobolev
thích hợp đối với nghiệm của phương trình parabolic.
• Chương 2. Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic
trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung và phương trình
truyền nhiệt nói riêng, phát biểu bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất,
đưa vào xét nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất

đối với phương trình truyền nhiệt. Ngoài ra chương hai trình bày các
định lý về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng bài toán biên-giá
trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tổng quát dạng bảo
toàn, nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ
ba.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [1], trong đó trình bày các
loại nghiệm suy rộng của phương trình parabolic. Khi các nghiệm suy rộng
là các hàm trơn thì chúng là nghiệm cổ điển của các phương trình này mà
được nghiên cứu trong [2].
3.3

Những đóng góp của luận văn
Đóng góp nổi bật của luận văn là cung cấp được các khái niệm và kết quả

chuyên sâu về nghiệm suy rộng của phương trình parabolic cấp hai dạng bảo
toàn. Đó là các khái niệm mới như: định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng, các
không gian Sobolev. Đặc biệt nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên
cứu bài toán biên-giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic cấp hai.


4

Chương 1

Một số kiến thức liên quan
Các kiến thức cơ sở trong chương này đều được lấy từ tài liệu [1].

1.1

Không gian Sobolev

1.1.1

Không gian L2 (Ω)

Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Ω với tích vô
hướng
( f (x), g(x))L2 (Ω) =

f (x)g(x)dx.
Ω

và chuẩn tương ứng
1/2

f

1.1.2

L2 (Ω)

2

| f (x)| dx

=

.

Ω

Không gian W2m (Ω)

Giả sử m là các số tự nhiên ta kí hiệu W2m (Ω) là không gian Sobolev gồm
tất cả các hàm u(x) ∈ L2 (Ω), sao cho tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến
cấp m thuộc L2 (Ω). Không gian W2m (Ω) là không gian Banach với chuẩn sau
u

2
W2m (Ω)

=

∑

|Dα u|2 dx

|α|≤m Ω

trong đó
α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn

là đa chỉ số;

(1.1)


5
Dα = Dα1 Dα2 . . . Dαn ,

D = (D1 , D2 , . . . , Dn ),

Dj =

∂
.
∂xj

Không khó khăn khi có thể kiểm tra W2m (Ω) là một không gian Hilbert với
tích vô hướng
(u, v)W2m (Ω) =

1.1.3

∑

Dα uDα vdx.

|α|≤m Ω

Không gian W m, (QT )

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂ Ω và T = const > 0.
Kí hiệu
QT = Ω × (0, T ) = {(x,t) : x ∈ Ω, t ∈ (0; T )}
và được gọi là miền trụ đáy Ω.
Giả sử m, là các số tự nhiên ta kí hiệu W m, (QT ) là không gian Sobolev
gồm tất cả các hàm u(x,t) ∈ L2 (QT ), sao cho tất cả các đạo hàm suy rộng
theo x đến cấp m và theo t đến cấp thuộc L2 (QT ). Không gian W m, (QT )
là không gian Banach với chuẩn

2

u

2
W m, (QT )

=

∑

|α|≤m QT

|Dα u|2 dxdt + ∑

k=1 QT

∂ ku
dxdt.
∂t k

(1.2)

Trường hợp = 0 số hạng thứ hai trong vế phải của (1.2) coi như không có.
Không khó khăn khi có thể kiểm tra W2m, (QT ) là một không gian Hilbert
với tích vô hướng
(u, v)W m, (Q ) =
2

T

∑

|α|≤m QT

α

α

D uD vdxdt + ∑

k=1 QT

∂ ku ∂ kv
dxdt.
∂t k ∂t k


6

1.2

Bất đẳng thức tích phân

Giả sử y(t) là hàm không âm và hoàn toàn liên tục trên [0, T ] và với hầu
hết t trong [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức
dy(t)
≤ c1 (t)y(t) + c2 (t),
dt

(1.3)

ở đó ci (t) là khả tích không âm trên [0, T ]. Khi đó với mọi t, 0 ≤ t ≤ T ta có
đánh giá sau đây đối với y(t)
t

y(t) ≤ exp
0
t

≤ exp
0

t

c1 (t)dt

y(0) +

c1 (t)dt

y(0) +

0
t
0

Thật vậy, nếu ta nhân (1.3) với exp −

ξ

c1 (ξ ) exp −

0

c1 (t)dt dξ
(1.4)

c2 (t)dt .

t
0 c1 (t)dt

, ta có thể viết kết quả dưới

dạng
d
y(t) exp −
dt

t

t
0

c1 (t)dt

≤ c2 (t) exp −

0

c1 (t)dt .

(1.5)

và nếu ta tích phân hai vế của (1.5) từ 0 đến t thì sẽ suy ra (1.4).
Nếu c1 (t) = c1 = const > 0 và c2 (·) là một hàm số không giảm trên t thì
từ (1.2) và (1.4) ta có các bất đẳng thức sau
y (t) ≤ ec11t [c1 y(0) + c2 (t)]
c1 t
y(t) ≤ ec11t y(0) + c−1
1 c2 (t)[e − 1].

(1.6)


7

Chương 2

Bài toán biên-giá trị ban đầu của
phương trình parabolic
2.1
2.1.1

Phương trình truyền nhiệt
Khái niệm phương trình parabolic

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn+1 , x = (x1 , x2 , . . . , xn , xn + 1) ∈ Ω.
Như chúng ta đã biết, phương trình

n+1

Mu ≡

n+1

ai, j (x)uxi x j +

∑

i, j=1

∑ ai(x)ux + a(x)u = f
i

(2.1)

i=1

được gọi là parabolic tại điểm x0 nếu trong tọa độ mới
n+1

yi =

∑ βi j x j ,

i = 1, 2, . . . , n, n + 1

j=1

mà trong đó βi j aki β j = λk (x0 )δk , nó đưa về dạng
n+1

n+1

0

∑ λk (x )uy y

k k

+

k=1

∑ bk (x0)uy

k

+ b(x0 )u = f (x0 ),

(2.2)

k=1

tại điểm x0 mà ở đó một trong λk (x0 ) (chẳng hạn λn+1 (x0 )) bằng 0, trong
khi các hệ số λk (x0 ) còn lại khác không có dấu giống nhau và bn+1 (x0 ) = 0.
Nếu ta chia (2.2) cho bn+1 (x0 ), ta có phương trình dạng:
n

n

uyn+1 + ∑ µk (x )uyk yk + ∑ bk (x0 )uyk + bu = f .
k=1

0

k=1

(2.3)


8
Nếu µk (x0 ) < 0, k = 1, . . . , n) thì (2.3) được gọi là parabolic dạng chuẩn;
nếu µk (x0 ) > 0, thì bằng cách đổi hướng của yn+1 và nhân (2.3) với (−1) ta
lại được một phương trình parabolic dạng chuẩn. Nếu (2.1) là parabolic ở tất
cả các điểm x ∈ Ω, thì ta nói rằng nó là parabolic trong miền này. Nếu các
hệ số của M là hàm số trơn và nếu (2.1) là parabolic thì trong một miền (nói
chung là một miền nhỏ) của một điểm bất kỳ của một điểm có thể đưa về
dạng

n

n

uyn+1 − ∑ bi j uyi yi + ∑ bi uyi + bu = f ,
j=1

(2.4)

i=1

ở đó dạng ∑ni, j=1 bi j ξi ξ j là xác định dương. Biến số yn+1 đóng vai trò ngoại
lệ trong miêu tả hiện tượng truyền nhiệt (và một số trường hợp khác) biến
số này không là cái gì khác ngoài thời gian: theo đó chúng ta sẽ kí hiệu nó
bởi t, những biến số còn lại y1 , . . . , yn miêu tả vị trí của điểm trong một miền
trong bài toán vật lý. Chúng ta sẽ xét phương trình parabolic mà được đưa về
thành (2.4).
Trong luận văn ta xét phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn
sau
n

n
∂
Mu ≡ ut − ∑
[ai j (x,t)uxi + ai (x,t)u] + ∑ bi (x,t)uxi + a(x,t)u
i, j=1 ∂ xi
i=1
n

∂ fi
(x,t).
i=1 ∂ xi

= f (x,t) + ∑

(2.5)

Nếu các hàm ai j , ai và fi là khả vi thì (2.5) có thể được biến đổi thành phương
trình dạng (2.4) và ngược lại nếu các hàm bi j là khả vi thì (2.4) có thể được

viết dưới dạng (2.5).


9

2.1.2

Dạng của phương trình truyền nhiệt

Giả sử Ω là miền giới nội trong Rn với biên S = ∂ Ω. Với T > 0 ta đặt
QT = {(x,t) : x ∈ Ω, 0 ≤ t ≤ T },
ST = {(x,t) : x ∈ S, 0 ≤ t ≤ T }.
Một trường hợp đặc biệt của (2.5) là phương trình truyền nhiệt
n

∂ 2u
ut − ∑ 2 = f (x,t).
i=1 ∂ xi

(2.6)

Phương trình (2.6) khi xét dưới dạng bảo toàn (2.5) vì ta có thể viết lại nó
dưới dạng

n

∂
i=1 ∂ xi

ut − ∑

∂
∂ xi

= f (x,t).

(2.7)

trong đó ai j = δi j với δi j là kí hiệu Kronecker, ai = 0, bi = 0, a = 0, fi = 0,
nó miêu tả quá trình truyền nhiệt trong một miền Ω trong Rn . Các bài toán
sau đây là cơ bản đối với phương trình (2.5):
(1) Bài toán Cauchy: Tìm hàm số u(x,t) thỏa mãn (2.5) với x ∈ Rn và
t > 0 và thỏa mãn khi t = 0 điều kiện ban đầu
u|t=0 = ϕ(x).

(2.8)

(2) Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất: Tìm hàm số u(x,t) thỏa mãn
(2.5) trong QT với điều kiện ban đầu
u|t=0 = ϕ(x),

x∈Ω

(2.9)

và đối với tất cả t ∈ [0, T ], điều kiện biên
u|ST = ψ(x,t).

(2.10)

Miền QT được gọi một cách tự nhiên là hình trụ, mặt xung quanh của
nó ST = S × [0, T ] và đáy dưới của nó là tập hợp {(x,t) : x ∈ Ω, t = 0}.


10
Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất bao gồm xác định nghiệm của
(2.5) trong hình trụ QT và sao cho trùng với các hàm số đã cho ϕ và
ψ trên đáy dưới của QT và trên mặt bên ST .

2.1.3

∆,1
Nghiệm suy rộng thuộc W2,0
(QT ) của bài toán biên-giá

trị ban đầu thứ nhất
Với kí hiệu ∆u ≡ ∑nj=1 ux j xi , ta xét phương trình truyền nhiệt
n

∂ fi
.
i=1 ∂ xi

(2.11)

M0 u ≡ ut − ∆u = f + ∑

Bài toán biên-giá trị ban đầu bao gồm tìm nghiệm u(x,t) trong miền bị chặn
QT = Ω × (0, T ) thỏa mãn điều kiện ban đầu
u|t=0 = ϕ(x)

(2.12)

u|ST = 0.

(2.13)

và điều kiện biên:

Dựa vào tài liệu [1] luận văn sẽ trình bày ba loại nghiệm suy rộng cho
bài toán (2.11)-(2.13). Ta bắt đầu với nghiệm suy rộng thuộc không gian
∆,1
W2,0
(QT ).

Ta đưa vào không gian Hilbert W2∆,1 (QT ) mà các phần tử u(x,t) của nó
thuộc L2 (QT ) cùng với ut và ux , và có trong QT các đạo hàm suy rộng uxx
và chuẩn hữu hạn
1/2
QT

[ut2 + u2x + (∆u)2 ]dxdt

.

(2.14)

Tích vô hướng trong W2∆,1 (QT ) được xác định bởi

QT

(uv + ut vt + ux vx + ∆u∆v)dxdt.

(2.15)


11
Ta ký hiệu
∆,1
(QT ) = u ∈ W2∆,1 (QT ) : u|ST = 0 .
W2,0

∂ fi
≡ F ở trong L2 (QT ). Nghiệm suy rộng
∂ xi
∆,1
(QT )
của bài toán (2.11)-(2.13) trong W2∆,1 (QT ) là hàm số u(x,t) thuộc W2,0
Trước hết ta viết số hạng tự do f +

sao cho thỏa mãn (2.11) hầu khắp nơi trong QT và bằng ϕ(x) đối với t = 0,
trong đó điều kiện sau có thể được hiểu là u(·,t) − ϕ(·)

2,Ω

→ 0 khi t → 0.

∆,1
Điều này có nghĩa đối với các hàm của W2,0
(QT ) khi chúng được xác định

đối với tất cả t ∈ [0, T ], thì sẽ thuộc L2 (QT ) (và thậm chí cũng thuộc W21 (QT )
chúng ta sẽ xem xét dưới đây) và liên tục cùng với t trong chuẩn của L2 (Ω)
(và thậm chí trong chuẩn của W21 (QT )).
Chúng ta phát biểu lại bài toán (2.11)-(2.13) với f +
toán tìm nghiệm của phương trình toán tử

∂ fi
≡ F khi xét bài
∂ xi

Au = {F; ϕ}

(2.16)

Au = {M0 u; u(·, 0)} .

(2.17)

ở đó A là toán tử sau đây

Ta xét A như một toán tử không bị chặn tác động từ không gian L2 (QT ) đến
không gian Hilbert W mà là tích của L2 (QT ) và W21 (Ω). Các phần tử của W
là các cặp { f , ψ} với f ∈ L2 (QT ) và ψ ∈ W21 (Ω) và tích vô hướng được xác
định bởi
f ;ψ

, f ;ψ

W

=

f f dxdt +
QT

Ω

ψ x ψ x dx.

(2.18)

Đối với miền xác định D(A) của A, ta lấy các phần tử của dạng ψ(x) +
t
0 X(x,t)dt,

ở đó ψ ∈ D(∆), X(·,t) ∈ D(∆) đối với hầu hết tất cả t trong

[0, T ] và ∆X ∈ L2 (QT ). Ở đây, bởi D(∆) ta muốn nói tập hợp các nghiệm suy


12
rộng trong W21 (Ω) của bài toán
∆u = f (x),

(2.19)

u|S = 0.

Nếu f (x) = fˆ(x,t), fˆ ∈ L2 (QT ), thì nghiệm u(x,t)

ˆ
của (2.19) là ở trong
L2 (QT ) đi cùng với uˆx , đạo hàm uˆxx tồn tại và là bình phương khả tích trên
QT = Q .(0, T ) đối với tất cả Ω ⊂ Ω, đối với uˆ và tất cả v ∈ W21,0 (QT ) ta có
∆uvdxdt = −
QT

QT

(2.20)

uvx dxdt,

và phương trình ∆u = ∑nn=1 ux j x j = f thỏa mãn với tất cả (x,t) ∈ QT . Hơn
nữa nếu f =
t
0 u(x,t)dt,

t
0

f (x,t)dt thì lời giải u(x,t) của (2.19) là tương đương với

do vậy:
t

∆u(x,t) = ∆

t

u(x,t)dt =
0

t

∆u(x,t)dt =
0

f (x,t)dt,
0

và u(·,t) sẽ là một phần tử của W21 (QT ) mà liên tục trong t (trong chuẩn của
không gian này).
Trên quan điểm này các phần tử v(x,t) = ψ(x) +
D(∆) đối với tất cả t ∈ [0, T ], ∆v = ∆ψ +

t
0 Xx dt

1
0 X(x,t)dt

là ở trong

là các phần tử của không

gian C([0, T ], L2 (Ω)), và vxt ∈ L2 (QT ). Toán tử A trên v(x,t) có thể được viết
là:
t

Av = X − ∆ψ −

∆Xdt; ψ .
0

(2.21)

Rất dễ để thấy rằng tập D(A) trù mật trong L2 (QT ).
Ta sẽ chứng minh A là mở rộng được. Đối với điều này ta phải chỉ ra rằng
nó được thực hiện từ một định lý có sẵn trong lý thuyết toán tử không bị chặn
và toán tử mở rộng A∗ của A được xác định trên tập hợp trù mật, hoặc kiểm
tra trực tiếp khẳng định sau: Nếu vm ≡ D(A), m = 1, 2, . . .. Nếu vm → 0 trong
chuẩn của L2 (QT ) và nếu Avm ≡ { fm , ϕm } → { f , ϕ} trong chuẩn của W , thì
f ≡ ϕ ≡ 0. Ta sẽ chứng minh lời khẳng định đó. Đối với điều này, ta lấy hàm


13
số phẳng đầy đủ của bất kỳ η(x,t) mà bằng 0 trên ST , với η(x,t) = 0, và xét
tích phân tương ứng

QT

QT

M0 (vm )ηdxdt. Ta tính tích phân từng phần và có

M0 (vm )ηdxdt =

QT

vm µ0∗ (η)dxdt −

vm ηdx|t=0 .
Ω

Ta có thể có được giới hạn khi m → ∞ để có
f ηdxdt = −
QT

ϕη(x, 0)dx
Ω

đối với η(x,t) bất kỳ với các đặc tính đã được chỉ ra ở trên. Vì vậy, với
phương pháp nổi tiếng, ta có thể kết luận rằng f và ϕ là rõ ràng bằng 0, do
đó toán tử A được mở rộng thành A. Để miêu tả miền xác định D(A) và để
tính A trên các phần tử của D(A) ta sẽ chứng minh đối với M0 đẳng thức:
vx (·,t)

2
2,Ω +

QT

(vt2 + (∆v)2 )2 dxdt = vx (·, 0)

2
2,Ω +

QT

(M0 v)2 dxdt
(2.22)

là đúng. Ở đây v(x,t) là một phần tử bất kỳ của D(A) và t là số nào đó trong
[0, T ].
Đẳng thức (2.24) được suy ra từ hệ thức sau
2

QT

(M0 v) dxdt =

QT

=
QT

∂ v2x
2
2
vt + (∆v) +
∂t

dxdt

[vt2 + (∆v)2 ]dxdt +
Ω

v2x dx|t=t
t=0 .

Từ (2.22) suy ra là sự hội tụ của Avm , vm ∈ D(A) trong W kéo theo sự hội tụ
của vn trong chuẩn của W2∆,1 (QT ) và trong chuẩn sup0≤t≤T ·

(1)
2,Ω . Điều này

chứng minh các phần tử của miền xác định mới không xấu hơn nhiều các
∆,1
phần tử xác định cũ thuộc W2,0
(QT ) và phụ thuộc liên tục vào t trong chuẩn
◦

của W12 (Ω).
Định lí 2.1. Giả sử Ω là miền bị chặn. Khi đó bài toán (2.11)-(2.13) có duy
∆,1
nhất nghiệm u(x,t) trong W2,0
(QT ) nếu F = f + ∂∂ xfii ∈ L2 (QT ) và ϕ(x) ∈


14
◦

W12 (Ω). Hơn nữa, nghiệm u(x,t) là phụ thuộc liên tục vào t theo chuẩn của
◦

W12 (Ω).
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh R(A) không có phần bù trực giao trong W ,
tức là từ đồng nhất thức:
QT

w(vt − ∆v)dxdt +

QT

(2.23)

ψx vx (x, 0)dx = 0,

suy ra w ≡ 0 và ψ ≡ 0, ở đó v bất kỳ, v ∈ D(A) và {w; ψ} ∈ W . Lấy
t

v(x,t) =

∆−1 (x,t)dxdt,

t ∈ [0, T ].

t1

Thay vào
T

∆−1 vt (vt − ∆v)dxdt = 0

t1

Ω

ta có

T

t=T
1
= 0.
(2.24)
(∆v)2 dx
2 Ω
t=t1
t1 Ω
Khi ∆v|t=t1 = 0 và t1 bất kỳ, vxt = 0 trong QT . Vì vậy đồng nhất thức có dạng

−

v2xx dxdt −

ψx vx (x, 0)dx = 0,

với mọi v(x, 0) trong D(∆).

(2.25)

Ω

Vì ψ ∈ W21 (Ω) và D(∆)|t=0 là trù mật trong W21 (Ω) nên suy ra ψ ≡ 0 và
R(A) = W . Định lí được chứng minh.
Ví dụ 2.1. Giả sử Ω là hình cầu đơn vị. Để thỏa mãn các điều kiện của Định
lý 2.1 ta có thể chọn các hàm như sau
f (x) =

2.1.4

1
,
4
|x|

f1 (x) =

4

|x|
,
t

f2 (x) = . . . = fn (x) = 0,

ϕ(x) = 0.

Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) của bài toán biên-giá trị
ban đầu thứ nhất

Trong mục này, luận văn trình bày loại nghiệm suy rộng thứ hai của bài
toán (2.11)-(2.13).


15
Định nghĩa 2.1. Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) của bài toán (2.11)-(2.13)
là hàm số u(x,t) ∈ L2 (QT ) thỏa mãn đồng nhất thức

QT

u(ηt + ∆η)dxdt +

ϕη(x, 0)dx =
QT

Ω

(− f η + fi ηxi )dxdt

(2.26)

∆,1
với mọi η ∈ W2,0
(QT ) thỏa mãn η(x, T ) = 0.

Từ đây về sau nếu trong một biểu thức ta gặp chỉ số lặp thì cần lấy tổng
theo chỉ số lặp đó từ 1 đến n.
Nếu u là một nghiệm suy rộng trong L2 (QT ) của bài toán (2.11)-(2.13)
với f = fi = ϕ = 0, nghĩa là nếu (2.26) chứa u với f = fi = ϕ = 0 sau đó từ
đồng nhất thức này suy ra u ≡ 0. Thật vậy, khi t được thay thế bởi −t, đồng
nhất thức này được chuyển thành một đồng nhất thức dạng (2.25) với ϕ ≡ 0.
Ở đấy u đóng vai trò của w và η của v, ở đó tập hợp của η trong (2.21) thậm
chí lớn hơn số của v trong (2.25). Trên quan điểm này và kết hợp từ (2.25),
mà w triệt tiêu nó cho phép u ≡ 0 nếu ϕ, f và fi bằng 0 trong (2.26). Vì vậy
chúng ta đã chứng minh được.
Định lí 2.2. Bài toán (2.11)-(2.13) không thể có hơn một nghiệm suy rộng
trong L2 (QT ).
∆,1

Nhận xét 2.1. Mọi phần tử u của W2,0
(QT ) với mọi t đều thuộc về W21 (Ω).

Hơn nữa, u(x,t) là một hàm liên tục tuyệt đối theo t trong chuẩn của W21 (QT ),
đồng thời ta có
ux (·,t)

2
2,Ω

= ux (·, 0)

2
2,Ω − 2

∗
0

(ut (·,t), ∆u(·,t))dt.

∆,1
Trên cơ sở lập luận những thuộc tính này giữ các phần tử u của W2,0
(QT )

mà có đạo hàm utx ∈ L2 (QT ) và toàn bộ M của tất cả đạo hàm như vậy là trù
∆,1
mật trong W2,0
(QT ). Những thuộc tính này vẫn còn được giữ dưới kết luận

16
của M trong không gian Banach.
u

≡

WT

2
2,Ω +

ux (·,t)

sup
0≤t≤T

1/2

t
0

(ut2 + (∆u)2 )dxdt
Ω

Các chuẩn này tương đương trên M với chuẩn

·

(∆,1)
2,QT

khi đối với tất cả

u ∈ M và đối với bất kỳ hàm số trơn nào trên ζ (t)
2
2,Ω −

ux (·,t)ζ (t)
t

ux (·,t)ζ (t1 )

d
ux (·,t)ζ (t)
dt

=
t1

1

2
2,Ω dt

(−∆u.ut ζ 2 + u2x ζ ζ )dxdt

=2
t1

2

2,Ω

Ω
t

≤ c max |ζ |2 + max |ζ |2

[ut2 + (∆u)2 dxdt.

t1

Ω

Do đó ta suy ra
ux (·,t)

sup
0≤t≤T

2.1.5

2
2,Ω

≤c u

(∆,1)
2,QT .

Nghiệm suy rộng thuộc V21,0 (QT ) của bài toán biên-giá

trị ban đầu thứ nhất

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày loại nghiệm suy rộng thứ ba. Bây
giờ chúng ta xét bài toán (2.11) - (2.13) với ϕ ∈ L2 (Ω), fi ∈ L2 (QT ) và f ∈
L2,1 (QT ). Trong đó, không gian Lq,r (QT ) bao gồm các hàm thuộc L2 (QT )
với chuẩn xác định
u

q,r,QT

q

|u| dx

=
0

1/r

r/q

T

dt

.

Ω

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng trong trường hợp này nghiệm thuộc W21,0 (QT ) và

thỏa mãn quan hệ năng lượng (phương trình cân bằng năng lượng) sau đây
1
u(·,t)
2

2
2,Ω +

ux

2
2,QT

=
QT

( f u − fi uxi )dxdt +

1
u(x, 0)
2

2
2,Ω .

(2.27)


17
đối với tất cả t ∈ [0, T ]. Chúng ta gọi nghiệm như vậy là nghiệm suy rộng

của bài toán (2.11)-(2.13) trong không gian V21,0 (QT ) hoặc là nghiệm suy
rộng năng lượng. Những nghiệm này thỏa mãn phương trình (2.11) và điều
kiện ban đầu của (2.12) theo nghĩa của đồng nhất thức tích phân sau.
u(x,t)η(x,t)dx −
Ω

ϕη(x, 0)dx +
QT

Ω

=
QT

(−uηt + ux ηx )dxdt

( f η − fi ηxi )dxdt,

(2.28)

1 (Q ). Thực tế là
mà được thỏa mãn với tất cả t ∈ [0, T ] và tất cả η ∈ W2,0
T

đối với u ∈ V21,0 (QT ) thì điều kiện biên (2.13) được thỏa mãn. Ta nhắc lại
1 (Q ) bao gồm tất cả các phần tử v ∈ W 1,0 (Q ) v trong L (Q ). Tích vô
W2,0
T
T
t

T
2
2
1 (Q )
hướng trong W2,0
T
(1,1)

(u, v)2,QT =
và chuẩn đã được bao hàm ·

QT

(uv + ut vt + ux vx )dxdt

(1,1)
2,QT .

Đồng nhất thức (2.28) có thể viết dưới

dạng
QT

M0 u · ηdxdt =

f+
QT

∂ fi
ηdxdt

∂ xi

(2.29)

1 (Q ). Phương trình năng lượng có thể đạt được từ
với mọi η ở trong W2,0
T

đẳng thức
QT

M0 u · udxdty =

f+
QT

∂ fi
udxdt.
∂ xi

(2.30)

Bằng cách hợp nhất các phần tử và sử dụng cơ sở lập luận rằng u triệt tiêu trên
ST . Tuy nhiên (2.29) và (2.30) bao hàm sự tồn tại của ut và ∆u trong L2 (QT ),
trong khi (2.26) và (2.27) có nghĩa đối với bất kỳ phần tử nào trong V21,0 (QT ),
do đó định nghĩa về nghiệm suy rộng của (2.11)-(2.13) trong V21,0 (QT ) mà
chúng ta giới thiệu là một sự tồn tại của khái niệm nghiệm của bài toán
∆,1
này trong W2,0
(QT ) và vì rất dễ thấy sự hạn chế của khái niệm của nghiệm

suy rộng trong L2 (QT ): có một nét đặc biệt trong định nghĩa mà phân biệt


18
nó từ nghiệm suy rộng đã đưa ra ở Chương 2 và trong chương này, chủ
yếu về cái tên gọi, nó không được rõ ràng ngay từ định nghĩa đó mà nếu
u và nghiệm suy rộng của (2.11)-(2.13) trong V21,0 (QT ) tương đương với
ϕ = ϕ + ϕ , f = f + f và fi = f i + f i . Lý do cho điều này là không gian
véc tơ quan hệ (2.28) mà bởi chính nó không ám chỉ rằng (2.28) của u + u
bất cứ khi nào nó chứa u và u . Tuy nhiên, lý luận tiếp theo Định lý 2.2 sẽ
tạo ra cho chúng ta khả năng để chỉ ra rằng (2.28) chứa u + u công việc
này dựa trên bằng chứng của cơ sở lí luận là sẽ trả lời trong phần tiếp theo ở
đó chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình với hệ số biến số và ở đó (2.30) sẽ
được sử dụng bằng cách thực chất.
Từ (2.30) chúng ta có thể nhận được phương trình cân bằng năng lượng
của nghiệm đó đối với chuẩn |u|QT . Để làm điều này, chúng ta đánh giá chặn
trên vế phải của (2.30) bởi đại lượng
max u(·,t)

0≤t≤T

2,Ω +

F

2,Qt

1
u(·, 0)

2

+

2
2,Q ,

ở đó

1/2

F = ( f1 , f2 , . . . , fn ),

F

2,Qt

∑ fi2dxdt

=

QT i=1

và nhận được từ (2.30) hai đánh giá sau:
max u

0≤t≤T

ux

2
2,Qt

2
2,Ω

≤ 2 max u

≤ max u
0≤t≤T

2,Ω

2,1,Qt

f

+2 F

2,1,Qt

ux

2,Qt

+ F

2,Qt

ux

2,Qt

+ u(·, 0)

2,Qt

+

2
2,Ω ,

1
u(·, 0)
2

(2.31)

2
2,Q .

(2.32)
Chúng ta lấy căn bậc hai của cả hai vế (2.31) và (2.32). Sau đó ở vế phải,
chúng ta thay thế max0≤t≤T u

2,Ω ,

ux

2,Qt

và u(·, 0)

bằng số lớn

2,Ω

1/2

|u|QT và khử |u|QT từ bất đẳng thức có được:
√
|u|QT ≤ (1 + 2)2

f

2,Qt

+ F

2,Qt

+

1
u(·, 0)
2

2,Ω

.

(2.33)


19
Định lí 2.3. Bài toán (2.11)-(2.13) có một nghiệm suy rộng duy nhất trong
V21,0 (QT ) đối với ϕ ∈ L2 (Ω), f ∈ L2,1 (QT ) và fi ∈ L2 (QT ).
Chứng minh. Sự duy nhất trong V21,0 (QT ) là hệ quả của Định lý 2.3. Để
chứng minh sự tồn tại, chúng ta ước lượng ϕ trong chuẩn của L2 (Ω) bởi hàm
số ϕm , m = 1, 2, . . . từ W21 (Ω); f trong chuẩn của L2,1 (QT ) bằng hàm số fm ,
m = 1, 2, . . . từ L2 (QT ) và fi trong chuẩn L2 (QT ) bởi hàm số fim , m = 1, 2, . . .
từ W21,0 (QT ).
∆,1
(QT )
Từ Định lý 2.2 bài toán (2.11)-(2.13) có nghiệm um trong W2,0

tương ứng với ϕm và Fm = fm + ∂ fim /∂ xi . Các hiệu um − u p và Fm − Fp
sẽ thỏa mãn bất đẳng thức sau:
√
|um −u p |QT ≤ (1+ 2)2

fm − f p

2,1,Qt +

fm − f p

2,Qt +

1

um (·, 0)−u p (·, 0)
2

Điều này chứng tỏ rằng {um } hội tụ theo chuẩn của V21,0 (QT ). Do V21,0 (QT )
là đầy đủ, tồn tại hàm số giới hạn u của {um } ở trong V21,0 (QT ). Hơn nữa
(2.29)-(2.30) chứa u, một cơ sở lí luận mà được giới hạn khi m → ∞. Điều
này chứng minh Định lý 2.3.
Nhận xét 2.2. Nghiệm suy rộng mà được đảm bảo bởi Định lý 2.3 có đạo
hàm cấp 1/2 đối với biến t.
Nhận xét 2.3. Tử toán B mà tác động hàm số vectơ { f , fi , ϕ} từ L2,1 (QT ) ×
L2 (QT )×L2 (Ω) thành nghiệm suy rộng u(x,t) của (2.11)-(2.13) trong V21,0 (QT )
là tuyến tính. Dù sao nếu u = B({ f , f i , ϕ }) và u = B({ f , f i , ϕ }),
thì u = u + u là nghiệm suy rộng của (2.11)-(2.13) trong L2 (QT ) tương
ứng với { f + f , f i + f i , ϕ + ϕ }. Nhưng nói cách khác bài toán sau này
có nghiệm suy rông v trong V21,0 (QT ) Định lý 2.3, v phải trùng hợp với
u = u + u đó là u = v = B({ f + f , f i + f i , ϕ + ϕ }). Với các dấu hiệu
tương tự chúng ta đã chứng minh rằng tập hợp các nghiệm suy rộng của

2,Ω

.


20
(2.11)-(2.13) trong V21,0 (QT ) tương ứng với tất cả các dữ kiện { f , fi , ϕ} trong
L2,1 (QT ) × L2 (QT ) × L2 (Ω) là tuyến tính.
Ví dụ 2.2. Để thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.3 ta có thể chọn các
hàm số như sau:
ϕ(x) = ln |x|,

2.2
2.2.1

f (x) =

4

1
,
t|x|

f1 = f2 = . . . = fn = 0.

Phương trình parabolic dạng tổng quát
Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn

Trong phần nay chúng ta nghiên cứu bài toán biên giá trị ban đầu cho
phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn sau đây:
Mu ≡ ut −

∂
∂ fi
(ai j (x,t)ux j + ai (x,t)u) + bi (x,t)uxi + a(x,t)u = f +
∂ xi
∂ xi
(2.34)

u|t=0 = ϕ(x),

(2.35)

u|ST = 0,

với các điều kiện ai j = a ji ,
n

∑

1=1

n

a2i ,

∑ b2i ,

|a| ≤ µ;

(2.36)

i=1

ϕ ∈ L2 (Ω), f ∈ L2,1 (QT ), fi ∈ L2 (QT )

(2.37)

và điều kiện parabolic
v|ξ |2 ≤ ai j (x,t)ξi ξ j ≤ µ|ξ |2 ,

v, µ = const > 0.

(2.38)

Định nghĩa 2.2. Nghiệm suy rộng u(x,t) của bài toán (2.34)-(2.35) là hàm
u(x,t) ∈ W21,0 (QT ) thỏa mãn đẳng thức
M(u, η) ≡
QT

(−uηt + ai j ux j uxi + ai uηxi + bi uxi η + auη)dxdt


21
=

ϕη(x, 0)dx +
QT

Ω

(2.39)

( f η − fi ηxi )dxdt

đối với tất cả η ∈ W21,0 (QT ) mà triệt tiêu đối với t = T .
Đầu tiên chúng ta sẽ chứng minh bài toán này có nghiệm suy rộng trong
W21,0 (QT ). Điều này có thể được làm bằng vài cách. Chúng ta sẽ sử dụng
phương pháp của Galerkin’s cho bài này, sau đó chúng ta sẽ sử dụng Định
lý 2.3 để chứng tỏ rằng mỗi lời giải như vậy thức tế là ở trong V21,0 (QT ) và
thỏa mãn phương trình cân bằng năng lượng. Cuối cùng chúng ta sẽ sử dụng
cơ sở lập luận này để lấy được từ định lý duy nhất cho bài toán (2.34)-(2.35)

sự tồn tại nghiệm suy rộng trong W21,0 (QT ).
Phương trình cân bằng năng lượng cho bài toán (2.34) có dạng:
1
u(·,t) 22,Ω +
(ai j ux j uxi + ai uuxi + bi uxi u + au2 )dxdt
2
QT
1
( f u + fi uxi )dxdt.
= u(·, 0) 22,Ω +
2
QT

(2.40)

Phương trình này có thể suy ra từ đẳng thức tích phân
Mu · udxdt =
QT

(f +
QT

∂ fi
)udxdt
∂ xi

(2.41)

và sử dụng điều kiện giới hạn u|ST = 0.
Chúng ta có thể nhận được một đánh giá cho |u|QT từ (2.41) bằng nhiều

cách tương tự như đánh giá (2.28) nhận được từ (2.22). Thật vậy, trên cơ sở
của (2.36)-(2.37) ta suy ra
1
u(·,t) 22,Ω + v ux 22,QT
2
1
≤ u(·, 0) 22,Ω + 2µ u
2
+ f
≤

2,1,QT

1
u(·, 0)
2

2,QT

ux

max u(·,t)

0≤t≤T

2
2,Ω +

v
ux

2

2
2,Qt

+

2,QT

2,Ω +

2µ 2
u
v

+µ u

2
2,QT

F

ux

2,QT

2
2,QT

2,QT

+µ u

2
2,QT