TÍNH TOÁN tấm và vỏ BẰNG vật LIỆU cơ TÍNH BIẾN THIÊN có GIA CƯỜNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Thị Nga

TÍNH TOÁN TẤM VÀ VỎ BẰNG
VẬT LIỆU CƠ TÍNH BIẾN THIÊN
CÓ GIA CƯỜNG

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn
Mã số:

62440107

DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội - 2017


Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc gia Hà Nội

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TS. Đào Văn Dũng – Đại học Khoa học Tự nhiên
PGS. TS. Vũ Đỗ Long – Cục khảo thí ĐHQGHN

Phản biện 1: ………………………………………………
……………………………………………….
Phản biện 2: ………………………………………………
……………………………………………….
Phản biện 3: ………………………………………………

……………………………………………….
Luận án đã được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở chấm luận án tiến
sĩ họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQGHN
Vào hồi …. giờ …. ngày …. tháng …. năm 20….

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội


MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Các kết cấu tấm và vỏ bằng vật liệu cơ tính biến thiên (FGM) đã và đang
được sử dụng ngày càng nhiều trong thực tiễn nhất là trong các ngành kỹ thuật
hiện đại như lò phản ứng hạt nhân, hàng không vũ trụ, ống dẫn nhiên liệu, bể
chứa, … Do vậy việc nghiên cứu độ bền, sự ổn định của chúng là một trong
những vấn đề được quan tâm hàng đầu nhằm mục đích đảm bảo cho các kết
cấu làm việc an toàn và tối ưu. Hơn nữa trong thực tiễn để tăng cường khả
năng làm việc của kết cấu người ta thường gia cố bằng gân gia cường.
Với những đặc tính ưu việt của FGM và những tiến bộ trong công nghệ
sản xuất FGM đã làm cho việc sử dụng FGM làm lõi hay làm lớp phủ trong
kết cấu sandwich được mở rộng đáng kể.
Đã có nhiều công trình nghiên cứu kết cấu FGM khi sử dụng lý thuyết tấm
và vỏ cổ điển. Các kết quả thu được chỉ phù hợp với những kết cấu thành
mỏng, còn đối với kết cấu thành dày hơn thì cần phải sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc nhất hoặc bậc ba. Đây vẫn là vấn đề mở, nhất là sử dụng lý
thuyết biến dạng trượt bậc ba cho kết cấu FGM và kết cấu sandwich FGM có
gân gia cường cũng là FGM.
Xuất phát từ những yêu cầu cấp thiết đã nêu ở trên, luận án đã chọn đề tài
là “Phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ cơ tính biến thiên có gân gia

cường chịu tải cơ và nhiệt” làm nội dung nghiên cứu.
2. Mục tiêu của luận án
Nghiên cứu ổn định tĩnh của các kết cấu tấm và vỏ FGM thường được sử
dụng trong thực tế chịu tải cơ và nhiệt.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án
Đối tượng của luận án là tấm FGM, vỏ trụ tròn sandwich FGM và vỏ nón
cụt sandwich FGM, có gân gia cường cũng làm bằng vật liệu FGM.
Phạm vi nghiên cứu của luận án là phân tích ổn định tĩnh của tấm và vỏ
làm bằng vật liệu cơ tính biến thiên có gia cường bằng cách tiếp cận giải tích.
1


4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp giải tích: Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao, lý
thuyết vỏ Donnell-Karman và phương pháp san đều tác dụng gân của
Leckhnitsky để thiết lập các phương trình chủ đạo. Áp dụng phương pháp
Galerkin để xây dựng hệ thức hiển cho phép tìm tải tới hạn và vẽ đường cong
tải-độ võng sau tới hạn.
5. Bố cục của luận án
Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung, phần kết luận, danh
mục các công trình nghiên cứu của tác giả liên quan đến nội dung luận án, tài
liệu tham khảo và phụ lục.

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
Chương này trình bày khái niệm, tính chất và một số quy luật cơ bản của
vật liệu cơ tính biến thiên; trình bày khái niệm ổn định và mất ổn định, tiêu
chuẩn tĩnh. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới đối với
bài toán ổn định tĩnh của kết cấu tấm, vỏ trụ, vỏ nón làm bằng vật liệu này. Từ
đó có thể tóm lược lại những nội dung chính mà các nhà nghiên cứu trong và
ngoài nước đã làm được gồm:

1- Đã tiến hành phân tích một cách tương đối toàn diện các vấn đề về ổn
định tĩnh tuyến tính và phi tuyến các kết cấu tấm và vỏ trụ FGM không có gân
gia cường chịu tải trọng cơ, nhiệt, cơ-nhiệt kết hợp, có hoặc không có nền đàn
hồi bằng các phương pháp giải khác nhau, dựa trên các lý thuyết tấm vỏ khác
nhau. Bước đầu nghiên cứu ổn định tĩnh của kết cấu FGM có gân gia cường
lệch tâm nhưng đa số là gân thuần nhất, gân FGM còn hạn chế.
2- Các nghiên cứu về kết cấu tấm và vỏ trụ FGM đa phần sử dụng lý thuyết
cổ điển, nhưng trong thực tế gặp nhiều kết cấu thành dày. Vì vậy lý thuyết cổ
điển áp dụng cho kết cấu này sẽ không chính xác nữa. Đã có những nghiên cứu
sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và bậc ba đối với kết cấu FGM
nhưng là kết cấu FGM không có gân gia cường, hoặc nếu có gia cường thì gân
2


gia cường là gân thuần nhất. Các nghiên cứu về kết cấu FGM có gân gia
cường FGM sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao còn hạn chế.
3- Về vật liệu, các tác giả đã nghiên cứu nhiều quy luật phân bố của FGM
khác nhau, tuy vậy các nghiên cứu về kết cấu sandwich FGM có gân gia
cường vẫn còn rất hạn chế.
4- Các vấn đề về ổn định tĩnh của kết cấu phức tạp như vỏ nón FGM và vỏ
nón sandwich FGM có gân gia cường cần được tiếp tục nghiên cứu. Khó
khăn chính ở mảng này là các hệ thức cơ bản và các phương trình cần phải xây
dựng trong hệ tọa độ cong. Hệ phương trình ổn định là các phương trình đạo
hàm riêng có hệ số là hàm của tọa độ.

CHƯƠNG 2. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA TẤM FGM CÓ GÂN
GIA CƯỜNG CHỊU TẢI CƠ VÀ NHIỆT
2.1. Đặt vấn đề
Bài toán ổn định tĩnh của tấm FGM không gân, không nền, chịu tải cơ, tải
nhiệt và tải cơ nhiệt đã được nghiên cứu trong luận án của tác giả Hoàng Văn Tùng

năm 2011 [3] dựa trên lý thuyết tấm cổ điển và phương pháp Galerkin. Trong luận
án của tác giả Nguyễn Thị Phương năm 2014 [6], tác giả cũng sử dụng cách tiếp
cận tương tự để giải quyết bài toán ổn định tĩnh của tấm FGM có gân gia cường là
gân thuần nhất, có nền và chỉ chịu tải cơ. Ngoài ra bài toán ổn định tĩnh của tấm
FGM chịu tải cơ và nhiệt còn được nghiên cứu bằng cách sử dụng lý thuyết biến
dạng trượt bậc cao bởi tác giả Eslami cùng các cộng sự [59, 78÷81], tác giả Shen
cùng các cộng sự [91, 98] nhưng cho kết cấu tấm FGM không có gân gia cường.
Nghiên cứu của tác giả Nguyễn Đình Đức cùng các cộng sự [17] năm 2015 và [18,
28] năm 2016 cũng xét bài toán ổn định cơ nhiệt của tấm FGM có gân dựa trên lý
thuyết biến dạng trượt bậc cao, nhưng xét gân thuần nhất. Mặc dù, nghiên cứu của
luận án có nét tương đồng với các nghiên cứu [17, 18, 28] nhưng các kết quả đạt
được hoàn toàn độc lập và đều được công bố trên tạp chí uy tín trong nước và quốc
tế. Từ đó, luận án sẽ trình bày bài toán ổn định của tấm FGM có gân gia cường
3


FGM trên nền đàn hồi, chịu 3 kiểu đặt tải là tải cơ, tải nhiệt và tải cơ nhiệt, dựa trên
lý thuyết biến dạng trượt bậc cao thông qua hai bài toán sau đây:
Bài toán 1: Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt
bậc nhất (FSDT).
Bài toán 2: Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt
bậc ba (TSDT).
2.2. Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường dựa trên lý
thuyết biến dạng trượt bậc nhất
2.2.1. Tấm cơ tính biến thiên có gân gia cường (tấm ES-FGM)
Xét tấm chữ nhật cơ tính biến thiên có gân gia cường lệch tâm (ES-FGM) với
chiều dài a, chiều rộng b, và chiều dày h chịu nén dọc theo hai trục trên nền đàn hồi
được cho như hình 2.1. Giả thiết tấm được gia cường bởi các gân dọc và gân ngang
gần nhau. Chiều cao và chiều rộng của gân dọc tương ứng là h1, b1. Chiều cao và
chiều rộng của gân ngang tương ứng là h2, b2. Khoảng cách giữa hai gân dọc và hai

gân ngang tương ứng là d1, d2. Tấm được đặt trong hệ tọa độ Đề các (x, y, z) trong đó
mặt phẳng Oxy trùng với mặt phẳng giữa không bị biến dạng của tấm và trục Oz theo
phương chiều dày của tấm. Giả
thiết tính chất vật liệu của tấm
không phụ thuộc vào nhiệt độ,
thay đổi liên tục theo hướng
chiều dày tuân theo quy luật lũy
thừa.

Hình 2.1. Hình dạng của tấm có gân trên
nền đàn hồi

2.2.2. Các liên hệ cơ bản và phương trình chủ đạo
Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất của tấm với tính phi tuyến
hình học theo nghĩa Von Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của
4


Lecknisky sau khi đưa hàm ứng suất f(x,y) vào ta thu được hệ phương trình ổn
định phi tuyến với bốn hàm chưa biết w, ϕx, ϕy và f như sau















*
*
*
*
*
*
*
B21
f, xxx  B11
 B66
f, xyy  D11
x, xx  D12
 D66
 y, xy  D66
x, yy  A44 w, x  A44x  0,



*
*
*
*
*
*
*

B12
f, yyy  B22
 B66
f, xxy  D22
y, yy  D21
 D66
x, xy  D66
y, xx  A55w, y  A55y  0,











(2.19)
(2.20)



*
*
*
*
*
*

*
*
*
*
*
B21
f,xxxx  B11
 B22
 2B66
f,xxyy  B12
f, yyyy  D11
x,xxx  D12
 2D66
y ,xxy  D21
 2D66
x,xyy  D22
y , yyy

















 f, yy w, xx  w,*xx  2 f,xy w,xy  w,*xy  f,xx w, yy  w,*yy  K1w  K 2 w,xx  w, yy  0,











(2.22)



*
*
*
*
*
*
*
*
*
A11

f, xxxx  A66
 2 A12
f, xxyy  A22
f, yyyy  B21
x, xxx  B11
 B66
x, xyy  B22
 B66
 y, xxy





*
B12
y , yyy

 w,2xy



w, xx w, yy  2w, xy w,*xy



w, xx w,*yy



w, yy w,*xx

 0.

(2.23)

2.2.3. Điều kiện biên và nghiệm của bài toán
Xét ba trường hợp điều kiện biên như sau [35, 36]:
Trường hợp 1: Tất cả bốn cạnh của tấm tựa đơn và có thể tự do dịch chuyển
trong mặt phẳng tấm tức là các cạnh tựa tự do. Khi đó các điều kiện biên tương ứng là

w   y  N xy  M x  0, N x  N xo

tại x = 0, x = a,

w  x  N xy  M y  0, N y  N yo

tại y = 0, y = b.

(2.24)

Trường hợp 2: Tất cả bốn cạnh của tấm tựa đơn và không thể dịch chuyển trong
mặt phẳng tấm tức là các cạnh tựa cố định. Khi đó các điều kiện biên tương ứng là

w  u   y  M x  0, N x  N xo

tại x = 0, x = a,

w  v  x  M y  0, N y  N yo

tại y = 0, y = b.

(2.25)

Trường hợp 3: Tất cả bốn cạnh của tấm tựa đơn, trong đó hai cạnh x=0,
x=a có thể tự do dịch chuyển được, còn hai cạnh y = 0, y = b thì không thể dịch
chuyển trong mặt phẳng tấm. Điều kiện biên trong trường hợp này là

w   y  N xy  M x  0, N x  N xo

tại x = 0, x = a,

w  v  x  M y  0, N y  N yo

tại y = 0, y = b.

5

(2.26)


Nghiệm giải tích của hệ phương trình (2.19), (2.20), (2.22) và (2.23) thỏa
mãn điều kiện biên chính xác đối với w và thỏa mãn theo nghĩa trung bình đối
với ϕx, ϕy được cho dưới dạng hai số hạng, có dạng như sau [93]
w  W sin  x sin  y, w*   h sin  x sin  y,

x  10 cos  x sin  y  11 sin 2 x,  y  20 sin  x cos  y  21 sin 2 y,
f  f1 cos 2 x  f 2 cos 2 y  f3 sin  x sin  y 

1

1
N xo y 2  N yo x 2 ,
2
2

(2.27)

Thay dạng nghiệm (2.27) vào ba phương trình (2.19), (2.20) và (2.23) ta biểu
diễn được các hệ số ϕ10, ϕ11, ϕ20, ϕ21, f1, f2, f3 theo W xác định bởi (2.28). Sau đó thay
(2.27), (2.28) vào vế trái của phương trình (2.22) và áp dụng phương pháp Galerkin
cho phương trình kết quả, ta thu được quan hệ tải độ võng của tấm ES-FGM không
hoàn hảo chịu các tải nén cơ, tải nhiệt và các tải nén cơ-nhiệt kết hợp:





*
*
*
*
 16 4 B21
L1  16 4 B12
L2  8 3 D11
L6  8 3 D22
L7 W W  2 h 

 16 m n 
2 2
 2 2  2 L3W W   h   

  2   L1  L2 W W   h W  2 h 
 3 ab 










 W   h   0,

*
*
*
*
*
*
*
* 
 L3   3 D11
  4 B21
  2  2 B11
 B22
 2 B66
  4 B12
  2 D21
 2 D66

L


 4

  

3

*
D22

 
2



*
D12

*
 2 D66

 L

5



 K1    

2

2

 K W   
2

2

N xo   N yo
2

(2.29)

2.2.4. Ổn định của tấm ES-FGM chỉ chịu tải nén cơ
Giả sử tấm tựa đơn trên bốn cạnh (trường hợp 1 của điều kiện biên) và chịu các
tải nén cơ phân bố đều Fx và Fy lần lượt trên các cạnh x = 0, x = a và y = 0, y = b.
Nếu Nx0 = –hFx, Ny0 = –hFy và đặt η=Fy/Fx, W =W/h thì từ (2.29) dẫn tới hệ thức
hiển xác định mối liên hệ tải-độ võng (2.30). Với tấm hoàn hảo và cho W  0
ta thu được công thức (2.32) để xác định tải tới hạn của tấm.

6


2.2.5. Ổn định của tấm ES-FGM chỉ chịu tải nhiệt
Giả thiết tấm ES-FGM với tất cả các cạnh tựa cố định (trường hợp 2 của
điều kiện biên). Khi đó điều kiện để các cạnh của tấm không thể dịch chuyển
trong mặt phẳng tấm là u = 0 trên các cạnh x = 0, x = a và v = 0 trên các cạnh y
= 0, y = b được thỏa mãn theo nghĩa trung bình. Giải điều kiện này kết hợp với
biểu thức biến dạng (2.5), liên hệ lực-biến dạng (2.14) và dạng nghiệm ta tìm

được phản lực Nx0 và Ny0 phụ thuộc vào cả các tham số nhiệt ϕm, ϕmx, ϕmy và biên độ
độ võng W. Sau đó thay Nx0 và Ny0 tìm được vào (2.29) ta thu được mối liên hệ tảiđộ võng trong môi trường nhiệt như sau



2

 W W  2 h 
 16 m n 
  2 m   2mx   2my   t1
 t2W  
   t3  t30 W W  2 h 

W


h
  3 ab 




 t4

 4  
W
  t2  t20  t21 W  m n  .
W  h
  ab 

(2.36)

Xét môi trường nhiệt độ tăng đều, tức là tấm được đặt vào trong môi
trường mà nhiệt độ được tăng đều từ giá trị ban đầu Ti đến giá trị cuối Tf với
độ chênh lệch nhiệt độ ΔT = Tf – Ti không phục thuộc vào z và không xét đến
sự truyền nhiệt trong tấm. Khi đó, biểu thức của các tham số nhiệt ϕm, ϕmx, ϕmy
được biểu diễn theo ΔT, sau đó thế vào (2.36) ta tìm được biểu thức xác định
tải nhiệt tới hạn trong môi trường nhiệt tăng đều,
2.2.6. Ổn định của tấm ES-FGM chịu tải cơ và nhiệt kết hợp
Xét tấm ES-FGM không hoàn hảo chịu tác dụng đồng thời tải cơ và nhiệt
(trường hợp 3 của điều kiện biên). Giả sử tấm chịu nén dọc trục bởi lực Fx
được phân bố đều dọc trên các cạnh x = 0, x = a và được đặt trong môi trường
nhiệt độ tăng đều. Khi đó Nx0 đóng vai trò là lực ngoài tác dụng lên các cạnh x
= 0 và x = a, vì vậy Nx0 = –hFx, còn Ny0 đóng vai trò phản lực trên các cạnh y =
0 và y = b, có dạng như biểu thức Ny0 trong phần 2.2.5. Thay Nx0, Ny0 vào
(2.29) sự phụ thuộc phi tuyến của tải nén cơ Fx vào độ võng khi cho trước
trường nhiệt độ ΔT.
7


Fx 

*
A11



h 
 t4


2

*
A11



W
W 

4
*
8 A11



2

*
A12







W W  2


 16h m n 
2
 t2 W  
 t1
  t3h W W  2
W



 3 ab 



 4h m n 
2  2 *
*
*
*
 A12   2 A11
L3   B21
L4   B22
L5  W 
* 
   ab 
A11






(2.42)

  2 A* o
 A*  hmo  
o
h 2W W  2   * 12 mx
  2my
  2 1  12
* 
 1   T  .
A11
 
 A11







2.2.7. Các kết quả số và thảo luận
Để minh chứng độ tin cậy về phương pháp và kết quả của luận án, tác giả
thực hiện so sánh với kết quả của của hai tác giả Hoàng Văn Tùng và Nguyễn
Đình Đức [122]. Luận án khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ, chỉ số tỷ phần thể
tích, gân gia cường độ, nền, độ không hoàn hảo đến khả năng chịu tải của tấm
ES-FGM.
Kết quả chính của chương này được trình bày trong 04 bài báo trong đó có
02 bài báo trong nước [2, 3]* và 02 bài báo quốc tế [5, 7] *, trong đó dấu * để
chỉ bài báo [2], [3], [5] và [7] trong danh mục công trình của tác giả luận án.

2.3. Ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM có gân gia cường dựa trên lý
thuyết biến dạng trượt bậc ba
2.3.1. Tấm FGM có gân gia cường
Xét tấm ES-FGM chịu nén dọc đặt trên nền đàn hồi như mục 2.2, nhưng chọn
trục Oz theo phương chiều dày của tấm và hướng xuống, gân nằm ở mặt dương
của trục Oz. Giả thiết tính chất vật liệu của tấm phụ thuộc vào nhiệt độ, thay
đổi liên tục theo hướng chiều dày tuân theo quy luật lũy thừa.
2.3.2. Các liên hệ cơ bản và phương trình chủ đạo
Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của tấm với tính phi tuyến hình học
theo nghĩa Von Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lecknisky sau khi đưa
8


hàm ứng suất f(x,y) vào ta thu được hệ phương trình ổn định phi tuyến với bốn hàm
phụ thuộc chưa biết w, f, ϕx và ϕy như sau











  2 f w

*
*

*
*
*
*
*
*
*
*
b12
f, xxxx  b11
 b22
 2b31
f, xxyy  b21
f, yyyy  b13
x, xxx  b23
 2b32
x, xyy  b14
 2b33
 y, xxy



*
b24
y , yyy

*
 b15
w, xxxx





*
b16

*
 b25





*
2b34





*
w, xxyy  b26
w, yyyy





 f , yy w, xx 

w,*xx

, xy

, xy

 w,*xy



 f, xx w, yy  w,*yy  K1w  K2 w, xx  w, yy  0,

b

*
11






(2.61)







*
*
*
*
*
*
*
*
*
 b31
f, xyy  b12
f, xxx  b13
x, xx  b14
 b33
 y , xy  b32
x, yy  b15
w, xxx  b16
 b34
w, xyy













*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
   c11
 c31
f, xyy  c12
f, xxx  c13
x, xx  c14
 c33
 y , xy  c32
x, yy  c15
w, xxx  c16
 c34
w, xyy 



d11x  d12 w, x  3  e11x  e12 w, x   0,

b

*
22





(2.62)







*
*
*
*
*
*
*
*
*
 b31
f, xxy  b21
f, yyy  b23
 b32
x, xy  b33

 y , xx  b24
 y , yy  b25
 b34
w, xxy  b26
w, yyy













*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
  c22
 c31

f, xxy  c21
f, yyy  c23
 c32
x, xy  c33
 y, xx  c24
 y, yy  c25
 c34
w, xxy  c26
w, yyy 







d21y  d22 w, y  3 e21y  e22 w, y  0.





(2.63)









*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
a22
f, xxxx  a12
 a21
 a31
f , xxyy  a11
f , yyyy  a23
x , xxx  a13
 a32
x , xyy  a24
 a33
 y , xxy





*
a14

y , yyy



*
a25
w, xxxx





*
a15



*
a26



*
a34

w

, xxyy



*
a16
w, yyyy

 w,2xy  w, xx w, yy  w, xx w,*yy  2w, xy w,*xy  w,*xx w, yy  0.

(2.64)

2.3.3. Điều kiện biên và phương pháp Galerkin
Phần này cũng xét ba trường hợp điều kiện biên của tấm tương tự với điều kiện
biên của tấm dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, nhưng cần thêm điều kiện
mô men bậc cao bằng không tương ứng trên các cạnh tựa đơn, và được xác định bởi
(2.65) ÷ (2.67).
Nghiệm giải tích của hệ phương trình (2.61) ÷ (2.64) thỏa mãn các điều
kiện biên có thể được tìm dưới dạng sau đây [125]
w  W sin  x sin  y, w*   h sin  x sin  y,

x  1 cos  x sin  y, y  2 sin  x cos  y,
1
1
f  f1 cos 2 x  f 2 cos 2 y  f3 sin  x sin  y  N xo y 2  N yo x 2 ,
2
2

9

(2.68)

Bằng cách thế dạng nghiệm (2.68) vào phương trình (2.64) ta biểu diễn
được các hệ số Fi (i=1÷3) qua W và Φ1, Φ2. Sử dụng kết quả này và tiếp tục thế
(2.68) vào ba phương trình còn lại (2.61) ÷ (2.63), sau đó áp dụng phương
pháp Galerkin thu được hệ ba phương trình. Trong hệ này, ta tiến hành khử Φ1,
Φ2 từ hai phương trình rồi thế vào phương trình còn lại, vì vậy thu được một
phương trình


l23l31  l21l33
l l l l 
l l l l
l l l l 
 l13 32 21 22 31 W   s1  l14 23 31 21 33  l15 32 21 22 31 W W   h 
 l11  l12
l
l

l
l
l
l

l
l
l
l

l
l
l

22 33
23 32
22 33
23 32 
22 33
23 32
22l33  l23l32 




l s l s
l s l s 
l s l s
l s l s 
  s2  l12 23 5 33 4  l13 32 4 22 5 W W  2 h    s3  l14 23 5 33 4  l15 32 4 22 5 W W   h W  2 h 
l
l

l
l
l
l

l
l
l
l

l

l
l
22 33
23 32
22 33
23 32 
22 33
23 32
22l33  l23l32 







 N x 0 2  N y 0  2 W   h   0.

(2.74)

Phương trình phi tuyến (2.74) được dùng để xác định tải tới hạn và phân
tích đường cong tải-độ võng sau tới hạn của tấm ES-FGM không hoàn hảo
chịu tải nén cơ, tải nhiệt, hay tải cơ-nhiệt có tính đến nền đàn hồi.
2.3.4. Phân tích ổn định cơ học
Bằng cách làm tương tự như mục 2.2.4, ta thu được mối liên hệ tải-độ
võng. Từ mối liên hệ này, với ξ=0 và cho W  0 ta thu được biểu thức xác
định tải tới hạn của tấm như sau
Fx 



1

h   
2

2




l23l31  l21l33
l l l l .
 l13 32 21 22 31 
 l11  l12
l22l33  l23l32
l22l33  l23l32 


(2.76)

2.3.5. Phân tích ổn định nhiệt
Bằng cách làm tương tự như mục 2.2.5, ta thu được mối liên hệ tải-độ võng


l23l31  l21l33
l l l l  W
 l13 32 21 22 31 
 l11  l12


l22l33  l23l32
l22l33  l23l32  W  






l
l

l
l
l
l

l
l
   s  l 23 31 21 33  l 32 21 22 31  t  2  t  2  hW

1
14
15
1
3
 

l22l33  l23l32
l22l33  l23l32
1



,
T 
1hP1  2 h1P2   h2 P3  

l23 s5  l33 s4
l s  l s  W W  2 
 l13 32 4 22 5  h
   s2  l12

l22l33  l23l32
l22l33  l23l32 
W 
 



   s  l l23 s5  l33 s4  l l32 s4  l22 s5  t  2  t  2  h 2W W  2  
3
14
15
2
4
 

l22l33  l23l32
l22l33  l23l32


(2.82)
10


Nếu tấm là hoàn hảo, tức là ξ = 0, thì từ phương trình (2.82), cho

W  0 , ta thu được biểu thức xác định sự thay đổi nhiệt độ như sau

l l l l
l l l l 
  l11  l12 23 31 21 33  l13 32 21 22 31 
l
l

l
l
l
22 33
23 32
22l33  l23l32 
T  
.
1hP1  2 h1P2   h2 P3

(2.83)

Chú ý rằng các phương trình (2.82) và (2.83) tương ứng là các hệ thức dạng
hiển của liên hệ ΔT - W và sự thay đổi nhiệt độ ΔT, trong trường hợp tính
chất vật liệu độc lập với nhiệt độ. Ngược lại, khi tính chất vật liệu phụ thuộc
vào nhiệt độ, các biểu thức trên sẽ trở thành dạng ẩn. Trong trường hợp đó,

đường cong nhiệt-độ võng sau tới hạn và tải nhiệt tới hạn sẽ được xác định bởi
thuật toán lặp.
2.3.6. Phân tích ổn định cơ nhiệt
Bằng cách làm tương tự như mục 2.2.6, ta thu được mối liên hệ tải-độ
võng của tấm ES-FGM không hoàn hảo chịu đồng thời tải cơ và nhiệt.
2.3.7. Kết quả số và thảo luận
Để khẳng định độ tin cậy của quá trình tính toán, luận án thực hiện hai so
sánh với kết quả của các tác giả Shariat và Eslami [80] và của các tác giả
Nguyễn Đình Đức và Hoàng Văn Tùng [36].
Luận án khảo sát ảnh hưởng của chỉ số tỷ phần thể tích, các tham số hình
học, gân và nhiệt độ đến khả năng chịu tải của tấm ES-FGM trên nền đàn hồi.
2.4. Kết luận chương 2
Một số kết quả đạt được của chương này là:
1.

Thiết lập các bài toán ổn định tĩnh phi tuyến của tấm FGM được gia
cường bởi gân cũng làm bằng vật liệu FGM trên nền đàn hồi, chịu tải
nén cơ hoặc tải nhiệt hoặc tải cơ nhiệt đồng thời bằng cách tiếp cận giải
tích, sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất và bậc ba.

2.

Đã đưa ra được các biểu thức quan trọng của Nij , M ij , Pij vì trong đó có
xét đến sự đóng góp của cả gân và yếu tố nhiệt.
11


3.

Hai thuật toán lặp được trình bày cho trường hợp tính chất vật liệu phụ

thuộc vào nhiệt độ.

4.

Các yếu tố nhiệt, gân, nền đàn hồi, kích thước hình học, tính chất vật liệu
có ảnh hưởng đáng kể đến ứng xử của tấm FGM.

5.

Lý thuyết biến dạng trượt bậc ba có thể cho dự đoán tốt hơn ứng xử động
học của tấm dày mà không cần phải sử dụng đến hệ số điều chỉnh như lý
thuyết biến dạng trượt bậc nhất. Đây là lý do chính mà lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba được lựa chọn để nghiên cứu ứng xử tới hạn và sau tới
hạn của tấm dày.

Kết quả chính của chương này được trình bày trong 04 bài báo trong đó
có 02 bài báo trong nước [2, 3]* và 02 bài báo quốc tế [5, 7] *, trong đó dấu
* để chỉ bài báo [2], [3], [5] và [7] trong danh mục công trình của tác giả
luận án.

CHƯƠNG 3. ỔN ĐỊNH TĨNH PHI TUYẾN CỦA VỎ TRỤ SANDWICH
FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI CƠ VÀ NHIỆT
3.1. Đặt vấn đề
Bài toán ổn định tĩnh của vỏ trụ FGM được tác giả Nguyễn Thị Phương
[6] và tác giả Lê Khả Hòa [4] nghiên cứu trong luận án. Ở đó các tác giả xét
bài toán vỏ trụ FGM có gân gia cường thuần nhất, có hoặc không có nền
nhưng chỉ chịu tải cơ và dựa trên lý thuyết vỏ cổ điển. Còn bài toán ổn định
nhiệt của vỏ trụ FGM cũng đã được một số tác giả nghiên cứu như tác giả Đào
Huy Bích cùng các cộng sự [13], tác giả Eslami cùng cộng sự [65, 83, 84], tác
giả Shen cùng cộng sự [88, 89] bằng cách sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển hay lý

thuyết biến dạng trượt bậc cao nhưng là vỏ FGM không có gân.
Chương này sẽ nghiên cứu bằng cách tiếp cận giải tích bài toán ổn định
tĩnh phi tuyến của vỏ trụ tròn sandwich FGM không hoàn hảo có gân gia
cường và nền đàn hồi dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, chịu tải cơ và
nhiệt.
12


3.2. Mô hình vỏ trụ tròn sandwich FGM có gân gia cường
Xét vỏ trụ tròn với bán
kính mặt giữa R, chiều dày h
và chiều dài L chịu lực nén
dọc trục. Chọn hệ tọa độ Đề
các xyz sao cho các trục tọa
độ x, y (y=Rθ) lần lượt theo
các phương dọc và phương

Hình 3.1. Mô hình vỏ trụ ES-FGM có nền đàn hồi

vòng của vỏ trụ, còn trục z theo
phương bán kính của vỏ trụ và hướng vào trong như trong hình 3.1.
Vỏ trụ tròn FGM là vỏ trụ sandwich được tạo thành từ hai lớp bề mặt
được gắn với nhau bởi một lớp lõi làm bằng vật liệu thuần nhất hoặc vật liệu
cơ tính biến thiên. Chiều dày mỗi lớp bề mặt bằng nhau và ký hiệu bằng hf,
còn chiều dày của lớp lõi là hco. Chiều dày của vỏ trụ sandwich được xác
định theo chiều dày của các lớp là h= 2hf+hco. Giả thiết vật liệu cơ tính biến
thiên của vỏ và gân biến đổi liên tục theo hướng chiều dày của vỏ và xét hai
trường hợp:
Trường hợp 1-Vỏ trụ sandwich với lớp lõi thuần nhất: Tính chất vật
liệu tuân theo quy luật Sigmoid tổng quát.

Trường hợp 2-Vỏ trụ sandwich với lớp lõi FGM: Tính chất vật liệu
tuân theo quy luật mũ tổng quát.
Dựa vào hai trường hợp này, luận án xem xét bốn kiểu vỏ trụ sandwich
FGM như trên hình 3.2 và tính chất vật liệu tương ứng của chúng có dạng
như sau:

13


Hình 3.2. Bốn mô hình của vỏ trụ tròn sandwich FGM

- Kiểu thứ nhất: Vỏ trụ sandwich kiểu A1 được tạo thành bởi hai lớp bề mặt làm
bằng FGM và một lớp lõi thuần nhất làm bằng kim loại như trong hình 3.2a
  z  z k
1

 ,
  z2  z1 
,
 Esh ( z ), sh ( z )   Ec , c    Emc , mc    1

k
 z  z4 
 z  z  ,
 3 4 

z1  z  z2
z2  z  z3 .

(3.2)

z3  z  z4

- Kiểu thứ hai: Vỏ trụ sandwich kiểu A2 được tạo thành bởi hai lớp bề mặt
làm bằng FGM và một lớp lõi thuần nhất làm bằng gốm như trong hình 3.2b
  z  z k
1

 ,
  z2  z1 
,
 Esh ( z ), sh ( z )   Em , m    Ecm , cm    1

k
 z  z4 
 z  z  ,
4 
 3

z1  z  z2
z 2  z  z3 .

(3.3)

z3  z  z4

Có thể thấy rằng các vỏ sandwich kiểu A1 và A2 tuân theo quy luật
Sigmoid tổng quát. Khi chiều dày của lớp lõi hco = 0 thì ta nhận lại được quy
luật Sigmoid thông thường như trong tài liệu của hai tác giả Chi và Chung năm
2006 [140].

- Kiểu thứ ba: Vỏ trụ sandwich kiểu B1 được tạo thành bởi một lớp lõi
FGM gắn chặt với hai lớp bề mặt, trong đó lớp bên ngoài là thuần nhất gốm
còn lớp bên trong là thuần nhất kim loại như trong hình 3.2c
14


0
,


k
 z  z2 
 Esh ( z ), sh ( z )   Ec , c    Emc , mc   
 ,
 z3  z2 

1
,


z1  z  z2
z 2  z  z3 .

(3.4)

z3  z  z4

- Kiểu thứ tư: Vỏ trụ sandwich kiểu B2 được tạo thành bởi một lõi FGM
gắn chặt với hai lớp bề mặt, trong đó lớp bên ngoài là kim loại còn lớp bên
trong là gốm như trong hình 3.2d

0
,


k
 z  z2 
 Esh ( z ), sh ( z )   Em , m    Ecm , cm   
 ,
 z3  z2 

1
,


z1  z  z2
z 2  z  z3 .

(3.5)

z3  z  z4

Có thể nhận thấy rằng với các vỏ trụ sandwich kiểu B 1 và B2 tuân theo
quy luật lũy thừa tổng quát, khi chiều dày lớp bề mặt hf = 0 thì ta nhận lại được
quy luật lũy thừa đã biết như trong các tài liệu [39, 51, 52, 71]. Khi tính chất
vật liệu của gân FGM biến đổi liên tục từ mặt giàu gốm đến mặt giàu kim loại
theo chiều dương của trục z thì gân được gọi là gân CM, ngược lại thì gân
được gọi là gân MC. Để đảm bảo tính liên tục giữa vỏ sandwich FGM và gân
FGM, luận án nghiên cứu bốn mô hình tương ứng với bốn kiểu vỏ trụ
sandwich như sau:
Mô hình 1: Vỏ trụ sandwich kiểu A1 với gân CM đặt ở bên trong (k2= k3=k),

Mô hình 2: Vỏ trụ sandwich kiểu A2 với gân MC đặt ở bên trong (k2= k3=k),
Mô hình 3: Vỏ trụ sandwich kiểu B1 với gân MC đặt ở bên trong (k2= k3=1/k),
Mô hình 4: Vỏ trụ sandwich kiểu B2 với gân CM đặt ở bên trong (k2= k3=1/k).
3.3. Các phương trình cơ bản
Sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc ba với tính phi tuyến hình học theo nghĩa
Von Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lecknisky, bằng cách biến đổi
15


tương tự như mục 2.3, sau khi đưa hàm ứng suất f(x,y) vào ta thu được hệ phương
trình ổn định phi tuyến với bốn hàm phụ thuộc chưa biết w, f, ϕx và ϕy như sau









*
*
*
*
*
*
*
*
*
*

 c12
f, xxxx   c21
f, yyyy   c11
 c22
 2c31
f, xxyy   c15
w, xxxx  c26
w, yyyy   c16
 c25
 2c34
w, xxyy





*
c13
x , xxx









1
f, xx  f, yy

R

*
d 21

 3

*
e21



*
c24
y , yyy





    3
w  w   2 f
y, y

*
d12

, xx

*

, xx

   
    3 
 K  w   d  3 e  K  w
 w  w   f  w  w   K w  0,

*
 2c32

*
c23

*
e12

x , xyy

2

, xy

*
c14

*
22

, xx

*
, xy

, xy

*
 2c33

y , yxx

*
22

, xx

*
d11

2

*
12

*
13

*
11

, xxx

*
13

*
31

*
11

*
32

x , xx

*
32

*
31

x , yy

*
15

, xyy

*
14

*
33

f



*
15

*
14

*
16

, xxx

*
33

(3.26)

1

 b  c  f   b  b  c  c  f   b  c  w   b  b
  b   c     b   c     b  b  c  c     3 e
*
12

x, x

, yy

*
, yy

, yy

*
e11

y , xy



*
34

*
*
 c16
 c34
w, xyy

*
11

*

*
*
 d11
x  3e12
 d12
w, x  0,







(3.27)



 f 
       b
*
b21



*
b24

*
c21

*
b22

, yyy

*
c24

*
 b31

*
33

y , yy





*
c33

*
c22





y , xx

*
c31





*
b23

, xxy

*
 b32



*
b26



w  
 c    3 e



*

c23

c*26

*
b25

, yyy

*
32

x , xy

*
 b34
*
21



c*25

*
 d 21



*
c34

w

, xxy

  3e
y

*
22



*
 d 22
w, y  0.

(3.28)









*
*
*

*
*
*
*
*
*
*
*
a25
w,xxxx  a16
w, yyyy  a15
 a26
 a34
w,xxyy  a11
f, yyyy  a22
f,xxxx  a12
 a21
 a31
f, xxyy  a23
x,xxx





*
a13

*
 a32



x , xyy





*
a14
y , yyy





*
a24

*
 a33



y , yxx

1

w,xx  w,2xy  w,xx w, yy  2w,xy w,*xy  w,xx w,*yy  w, yy w,*xx .

R

(3.29)
3.4. Phương pháp giải
Giả sử vỏ trụ sandwich ES-FGM tựa đơn tại hai đầu mút x = 0 và x = L
chịu nén dọc trục trong môi trường nhiệt. Khi đó xem xét hai trường hợp điều
kiện biên sau:
- Trường hợp 1: Hai đầu của vỏ tựa đơn và có thể tự do dịch chuyển.
- Trường hợp 2: Hai đầu của vỏ tựa đơn và không thể tự do dịch chuyển.
Chọn các nghiệm w, f , x ,  y thỏa mãn các điều kiện biên, trong đó x ,  y
được chọn dưới dạng một số hạng. Khi đó, các bước giải được thực hiện tương
tự như mục 2.3.3 và áp dụng phương pháp Galerkin ta được hệ ba phương
trình ϕx0, ϕy0 và W. Sau đó từ hai phương trình biểu diễn ϕx0, ϕy0 theo W và thế
vào phương trình còn lại, ta thu được
16


*
*
*
*
H01
W W   h W  2 h   H02
W W   h   H 03
W W  2 h   H 04
W  M 2 N x0 W   h   0.

(3.40)
Phương trình (3.40) dùng để phân tích ổn định phi tuyến của vỏ trụ
sandwich ES-FGM không hoàn hảo có nền đàn hồi bên trong chịu tải nén cơ

trong môi trường nhiệt.
3.4.1. Vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nén dọc trục
Xét vỏ trụ sandwich ES-FGM chỉ chịu tải nén dọc trục phân bố đều với
cường độ P tựa đơn tại hai đầu mút có thể dịch chuyển được (trường hợp 1 của
điều kiện biên), khi đó Nx0 = –Ph và thay vào (3.40) ta xác định được công
thức dạng hiển (3.43) dùng để vẽ đường cong tải-độ võng sau tới hạn của vỏ
trụ sandwich ES-FGM chịu nén. Nếu vỏ là hoàn hảo và cho W  0 thì từ
phương trình (3.43) ta thu được công thức tính tải nén tĩnh P.
3.4.2. Vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nhiệt
Xét vỏ trụ sandwich ES-FGM chỉ chịu tải nhiệt tựa đơn tại hai cạnh đầu
mút x=0 và x=L không dịch chuyển được (trường hợp 2 của điều kiện biên).
Khi đó, điều kiện biên không dịch chuyển được u = 0 tại x = 0, x = L được
thỏa mãn theo nghĩa trung bình. Các bước giải được thực hiện tương tự như
mục 2.3.5, với chú ý các biểu thức tham số nhiệt đối với từng mô hình là khác
nhau, ta thu được được công thức dạng hiển (3.53) dùng để vẽ đường cong tảiđộ võng sau tới hạn của vỏ trụ sandwich ES-FGM chịu tải nhiệt. Nếu vỏ là
hoàn hảo và cho thì từ phương trình (3.53) ta thu được công thức xác định tải
nhiệt tới hạn.
3.4. Kết quả số và thảo luận
Trong phần này thực hiện so sánh kết quả của luận án với kết quả của các
tác giả Huang và Han [52], tác giả Đào Huy Bích cùng cộng sự [10]. Khảo sát
ảnh hưởng của tỷ số chiều dày lớp bề mặt và chiều dày của vỏ trụ sandwich
FGM hf/h, gân gia cường, chỉ số tỷ phần thể tích, tỷ số R/h, độ không hoàn
hảo, nền đến khả năng chịu tải của vỏ trụ sandwich ES-FGM trên nền đàn hồi.
17


3.5. Kết luận chương 3
Sử dụng phương pháp Galerkin, bằng tiếp cận giải tích, chương này của
luận án đã đạt được các kết quả mới sau đây:
1.

Giải bài toán ổn định phi tuyến vỏ trụ sandwich FGM có gân gia cường chịu
nén dọc trục trong môi trường nhiệt tăng đều dựa trên lý thuyết biến dạng trượt
bậc ba.

2.

Biểu thức của lực dãn Nij, mô men Mij và mô men bậc cao Pij (ij=x, y, xy)
được xác định trong các phương trình (3.14) ÷ (3.16) là đóng góp quan
trọng trong chương này, vì trong biểu thức có xét đến các yếu tố nhiệt của
cả vỏ và gân biểu diễn qua ϕj, ϕjs, ϕjr (j=1, 2, 4).

3.

Nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ, gân, tính chất vật liệu, tham số hình
học và tham số nền đến khả năng ổn định tĩnh phi tuyến của kết cấu vỏ
trụ. Đặc biệt, luận án có thực hiện khảo sát bằng số so sánh giữa lý thuyết
biến dạng trượt bậc cao với lý thuyết vỏ cổ điển. Kết quả cho thấy lý
thuyết biến dạng trượt bậc cao cho dự đoán tốt hơn lý thuyết cổ điển khi
xét với kết cấu vỏ trụ khá dày.
Kết quả liên quan của chương này được trình bày trong 04 bài báo, trong

đó có 01 bài báo hội nghị trong nước [4]*, 01 bài báo trong nước [1]* và 02
bài báo quốc tế [8, 9]*.

CHƯƠNG 4. ỔN ĐỊNH TĨNH TUYẾN TÍNH CỦA VỎ NÓN CỤT
SANDWICH FGM CÓ GÂN GIA CƯỜNG CHỊU TẢI CƠ
4.1. Đặt vấn đề
Trong các ngành kỹ thuật hiện đại như máy bay, tên lửa, tàu ngầm, lò
phản ứng hạt nhân, vv…., ta thường gặp kết cấu vỏ nón FGM. Tuy nhiên, do

vỏ nón có hình dạng phức tạp hơn các kết cấu tấm và vỏ trụ nên việc phân tích
ổn định của kết cấu này bằng cách tiếp cận giải tích thường gặp những khó
khăn sau đây:
18


-

Các hệ thức cơ bản và các phương trình chủ đạo của vỏ nón được xây dựng
trong hệ tọa độ cong.

-

Khoảng cách giữa các gân dọc theo đường sinh của vỏ nón cũng là hàm của
tọa độ.

-

Hệ phương trình ổn định là hệ phương trình đạo hàm riêng có hệ số là hàm của
tọa độ.
Vì vậy bài toán ổn định của vỏ nón nói chung và vỏ nón ES-FGM nói
riêng là bài toán cần được quan tâm nghiên cứu.
Năm 2013 và 2014, tác giả luận án đã tham gia cùng nhóm nghiên cứu
của tác giả Đào Văn Dũng về hai bài toán ổn định tĩnh của vỏ nón cụt FGM
được đăng trên tạp chí Composite Structure [42], [43]. Vì vậy, chương này của
luận án sẽ tiếp tục phát triển các kết quả đã có trước đó, cụ thể là sẽ tiếp nối
nghiên cứu [42] về “ổn định tuyến tính tĩnh của vỏ nón cụt FGM được gia
cường bởi gân dọc và gân vòng FGM trên nền đàn hồi chịu tải nén dọc trục và
áp suất ngoài kết hợp” nhưng cho kết cấu vỏ nón cụt sandwich FGM.

4.2. Mô hình vỏ nón cụt sandwich ES-FGM trên nền đàn hồi
Xét vỏ nón cụt sandwich FGM có gân gia cường gồm hai lớp bề mặt FGM
và một lớp lõi bằng kim loại hoặc gốm. Cấu trúc và các đặc trưng hình học của
vỏ được trình bày ở hình 4.1, trong đó h là độ dày của vỏ, hco là độ dày lớp lõi
(2), hai lớp bề mặt (1) và (3) có độ dày bằng nhau và bằng hFG/2, α là góc bán
đỉnh, L là độ dài đường sinh và R là bán kính đáy nhỏ. Giả sử vỏ chịu áp lực
1
2

ngoài với cường độ là q (N/m2) và lực nén phân bố đều p  p  qx0 sin  song
song với trục đối xứng của vỏ nón, trên vòng tròn đáy trên, bán kính R (tức là
x=x0 với x0 là khoảng cách theo đường sinh từ đỉnh đến đáy nhỏ và p, p (N/m).
Chọn hệ tọa độ  x,  , z  như trong hình 4.1, trong đó trục x hướng theo đường
19


sinh, góc θ theo hướng vòng và trục z vuông góc với mặt trung bình và hướng ra
phía ngoài vỏ.
Tương tác nền - vỏ được miêu tả bởi mô hình hai tham số đàn hồi và
được xác định bởi (4.6).
Giả thiết rằng vỏ nón cụt sandwich
FGM được gia cường bởi hệ thống
gân cũng làm từ vật liệu FGM và
nghiên cứu hai trường hợp đặt gân
là gân đặt ở mặt trong và gân đặt ở
mặt ngoài của vỏ. Sau đây, ta sẽ
xem xét hai mô hình với bốn
trường hợp của

vỏ nón cụt

sandwich ES-FGM.
Mô hình 1 tương ứng với lõi kim loại, ta xét hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Vỏ nón FGM-lõi kim loại-FGM và được gia cường bằng gân
ngoài FGM.
- Trường hợp 2: Vỏ nón FGM-lõi kim loại-FGM và được gia cường bằng gân
trong FGM.
Mô hình 2 tương ứng với lõi gốm, ta xét hai trường hợp sau:
- Trường hợp 3: Vỏ nón FGM-lõi gốm-FGM và được gia cường bằng gân
ngoài FGM.
- Trường hợp 4: Vỏ nón FGM-lõi gốm-FGM và được gia cường bằng gân
trong FGM.
Môđun đàn hồi của vỏ và gân là hàm của z theo quy luật lũy thừa được
xác định riêng cho mỗi trường hợp và được cho bởi căc công thức (4.1) ÷
(4.5) còn hệ số Poisson được coi là không đổi.

20


4.3. Các phương trình cơ bản
Sử dụng lý thuyết vỏ Donnell với độ phi tuyến hình học theo nghĩa von
Karman và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Leckhnitsky ta có phương trình
ổn định của vỏ nón là

E b
 A11 x  1s s
0


  2u1

 2u1
u 
E b u
 2v1
1
1
A66
 A11 1   A22  1r r  1 
A12  A66 

 2 

2
2
x 
d r  x sin 
x
x sin 

 x


E b
 A22  A66  1r r
dr


1
x sin 



 v1

 3 w1
 3 w1
E b
1
1
 B11 x  C10

B12  2B66 
 cot   A22  1r r


3
2
dr
x
x sin 
x 2 x
 






2w
2w  B  C

1
 w
 B12  2B66  B22  C2  21  B11 21   22 x 2  A12 cot   x1  0,
2
x sin 

x


2

 2u
1
1
 A12  A66  x1  x sin 
sin 


E b
 A22  A66  1r r
d2


 u1
1

2
  x sin 



E b
 A22  1r r
dr



 w1

(4.30)

  2v1
 2v
 2  xA66 21
x
 

v1
v
3w
3w
1
1
 A66 1 
B12  2 B66  2 1  2 3  B22  C2  31

x
x sin 
x  x sin 



 2 w1
E1r br  w1
1
1

( B22  C2 )

cot   A22 
 0,

x sin 
x x sin 
d r  

 A66

 3u
 2u
 2u 
1
1
1
 u
 B12  2B66  12  2B11 21  2 2  B22  C2  21   A12 cot   x  B22  C2  x1
x sin 2 
x
x
x sin 





E1r br 
 3v1
 3v1
 2v
1
1
1
1
1
 2  B22  C2  u1  cot   A22 
 u1 
 B12  2B66  2  2 3 (B22  C2 ) 3  x sin   B22  C2  x1

x
d
sin

x

x


x
sin



r 


 1


E b  4w
E b  4w
E b   v 
1
1
 2
 B22  C2   x sin  cot   A22  d1r r   1   D11x  3s s  41  3 4  D22  d3r r  41
x sin  
 x sin 
r 
0  x
r  




B

 C10



2

11 x

x sin 
2

 xu

(4.31)

3

1
3



 D12  2D66 

 4 w1
x 
2

2



2
x sin 
2


2

2
  2 2 cot   B22  C2   3 2
x sin 
 x sin 


2

 D12  2D66 

 3 w1
x

2

 2 D11


E b
 D12  2 D66  D22  3r r
dr


1 
E b
   D22  3r r

dr
x
 x 

 3 w1
3

 2 w

  2 B12 cot   xK 2  21

 x


E b
K 2   2 w1
w
1 
 2  K 2 1  2  D22  3r r
 
2


x
dr
x
sin



x





 x 2  2 w1
w
 2 w1
1
1  2 w1 
P
cot   B22  C2  w1  xK1w1  q tan  
x 1 
 0.

2
2
2
2
 2 x
x sin     sin 2 x 2
x


(4.32)

Hệ ba phương trình (4.30) ÷ (4.32) dùng để phân tích ổn định và tìm tải
tới hạn của vỏ nón cụt sandwich ES-FGM. Đây là hệ ba phương trình đạo hàm
riêng có hệ số là hàm của x dẫn tới việc giải hệ nây sẽ phức tạp.
21

 w1


 x


4.4. Phương pháp giải
Xét vỏ nón có điều kiện tựa đơn ở hai đầu. Khi đó ta có điều kiện biên là

v1  w1  0, M x1  0 tại x  x0 , x0  L .

(4.33)

Nghiệm thỏa mãn điều kiện biên (4.33) được chọn là [14]
m  x  x0  n

sin ,
u1  A cos
L
2


m  x  x0 
n
cos ,
v1  B sin
L
2


m  x  x0  n
sin ,
 w1  W sin

L
2


(4.34)

trong đó m là số nửa sóng dọc đường sinh và n là số sóng theo phương vòng; A, B và

W

là các hệ số không đổi. Do x0≤x≤ x0+L tức là x≠0 nên nhân các phương trình

(4.30), (4.31) với x2 và nhân phương trình (4.32) với x3 ta được các phương trình
tương đương sau đó áp dụng phương pháp Galerkin đối với các phương trình hệ quả
với x0≤x≤ x0+L và 0≤θ≤2π ta được

t11 A  t12 B  t13W  0,

t21 A  t22 B  t23W  0,

t31 A  t32 B   t33  qt34  Pt35  t36 K1  t37 K 2 W  0.

(4.36)

Muốn hệ phương trình thuần nhất (4.36) có nghiệm không tầm thường thì
định thức của ma trận hệ số phải bằng không. Khai triển định thức ma trận hệ
số ta thu được
t34q  t35 P 

t31  t12t23  t13t22   t32  t13t21  t11t23   (t33  t36 K1  t37 K 2 )(t 21t12  t11t 22 )

t21t12  t11t22

. (4.37)

Phương trình (4.37) được dùng để xác định tải vồng tới hạn của vỏ nón
ES-FGM chịu nén dọc trục và áp lực ngoài. Các biểu thức của P và q vẫn phụ
thuộc vào m và n, do đó để thu được giá trị của các tải tới hạn cần phải cực tiểu
hóa biểu thức này theo m và n.
22


4.5. Kết quả số và thảo luận
Để khẳng định cho độ tin cậy của luận án, luận án đã thực hiện hai so
sánh. So sánh thứ nhất là với kết quả của Brush và Almroth [16, trang 217] đối
với vỏ thuần nhất không có gân gia cường chịu áp lực ngoài. So sánh thứ hai là
với kết quả của Seide [143] và Sofiyev [104] cho vỏ nón cụt đẳng hướng
không gân chịu nén dọc trục. Sau đó , luận án thực hiện khảo sát ảnh hưởng của
độ dày lớp lõi hco, góc bán đỉnh α, tỷ số R/h, tỷ số L/R, chỉ số tỷ phần thể tích, số
lượng gân và nền đến khả năng chịu tải của vỏ nón cụt sandwich.
4.6. Kết luận chương 4
Trong chương này, bằng cách tiếp cận giải tích, luận án đã nghiên cứu ổn
định tĩnh của vỏ nón cụt sandwich có lớp lõi thuần nhất và hai lớp phủ FGM,
được gia cường bởi gân FGM chịu tải nén dọc trục và áp lực ngoài có nền đàn
hồi, trong đó có nghiên cứu ảnh hưởng của sự thay đổi khoảng cách của các
gân dọc. Các tính chất vật liệu của vỏ nón tuân theo quy luật Sigmoid tổng
quát.
Phương trình cân bằng và ổn định đã nhận được bằng cách sử dụng kỹ
thuật san đều tác dụng gân và lý thuyết vỏ cổ điển. Áp dụng phương pháp
Galerkin, tác giả đã thu được biểu thức hiển để xác định tải tới hạn.
Các kết quả số đã chỉ ra ảnh hưởng của độ dày lớp lõi, gân, nền, chỉ số tỷ

phần thể tích, thông số hình học và góc bán đỉnh đến tải tới hạn của vỏ nón cụt.
Kết quả chính của chương này được trình bày trong 01 bài báo quốc tế
[6]* (Applied Mathematics and Mechanics 37(7), pp. 879–902).

23