Quá trình rã higgs trong mô hình seesaw

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

VIỆN VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ XUÂN

QUÁ TRÌNH RÃ HIGGS
TRONG MÔ HÌNH SEESAW
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60 44 01 03
Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ THỌ HUỆ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI—2017


Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Thọ Huệ, người
thầy trực tiếp hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Em xin cảm ơn các thầy cô tại Viện Vật Lý - Viện Khoa Học và
Công Nghệ Việt Nam, các thầy cô trong khoa Vật Lý - Trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình chỉ dạy, trang bị những nền tảng kiến
thức quý báu cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo, phòng sau đại học trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để chúng tôi học
tập.
Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin dành cho gia đình và người thân vì
đã luôn ủng hộ, động viên và sát cánh bên tôi.

Hà Nội, tháng 06 - 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Xuân


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin
cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được
cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Xuân


Mục lục

Lời cảm ơn

2

Lời cam đoan

3

Mở đầu

6

1 Giới thiệu mô hình

9

1.1

Mô hình chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2

Mô hình seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

Mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2

Đỉnh tương tác . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.3

Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino

15

Mô hình inverse seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3

2 Biểu thức giải tích cho biên độ LFVHD

21

2.1

Bề rộng và tỉ lệ rã nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Chuẩn ’t Hooft Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1

Giản đồ Feynman và biểu thức tính biên độ . . .

22

2.2.2

Kiểm tra khử phân kỳ . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chuẩn unitary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.3.1

Giản đồ Feynman và biểu thức tính biên độ . . .

25

2.3.2

Kiểm tra khử phân kỳ . . . . . . . . . . . . . . .

28

Đồng nhất biên độ tính theo hai chuẩn . . . . . . . . . .

29

2.3

2.4


3 Kết quả khảo sát và thảo luận

31

3.1

Mô hình seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.2

Mô hình inverse seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3

Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Kết luận

39

Danh mục các công trình

41

Phụ lục

47

A Các hàm Passarino-Veltman

48

B Tính biên độ theo chuẩn t’ Hooft Feynman

51

C Tính biên độ theo chuẩn unitary

53


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong vật lý hạt cơ bản, cùng với sự phát triển của thực nghiệm
dựa trên năng lượng hoạt động ngày càng lớn của các máy gia tốc
hiện tại (LHC) và tương lai, việc dự đoán và xác định các đặc tính

mới của hạt vật lý trong các mô hình lý thuyết đã và đang đóng
góp nhiều vai trò quan trọng. Trong số đó việc nghiên cứu và tìm
hiểu các đặc điểm của hạt Higgs boson mới được thực nghiệm LHC
tìm thấy gần đây đang rất được quan tâm. Kể từ khi được phát
hiện năm 2012, các đặc điểm tương tác quan trọng của Higgs boson
này với các hạt trong mô hình chuẩn (the Standard Model-SM) đã
được thực nghiệm nghiên cứu và so sánh với các kết quả lý thuyết
được dự đoán trong lý thuyết SM. Cho đến thời điểm hiện tại, các
phép đo thực nghiệm vẫn khẳng sự phù hợp cao với các dự đoán từ
SM.
Ta đã biết SM là một mô hình vật lý hạt thành công nhất khi
dự đoán khá chính xác được hầu hết các kết quả thực nghiệm. Tuy
nhiên nó vẫn có một số hạn chế nhất định. Trong mô hình chuẩn, các
lepton được phân làm ba thế hệ, mỗi thế hệ bao gồm một trong các
lepton mang điện e, µ, τ và một neutrino phân cực trái tương ứng.


2

Các neutrino đều có khối lượng bằng không và không có sự chuyển
hóa lẫn nhau giữa các thế hệ lepton (sự dao động neutrino). Nhưng
thực nghiệm đã chỉ ra rằng neutrino có khối lượng khác không dù
rất nhỏ và có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các neutrino khác thế hệ.
Sự chuyển hóa lẫn nhau của các lepton trung hòa khác thế hệ chính
là bằng chứng cho sự vi phạm số lepton thế hệ trong thế giới hạt cơ
bản. Điều này vượt ngoài dự đoán của mô hình chuẩn. Chính vì vậy
người ta phải nghiên cứu cơ chế và nguồn gốc sinh khối lượng và
dao động neutrino trong các mô hình mở rộng của mô hình chuẩn
(BSM-beyond the SM). Mô hình đơn giản nhất giải quyết được các
vấn đề về neutrino là các mô hình seesaw và cụ thể cơ chế seesaw

có thể giải quyết được vấn đề này. Mô hình seesaw mở rộng từ SM
bằng cách thêm vào các đơn tuyến neutrion phân cực phải, dẫn đến
sự xuất hiện của số hạng tương tác Yukawa mới và số hạng khối
lượng vi phạm số lepton, chính là nguồn gốc sinh khối lượng cho tất
cả các neutrino trong mô hình. Cơ chế seesaw giúp giải thích hợp lý
tại sao neutrino hoạt động (active neutrino) có khối lượng nhỏ như
đã được thực nghiệm phát hiện, đồng thời các neutrino mới có khối
lượng lớn, thoát khỏi tầm phát hiện của các thiết bị dò hiện nay. Sự
xuất hiện của các neutrino mới dẫn đến sự xuất hiện các đỉnh tương
tác mới, vi phạm số lepton, làm xuất hiện các đóng góp bậc cao vào
quá trình rã vi phạm số lepton của Higgs boson ra các lepton mang
điện (LFVHD) h → eµ, eτ, µτ . Theo đó, tuy ở trong Lagrangian
không xuất hiện đỉnh tương tác h¯
µτ + h.c nhưng bổ đính bậc một
vòng cho số hạng hiệu dụng h¯
µ (∆L PL + ∆R PR ) τ + h.c. Số hạng
này dự đoán quá trình rã nhánh mới h → µ± τ ∓ không có trong giới
hạn dự đoán của SM. Các tính toán và nghiên cứu cho quá trình rã
này trong hai mô hình seesaw tối thiểu (minimal seesaw-MSS) và


3

inverse seesaw (ISS) đã được nghiên cứu trong nhiều công bố, kể cả
các công bố gần đây với các hướng tính toán khác nhau. Tuy nhiên
sự so sánh chi tiết giữa hai mô hình vẫn chưa được tìm hiểu. Chính
vì vậy trong luận văn này tôi chọn đề tài:
QUÁ TRÌNH RÃ HIGGS TRONG MÔ HÌNH SEESAW.
2. Mục đích nghiên cứu
• Tính tỉ số rã nhánh (Br-branching ratio) cho quá trình rã

LFVHD h → µτ trong hai mô hình MSS và ISS, so sánh và
giải thích sự khác nhau về độ lớn của tỉ lệ rã nhánh dự đoán từ
hai mô hình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
• Tìm hiểu về mô hình seesaw và inverse seesaw.
• Tính biên độ và kiểm tra sự khử phân kỳ trong biên độ của quá
trình rã h → µτ theo các chuẩn ’t Hooft Feynman và unitary.
• Khảo sát số để so sánh các đặc điểm giống và khác nhau của tỉ
lệ rã nhánh dự đoán bởi hai mô hình
4. Đối tượng nghiên cứu
• Quá trình rã h → µτ trong hai mô hình seesaw MSS và ISS.
5. Phương pháp nghiên cứu
• Quy tắc Feynman.
• Lý thuyết trường lượng tử.
• Ứng dụng phần mềm Mathematica trong giải số.


4

Chương 1
Giới thiệu mô hình
1.1

Mô hình chuẩn

Mô hình chuẩn (SM) là một mô hình thống nhất mô tả tương tác
mạnh, tương tác yếu và tương tác điên từ, cho phép ta mô tả thế giới vi
mô một cách hoàn chỉnh. Mô hình chuẩn là một mô hình lý thuyết dựa
trên cấu trúc nhóm chuẩn SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . Trong đó, nhóm
đối xứng SU (3)C mô tả tương tác mạnh và là đối xứng màu của quark,

nhóm đối xứng SU (2)L ⊗ U (1)Y mô tả tương tác điện yếu.
• Phổ hạt trong SM
Để sinh khối lượng cho các gauge boson và các lepton, trong SM
cần đưa thêm vào một lưỡng tuyến Higgs.
Các boson chuẩn truyền tương tác: 8 gluon trong nhóm màu
SU (3)C và 4 boson chuẩn cho nhóm tương tác điện yếu SU (2)L ⊗
U (1)Y .
T

0

v+h+iGz T
√
- Higgs Boson φ = (φ+ , φ0 ) = (G+
) ∼ (1, 2, 12 ).
W,
2

- Fermion: gồm các lepton và các quark chia thành ba thế hệ.
Lepton
+ Lepton phân cực trái biến đổi theo lưỡng tuyến SU (2)L .


5

−1
)
2
trong đó a = 1, 2, 3 tương ứng với e, µ, τ .
La = (νaL , eaL )T ∼ (1, 2,

.

+ Lepton phân cực phải biến đổi theo đơn tuyến: eR , µR , τR ∼
(1, 1, −1).
Quark
+ Quark phân cực trái: (uL , dL )T , (cL , sL )T , (tL , bL )T ∼ (3, 2, 16 ).
+ Quark phân cực phải: uR , cR , tR ∼ (3, 1, 23 ), và dR , sR , bR ∼
(3, 1, − 31 ).
• Lagrangian của SM không kể số hạng động năng hiệp biến của
trường chuẩn là
L = iLi γ µ Dµ Li + ieRi γ µ Dµ eRi − Yiie Li φeRi + h.c.
+ iQLi γ µ Dµ QLi + iuRi γ µ Dµ uRi + idRi γ µ Dµ dRi
−

Yiju QLi φ˜ uRj + Yijd QLi φ dRj + h.c.

+ Dµ φ† Dµ φ − V (φ),
trong đó thế Higgs có biểu thức sau,
V (φ) = −µ2 φ+ φ + λ φ+ φ

2

.

Đạo hàm hiệp biến định nghĩa như sau Dµ = ∂µ − igT a W a − ig Y Bµ .
Khi đó tương tác giữa Higgs boson với các boson chuẩn có dạng sau: Cụ
thể
(v + h)2 2 + −µ 1 2
1

µ
D φ Dµ φ = ∂µ h∂ h +
g Wµ W +
g + g 2 Zµ Z µ .
2
4
2
µ +

Trong mô hình chuẩn chỉ có một Higgs vật lý, các trạng thái vô hướng
còn lại bao gồm một Goldstone trung hoà CP lẻ hấp thụ bởi Z boson và
hai Goldstone boson tích điện đơn tương ứng của W ± boson. Lagrangian
nói trên không chứa số hạng sinh khối lượng neutrino, vì thế mô hình


6

chuẩn dự đoán các neutrio có khối lượng bằng 0 tuyệt đối. Trong mô
hình chuẩn không xuất hiện quá trình rã h → µτ .

1.2
1.2.1

Mô hình seesaw
Mô hình

Phổ hạt của mô hình này khác với mô hình chuẩn (SM) là có thêm
K neutrino phân cực phải NR,I ∼ (1, 1, 0) với I = 1, 2, ..., K [19]. Do đó
phần Lagrangian mới thoả mãn điều kiện bất biến nhóm chuẩn SU (2)L ⊗
U (1)Y là:

1
−∆L = Yν,aI ψL,a φNR,I + (NR,I )c MN,IJ NR,J + h.c.,
2

(1.1)

trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ của fermion trong mô hình chuẩn;
I, J = 1, 2, ..., K; ψL,a = (νL,a , eL,a )T là các lưỡng tuyến lepton và
√ T
T
2 là lưỡng
(NR,I )c = CNR,I . φ = (φ+ , φ0 )T = G+
,
(h
+
iG
+
v)/
z
W
tuyến Higgs boson SM. Để sinh khối lượng cho các quark up, lưỡng tuyến
Higgs còn được viết ở dạng φ = iσ2 φ∗ = (φ0∗ , −φ− )T . Phổ Higgs trong
SM gồm một Higgs trung hoà CP-chẵn h và ba Goldstone boson của các
boson W ± và Z. Giá trị trung bình chân không (VEV) của Higgs boson
trung hoà là: φ =

√v
2

= 174 GeV (hoặc v = 246 GeV). Các trạng thái

vị (trạng thái ban đầu) của các neutrino hoạt động được viết theo ký
hiệu vector: νL = (νL,1 , νL,2 , νL,3 )T , (νL )c ≡ ((νL,1 )c , (νL,2 )c , (νL,3 )c )T ,
và cho các neutrino mới là NR = (NR,1 , NR,2 , ..., NR,K )T , (NR )c =
((NR,1 )c , (NR,2 )c , ..., (NR,K )c )T . Từ cơ sở ban đầu của các neutrino
phân cực trái và các neutrino phân cực phải νL ≡ (νL , (NR )c )T và
(νL )c = ((νL )c , NR )T , Lagrangian (1.1) cho số hạng khối lượng neutrino:
1
1
−Lνmass ≡ νL M ν (νL )c + h.c. = νL
2
2

0

MD

MDT

MN

(νL )c + h.c., (1.2)


7

trong đó MN là ma trận bậc (K × K) đối xứng và không kỳ dị, và MD
là ma trận bậc (3 × K) thỏa mãn (MD )aI = Yν,aI φ . Ma trận đối xứng
M ν được chéo hóa bằng một ma trận duy nhất U ν bậc (K + 3) × (K + 3)
và thỏa mãn điều kiện unitary, U ν† U ν = I. Trị riêng khối lượng neutrino

lúc này được định nghĩa như sau:
ˆ ν = diag(mn , mn , mn , mn , ..., mn
U νT M ν U ν = M
),
1
2
3
4
(K+3)

(1.3)

trong đó mni (i = 1, 2, ..., K + 3) là các giá trị riêng khối lượng của
(K + 3) trạng thái riêng neutrino nL,i hay các trạng thái neutrino vật
lý. Ba neutrino hoạt động là nL,a với a = 1, 2, 3. Liên hệ giữa các trạng
thái vị và vật lý là
νL = U ν∗ nL ,

(νL )c = U ν (nL )c ,

(1.4)

trong đó nL ≡ (nL,1 , nL,2 , ..., nL,(K+3) )T .
Để thuận tiện cho tính toán ta sử dụng kí hiệu spinor bốn thành
phần (Dirac spinor) là ni (i = 1, 2, .., K + 3) cho tất cả các neutrino
trong mô hình. Fermion Majorana ni được định nghĩa như sau ni ≡
(nL,i , (nL,i )c )T = nci = (ni )c . Thành phần phân cực trái nL,i ≡ PL ni
và thành phần phân cực phải nR,i ≡ PR ni = (nL,i )c , trong đó PL,R =
1±γ5
2

là các toán tử phân cực. Ta định nghĩa các trạng thái ban đầu

của các neutrino theo spinor bốn thành phần là νa ≡ (νL,a , (νL,a )c )T ,
NI ≡ ((NR,I )c , NR,I )T và ν = (ν, N )T . Áp dụng liên hệ (1.4) ta có kí
hiệu mới:
PL νi = νL,i = Uijν∗ nL,j ,

PR νi = νR,i = Uijν nR,j ,

i, j = 1, 2, ..., K + 3.
(1.5)

ν∗
Biểu thức (1.5) viết cụ thể hơn: νL,a = PL νa = Uai
nL,i , (NR,I )c =
ν∗
ν
PL νI+3 = U(I+3)j
nL,j , (νL,a )c = PR νa = Uai
nR,i , và NR,I = PR νI+3 =
ν
U(I+3)j
nR,j , trong đó I = 1, 2, 3, .., K.


8

Ma trận trộn neutrino U ν sẽ được xác định cụ thể trong từng mô hình
MSS và ISS. Phần tiếp theo sẽ xác định đỉnh tương tác liên quan đến rã

h → µτ .
1.2.2

Đỉnh tương tác

Đạo hàm hiệp biến là Dµ = ∂µ − igT a W a − ig Y Bµ , sẽ cố định dấu
±
−
các hệ số đỉnh tương tác hG±
W W và ea νa W , được liệt kê cụ thể trong

bảng 1.1. Các đỉnh tương tác của W ± boson với các lepton là:
g
µ
√
=
iψ
Llep
γ
D
ψ
⊃
νL,a γ µ eL,a Wµ+ + eL,a γ µ νL,a Wµ−
L,a
µ
L,a
kin
2
g
ν

ν∗
nj γ µ PL ea Wµ+ + Uaj
ea γ µ PL nj Wµ− ,
= √ Uaj
2
(1.6)
trong đó a = 1, 2, 3; và j = 1, 2, ..., K + 3.
Đỉnh tương tác Yukawa đóng góp vào LFVHD là:
−Llep
= yea ψL,a φeR,a + Yν,aI ψL,a φNR,I + h.c.
Y
√
2mea
mea
ν
ν∗ −
⊃
hea ea +
Uaj
G+
W nL,j eR,a + Uaj GW eR,a nL,j
v
v
−
+ Yν,aI −GW eL,a NR,I − G+
W NR,I eL,a
1
+ √ h (MD )aI νL,a NR,I + (MD )∗aI NR,I νL,a .
(1.7)
v 2

ν
Sử dụng (MD )aI = Ma(I+3)
và NR,I = νR,(I+3) dòng cuối cùng của biểu

thức (1.7) chuyển thành:
h
v ni

ν
ν ν
ν∗
ν∗
ν∗
Ma(I+3)
Uai
U(I+3)j PR + Ma(I+3)
U(I+3)i
Uaj
PL nj .

Có thể chứng minh rằng:
3
ν
ν ν
Ma(I+3)
Uai
U(I+3)j PR

+

ν∗
ν∗
ν∗
Ma(I+3)
U(I+3)i
Uaj
PL

ν ν∗
Uai
Uaj

=
a=1

×

mni PL + mnj PR ,


9

đã cho trong [6, 7]. Hướng chứng minh có thể dựa trên các tính chất có
trong các phương trình (1.2) và (1.3),
ν
ν
ν
ν
Mab
= 0, M(I+3)(J+3)

= (mN )IJ , Ma(I+3)
= (MD )aI , M(I+3)a
= (MDT )Ia ,

U ν† U ν = I,

ˆ ν U ν† ,
M ν = U ν∗ M

ˆ ν U νT .
M ν∗ = U ν M

(1.8)

Số hạng thứ nhất trong vế trái của phương trình (1.8) chuyển thành số
hạng thứ hai trong vế phải của phương trình (1.8) sau một số biến đổi
cụ thể:
ν
ν ν
Ma(I+3)
Uai
U(I+3)j =

ˆ ν U ν†
U ν∗ M

ν ν
Uai
U(I+3)j

=

a(I+3)
ν†
ν∗
ν ν
Uak mnk Uk(I+3) Uai
U(I+3)j

=

ν∗ ν
Uak
Uai mnk

K+3

3

Uklν† Uljν
l=1

ν∗ ν
= Uak
Uai mνk δkj −

ν† ν
Ukb
Ubj

−
b=1

ν† ν
Ukb
Ubj

ν†
ν∗ ν
ν ν
ν∗
= Uaj
Uai mnj − Uai
Ubj Uak
mnk Ukb
ν∗ ν
ν ν
ν∗
= Uaj
Uai mnj − Uai
Ubj Mab
ν ν∗
= Uai
Uaj mnj .

(1.9)

Từ (1.9) số hạng thứ hai trong vế trái của (1.8) có thể dễ dàng thấy
rằng:
ν∗

ν∗
ν∗
ν
ν
ν
Ma(I+3)
U(I+3)i
Uaj
= Ma(I+3)
Uaj
U(I+3)i

∗

ν
ν∗
= Uaj
Uai
mni

∗

ν ν∗
= Uai
Uaj mni .

Quy tắc Feynman cho đỉnh với hai lepton Majorana hni nj phải được
biểu diễn dưới dạng đối xứng:
−

g
4mW

ni

mni Cij + mnj Cij∗ PL + mnj Cij + mni Cij∗ PR nj .

i,j

(1.10)
Các đỉnh tương tác liên quan với G±
W được chứng minh tương tự,
√
2
g
−
ν∗
√
=
e
N
G
=
Uai
ea PR ni G−
Yν,aI eL,a NR,I G−
(M
)
D
aI

L,a
R,I
W
W
W.
v
2mW


10

Từ các tính toán trên chúng tôi thu được các đỉnh liên quan đến LFVHD
−
được tổng hợp trong bảng 1.1. Đỉnh hG+
W GW trong bảng 1.1 là phù hợp

Đỉnh

Hệ số đỉnh

Đỉnh

Hệ số đỉnh

hW +µ W −ν

igmW gµν

−
hG+

W GW

− 2mWh

−µ
hG+
WW

ig
(p+ − p0 )µ
2
ig
√ U ν γ µ PL
2 ai
ν
Uai
(mea PR −

+µ
hG−
WW

ig
(p0 − p− )µ
2
ig
√ U ν∗ γ µ PL
2 ai
ν∗
Uai

(mea PL −

ni ea Wµ+
ni ea G+
W

ig
− √2m

hni nj

−ig
2mW

W

ea ni Wµ−
mn,i PL )

ea ni G−
W

Cij PL mni + PR mnj
+Cij∗

igm2

ig
− √2m

W

mn,i PR )

ea
− igm
2mW

hea ea

PL mnj + PR mni

Bảng 1.1: Các đỉnh liên quan đến LFVHD trong các mô hình seesaw. Trong đó Cij =
3
c=1

−
Uciν Ucjν∗ và p0 , p+ và p− là các xung lượng đi vào của h, G+
W và GW tương ứng.

với kết quả có trong [25, 8].
1.2.3

Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino

Biểu thức tổng quát cho ma trận trộn neutrino U ν là [19],
Uν = Ω

U O

,

O V

(1.11)

trong đó O là ma trận bậc (3 × K) có tất cả các phần tử bằng 0, U là
ma trận unitary bậc (3 × 3) và V là ma trận unitary bậc (K × K). Ω là
ma trận unitary bậc ((K + 3) × (K + 3)), được viết dưới dạng khai triển
nhiễu loạn như sau:
Ω = exp

O
−R

R
†

O

=

1 − 12 RR†
−R

†

R
1−

1 †
2R R

+ O(R3 ),

(1.12)

trong đó R là ma trận bậc (3 × K) có tất cả các phần tử có giá trị
tuyệt đối nhỏ hơn 1. Ma trận unitary UPMNS được gọi là ma trận trộn
Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS) [30], hoàn toàn xác định
được từ thực nghiệm về dao động neutrino.


11

Các ma trận khối lượng của các neutrino được viết như sau:
ˆ N = diag(mn , mn , ..., mn ),
M
4
5
K+3
†
†
∗
∗
,
= UPMNS
m
ˆ ν UPMNS
mν = UPMNS

diag(mn1 , mn2 , mn3 )UPMNS

(1.13)
trong đó mni là khối lượng vật lý của tất cả các neutrino trong mô hình,


c12 c13
s12 c13
s13 e−iδ


iδ
iδ

UPMNS = 
−s
c
−
c
s
s
e
c
c
−
s
s
s
e
s

c
12 23
12 23 13
12 23
12 23 13
23 13 

s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ c23 c13
× diag(1, eiα , eiβ ),

(1.14)

và cab ≡ cos θab , sab ≡ sin θab . Trong trường hợp phân bậc thông thường,
các giá trị hợp lý nhất của các tham số dao động neutrino thu được từ
thực nghiệm là:
∆m221 = 7.50 × 10−5 eV2 ,

∆m231 = 2.457 × 10−3 eV2 ,

s212 = 0.304, s223 = 0.452, s213 = 0.0218,

(1.15)

trong đó ∆m2a1 = m2νa − m2νa (a = 2, 3). Các tham số khác được xác định
bởi δ = α = β = 0.
Điều kiện áp dụng cơ chế seesaw sinh khối lượng các neutrino thế hệ
là |MD |

|MN |, trong đó |MD | và |MN | ký hiệu cho thang giá trị của

MD và MN . Các hệ thức liên hệ quan trọng giữa các tham số ban đầu
của mô hình với các tham số khối lượng và ma trận trộn neutrino trong
cơ sở vật lý là [19],
R∗
ˆNV †
V ∗M

MD MN−1 , mν −MD MN−1 MDT ,
1
1
= MN + RT R∗ MN + MN R† R.
2
2

(1.16)

Hệ thức liên hệ thứ hai trong (1.16) chính là hệ thức seesaw giải thích
tính cực nhỏ của khối lượng các neutrino hoạt động, nếu MN đặc trưng


12

cho thang khối lượng neutrino nặng đủ lớn. Ma trận MD có thể được
tham số hóa theo ma trận ξ (K × 3), chỉ cần thỏa mãn điều kiện duy
nhất ξ T ξ = I3 [17, 19, 6]. Biểu thức tham số hoá cụ thể là:
MDT = iUN∗ MNd

1/2

†

,
ξ (m
ˆ ν )1/2 UPMNS

(1.17)

trong đó UN là một ma trận chéo MN , UNT MN UN = MNd
= diag(M1 , M2 , ..., MK ). Cách tham số hoá này được đưa ra lần đầu
trong [17], thường gọi là tham số hoá Casas-Ibarra, rất tiện lợi cho việc
khảo sát các mô hình seesaw theo trạng thái và khối lượng vật lý của
các neutrino.
Mô hình seesaw được đề cập trong [4, 6] là trường hợp riêng xét ở
trên với K = 3 neutrino phân cực phải, NR,I ∼ (1, 1, 0) với I = 1, 2, 3.

1.3

Mô hình inverse seesaw

Lagrangian tương tác đặc trưng cho ISS có dạng sau:
1
c
LISS = −YνaI La φνRI − MRIJ (νRI )c XJ − µIJ
X XI XJ + h.c.,
2

(1.18)

trong đó La và φ được định nghĩa như ở các mục trên, MR là ma trận
khối lượng (3×3) bảo toàn số lepton, µX là ma trận khối lượng (3×3) vi
phạm số lepton nên có thể nhận giá trị nhỏ. Các chỉ số I, J = 1, 2, ...K

tương ứng với 2K neutrino mới. Như vậy khác với MSS, mô hình ISS
tách các đơn tuyến neutrino mới thành 2 loại. Thứ nhất là các νRI có
số lepton L(νR ) = 1 chỉ xuất hiện trong các số hạng bảo toàn số lepton.
Ngược lại XI phân cực phải và có L(X) = −1, cho phép xuất hiện số
hạng khối lượng nhỏ vi phạm số lepton. Để so sánh với các kết quả khảo
sát gần đây[7],trong phần này chúng tôi xét K = 3. Ma trận khối lượng
neutrino được thiết lập theo các biến đổi sau.


13

Số hạng khối lượng liên hệ với neutrino hoạt động là:
−YνaI La φνRI

→

−YνaI (νaL , eaL )

√v
2

0

νRI

v
v
= −YνaI (νaL √ )νRI = (− √ YνaI )νaL νRI
2
2

= −(νaL mDaI νRI ) = −(νL mD νR ),
trong đó mDaI =

√v Y aI .
2 ν

Số hạng khối lượng còn lại là:

IJ
c )X
−MRIJ (νRI
J = −MR NIR XJ = −NIR MR X
c )M X
= −NR MR X = −(νRI
R
1
= − X c µX X.
2

1
c
− µIJ
X XI XJ
2
Từ đây chúng tôi thu được:

1
L = −(νL mD νR ) − (νR )c MR X − X c µX X + h.c.
2 


(νL )c


1

= − (νL , (νR )c , X c )MISS 
ν
 R ,
2
X

(1.19)

với MISS là ma trận khối lượng neutrino thoả mãn


O mD O


T
,
MISS = 
m
O
M
R
 D

T
O mR µX

trong đó O là ma trận không bậc (3 × 3).
Các tham số trong mô hình ISS liên hệ với các định nghĩa MD và MN
phần thảo luận chung như đã xét ở trên theo các hệ thức
MD = (mD ,

O),

MN =

O

MR

MRT µX

,

(1.20)


14

trong đó O là ma trận (3 × 3) với tất cả các phần tử đều bằng 0. Từ
định nghĩa của ma trận nghịch đảo, MN−1 MN = MN MN−1 = I6 , ta có
MN−1

−M −1

=

−1

MRT

MR−1

,

0

(1.21)

T
trong đó M = MR µ−1
X MR [7]. Từ (1.16) ta tìm được [19]

R∗ = MD MN−1 =

−mD M −1 ,

mν = −MD MN−1 MDT = mD MRT

−1

mD MRT

−1

,

µX MR−1 mTD = mD M −1 mTD .
(1.22)

Hai biểu thức này trùng với kết quả cho trong [7, 17]. Ma trận mD có
thể được tham số hoá theo hệ thức Casas-Ibarra như sau:
∗
mTD = UM
diag( M1 ,

M2 ,

M3 )ξ

m
ˆ ν UP† M N S ,

(1.23)

†
∗
trong đó UM thỏa mãn M = UM
diag(M1 , M2 , M3 )UM
và ξ là một ma

trận trực giao phức thỏa mãn ξ ξ T = I3 . Ma trận trộn U ν có bậc (9 × 9).
Để so sánh và xây dựng liên hệ giữa LFVHD trong các mô hình MSS
và ISS, chúng tôi chỉ xét các trường hợp đơn giản. Cụ thể, chúng tôi
chọn ξ = UN = I3 trong MSS, dẫn đến các biểu thức đơn giản của các
phương trình trong (1.16)
−1/2

MNd = MN , R = −iUPMNS m
ˆ 1/2
MNd
ν

ˆ N = MNd + m
, V = I3 , M
ˆ ν.
(1.24)

Trong mô hình ISS, từ (1.23) ta thấy rằng mD được tham số hóa theo
khá nhiều tham số tự do, do đó chúng tôi có thể chọn µX = µX I3 .
Đây là tham số quan trọng phân biệt các đặc điểm quan trong của
hai mô hình MSS và ISS. Ngoài ra chúng tôi cũng chỉ xét trường hợp
ˆ R = diag(MR , MR , MR ) và ξ = I3 . Với điều kiện
đơn giản MR = M
1

|µX |

2

3

|MR | chúng tôi thu được
UM = I3 ,

MNd =

ˆR
M
0

0
,
ˆR
M

V

1
√
2

−iI3 I3
iI3

I3

. (1.25)


15

ˆ R (ISS) và M
ˆ N (SS) đều
Ta có thể thấy rằng hai ma trận khối lượng M
có vai trò là thang khối lượng của neutrino mới. Vì vậy, chúng tôi đồng
nhất chúng là khối lượng của các neutrino trong cả hai mô hình. Sự khác

nhau của hai mô hình lúc này là ma trận trộn V trong (1.25) và µX chỉ
đặc trưng cho ISS. Tham số này µX xuất hiện ở ma trận con thứ hai
của ma trận trộn R được cho trong (1.22). Từ đây chúng tôi tìm được
hệ thức liên hệ đơn giản giữa các phần tử lớn nhất của các ma trân R
trong hai mô hình seesaw đang xét là:
RISS ∼

mn6 MSS
R ,
µX

(1.26)

trong đó mn6 lúc này được xem là khối lượng đặc trưng cho neutrino
mới, mn4 ≤ mn5 ≤ mn6 . Liên hệ (1.26) là lý do chính để giải thích tại
sao tỉ lệ rã nhánh của LFVHD được dự đoán bởi mô hình ISS có giá trị
lớn hơn rất nhiều so với các giá trị dự đoán bởi MSS.
Trong chương tiếp theo chúng tôi thiết lập các biểu thức cụ thể tính
biên độ quá trình rã LFVHD trong hai chuẩn ’t Hooft Feynman và chuẩn
unitary và chỉ ra sự thống nhất giữa hai cách tính này.


16

Chương 2
Biểu thức giải tích cho biên độ
LFVHD
2.1

Bề rộng và tỉ lệ rã nhánh

Lagrangian hiệu dụng của quá trình LFVHD được viết như sau:
LLF V = h (∆L µPL τ + ∆R µPR τ ) + h.c,
trong đó ∆L,R là các hệ số vô hướng thu được từ các đóng góp bổ đính
bậc cao. Bề rộng rã nhánh là
Γ(h → µτ ) ≡ Γ(h → µ− τ + ) + Γ(h → µ+ τ − )
trong đó mh

mh
|∆L |2 + |∆R |2 ,
8π
(2.1)

m2 , m3 và m2 , m3 là khối lượng của muon và tau tương

ứng. Các xung lượng ngoài thoả mãn p2a = m2a (a = 2, 3) và p2h ≡
(p2 + p3 )2 = m2h , mh = 125 GeV. Trong luận văn này ∆L,R được tính ở
mức một vòng trong hai chuẩn unitary và chuẩn ’t Hooft Feynman.
Bề rộng rã nhánh toàn phần trong SM là Γtotal = 4.1.10−3 , dẫn đến
biểu thức tỉ lệ rã nhánh LFVHD là:
Br(h → µτ ) =

Γ(h → µτ )
.
Γtotal

(2.2)


17

2.2

Chuẩn ’t Hooft Feynman

2.2.1

Giản đồ Feynman và biểu thức tính biên độ

Hình 2.1: Giản đồ Feynman trong chuẩn ’t Hooft Feynman

Đồng nhất k = a, m = b, ni = νi , nj = νj . Đóng góp toàn phần vào
i
i
biên độ rã LFVHD viết được như sau: ∆L,R = 10
i=1 FL,R , trong đó FL,R
là các đóng góp riêng của giản đồ thứ i trong hình 2.1. Dựa vào các
tính toán đã có trong [13], ta thu được kết quả biểu diễn theo các hàm
Passarino-Veltman (PV) được định nghĩa trong phụ lục A. Biểu thức
cho các đóng góp cụ thể là:
(1)
FL

g 3 ma
= −
64π 2 m3W
×
+

(1)

FR

Cij m2nj

∗
Bai Bbj
i,j=1
(12)

B0

+ m2W C0 − m2a m2nj + m2b m2ni − 2m2ni m2nj C1

(12)

∗
mni mnj Cij
B0

= −
×

K+3

g 3 mb
64π 2 m3W

Cij m2ni

+ m2W C0 + m2ni + m2nj − m2a − m2b C1

,

K+3
∗
Bai Bbj
i,j=1
(12)

B0

+ m2W C0 + m2a m2nj + m2b m2ni − 2m2ni m2nj C2


18

(2)

FL

∗
mni mnj Cij
B0

=

g 3 ma
64π 2 m3W

×
(2)

FR

=
×

(3)

FL

(4)

FL

(4)

FR

=

(5)

(6)

=

(7)

=

FL

(9)
FL

(8)

FL

(8)

FR

(10)

FL

g3m

∗
Bai Bbj
× 2m2W
i,j=1

=

∗
Bai Bbi

4m4W C1 ,

(3)

FR =

i=1
K+3

g 3 mb
64π 2 m3W

K+3
∗
Bai Bbi
−4m4W C2 ,
i=1

i=1
K+3

b

∗ 2
mW
Bai Bbi
i=1

+ 3m2ni C0 + 2m2h − 2m2b − m2a C1 + m2ni + 2m2b C2 ,
K+3

∗ 2
Bai Bbi
mW
i=1

+ 3m2ni C0 − m2ni + 2m2a C1 − 2m2h − m2b − 2m2a C2 ,

g 3 mb
64π 2 m3W

g 3 ma
64π 2 m2W

= −

(2.3)

∗
Bai Bbi
× m2W −m2ni C0 + 2m2b − m2ni C1 − m2b C2 ,

K+3
∗ 2
mW −m2ni C0 + m2a C1 − 2m2a − m2ni C2 ,
Bai Bbi

i=1
K+3
3
g ma

∗
× m2h m2ni (C0 − C1 )
−
Bai Bbi
64π 2 m3W i=1
K+3
g 3 mb
∗
Bai Bbi
× m2h m2ni (C0 + C2 )
−
64π 2 m3W i=1
K+3
2
2
g 3 ma
∗ (D − 2)mW mb (1)
B
B
B1 ,
ai
bi
64π 2 m3W i=1
(m2a − m2b )

= −

=

∗

+ m2ni + m2nj C2 + mni mnj Cij
(C0 + 2C2 ) ,

K+3

64π 2 m3W

(12)
B0

∗
− m2ni + m2nj C1 + mni mnj Cij
(C0 − 2C1 ) ,

K+3

g 3 ma
64π 2 m3W

(12)
B0

= −

=

FR

i,j=1

g 3 ma
= −
64π 2 m3W

(6)

FL

g 3 ma
64π 2 m3W

,

∗
Bai Bbj
× 2m2W

Cij m2ni C0

= −

×
FR

g 3 mb
64π 2 m3W

+ m2W C0 − m2ni + m2nj − m2a − m2b C2

K+3

Cij m2nj C0

= −

×
(5)
FL

(12)

+

K+3
∗
Bai Bbi
i=1
K+3

g 3 ma
64π 2 m3W
g 3 mb
64π 2 m3W

g 3 ma
64π 2 m3W

(D − 2)m2W m2b (2)
B1 ,
(m2a − m2b )

∗
Bai Bbi
i=1
K+3
∗
Bai Bbi

i=1
K+3
∗
Bai Bbi
i=1

+ m2b C2 ,
− m2a C1 ,
(7)

FR =
(9)

FR =

(2.4)

ma (7)
F ,
mb L
ma (9)
F ,

mb L

(2.5)

m2b
(1)
(1)
2m2ni B0 − m2ni + m2a B1 ,
(m2a − m2b )
(m2a

1
(1)
(1)
m2ni m2a + m2b B0 − m2a m2ni + m2b B1 ,
2
− mb )

1
(2)
(2)
m2ni m2a + m2b B0 + m2b m2ni + m2a B1 ,
(m2a − m2b )


19

(10)

FR

g 3 mb
64π 2 m3W

=

K+3
∗
Bai Bbi
i=1

m2a
(2)
(2)
2m2ni B0 + m2ni + m2b B1 ,
(m2a − m2b )

ν∗
∗
trong đó Bai = Uai
, Bbj
= Ubjν , Cij =

3
ν ν∗
c=1 Uci Ucj ,

(2.6)

và D = 4 − 2 là

số chiều. Các công bố trước đây chưa tính cho trường hợp giản đồ 1. Vì
vậy phần tính giản đồ này được cho ở phụ lục.
2.2.2

Kiểm tra khử phân kỳ

Theo ký hiệu phân kỳ định nghĩa ở phụ lục A, phân kỳ trong các đóng
góp vào ∆L tương ứng với các giản đồ cụ thể viết được như sau:
(1)
Div[∆L ]

g 3 ma
= −
64π 2 m3W
g 3 ma
= −
64π 2 m3W

K+3
ν∗ ν
Uai
Ubj Cij m2nj ∆
i,j=1
K+3

3
ν∗ ν
Uai
Ubj

c=1

i,j=1

g 3 ma
= −
64π 2 m3W

K+3

g 3 ma
= −
64π 2 m3W

K+3

g 3 ma
= −
64π 2 m3W

K+3

Uciν Ucjν∗ m2nj ∆

3

K+3

Ubjν Ucjν∗ m2nj
j=1 c=1

ν∗ ν
Uai
Uci ∆
i=1,3

3
ν∗ 2
Ubjν Uaj
mnj ∆

j=1 c=1
3
ν∗ 2
Ubiν Uai
mni ∆ ,
i=1 c=1

Div[∆L ] = 0,

(2)

Div[∆L ] = 0,

(3)

Div[∆L ] = 0,

(6)

Div[∆L ] = 0,

(7)

Div[∆L ] = 0,

Div[∆L ] = 0,
(8)
Div[∆L ]

g 3 ma
= −
64π 2 m3W
g 3 ma
= −
64π 2 m3W

K+3

(4)

(5)

Div[∆L ] = 0,

(9)

(2.8)

ν∗ ν

Uai
Ubi

m2b
2
2
2 ∆
2m
∆
−
(m
+
m
n
n
a)
i
i
m2a − m2b
2

ν∗ ν
Uai
Ubi

m2b
m2a − m2b

i=1
K+3

i=1

(2.7)

3
∆
2

,

(2.9)


20

(10)
Div[∆L ]

g 3 ma
=
64π 2 m3W
g 3 ma
=
64π 2 m3W

K+3
ν∗ ν
Uai
Ubi
i=1

K+3
ν∗ ν
Uai
Ubi
i=1

m2a

1
∆
(m2a + m2b )m2ni ∆ − m2b m2ni
2
− mb
2

1
m2a − m2b

m2a m2ni ∆ + m2b m2ni

∆
2

.(2.10)

Ta có
(8)
Div[∆L ]

+

(10)
Div[∆L ]

g 3 ma
=
64π 2 m3W

K+3
ν∗ ν
Uai
Ubi m2ni ∆ ,
i=1

Nên
(1)

(8)

(10)

Div[∆L ] + Div[∆L ] + Div[∆L ] = 0.

(2.11)

Div[∆L ] = 0.

(2.12)

Vậy

Tương tự ta chứng minh được: Div[∆R ] = 0.

2.3

Chuẩn unitary

2.3.1

Giản đồ Feynman và biểu thức tính biên độ

Xét trong chuẩn unitary, các giản đồ Feynman đóng góp vào quá trình
rã LFVHD được biểu diễn trong hình 2.2.
pa e −
a
h

h

k ni
e+
b

W±

e−
a

W±

e−
a

ni

ni

W±

(pa + pb )

e−
a
h

W±

h

e+
b

nj

e+
b

ni

W±

pb
(a)

e+
b
(b)

(c)

Hình 2.2: Giản đồ Feynman trong chuẩn unitary.

(d)