Rã Higgs trong mô hình chuẩn

rã higgs trong mô hình chuẩn
Ngày 9 tháng 12 năm 2013
Mục lục
0.1 Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . 7
0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . 7
0.5 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . 7
0.6 Giả thuyết khoa học . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Lý thuyết trường chuẩn 9
1.1 Nhóm đối xứng chuẩn là nhóm Abel (nhóm đối
xứng chuẩn giao hoán) . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Tại sao gọi là nhóm Abel? . . . . . . . . . 9
1.1.2 Khảo sát nhóm đối xứng điện động lực U(1) 9
1.2 Nhóm đối xứng chuẩn nhóm không Abel . . . . . 13
1.2.1 Thế nào là nhóm đối xứng chuẩn không Abel? 13
1.2.2 Khảo sát lý thuyết trường bất biến dưới
phép biến đổi SU(2) . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Phá vỡ đối xứng tự phát - Cơ chế Higgs . . . . . 15
1.3.1 Phá vỡ đối xứng tự phát . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Cơ chế Higgs [8] . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Mô hình chuẩn 25
2.1 Tại sao chọn nhóm SU(2)
L

U(1)
Y
để thống nhất
tương tác điện yếu? . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Sắp xếp hạt của mô hình chuẩn . . . . . . . . . . 26
1

2.2.1 Đối với các lepton . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 Đối với các quark . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Lagrangian tương tác . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Phổ khối lượng Higg và tương tác của các
hạt Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.2 Tương tác Higgs - tự tương tác Higgs . . . 32
2.4 Tính phổ khối lượng hạt gauge bosons -Tương tác
Higgs-gauge bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Phổ khối lượng của hạt gauge bosons . . . 33
2.4.2 Tự tương tác hạt Gauge . . . . . . . . . . 36
2.4.3 Khối lượng leptons và quarks . . . . . . . 40
3 Rã Higgs 45
3.1 Higgs rã ra Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Higgs rã ra vector boson có khối lượng . . . . . . 47
3.3 Higgs rã ra các hạt véc tơ không khối lượng . . . 49
3.4 Tính tỉ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.1 Khảo sát khối lượng của Higgs lớn hơn 300
GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.2 Khảo sát khối lượng của Higgs nhỏ hơn 150
GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4.3 Khảo sát khối lượng của Higgs lớn hơn 350
GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 So sánh thực nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Kết luận của luận văn 54
2
Lời cảm ơn
Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn và lòng biết ơn chân thành
đến TS. Đỗ Thị Hương - người đã rất tận tình chỉ dạy, giúp đỡ
tôi, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng và là người trực
tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin được

gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo ở phòng Sau đại học, các thầy
cô giáo trong khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các
giáo sư, tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những
kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên
cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm
ơn các bạn học viên ở lớp cao học K15 - chuyên ngành Vật lí lí
thuyết va Vật lí toán đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện
cho tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành, nhưng thời gian nghiên
cứu có hạn nên luận văn của tôi khó tránh khỏi những thiếu sót.
Tôi rất mong nhận được ý kiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các
thầy, cô giáo, các bạn học viên và những người quan tâm đến đề
tài này.
Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2013
Tác giả
3
Lời cam đoan
Tôi tên là Đinh Song Phước, học viên cao học khóa 2011 - 2013
chuyên ngành Vật lí lí thuyết và Vật lí toán - Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên
cứu trong luận văn của tôi với đề tài: "Rã Higgs trong mô hình
chuẩn" là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi
cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận
văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận
văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Nếu có điều gì không trung thực
trong luận văn của tôi, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước
hội đồng khoa học.
Hà Nội, ngày 05 tháng 12 năm 2013
Tác giảc
4

Mở đầu
0.1 Lí do chọn đề tài
Mô hình chuẩn được ra đời từ sự tổng kết lại những điều đã biết
lúc bấy giờ về hạt cơ bản như đòi hỏi của một lí thuyết thống
nhất. Các ưu nhược điểm của mô hình chuẩn về vật lý hạt cơ
bản đã được trình bầy kĩ trong tài liệu [1]. Cụ thể: Khi mới xây
dựng, mô hình chuẩn là một lí thuyết mới, đứng trước rất nhiều
thách thức, bởi vì nó còn tiên đoán rất nhiều những vấn đề vật
lí mới đang cần được thực nghiệm kiểm tra. Trong suốt một thời
gian dài thử thách, mô hình chuẩn luôn tỏ ra là một lý thuyết
đầy thuyết phục, vì nó không những mô tả đầy đủ các hiện tượng
đã biết mà còn đưa ra hàng loạt các tiên đoán để rồi được xác
định bằng thực nghiệm với độ chính xác cao. Tháng 11 năm 1974,
B. Richter và S. Ting dẫn đầu hai nhóm nghiên cứu độc lập đã
công bố vào cùng một ngày rằng họ đã khám phá ra một hạt
mới. Ting và các cộng sự ở phòng thí nghiệm Brookhaven gọi
hạt này là hạt J. Trong khi Richter và nhóm của mình ở SLAC
gọi nó là hạt ψ, ngày nay nó thường được gọi là hạt J/ψ là một
meson phức hợp của quark charm (c) và phản quark cấu thành
từ quark charm (c) và phản quark up (u). Trong các sự kiện
này có một sự phù hợp hết sức kỳ diệu giữa những tiên đoán lý
thuyết và các kết quả thực nghiệm. Đây là bằng chứng củng cố
cho mô hình chuẩn. Năm 1976, M. Perl cùng nhóm nghiên cứu
của mình ở SLAC tìm thấy hạt lepton tau (τ). Đây là hạt nằm
trong thế hệ thứ 3 được tìm thấy đầu tiên, một kết quả hoàn
hảo nằm ngoài sự mong đợi vì thí nghiệm này hoàn toàn không
nhằm mục đích đó. Năm 1977, L. Lederman và các cộng sư ở
Fermilab phát hiện một quark mới được đặt tên là quark bottom
(b). Vì mô hình chuẩn cho biết các quark có mặt trong mỗi thế
hệ theo từng cặp, nên việc khám phá quark (b) tạo thêm động

lực và niềm tin cho việc tiếp tục tìm quark thứ sáu, quark top
(t). Năm 1978, C. Prescott và R. Taylor quan sát tương tác yếu
trong tán xạ của electron với hạt nhân deuterium đã chứng minh
5
sự vi phạm bảo toàn tính chẵn lẻ. Thực nghiệm này đã xác nhận
điều mà mô hình chuẩn trước đây đã tiên đoán. Năm 1979, bằng
chứng thuyết phục về các gluon bức xạ từ quark hoặc phản quark
được phát hiện ở PETRA - thiết bị tạo dòng bắn phá trong dự
án DESY tại Harmburg; giả thiết tích mùi cũng được xác nhận
bởi các số liệu thực nghiệm về tốc độ rã của quá trình π
0
→ γγ
qua một vòng kín quark về tốc độ sinh hadron trong phản ứng
hủy. Đặc tính tiệm cận tự do đã được kiểm nghiệm qua các tán
xạ proton - phản proton tại Fermilab. Đặc biệt năm 1983 trong
hai thí nghiệm trên máy gia tốc synchrocyclotron ở CERN, trong
đó sử dụng kỹ thuật mới của C. Rubbia và S. V. Meer cho va
chạm proton và phản proton, các boson truyền tương tác W
±
và
Z
0
được tìm thấy với khối lượng phù hợp với dự đoán của mô
hình chuẩn. Gần đây, năm 1995 sự kiện được mong đợi đã đến
sau 18 năm săn lùng trên nhiều máy gia tốc, top quark (t) cuối
cùng cũng được tìm thấy trong thực nghiệm ở máy gia tốc CDF
và trong thực nghiệm của dự án DO ở Fermilab. Tuy nhiên giá
trị khối lượng 175 GeV của nó là không hề mong đợi. Không ai
hiểu được tại sao khối lượng của nó lại quá khác biệt so với năm
quark kia đến như vậy. Mặc dù vậy, với những mô tả thành công

bức tranh hạt cơ bản và các tương tác cùng những đóng góp to
lớn của nó đối với sự phát triển của vật lí hạt, mô hình chuẩn đã
được công nhận rộng rãi. Cái tên "Mô hình chuẩn" của vật lí hạt
xứng đáng nói lên vai trò của nó. Như vậy có thể kết luận rằng
các quan sát thực nghiệm cho kết quả phù hợp với mô hình chuẩn
ở độ chính xác rất cao. Mô hình chuẩn cho ta một cách thức mô
tả tự nhiên từ kích thước vi mô cỡ 10
−16
cm cho tới các khoảng
cách vũ trụ10
28
cm và được xem là một trong những thành tựu
lớn nhất của loài người trong việc tìm hiểu tự nhiên. Hiện nay
mô hình chuẩn đã trở thành một trong những cơ sở chính trong
vật lý hạt cơ bản. Các tương tác thông dụng (tương tác mạnh,
tương tác yếu và tương tác điện từ) đã biết được mô tả thành
công bởi mô hình này. Mô hình chuẩn là sự kết hợp của mô hình
thống nhất điện yếu do Glashow Weinberg Salam đề xuất năm
1967 với lý thuyết tương tác mạnh QCD năm 1972. Mô hình này
xây dựng trên nhóm chuẩn SU(3)
C

SU(2)
L

U(1)
Y
. Trong
6
mô hình này các hạt sinh khối lượng thông qua cơ chế Higgs.

Chính vì vậy trong mô hình xuất hiện các hạt vô hướng có khối
lượng gọi là hạt Higgs. Mô hình chuẩn có rất nhiều các kết quả
tiên đoán phù hợp với thực nghiệm như đã trình bày ở trên. Hầu
hết các hạt xuất hiện trong mô hình chuẩn đã được tìm kiếm tại
máy gia tốc năng lượng cao tại Thụy Sỹ, loại trừ hạt Higgs. Các
nhà khoa học đã mất một thời gian dài để tìm kiếm chúng. Tuy
nhiên, đến ngày 4 tháng 7 năm 2012 mới có thông tin tìm kiếm
ra chúng tại máy gia tốc năng lượng cao tại Thụy Sỹ. Các nhà
khoa học tại đó đã công bố tìm ra hạt có tính chất giống như
hạt Higgs trong mô hình chuẩn. Tuy nhiên, các nhà khoa học vẫn
chưa khẳng định đó là hạt Higgs mà chúng ta mong đợi. Nội dung
của luận văn nghiên cứu các quá trình "rã Higgs trong mô hình
chuẩn".
0.2 Mục đích nghiên cứu
Chúng tôi sẽ nghiên cứu về cách xây dựng mô hình chuẩn, khai
triển các tương tác liên quan đến hạt Higgs. Từ các tương tác, ta
xác định được quá trình rã Higgs. Chúng tôi sẽ tính lại các tỷ số
nhánh cho từng quá trình rã và khớp với kết quả thực nghiệm.
0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Chúng tôi nghiên cứu quá trình rã Higgs trong mô hình chuẩn.
0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Hạt Higgstrong mô hình chuẩn.
0.5 Phương pháp nghiên cứu
- Quy tắc Feynman
- Lý thuyết trường chuẩn.
7
- Chương trình toán.
- ứng dụng Mathematica.
0.6 Giả thuyết khoa học
Từ giả thiết hạt Higgs xuất hiện trong mô hình, ta nghiên cứu các

kênh rã trong lý thuyết và khớp với thực nghiệm của quá trình
rã Higgs. Trên cơ sở đó, tác giả có thể áp dụng cho các quá trình
tìm kiếm Higgs trong các mô hình mở rộng.
8
Chương 1
Lý thuyết trường chuẩn
1.1 Nhóm đối xứng chuẩn là nhóm Abel (nhóm
đối xứng chuẩn giao hoán)
1.1.1 Tại sao gọi là nhóm Abel?
Nhóm đối xứng chuẩn giao hoán là nhóm gồm các phép biến đổi
hoàn toàn có tính chất giao hoán. Tức là đại số của nhóm bao
gồm các vi tử và các vi tử đó thỏa mãn hệ thức giao hoán như:
[q, q

] = 0. Ví dụ, lý thuyết điện động lực, mô tả tương các hạt
mang điện tương tác với nhau nhờ các photon trung hòa về điện
và các photon không tự tương tác với nhau, hoàn toàn được mô
tả bởi nhóm đối xứng chuẩn giao hoán U(1). Chúng ta sẽ khảo
sát kỹ lý thuyết này trong phần sau.
1.1.2 Khảo sát nhóm đối xứng điện động lực U(1)
Nhóm đối xứng của điện động lực là nhóm U(1), mỗi yếu tố của
nhóm U(1)có dạng tổng quát như sau:
g = e
−iqα(x)
, (1.1)
trong đó, q: là điện tích của hạt đang khảo sát và α: là tham số
biến đổi và có thể phụ thuộc hoặc độc lập vào tọa độ. Cụ thể,
chúng ta quy ước.
• Nếu α phụ thuộc vào tọa độ x thì phép biến đổi là phép biến
đổi định xứ.

9
• Nếu α không phụ thuộc vào tọa độ x thì phép biến đổi là là
phép biến đổi toàn cục.
Vậy, đối với lý thuyết điện động lực học thì α có phụ thuộc vào
tọa độ x không?
Để trả lời câu hỏi này ta xét Lagrangian mô tả điện động lực học
vô hướng. Giả sử nhóm đối xứng khảo sát là nhóm U(1) toàn cục.
L = (∂
µ
φ)
+
(∂
µ
φ) −m
2
φ
+
φ + λ(φ
+
φ)
2
(1.2)
Vì dưới phép biến đổi U(1) thì:
φ → φ

= e
−iqα
φ (1.3)
φ
+

→ φ
+
= e
iqα
φ
+
(1.4)
φ
+
φ → φ
+
φ

= e
iqα
φ
+
e
−iqα
φ = φ
+
φ. (1.5)
Mặt khác, dưới phép biến đổi U(1) toàn cục, đạo hàm của trường
vô hướng biến đổi như sau:
∂
µ
φ → ∂
µ
φ


=
∂
µ
(e
−iqα
φ) = ∂
µ
(e
−iqα
)φ + e
−iqα
∂
µ
φ = e
−iqα
∂
µ
φ (1.6)
(∂
µ
φ)
+
= ∂
µ
φ
+
→ ∂
µ
(φ
+

) = e
iqα
∂
µ
φ
+
(1.7)
(∂
µ
φ)
+
(∂
µ
φ) → (∂
µ
φ
+
)(∂
µ
φ

) = (∂
µ
φ
+
)(∂
µ
φ) (1.8)
Từ các phương trình (1.5), (1.6), (1.7), (1.8) ta nhận thấy La-
grangian mô tả bởi phương trình (1.2) là bất biến với phép biến

đổi U(1) toàn cục. Tuy nhiên, ta không thấy sự xuất hiện của
photon, hạt truyền tương tác điện từ. Hơn nữa, lý thuyết QED
mô tả tương tác hạt mang điện với hạt mang điện với photon.
Điều này chứng tỏ QED phải được mô tả bởi U(1) định xứ.
Tiếp theo, chúng ta khảo sát lý thuyết điện động lực học vô
hướng bất biến dưới phép biến đổi U(1) định xứ.
Dưới phép biến đổi U(1) thì các trường sẽ biến đổi như sau.
10
φ → φ

= e
−iqα(x)
φ (1.9)
φ
+
→ φ
+
= e
iqα(x)
φ
+
(1.10)
φ
+
φ → φ
+
φ

= e
iqα(x)

φ
+
e
−iqα(x)
φ = φ
+
φ (1.11)
Đạo hàm của các trường biến đổi dưới phép biến đổi U(1) định
xứ như sau:
+ ∂
µ
φ → ∂
µ
φ

= ∂
µ
e
−iqα(x)
φ = −iq∂
µ
α(x)e
−iqα(x)
φ + e
−iqα(x)
∂
µ
φ
+ (∂
µ

φ)
+
→ ∂
µ
φ
+
= ∂
µ
(e
iqα(x)
φ
+
) = iq∂
µ
α(x)e
iqα(x)
φ
+
+e
iqα(x)
∂
µ
φ
+
Khi đó:
+ (∂
µ
φ)
+
(∂

µ
φ) →
e
iqα(x)
(∂
µ
φ
+
+ iq∂
µ
α(x)φ
+
)e
−iqα(x)
(∂
µ
φ −iq∂
µ
α(x)φ) =
= (∂
µ
φ
+
+ iq∂
µ
α(x)φ
+
)(∂
µ
φ −iq∂

µ
α(x)φ) =
(∂
µ
φ
+
)(∂
µ
φ)+iq∂
µ
α(x)(∂
µ
φ)φ
+
−iq∂
µ
α(x)(∂
µ
φ
+
)φ+q
2
∂
µ
α(x)∂
µ
α(x)φφ
+
= (∂
µ

φ)
+
(∂
µ
φ).
Chứng minh ở trên, chứng tỏ (∂
µ
φ)
+
(∂
µ
φ) không bất biến với
phép biến đổi của nhóm đối xứng U(1) định xứ. Để xây dựng số
hạng chứa đạo hàm của các trường vô hướng và đòi hỏi bất biến
dưới phép U(1) định xứ thì ta cần phải thay đạo hàm thường ∂
µ
bằng đạo hàm hiệp biến D
µ
.
Cụ thể: D
µ
φ = (∂
µ
−iqA
µ
)φ và đòi hỏi D
µ
φ biến đổi như toán
tử trường φ. Tức là Lagrangian mô tả điện động lực học vô hướng
phải có dạng như sau:

L
QED
= (D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) −m
2
φ
+
φ + λ(φ
+
φ)
2
= (∂
µ
φ
+
+ iqA
µ
φ
+
)(∂
µ
φ −iqA
µ
φ) −m
2

φ
+
φ + λ(φ
+
φ)
2
= ∂
µ
φ
+
∂
µ
φ −iqA
µ
φ∂
µ
φ
+
+ iqA
µ
φ
+
∂
µ
φ + q
2
A
µ
A
µ

φ
+
φ −m
2
φ
+
φ +
λ(φ
+
φ)
2
.
Ta thấy, trong phương trình trên đã xuất hiện tương tác φ
+
φA
µ
và tương tác φ
+
φA
µ
A
µ
. Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm hiểu quy luật
11
biến đổi của trường chuẩn A
µ
. Từ điều kiện, D
µ
φ biến đổi giống
như φ, ta có:

(D
µ
φ) → (D
µ
φ)

= e
−iqα(x)
D
µ
φ (1.12)
(D
µ
φ)
+
→ (D
µ
φ)
+
= e
iqα(x)
D
µ
φ
+
(1.13)
Từ quy luật biến đổi: (D
µ
φ) → (D
µ

φ)

= e
−iqα(x)
D
µ
φ tìm quy
luật biến đổi của A
µ
. Cụ thể:
∂
µ
φ → (∂
µ
φ)

= −iqe
−iqα(x)
∂
µ
α(x)φ + e
−iqα(x)
∂
µ
φ (1.14)
và
D
µ
φ → (D
µ

φ)

= (∂
µ
− iqA

µ
)φ

=
(∂
µ
φ)

− iqA

µ
e
−iqα(x)
φ =
−iqe
−iqα(x)
∂
µ
[α(x)]φ + e
−iqα(x)
∂
µ
φ −iqA


µ
e
−iqα(x)
φ =
e
−iqα(x)
(−iq∂
µ
α(x) + ∂
µ
− iqA

µ
)φ. (1.15)
Mặt khác,
D
µ
φ = e
−iqα(x)
(∂
µ
− iqA
µ
)φ. (1.16)
Nếu so sánh phương trình (1.15) và (1.16), ta rút ra quy luật biến
đổi của trường chuẩn như sau:
A

µ
= A

µ
− ∂
µ
α(x). (1.17)
Ta định nghĩa: F
µν
= ∂
µ
A
ν
−∂
ν
A
µ
. Dưới phép biến đổi chuẩn,
ta có quy luật biến đổi của ten sơ cường độ trường như sau:
F
µν
→ (F
µν
)

= e
−iqα(x)
F
µν
e
iqα(x)
. (1.18)
Vì F

µν
biến đổi như trên, do đó ta có:
12
F
µν
F
µν
→ F

µν
F
µν
= F
µν
F
µν
(1.19)
Lagrangian bất biến A
µ
là:
L
A
µ
= (
1
4
F
µν
F
µν

)
n
(1.20)
Hơn nữa, điều kiện tái chuẩn hóa, yêu cầu n < 2 và n là số
nguyên nên ta lấy n = 1. Tức là, Lagrangian mô tả trường chuẩn
là:
L
A
µ
=
1
4
F
µν
F
µν
. (1.21)
Như vậy, đối với lý thuyết QED của trường vô hướng thì La-
grangian bất biến là:
L
QED
= (D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) −m
2
φ

+
φ + λ(φ
+
φ)
2
+
1
4
F
µν
F
µν
. (1.22)
Với:
1
4
F
µν
F
µν
là động năng của A
µ
1.2 Nhóm đối xứng chuẩn nhóm không Abel
1.2.1 Thế nào là nhóm đối xứng chuẩn không Abel?
Nhóm đối xứng chuẩn không giao hoán là nhóm đối xứng mà các
phần tử của nhóm không giao hoán với nhau hay các vi tử của
nhóm tạo thành đại số không giao hoán. Ví dụ như nhóm SU(n),
đại số của nhóm tuân theo quy luật [T
a
, T

b
] = if
c
ab
.T
c
.
1.2.2 Khảo sát lý thuyết trường bất biến dưới phép biến
đổi SU(2)
Chúng ta khảo sát lưỡng tuyến vô hướng:
φ =

φ
+
φ
0

(1.23)
13
Lagrangian bất biến:
L
QED
= (∂
µ
φ)
+
(φ
µ
φ) −m
2

φ
+
φ + λ(φ
+
φ)
2
(1.24)
- Nếu biến đổi SU(2) không phụ thuộc vào tọa độ thì Lagrangian
là bất biến với phép biến đổi toàn cục
- Nếu SU(2) là định xứ thì thay ∂
µ
bằng D
µ
sao cho D
µ
biến đổi
giống như φ
Với:
D
µ
= ∂
µ
− igT
a
A
a
µ
(1.25)
và a = 1, 2, 3. (Khác U(1) lý thuyết SU(2) có 3 vi tử ⇒ có 3
trường vector A

a
µ
)
Và quy luật biến đổi của φ là:
φ → φ

= e
−igα
a
(x)T
a
φ (1.26)
Lagrangian bất biến :
L
QED
= (D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) −m
2
φ
+
φ + λ(φ
+
φ)
2
(1.27)

Đối với nhóm không giao hoán thì tensor cường độ trường:
F
a
µν
= ∂
µ
A
a
ν
− ∂
ν
A
a
µ
+ gε
abc
A
b
µ
A
c
ν
(1.28)
Dưới đòi hỏi D
µ
φ biến đổi như φ dưới phép biến đổi SU(2) thì ta
có:
A
µ
→ A


µ
= e
−igα
a
T
a
A
µ
e
igα
a
T
a
−
i
g
e
−igα
a
T
a
A
µ
e
igα
a
T
a
(1.29)

Dẫn đến:
F
a
µν
→ F
a
µν
= e
−igα
a
T
a
F
a
µν
e
igα
a
T
a
(1.30)
Với Lagrangian bất biến của F
µν
là:
L =
1
4
T rF
µν
F

µν
=
1
4
F
a
µν
F
µνa
(1.31)
Tóm lại: Sự khác biệt giữa lý thuyết bất biến dưới phép biến
đổi của nhóm Abel và không Abel là số hạng tự tương tác của
trường chuẩn.
14
• Lý thuyết Abel:
1
4
F
µν
F
µν
=
1
4
(∂
µ
A
ν
− ∂
ν

A
µ
)(∂
µ
A
ν
− ∂
ν
A
µ
) (1.32)
Chỉ chứa số hạng kiểu ∂
µ
A
ν
∂
µ
A
ν
là số hạng động năng.
Không chứa số hạng tương tác A
µ
A
ν
A
α
• Lý thuyết không Abel:
1
4
F

a
µν
F
µνa
=
1
4
(∂
µ
A
a
ν
− ∂
ν
A
a
µ
+ gε
abc
A
b
µ
A
c
ν
)(∂
µ
A
νa
− ∂

ν
A
µa
+ gε
abc
A
µb
A
νc
)(1.33)
⇒ Lagrangian chứa: ∂
µ
A
a
ν
∂
µ
A
νa
; ∂
µ
A
a
ν
A
µb
A
νc
. (Tương tác
bậc 3);

A
b
µ
A
c
ν
A
µb
A
νc
(Tương tác bậc 4).
Kết luận: Trong các lý thuyết chuẩn không giao hoán (non -
abelian) với hằng số cấu trúc nhóm khác không, nên có các số
hạng tự tương tác (self - coupling) bậc 3 và bậc 4 còn trong các lý
thuyết như QED không tồn tại các số này. Điểm chung cả hai lý
thuyết Abel và không Abel thì Lagrangian đều không xuất hiện
số hạng khối lượng của trường vector. Mà thực nghiệm tương tác
yếu hạt truyền tương tác phải có khối lượng khác không.
Như vậy, ta có cách xây dựng Lagrangian bất biến chuẩn bằng
cách thay đạo hàm thông thường bằng đạo hàm hiệp biến. Với
cách như vậy sẽ thu được Lagrangian tự do ban đầu và Lagrangian
tương tác của trường vật chất với trường chuẩn L
int
(A, φ). Do các
trường chuẩn không có khối lượng nên chưa thể mô tả các tương
tác yếu. Để khắc phục nhược điểm này người ta dùng cơ chế phá
vỡ đối xứng tự phát và cơ chế Higgs là cơ chế sinh khối lượng của
trường chuẩn đồng thời với việc hủy các Golston boson vô hướng
không khối lượng.
1.3 Phá vỡ đối xứng tự phát - Cơ chế Higgs

ở phần trước chúng ta thấy rằng việc đòi hỏi đối xứng định xứ
đi tới việc xuất hiện các hạt vector không khối lượng, nếu muốn
15
nhận các boson vector có khối lượng thì cần phải phá vỡ đối xứng
chuẩn.
Sự phá vỡ đối xứng tự phát là hiện tượng Lagrangian còn bất biến
đổi đối xứng, nhưng chân không (trạng thái cơ bản) là không bất
biến với phép biến đổi chuẩn (nhóm đối xứng chuẩn). Người ta
chứng minh rằng: trung bình chân không của toán tử trường là
giá trị của trường cổ điển mà tại đó thế năng đạt cực tiểu. Trường
vật lí là trường có trung bình chân không bằng không.
Hơn nữa, các bằng chứng thực nghiệm chứng tỏ rằng các hạt
truyền tương tác yếu phải là các hạt có khối lượng. Trong khi
đó, chúng ta vừa chứng minh trên, các hạt truyền tương tác xuất
hiện trong lý thuyết trường chuẩn là các hạt không có khối lượng.
Chính vì vậy, chúng ta cần xây dựng cơ chế sinh khối lượng cho
các hạt vật lý. Vấn đề này được giải quyết dựa trên phá vỡ đối
xứng tự phát và cơ chế Higgs.
1.3.1 Phá vỡ đối xứng tự phát
Phá vỡ đối xứng tự phát là phá vỡ đối xứng của trị trung bình
chân không nhứng Lagrangian mô tả lý thuyết là hoàn toàn bất
biến với phép biến đổi đó. Chúng ta sẽ khảo sát ví dụ sau đây. Lý
thuyết xây dựng phải bất biến dưới phép biến đổi nhưng trung
bình chân không thì không bất biến. Với nhóm: SU(2)
L

U(1)
Y
- Xét lưỡng tuyến Higgs:
φ =


φ
+
φ
0

∼ (2, 1) . (1.34)
Quy luật biến đổi của φ:
φ → φ

= e
−igα
a
T
a
2
e
−ig

θY
L
2
φ (1.35)
φ
+
→ φ
+
= e
igα
a

T
a
2
e
ig

θY
L
2
φ
+
(1.36)
Lagrangian bất biến của φ dưới SU(2)
L

U(1)
Y
là:
L = K −V = (D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) −V (1.37)
Với: V = −µ
2
φ
+
φ + λ(φ

+
φ)
2
những số hạng từ bậc ≥ 3 của
(φ
+
φ)
n
bị loại bỏ vì không tái chuẩn hóa được.
16
Nhận xét: - Thế năng V = −µ
2
φ
+
φ + λ(φ
+
φ)
2
là bất biến dưới
phép biến đổi SU(2)
L

U(1)
Y
.
Chân không của trường được xác định bởi:
∂V (φ)
∂(φ)
= 0
⇔ −µ

2
φ
+
+ 2λφ
+
φ
+
φ = 0 hay φ
+
(−µ
2
+ 2λφ
+
φ) = 0
Vậy:
+ φ = 0, tại cực tiểu thế năng chính là trung bình chân không
φ = 0 ⇒ đối xứng không bị phá vỡ
+ hoặc φφ
+
=
µ
2
2λ
=< φ
2
>= 0 chân không không bất biến gọi là
phá vỡ đối xứng tự phát.
- Phá vỡ đối xứng cho: < φ >= 0. Khai triển trường vô hướng φ
xung quang trung bình chân không.
φ =


φ
+
ϑ+σ(x)+iξ(x)
√
2

(1.38)
Xét trung bình chân không:
< φ >=

0
ϑ
√
2

. (1.39)
Xét:
T
1
=
1
2

0 1
1 0

; (1.40)
T
2

=
1
2

0 −i
i 0

; (1.41)
T
3
=
1
2

1 0
0 −1

(1.42)
Y =

Y 0
0 Y

(1.43)
Ta có:
+ T
1
< φ > =
1
2


0 1
1 0

0
ϑ
√
2

=
1
2

ϑ
√
2
0

= 0(1.44)
⇒ Phá vỡ đối xứng.
+ T
2
< φ >=
17
1
2

0 −i
i 0


0
ϑ
√
2

=
1
2

−iϑ
√
2
0

= 0 (1.45)
⇒ Phá vỡ đối xứng.
+ T
3
< φ >=
1
2

1 0
0 −1

0
ϑ
√
2


=
1
2

0
−
ϑ
√
2

= 0 (1.46)
⇒ Phá vỡ đối xứng.
+ Y < φ > =
1
2

Y 0
0 Y

0
ϑ
√
2

=
1
2

0
Y ϑ

√
2

= 0(1.47)
⇒ Phá vỡ đối xứng.
Còn: Q
H
< φ > Với
Q
H
= T
3
+
Y
2
I =
1
2

1 0
0 −1

+
1
2

1 0
0 1

=

1
2

2 0
0 0

=

1 0
0 0

(1.48)
Nên:
+ Q
H
< φ > =

1 0
0 0

0
ϑ
√
2

=

0
0


= 0 (1.49)
⇒ Điện tích được bảo toàn.
1.3.2 Cơ chế Higgs [8]
Lý thuyết đối xứng tự phát là bước phát triển đáng kể trong việc
nghiên cứu lý thuyết các cơ chế tương tác. Tuy nhiên, khi vận
dụng cơ chế phá vỡ đối xứng tự phát thì lại phát sinh một khó
khăn mới, đó là sự tồn tại các hạt Goldstone vô hướng không khối
lượng mà thực nghiệm không hề có một dấu hiệu nào về chúng
trong thực tế.
Lý thuyết gauge và phá vỡ đối xứng tự phát xét riêng rẽ sẽ không
18
giải quyết được vấn đề. Nhưng nếu kết hợp lại, thông qua cơ chế
Higgs, sẽ có thể giải quyết cùng một lúc các khó khăn đã nêu trên,
nghĩa là các hạt gauge trở nên có khối lượng và đồng thời các hạt
Goldstone biến mất. Người ta nói một cách hình ảnh rằng các
hạt gauge không khối lượng đã "nuốt chửng" các hạt Goldstone
và trở nên có khối lượng.
1.3.2.1 Cơ chế Higg và nhóm đối xứng Abel
Trong phần này, chúng ta xem xét cơ chế Higgs với nhóm đối
xứng là nhóm U(1) định xứ. Lagrangian bất biến của trường vô
hướng có dạng:
L = K + µ
2
φ
+
φ −λ(φ
+
φ)
2
=

(D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) + µ
2
φ
+
φ −λ(φ
+
φ)
2
(1.50)
ở đây:
(D
µ
φ) = (∂
µ
− igA
µ
)φ, F
µν
= ∂
µ
A
ν
− ∂
ν

A
µ
(1.51)
Nhận xét: ta thấy Lagrangian bất biến với phép biến đổi chuẩn
định xứ:
φ(x) → φ

(x) = e
−iα(x)
φ(x) (1.52)
A
µ
(x) → A

µ
= A
µ
(x) −
1
g
∂
µ
α(x)
Xét thế V (φ) = −µ
2
φ
+
φ + λ(φ
+
φ)

2
Đặt t = φ
+
φ → V = −µ
2
t + λt
2
Khi µ
2
> 0 → V

(t) = −µ
2
+ 2λt = 0
Như vậy, cực tiểu thế năng tại t =
µ
2
2λ
hay V (φ) đạt cực tiểu
tại:|φ =
υ
√
2
|, với υ =
µ
2
λ
= hằng số. Do đó toán tử trường φ có
trung bình chân không là:
0|φ|0 =

υ
√
2
(1.53)
19
Nếu biểu diễn φ qua hai trường thực φ
1
, φ
2
:
φ =
1
√
2
(φ
1
+ iφ
2
) (1.54)
thay (1.53) vào (1.54): 0|φ|0 =
1
√
2

0|φ
1
|0 +
i
√
2

0|φ
2
|0

ta có thể chọn:
0|φ
1
|0 = υ, 0|φ
2
|0 = 0 (1.55)
Đây không phải là trường vật lí, tiếp theo ta dịch chuyển toán tử
trường: φ

1
= φ
1
−υ, φ

2
= φ
2
; φ

2
tương ứng với Boson Goldstone
không có khối lượng. Thành phần đạo hàm trong Lagrangian được
mô tả ở dạng:
|D
µ
φ|

2
= (D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) = [(∂
µ
− igA
µ
)φ]
+
[(∂
µ
− igA
µ
)φ]
Thay (1.54) vào ta thu được:
|D
µ
φ|
2
=

(∂
µ
− igA
µ
φ

1
+ iφ
2
√
2
)

+

(∂
µ
− igA
µ
)
φ
1
+ iφ
2
√
2

=
1
2
[∂
µ
φ
1
+ gA
µ

φ
2
+ i(∂
µ
φ
2
− gA
µ
φ
1
)]
+
×
[∂
µ
φ
1
+ gA
µ
φ
2
+ i(∂
µ
φ
2
− gA
µ
φ
1
)]

Với φ
1
= φ

1
+ υ; φ
2
= φ

2
; ta có:
|D
µ
φ|
2
=
1
2
[∂
µ
φ

1
+ gA
µ
φ

2
+ i(∂
µ

φ

2
− gA
µ
φ

1
− gA
µ
υ)]
+
×
[∂
µ
φ

1
+ gA
µ
φ

2
+ i(∂
µ
φ

2
− gA
µ

φ

1
− gA
µ
υ)]
=
1
2
[(∂
µ
φ

1
+ gA
µ
φ

2
) −i(∂
µ
φ

2
− gA
µ
φ

1
− gA

µ
υ)] ×
[∂
µ
φ

1
+ gA
µ
φ

2
+ i(∂
µ
φ

2
− gA
µ
φ

1
− gA
µ
υ)]
=
1
2
(∂
µ

φ

1
+ gA
µ
φ

2
)
2
+
1
2
(∂
µ
φ

2
− gA
µ
φ

1
− gA
µ
υ)
2
=
1
2

(∂
µ
φ

1
+ gA
µ
φ

2
)
2
+
1
2
(∂
µ
φ

2
−gA
µ
φ

1
)
2
−
1
2

(∂
µ
φ

2
−gA
µ
φ

1
)gυA
µ
−
1
2
gυA
µ
(∂
µ
φ

2
− gA
µ
φ

1
) + g
2
υ

2
2
A
µ
A
µ
20
hay:
|D
µ
φ|
2
=
1
2
(∂
µ
φ

1
+ gA
µ
φ

2
)
2
+
1
2

(∂
µ
φ

2
− gA
µ
φ

1
)
2
−
−gυA
µ
(∂
µ
φ

2
− gA
µ
φ

1
) + g
2
υ
2
2

A
µ
A
µ
(1.56)
Số hạng cuối cùng trong (1.56) minh họa khối lượng đối với trường
A
µ
. Boson chuẩn có khối lượng:
M = gυ (1.57)
Kết luận: Nếu ta dịch chuyển toán tử trường bằng cách thay
φ
1
= φ

1
+ υ; φ

2
, thì Boson chuẩn sẽ có khối lượng. Tuy nhiên
xuất hiện thành phần −gυA
µ
∂
µ
φ

2
là thành phần giao thoa đặc
biệt, không có ý nghĩa Vật lý rõ ràng. Để loại các số hạng giao
thoa khối lượng giữa Higgs và Gauge boson thì chúng ta có thể

chọn các phép biến đổi Unita cho trường Albel. Chi tiết về phần
chuẩn Unita được trình bầy chi tiết trong sách [9]
1.3.2.2 Cơ chế Higgs và nhóm đối xứng không Abel.
Cơ chế Higgs trực tiếp mở rộng cho trường hợp không Abel. Xét
trường hợp lí thuyết chuẩn SU(2) với nhi tuyến phức của trường
vô hướng:
φ =

φ
1
φ
2

Xét Lagrangian có dạng:
L = (D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) −V (φ) −
1
4
F
a
µν
F
aµν
(1.58)
ở đây:

(D
µ
φ)

∂
µ
− ig
−→
σ
−→
A
µ
2

φ
F
a
µν
= ∂
µ
A
a
ν
− ∂
ν
A
a
µ
+ gε
abc

A
b
µ
A
c
ν
21
V = −µ
2
(φ
+
φ) + λ(φ
+
φ)
2
(1.59)
Tương tự như trường hợp Abel, ta thấy khi µ
2
> 0 thì thế năng
(1.59) sẽ đạt cực tiểu tại điểm:

φ
+
φ

0
, υ =

µ
2

λ
(1.60)
Trung bình chân không có dạng:
φ =
1
√
2

0
υ

(1.61)
Để trung bình chân không vật lý (tức là trung bình chân không
bằng không) ta đưa vào trường mới sau:
φ

= φ −φ
0
(1.62)
Thì trung bình chân không của φ

sẽ bằng không
φ

 = φ −φ
0
 −φ
0
= φ
0

Số hạng với đạo hàm hiệp biến sẽ sinh ra khối lượng của môi
trường boson vectơ.
Thật vậy:
(D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) ==

∂
µ
− ig
−→
σ
−→
A
µ
2

(φ

+ φ
0
)

+
×


∂
µ
− ig
−→
σ
−→
A
µ
2

(φ

+ φ
0
)

(1.63)
=

D
µ
φ

− ig φ
0
+
−→
σ
−→
A

µ
2



D
µ
φ

− ig
−→
σ
−→
A
µ
2
φ
0


=

(D
µ
φ

)
+
+ ig φ
+

0
−→
σ
−→
A
µ
2

D
µ
φ

− ig
−→
σ
−→
A
µ
2
φ
0


ở đây, chúng ta sử dụng tính thực của
−→
A
µ
và tính hermitic của
ma trận
−→

σ .
⇒ (D
µ
φ)
+
(D
µ
φ) =
22
(D
µ
φ

)
+
(D
µ
φ

) −ig(D
µ
φ

)
+
−→
σ
−→
A
µ

2
φ
0
+ ig φ
+
0
−→
σ
−→
A
µ
2
(D
µ
φ

) +
g
2
φ
+
0
−→
σ
−→
A
µ
2
−→
σ

−→
A
µ
2
φ
0
Như vậy, trong (1.63) chứa số hạng sau:
1
4
g
2
φ
+
0
− (
−→
σ
−→
A
µ
)(
−→
σ
−→
A
µ
) φ
0
=
1

4
g
2
φ
+
0
σ
a
A
a
µ
σ
b
A
bµ
φ
0
=
1
4
g
2
φ
+
0
σ
a
σ
b
A

a
µ
σ
b
A
bµ
φ
0
Sử dụng: {σ
a
, σ
b
} = 2δ
ab
⇒ σ
a
σ
b
= −σ
b
σ
a
+ δ
ab
⇒ φ
+
0
φ
0
= φ

+
φ =
υ
2
2
ta được:
1
4
g
2
φ
+
0
(
−→
σ
−→
A
µ
)(
−→
σ
−→
A
µ
) φ
0
=
1
4

g
2
φ
+
0
(2δ
ab
− σ
b
σ
a
)A
a
µ
A
bµ
φ
0
=
1
2
g
2
δ
ab
φ
+
0
φ
0

A
a
µ
A
bµ
−
1
4
g
2
φ
+
0
σ
b
σ
a
A
a
µ
A
bµ
φ
0
=
1
4
g
2
υ

2
−→
A
µ
−→
A
µ
−
1
4
g
2
φ
+
0
(
−→
σ
−→
A
µ
)(
−→
σ
−→
A
µ
) φ
0
⇒

1
4
g
2
φ
+
0
(
−→
σ
−→
A
µ
)(
−→
σ
−→
A
µ
) φ
0
=
1
2

gυ
2

2
−→

A
µ
−→
A
µ
(1.64)
Nhận xét: Vậy, biểu thức (1.63) chứa số hạng (1.64) tương ứng
với khối lượng trường A
µ
là:
M
A
=
1
2
gυ (1.65)
Trong miền vô hướng ta có:
φ
+
φ =

(φ

+ φ
0
)
+
(φ

+ φ

0
)

=
φ
+
φ

+ φ
+
φ
0
+ φ
+
0
φ

+ φ
+
0
φ
0
(φ
+
φ)
2
=

φ
+

φ

+
υ
2
2
+ φ
+
0
φ

+ φ
+
0
φ
0

2
=

φ
+
φ

+
υ
2
2

2

+

φ
+
φ +
υ
2
2

2
(φ
+
0
φ

+ φ
+
φ
0
)+
23
(φ
+
0
φ

+ φ
+
φ
0

)
2
(φ
+
φ

)
2
+ υ
2
φ
+
φ

+
υ
2
4
+(φ
+
0
φ

+ φ
+
φ
0
)
2
+ 2


φ
+
φ +
υ
2
2


φ
+
0
φ

+ φ
+
φ
0

= υ
2
φ
+
φ

+
υ
2
4
+


φ
+
0
φ

+ φ
+
φ
0

2
+
Tóm lại:
φ
+
φ = φ
+
φ

+ φ
+
φ
0
+ φ
+
0
φ

+ φ

+
0
φ
0
(φ
+
φ)
2
= υ
2
φ
+
φ

+
υ
2
4
+

φ
+
0
φ

+ φ
+
φ
0


2
+ (1.66)
Sau khi biểu diễn:
φ =

φ
1
φ
2

Chúng ta viết các số hạng bậc hai theo φ

:
λ

φ
+
0
φ

+ φ
+
φ
0

2
=
λυ
2
2

(φ

2
+ φ
+
2
)
2
=
µ
2
2
(φ

2
+ φ
+
2
)
2
(1.67)
Điều này có nghĩa là chỉ có tổ hợp
1
√
2
(φ

2
+ φ
+

2
) có khối lượng
(hạt Higgs vật lí). Ba trường còn lại φ

2
, φ
+
1
và
1
√
2
(φ

2
− φ
+
2
) là
các boson Goldston không hợp thành mà chúng hợp nhất với ba
boson chuẩn không khối lượng ban đầu trở thành ba boson vectơ
có khối lượng.
24