Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHÙNG THỊ THU HÀ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC
HÀM SỐ SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHÙNG THỊ THU HÀ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC
HÀM SỐ SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2016


i

Mục lục
Mở đầu

1

1 Một số kiến thức bổ trợ về dãy số
1.1 Dãy số, định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Giới hạn của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Một vài dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3
3
5
6

2 Một số phương pháp giải bài toán về xác định dãy số
2.1 Dãy số sinh bởi hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Dãy số sinh bởi hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . .
2.3 Dãy số sinh bởi hàm chứa căn thức . . . . . . . . . . . .
2.4 Dãy số sinh bởi các hàm lượng giác và siêu việt . . . . .

.
.
.
.

10
10
16
22
24

.
.
.
.

28
28
35
37
42

4 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số
4.1 Một số dạng toán liên quan đến tính chất của dãy số . . . . . . . .
4.2 Một số dạng toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46
46
57

Kết luận

62

Tài liệu tham khảo

63

3 Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số
3.1 Sử dụng tính đơn điệu và bị chặn để tính giới hạn của
3.2 Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn của dãy số . .
3.3 Sử dụng định lý Lagrange để tính giới hạn của dãy số
3.4 Xác định giới hạn của dãy tổng . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

dãy số .
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.


1

Mở đầu
Dãy số là một phần quan trọng của chương trình Toán phổ thông và trong các

ngành đại số và giải tích toán học. Dãy số có một vị trí đặc biệt quan trọng trong
toán học, không chỉ như là một đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng một vai
trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết
phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn. . . Trong chương trình, sách giáo
khoa trung học phổ thông, nội dung đề cập đến dãy số rất ít. Vì vậy học sinh gặp
rất nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán liên quan đến dãy số khi tham gia
thi học sinh giỏi các cấp.
Trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toán
quốc tế, thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán
về dãy số được đề cập nhiều và thường thuộc loại khó. Các bài toán về ước lượng;
xác định dãy số và tính giá trị các tổng, tích; các bài toán về cực trị, xác định
giới hạn dãy hay các tính chất của dãy số thường liên quan đến đặc trưng của dãy
tương ứng.
Luận văn Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp nhằm nêu một
số phương pháp xác định dãy số, giới hạn của dãy số và các bài toán liên quan.
Luận văn gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ về dãy số
Chương này trình bày các kiến thức liên quan đến dãy số.
Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán về xác định dãy số
Chương này trình bày các bài toán liên quan đến xác định số hạng tổng quát
của dãy số sinh bởi các hàm sơ cấp cơ bản đó là hàm đa thức, hàm phân thức hữu
tỷ, hàm lượng giác, hàm số mũ và hàm số logarit.
Chương 3. Một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số
Chương này trình bày một số phương pháp xác định giới hạn của dãy số như


2

phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, phương pháp sử dụng nguyên lí
kẹp, phương pháp sử dụng định lí Lagrange và xác định giới hạn của dãy tổng.

Chương 4. Các dạng toán khác liên quan đến dãy số
Chương này trình bày một số bài toán liên quan đến tính chất của dãy số
nguyên, các dãy số chứa hàm phần nguyên, hàm phần lẻ.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
với sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu. Tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của thầy, tới các thầy cô trong
Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và Khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa học.
Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục và đào tạo Yên Bái, Ban giám hiệu
và các thầy cô trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành đã tạo điều kiện cho tác
giả học tập và hoàn thành kế hoạch học tập.

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 5 năm 2016.
Học viên

Phùng Thị Thu Hà


3

Chương 1
Một số kiến thức bổ trợ về dãy số
Trong chương này, tôi trình bày khái niệm cơ bản về dãy số gồm một số định
nghĩa và các định lý cơ bản, một vài dãy số đặc biệt và một số bài toán áp dụng.

1.1

Dãy số, định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số
tự nhiên. Với M ⊂ N, thay cho ký hiệu

u:M→R
n → u(n)

ta thường dùng ký hiệu (un ) hay {un } với n ∈ M.
Dãy số được gọi là vô hạn nếu chúng có vô hạn phần tử. Dãy số được gọi là hữu
hạn nếu số phần tử của dãy là hữu hạn. Phần tử ui được gọi là phần tử thứ i của
dãy.

1.1.1. Dãy số đơn điệu
Dãy (un ) được gọi là đơn điệu tăng nếu un ≤ un+1 , với mọi n = 1, 2, . . .
Dãy (un ) được gọi là đơn điệu giảm nếu un ≥ un+1 , với mọi n = 1, 2, . . .
Dãy (un ) được gọi là tăng thực sự nếu un < un+1 , với mọi n = 1, 2, . . .
Dãy (un ) được gọi là giảm thực sự nếu un > un+1 , với mọi n = 1, 2, . . .
Dãy đơn điệu tăng và dãy đơn điệu giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.


4

Nhận xét 1.1.

• Nếu dãy (xn ) tăng, dãy (yn ) tăng thì dãy (xn + yn ) tăng.

• Nếu dãy (xn ) giảm, dãy (yn ) giảm thì dãy (xn + yn ) giảm.
• Nếu dãy (xn ) tăng thì dãy (−xn ) giảm, và nếu dãy (xn ) giảm thì dãy (−xn )

tăng.
• Nếu hai dãy số dương (xn ), (yn ) cùng tăng (giảm) thì dãy (xn yn ) tăng (giảm).
• Một dãy số có thể không tăng, cũng không giảm. Ví dụ dãy số (xn ) với
xn = (−1)n , ∀n ∈ N.

1.1.2. Dãy số bị chặn
Dãy (un ) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
un ≤ M, ∀n ∈ N∗ .

Dãy (un ) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
un ≥ m, ∀n ∈ N∗ .

Dãy (un ) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới nghĩa
là tồn tại một số M và một số m sao cho
m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ .

1.1.3. Dãy số Cauchy
Định nghĩa 1.2 (xem [5]). Dãy số (un ) được gọi là dãy Cauchy nếu ∀ε > 0, ∃N0 ∈
N : ∀m, n > N0 , |un − um | < ε.
Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [5]). Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi
và chỉ khi nó là dãy Cauchy.

1.1.4. Dãy số tuần hoàn
Định nghĩa 1.3 (xem [3]). Dãy số (un ) được gọi là một dãy số tuần hoàn (cộng
tính) nếu tồn tại số nguyên dương l sao cho
un+l = un , ∀n ∈ N.

(1.1)


5

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy (un ) thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kỳ cơ
sở của dãy.
Dãy số (un ) được gọi là một dãy phản tuần hoàn (cộng tính) nếu tồn tại số

nguyên dương l sao cho
un+l = −un , ∀n ∈ N.

(1.2)

Số nguyên dương l nhỏ nhất để dãy (un ) thỏa mãn (1.2) được gọi là chu kỳ cơ
sở của dãy.
Nhận xét 1.2. a) Dãy tuần hoàn chu kỳ 1 khi và chỉ khi dãy đó là một dãy hằng.
b) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l là dãy tuần hoàn chu kỳ 2l.
Tương tự, ta cũng có định nghĩa về dãy tuần hoàn nhân tính.
Định nghĩa 1.4 (xem [3]). Dãy số (un ) được gọi là một dãy tuần hoàn nhân tính
nếu tồn tại số nguyên dương s (s > 1) sao cho
usn = un , ∀n ∈ N.

(1.3)

Số nguyên dương s nhỏ nhất để dãy số (un ) thỏa mãn (1.3) được gọi là chu kỳ
cơ sở của dãy.
Dãy số (un ) được gọi là dãy phản tuần hoàn nhân tính nếu tồn tại số nguyên
dương s (s > 1) sao cho
usn = −un , ∀n ∈ N.

(1.4)

Số nguyên dương s (s > 1) nhỏ nhất để dãy số (un ) thỏa mãn (1.4) được gọi là
chu kỳ cơ sở của dãy.
Nhận xét 1.3. Dãy phản tuần hoàn nhân tính chu kỳ s là một dãy tuần hoàn
nhân tính chu kỳ s2 .

1.2

Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.5 (xem [5]). Ta nói dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn a khi n dần tới
vô cùng nếu với mọi ε > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un và ε )
sao cho với mọi n > N0 ta có |un − a| < ε.
lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un − a| < ε.

n→+∞


6

Ta nói dãy số (un ) dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thực
dương M lớn tùy ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un và M ) sao cho
với mọi n > N0 ta có |un | > M.
lim un = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un | > M.

n→+∞

Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ. Dãy số không có giới
hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ.
Định lý 1.2 (xem [5]). Giả sử tồn tại lim un = a; lim vn = b thì
n→+∞

n→+∞

a) lim (un + vn ) = lim un + lim vn = a + b.
n→+∞

n→+∞

n→+∞

b) lim (un − vn ) = lim un − lim vn = a − b.
n→+∞

n→+∞

n→+∞

c) lim (un .vn ) = lim un . lim vn = ab.
n→+∞

n→+∞

n→+∞

un
=
n→+∞ vn

d) nếu b = 0 thì lim

lim un

a
= .
lim vn
b

n→+∞

n→+∞

Định lý 1.3. Nếu un ≤ vn , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N và tồn tại lim un = a; lim vn = b
n→+∞

n→+∞

thì a ≤ b.
Định lý 1.4 (Định lý Weierstrass, xem [5]). a) Nếu dãy (un ) đơn điệu tăng và bị
chặn trên bởi M thì tồn tại giới hạn hữu hạn lim un = a và a ≤ M .
n→+∞

b) Nếu dãy (un ) đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi m thì tồn tại giới hạn hữu
hạn lim un = a và a ≥ m.
n→+∞

Nói ngắn gọn hơn, một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
Định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp, xem [5]). Nếu vn ≤ un ≤ wn , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N và
lim vn = lim wn = a thì lim un = a.

n→+∞

1.3

n→+∞

n→+∞

Một vài dãy số đặc biệt

1.3.1. Cấp số cộng
Định nghĩa 1.6 (xem [5]). Dãy số (un ) được gọi là một cấp số cộng khi và chỉ khi
tồn tại d ∈ R sao cho
∀n ∈ N, un+1 = un + d.
u1 được gọi là số hạng đầu, d được gọi là công sai của cấp số cộng.


7

Tính chất 1.1. Dãy số (un ) là cấp số cộng với công sai d thì
i) un = u1 + (n − 1)d với mọi n = 1, 2, . . . ;
uk−1 + uk+1
với mọi k = 2, 3, . . . ;
2
iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 , . . . , un−1 , un . Ta có

ii) uk =

u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 = . . .

Một cách tổng quát: u1 + un = uk + un+1−k với mọi k = 2, 3, . . . , n − 1.
iv) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un . Ta có
Sn =

[2u1 + (n − 1)d]n
(u1 + un )n
=

.
2
2

1.3.2. Cấp số nhân
Định nghĩa 1.7 (xem [5]). Dãy số (un ) được gọi là một cấp số nhân khi và chỉ
khi tồn tại q ∈ R sao cho
∀n ∈ N, un+1 = un q.
u1 được gọi là số hạng đầu, q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Tính chất 1.2. Dãy số (un ) là cấp số nhân với công bội q thì
i) un = u1 q n−1 với mọi n = 1, 2, . . . ;
ii) u2k = uk−1 .uk+1 với mọi k = 2, 3, . . . ;
iii) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un . Khi q = 1 ta có
Sn =

u1 (q n − 1)
.
q−1

Nhận xét 1.4. Nếu |q| < 1 thì (un ) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của
cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức
S = u1 + u2 + u3 + · · · =

u1
.
1−q

1.3.3. Cấp số điều hòa
Định nghĩa 1.8 (xem [3]). Dãy số (un ) (un = 0 với mọi n ∈ N) thỏa mãn điều kiện

un =

được gọi là cấp số điều hòa.

2un−1 un+1
, ∀n ∈ N∗
un−1 + un+1


8

Bài toán 1.1. Chứng minh rằng dãy (un ) (un = 0 với mọi n ∈ N) lập thành một
cấp số điều hòa khi và chỉ khi dãy đã cho thỏa mãn điều kiện
un+1 =

1
2
1
−
un un−1

, ∀n ∈ N∗ .

Bài giải.
Ta có
un+1 =

1
2
1

−
un un−1

⇔ un+1 =

un un−1
2un−1 − un

⇔ un (un−1 + un+1 ) = 2un−1 un+1
2un−1 un+1
⇔ un =
.
un−1 + un+1

Vậy dãy số (un ) lập thành một cấp số điều hòa.

1.3.4. Dãy số Fibonacci
Định nghĩa 1.9 (xem [5]). Dãy số (un ) xác định như sau

 u1 = 1, u2 = 1
 un = un−1 + un−2 , ∀n = 3, 4, . . .
được gọi là dãy số Fibonacci.
Dãy Fibonacci có rất nhiều tính chất thú vị và xuất hiện một cách tự nhiên
trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúng ta có công thức sau đây để tìm số hạng
tổng quát của dãy số Fibonacci:
Công thức Binet

un =

√

1+ 5
2

n

−
√
5

√
1− 5
2

n

.

1.3.5. Dãy số sinh bởi hàm số
Dãy số dạng xn+1 = f (xn ).
Đây là dạng dãy số thường gặp nhất trong các bài toán về giới hạn dãy số. Dãy
số này sẽ hoàn toàn xác định khi biết giá trị ban đầu x0 . Do vậy sự hội tụ của dãy


9

số sẽ phụ thuộc vào tính chất của hàm số f (x) và x0 . Một đặc điểm quan trọng của
dãy số này là nếu a là giới hạn của dãy số thì a phải là nghiệm của phương trình
x = f (x). Chúng ta có một số kết quả cơ bản như sau:

Định nghĩa 1.10 (xem [5]). Hàm số f : D → D được gọi là một hàm số co trên D

nếu tồn tại số thực q , 0 < q < 1 sao cho |f (x) − f (y)| ≤ q. |x − y| với mọi x, y thuộc
D.

Định lý 1.6 (xem [5]). Nếu f (x) là một hàm số co trên D thì dãy số (xn ) xác định
bởi x0 = a ∈ D, xn+1 = f (xn ) hội tụ. Giới hạn của dãy số là nghiệm duy nhất trên
D của phương trình x = f (x).

Chứng minh.
Với mọi n > m thì áp dụng định nghĩa hàm số co, ta có
|xn − xm | = |f (xn−1 ) − f (xm−1 )| ≤ q |xn−1 − xm−1 | ≤ · · · ≤ q m |xn−m − x0 |

(1.5)

Từ đây |xn − x0 | ≤ |xn − xn−1 | + · · · + |x1 − x0 | ≤ q n−1 + · · · + 1 |x1 − x0 |, suy ra
dãy (xn ) bị chặn.
Xét ε > 0. Từ (1.5), do q < 1 và |xn−m − x0 | bị chặn nên ta suy ra tồn tại N sao
cho q N |xn−m − x0 | < ε. Suy ra (xn ) là dãy Cauchy và do đó nó hội tụ.

1.3.6. Định lý trung bình Cesaro
Định lý 1.7 (Định lý trung bình Cesaro, xem [5]). Nếu lim xn = a thì
n→+∞

lim

n→+∞

x1 + x2 + · · · + xn
= a.
n

Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương như sau:
xn
= a."
n→+∞ n

"Nếu lim (xn+1 − xn ) = a thì lim
n→+∞


10

Chương 2
Một số phương pháp giải bài toán về
xác định dãy số
Trong chương này ta xét các bài toán liên quan đến xác định số hạng tổng quát
của dãy số sinh bởi các hàm sơ cấp cơ bản đó là hàm đa thức, hàm phân thức
hữu tỷ, hàm vô tỷ, hàm lượng giác và các hàm siêu việt. Các phương pháp chủ yếu
sử dụng trong chương này là phương pháp ước lượng, phương pháp lượng giác và
phương pháp sử dụng hàm lặp.

2.1

Dãy số sinh bởi hàm đa thức

Bài toán 2.1. Cho a, c > 0. Xét dãy (an ) xác định bởi:

 a1 = a
 an+1 = ca2 + an , ∀n ∈ N∗ .
n
Chứng minh rằng

an ≥

√
cn−1 nn an+1 , ∀n ∈ N∗ .

Bài giải.
Từ giả thiết ta có thể viết
1
an−1

−

1
can−1
=
.
an
an

Vậy nên
1
1
−
=
a1 an

n−1

k=1

cak
.
ak+1

(2.1)


11

Suy ra
1
1
=
+
a1
an
√
Do đó an ≥ cn−1 nn an+1 , ∀n ∈ N∗ .

n−1

k=1

cak
a1
≥ n n cn−1 2 .
ak+1
an

Bài toán 2.2. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) xác định bởi:

√

 u = 3
1


Bài giải.
Ta có u1 =

2
un = 4u3n−1 − 3un−1 , ∀n ≥ 2.

(2.2)

√

3
π
= cos .
2
6

Từ công thức lượng giác cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α, ta có
π
π
3π
− 3 cos = cos
6
6
6

3π
32 π
3π
− 3 cos
= cos
u3 = 4 cos3
6
6
6
u2 = 4 cos3

Giả sử uk = cos

3k−1 π
với k ∈ N∗ . Khi đó
6
uk+1 = 4 cos3

3k−1 π
3k π
3k−1 π
− 3 cos
= cos
.
6
6
6

3n−1 π
, ∀n ∈ N∗ .

Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được un = cos
6

Bài toán 2.3 (xem [1]). Cho dãy (xn ) xác định bởi:

 x1 = 2 + √ 3
 xn+1 = x4 − 4x2 + 2, ∀n ∈ N∗ .
n

n

Tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn ).
Bài giải.
Đặt xn = 2yn . Khi đó
2yn+1 = 16yn4 − 16yn2 + 2, ∀n = 1, 2, . . .
⇔ yn+1 = 8yn4 − 8yn2 + 1, ∀n = 1, 2, . . .

Ta có
y1 =

2+
2

√

3

=

√

3
1+
2 =
2

1 + cos
2

π
6 = cos π .
12

(2.3)


12

Do công thức lượng giác cos 4α = 8 cos4 α − 8 cos2 α + 1 nên
π
π
π
− 8 cos2
+ 1 = cos 4.
.
12
12
12
π
π
π

y3 = 8 cos4 4.
− 8 cos2 4.
+ 1 = cos 42 .
.
12
12
12
y2 = 8 cos4

Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh
yn = cos 4n−1 .

π
.
12

(2.4)

Thật vậy, (2.4) đã đúng với n = 2, n = 3 như trên.
π
.
12
π
π
4k−1 .
+ 1 = cos 4k .
.
12
12

Giả sử (2.4) đúng với n = k, k ∈ N∗ tức là yk = cos 4k−1 .
π
− 8 cos2
12
Suy ra (2.4) đúng với n = k + 1.

Khi đó yk+1 = 8 cos4 4k−1 .

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có yn = cos 4n−1 .
Do đó xn = 2 cos 4n−1 .

π
, ∀n = 1, 2, . . .
12

π
, ∀n = 1, 2, . . .
12

Bài toán 2.4 (xem [1]). Cho dãy (xn ) xác định bởi:

 x1 = 1
2

 x
∗
3
5
n+1 = 16xn − 20xn + 5xn , ∀n ∈ N .
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn ).

Bài giải.
1
π
= cos .
2
3
Từ công thức cos 5α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + 5 cos α, ta có

Ta có x1 =

π
π
5π
π
− 20 cos3 + 5 cos = cos .
3
3
3
3
5π
5π
5π
52 π
x3 = 16 cos5
− 20 cos3
+ 5 cos
= cos
.
3
3

3
3
x2 = 16 cos5

Giả sử xn = cos

5n−1 π
. Khi đó
3

xn+1 = 16 cos5

5n−1 π
5n−1 π
5n−1 π
5n π
− 20 cos3
+ 5 cos
= cos
.
3
3
3
3

Theo nguyên lý quy nạp, suy ra xn = cos

5n−1 π
, ∀n = 1, 2, . . .
3

(2.5)


13

Bài toán 2.5 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2014). Cho hai dãy số dương (xn ), (yn )
xác định bởi: x1 = 1, y1 =

√

3 và


 xn+1 yn+1 − xn = 0
 x2 + yn = 2, ∀n = 1, 2, . . .

(2.6)

n+1

Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
Bài giải.
Ta nhận thấy
π
x1 = 1 = 2 sin ;
6
√
π
y1 = 3 = 2 cos .

6

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi n nguyên dương thì
xn = 2 sin

π
π
, yn = 2 cos
.
n
3.2
3.2n

(2.7)

Thật vậy, với n = 1 mệnh đề (2.7) đúng.
Giả sử đã có xn = 2 sin

π
π
, yn = 2 cos
.
n
3.2
3.2n

Theo công thức truy hồi ta có
xn+1 =

yn+1

2 − yn =

2 − 2 cos

π
=
3.2n

4 sin2

π
π
=
2
sin
;
3.2n+1
3.2n+1

π
2 sin
xn
3.2n = 2 cos π .
=
=
π
xn+1
3.2n+1
2 sin

n+1
3.2

Điều này chứng tỏ (2.7) đúng với n + 1.
Theo nguyên lý quy nạp ta có
xn = 2 sin

π
π
, yn = 2 cos
, ∀n = 1, 2, . . .
n
3.2
3.2n

π
= 2.
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
3.2n
Vậy các dãy (xn ), (yn ) có giới hạn hữu hạn và lim xn = 0 và lim yn = 2.

Do đó lim xn = lim

2 sin

π
3.2n

= 0 và lim yn = lim
n→+∞

2 cos

n→+∞

Nhận xét 2.1. Đây là bài toán dễ nhất của kỳ thi. Tuy nhiên, nếu không nhận
xét được tính chất đặc biệt của x1 , y1 thì rất khó khăn để giải bài toán này bằng
phương pháp lượng giác.


14

Tiếp sau đây ta sẽ xét một số bài toán xác định dãy số bằng phương pháp sử
dụng hàm lặp.
Để tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) bằng phương pháp hàm lặp ta thường
tìm các hàm số f (x) và h(x) sao cho
(2.8)

f (un+1 ) = h(f (un ))

Sử dụng (2.8) liên tiếp ta thu được
f (un+1 ) = h(f (un )) = h(h(f (un−1 ))) := h2 (f (un−1 )) = · · · = hn (f (u1 )).

(2.9)

Từ (2.9) ta tìm được un . Hàm số f được gọi là hàm phụ, còn hàm số h được gọi là
hàm lặp.

Bài toán 2.6. Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ) cho như sau
x1 = 3, xn+1 = 7xn − 1, ∀n = 1, 2, . . .

Bài giải.
Ta có
xn+1 −

1
7
1
1
= 7xn − 1 − = 7xn − = 7 xn −
, ∀n = 1, 2, . . .
6
6
6
6

Vậy
xn −

1
1
= 7 xn−1 −
6
6
1
= 72 xn−2 −
6
= · · · = 7n−1 x1 −

=

Do đó xn =

1
6

17 n−1
.7 .
6

17 n−1 1
.7
+ , ∀n = 1, 2, . . .
6
6
1
6

Nhận xét 2.2. Trong lời giải trên, điều quan trọng là phải biết xét hiệu xn+1 − .
Ta có
xn+1 − k = 7xn − 1 − k = 7 xn − k + 6k − 1.
1
6

1
6

Ta cần chọn k sao cho 6k − 1 = 0 ⇔ k = . Vậy ta sẽ xét xn+1 − . Có thể thấy rằng
dãy số đã cho có dạng xn+1 = f (xn ), trong đó f (x) = 7x − 1, và số

phương trình f (x) = x.

1
là nghiệm của
6


15

Bài toán 2.7 (xem [1]). Cho dãy (un ) như sau
6
u1 = α ∈ R, un+1 = −5u2n − 4un − , ∀n = 1, 2, . . .
5

Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
Bài giải.
1
5

Đặt un = − xn . Khi đó
4
1
1
6
− xn+1 = − x2n + xn −
5
5
5
5
2

⇔xn+1 = xn − 4xn + 6
⇔xn+1 − 2 = (xn − 2)2 .
22

2

2n−1

= · · · = x1 − 2
.
n−1
1
Số hạng tổng quát của dãy đã cho là un = − 2 + (5α + 2)2
, ∀n ∈ N∗ .
5

Vậy xn − 2 = xn−1 − 2

= xn−2 − 2

Bài toán 2.8 (xem [1]). Cho dãy (un ) như sau
u1 = α ∈ R, un+1 = 25u3n − 15u2n + 3un , ∀n ∈ N∗ .

Tìm số hạng tổng quát của dãy số đã cho.
Bài giải.
Đặt un =

xn
. Khi đó ta được dãy (xn ) thỏa mãn x1 = 5α và
5

1
1
3
3
xn+1 = x3n − x2n + xn
5
5
5
5
3
2
⇔xn+1 = xn − 3xn + 3xn
⇔xn+1 − 1 = (xn − 1)3 .

Vậy với mọi số nguyên dương n, ta có
32

3

xn − 1 = xn−1 − 1

= xn−2 − 1

3n−1

= · · · = x1 − 1

Số hạng tổng quát của dãy đã cho là
3n−1

5α − 1
un =

+1
5

, ∀n ∈ N∗ .

3n−1

= 5α − 1

.


16

Bài toán 2.9. Xét dãy (an ) thỏa mãn các điều kiện sau

 0 < an < 1
 an+1 (1 − an ) ≥ 1 , ∀n ∈ N∗ .

(2.10)

4

Chứng minh rằng
1
1
1

−
< an ≤ , ∀n ∈ N∗ .
2 2n
2

Bài giải.
1
1
−
< an .
2 2n
1
1
1 1
< ak . Suy ra
Thật vậy, ta có a1 = − (đúng). Giả sử −
2 2
2 2k

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh

1 − ak <

1
1
k+1
+
=
.
2 2k

2k

Từ giả thiết
1
ak+1 (1 − ak ) ≥ ,
4

suy ra
ak+1 >

1
2k
1
1
>
= −
4(1 − ak )
4(k + 1)
2 2(k + 1)

(điều phải chứng minh).
1
2

Để chứng minh bất đẳng thức an ≤ , ta sử dụng hệ thức
an (1 − an ) ≤

1
≤ an+1 (1 − an ).
4

1
4

Suy ra an ≥ an+1 và dãy (an ) bị chặn trên bởi a với a(1 − a) = .
Do đó a =

2.2

1
1
và an ≤ .
2
2

Dãy số sinh bởi hàm phân thức hữu tỷ

Bài toán 2.10 (Đề thi học sinh giỏi Quốc gia 2001, bảng B). Cho dãy (xn ) xác
định bởi:



 x1 = 2

 xn+1

3
=

xn
, ∀n = 1, 2, . . .

2(2n + 1)xn + 1

Hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy số (xn ).

(2.11)


17

Bài giải.
Dễ thấy xn > 0, ∀n = 1, 2, . . .
Từ (2.11), ta có
xn+1 =

1
1
2(2n + 1) +
xn

⇔

1
xn+1

= 2(2n + 1) +

1
.
xn

2
= un . Khi đó u1 = 3 và un+1 = 4(2n + 1) + un , ∀n = 1, 2, . . .
xn
Suy ra un+1 − 4(n + 1)2 − 1 = un − 4n2 − 1 = · · · = u1 − (4.12 − 1) = 0

Đặt

Do đó un = (2n − 1)(2n + 1), ∀n = 1, 2, . . .
Vậy xn =

2
2
1
1
=
=
−
, ∀n = 1, 2, . . .
un
(2n − 1)(2n + 1)
2n − 1 2n + 1

nên
1
1 1
1
1 1
−
−
−

+
+ ··· +
1 3
3 5
4001 4003
4002
1
=
.
=1−
4003
4003

x1 + x2 + · · · + x2001 =
⇔x1 + x2 + · · · + x2001

Bài toán 2.11 (xem [1]). Cho dãy (xn ) xác định bởi:

√

 x1 = 3

 xn+1

√
xn + 2 − 1
√
=
, ∀n ∈ N∗ .
1 + (1 − 2)xn

Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ).
Bài giải.
Từ công thức tan (x + y) =

tan x + tan y
, ta có
1 − tan x tan y

π
π
π π
8
1 = tan = tan
+
=
π
4
8
8
1 − tan2
8

√
π
tan = −1 + 2
π
π
8
⇔ tan2 + 2 tan − 1 = 0 ⇔ 

√
π
8
8
tan = −1 − 2
8
π
π √
Vì tan > 0 nên tan = 2 − 1.
8
8
π
xn + tan
8 , ∀n = 1, 2, . . .
Ta có xn+1 =
π
1 − xn . tan
8
2 tan

(2.12)


18

Do đó
√

π
3 = tan .

3
π
π
tan + tan
3
8 = tan π + π .
x2 =
π
π
3
8
1 − tan tan
3
8
π
π π
+
+ tan
tan
3
8
8 = tan π + 2. π .
x3 =
π π
π
3
8
1 − tan
+
tan

3
8
8
π
π
+(n−1) , ∀n = 1, 2, . . .
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh xn = tan
3
8
Trường hợp n = 1 đã kiểm tra ở trên.
π
π
Giả sử xn = tan
+ (n − 1) . Khi đó
3
8
π
π
π
tan
+ (n − 1)
+ tan
3
8
8
xn+1 =
π
π
π
+ (n − 1) . tan

1 − tan
3
8
8
π
π π
π
π
= tan
+ (n − 1) +
= tan
+ n. .
3
8
8
3
8
π
π
Theo nguyên lý quy nạp, ta được xn = tan
+ (n − 1) , ∀n = 1, 2, . . .
3
8
x1 =

Bài toán 2.12 (xem [1]). Cho dãy (xn ) như sau
x1 = 5, xn+1 =

5xn + 4
, ∀n = 1, 2, . . .

xn + 2

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N∗ thì xn = 4. Tìm số hạng tổng quát của dãy (xn ).
Bài giải.
Ta có x1 = 5 = 4. Giả sử xn = 4, ta chứng minh xn+1 = 4.
5xn + 4
= 4 ⇔ 5xn + 4 = 4xn + 8 ⇔ xn = 4, mâu thuẫn với giả
xn + 2
thiết quy nạp. Vậy xn = 4, ∀n ∈ N∗ .

Nếu xn+1 = 4 thì

Ta có
5xn−1 + 4
−4=
xn−1 + 2
5xn−1 + 4
+1=
xn + 1 =
xn−1 + 2

xn − 4 =

xn−1 − 4
;
xn−1 + 2
6(xn−1 + 1)
.
xn−1 + 2

xn + 1
xn−1 + 1
xn−2 + 1
x1 + 1
=6
= 62 .
= · · · = 6n−1 .
= 6n .
xn − 4
xn−1 − 4
xn−2 − 4
x1 − 4
4.6n + 1
Do đó xn + 1 = 6n xn − 4.6n ⇔ xn = n
, ∀n ∈ N∗ .
6 −1
4.6n + 1
Vậy số hạng tổng quát của dãy (xn ) là xn = n
, ∀n ∈ N∗ .
6 −1

Suy ra


19

Nhận xét 2.3. Để sử dụng phương pháp hàm lặp ta xét
xn+1 − k =

=

5xn + 4
5xn − 4 − kxn − 2k
−k =
xn + 2
xn + 2
(5 − k)xn + 4 − 2k
=
xn + 2

2k − 4
5−k .
xn + 2

(5 − k) xn −

Ta chọn k sao cho
2k − 4
= k ⇔ 2k − 4 = 5k − k 2 ⇔ k 2 − 3k − 4 = 0 ⇔
5−k

k = −1
k=4

Vậy nên trong lời giải trên ta đã xét xn − 4 và xn + 1.
Bài toán 2.13 (xem [1]). Tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn ) cho như sau
x1 = α ∈ R, xn+1 =

8xn
, ∀n ∈ N∗ .

4 + x2n

Bài giải.
Nếu α = −2 thì xn = −2, ∀n = 1, 2, . . .
Xét α = −2. Ta có
2x2n−1 − 8xn−1 + 8
8xn−1
2(2 − xn−1 )2
2 − xn = 2 −
=
=
4 + x2n−1
4 + x2n−1
4 + x2n−1

(1);

2x2n−1 + 8xn−1 + 8
8xn−1
2(2 + xn−1 )2
2 + xn = 2 +
=
=
4 + x2n−1
4 + x2n−1
4 + x2n−1

(2)

Xét hàm số f (x) =

2−x
. Từ (1) và (2) ta có
2+x

f (xn ) =

2 − xn
=
2 + xn

2 − xn−1
2 + xn−1

2

2

= f (xn−1 )

22

= f (xn−2 )

2n−1

= · · · = f (x1 )

2n−1

= f (α)

2n−1

Đặt β = f (α)

. Ta có
2 − 2β
2 − xn
= β ⇔ 2 − xn = 2β + βxn ⇔ xn =
.
2 + xn
1+β

Vậy, nếu α = −2 thì xn = −2, ∀n = 1, 2, . . .
2−α
2 1−
2+α
nếu α = −2 thì xn =
2−α
1+
2+α

2n−1

2n−1

, ∀n = 1, 2, . . .

.

20

Bài toán 2.14 (xem [1]). Tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn ) cho như sau
x1 = α > 0, xn+1 =

x3n + 12xn
, ∀n ∈ N∗ .
2
3xn + 4

Bài giải.
Ta có
x3n−1 + 12xn−1
x3n−1 − 6x2n−1 + 12xn−1 − 8
(xn−1 − 2)3
−
2
=
=
.
3x2n−1 + 4
3x2n−1 + 4
3x2n−1 + 4

(2.13)

x3n−1 + 12xn−1
x3n−1 + 6x2n−1 + 12xn−1 + 8

(xn−1 + 2)3
xn + 2 =
+
2
=
=
.
3x2n−1 + 4
3x2n−1 + 4
3x2n−1 + 4

(2.14)

xn − 2 =

Xét hàm số f (x) =

x−2
. Từ (2.13) và (2.14) ta có
x+2
xn − 2
=
xn + 2

f (xn ) =

xn−1 − 2
xn−1 + 2

3

3n−1

3n−1

32

= · · · = f (x1 )

= f (xn−2 )

3

= f (xn−1 )

(2.15)

.

= f (α)

Từ (2.15) ta có
xn − 2
= f (α)
xn + 2

.

⇔ xn − 2 = f (α)
3n−1

2 + 2 f (α)
⇔ xn =

3n−1

1 − f (α)

3n−1

3n−1

3n−1

α−2
2+2
α+2
⇔ xn =
α−2
1−
α+2

.xn + 2. f (α)
3n−1
3n−1

, ∀n = 1, 2, . . .

α−2
α+2

Vậy số hạng tổng quát của dãy đã cho là xn =
α−2
1−
α+2

3n−1

2+2

3n−1

, ∀n = 1, 2, . . .

Bài toán 2.15 (xem [1]). Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un ) cho như sau:
u1 = α ∈ R, un+1 =

4un (4u2n + 1)
, ∀n ∈ N∗ .
16u4n + 24u2n + 1

Bài giải.
Dễ thấy, với mọi số nguyên dương n thì luôn tồn tại un .
1
2
1
Xét α = − . Ta có
2

1
2

Nếu α = − thì un = − , ∀n = 1, 2, . . .

2un+1 + 1 =

32u3n + 8un
16u4n + 32u3n + 24u2n + 8un + 1
+
1
=
16u4n + 24u2n + 1
16u4n + 24u2n + 1


21
=

(2un + 1)4
.
16u4n + 24u2n + 1

(2.16)

Mặt khác
2un+1 − 1 =

−16u4n + 32u3n − 24u2n + 8un − 1
32u3n + 8un
−
1

=
16u4n + 24u2n + 1
16u4n + 24u2n + 1
=

Xét hàm số f (x) =

−(2un + 1)4
.
16u4n + 24u2n + 1

(2.17)

2x − 1
. Từ (2.16)và (2.17) ta có
2x + 1

f (un ) =

2un − 1
2un−1 − 1
=−
2un + 1
2un−1 + 1
42

= − f (un−2 )

4

4

= f (un−1 )

4n−1

= · · · = − f (u1 )

4n−1

= − f (α)

.

(2.18)

Từ (2.18) ta có
4n−1

2un − 1
= − f (α)
2un + 1
1
2

1 − f (α)

4n−1

1

2

⇔ un =

4n−1

.

2 + 2 f (α)

Vậy, nếu α = − thì un = − , ∀n = 1, 2, . . .
2α − 1
1
−
1
2α + 1
nếu α = − thì un =
2
2α − 1
2+2
2α + 1

4n−1
4n−1

, ∀n = 1, 2, . . .

Bài toán 2.16 (xem [1]). Tìm số hạng tổng quát của dãy số (xn ) cho như sau
x1 = α > 0, xn+1 =

x4n + 12x2n + 4
, ∀n ∈ N∗ .
4x3n + 8xn

Bài giải.
Dễ thấy xn > 0, ∀n ∈ N∗ . Ta có
x4n + 12x2n + 4 √
+ 2
4x3n + 8xn
√
√
√
x4n + 4 2x3n + 12x2n + 8 2xn + 4
(xn + 2)4
=
=
.
4x3n + 8xn
4x3n + 8xn
xn+1 +

Mặt khác
xn+1 −

√

√

2=

2=

x4n + 12x2n + 4 √
− 2
4x3n + 8xn

(2.19)


22
√
√
√
(xn − 2)4
x4n − 4 2x3n + 12x2n − 8 2xn + 4
=
.
=
4x3n + 8xn
4x3n + 8xn
√
x− 2
√ , ∀x > 0. Từ (2.19) và (2.20) ta suy ra
Xét hàm số f (x) =
x+ 2
√
√
4
xn − 2
xn−1 − 2 4

√ =
√
f (xn ) =
= f (xn−1 )
xn + 2
xn−1 + 2
= · · · = f (x1 )

= f (xn−2 )

4n−1

4n−1

42

(2.20)

= f (α)

.

(2.21)

4n−1

Đặt βn = f (α)

. Từ (2.21) ta có

√
√
√
√
√
xn − 2
2 + 2βn
√ = βn ⇔ xn − 2 = βn xn + 2βn ⇔ xn =
.
1 − βn
xn + 2

Số hạng tổng quát của dãy đã cho là
√
xn =

2.3

√
n−1
α− 2 4
√
2+ 2
α+ 2
√
, ∀n ∈ N∗ .
n−1
4
α− 2
√

1−
α+ 2
√

Dãy số sinh bởi hàm chứa căn thức

Bài toán 2.17. Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) xác định bởi:

1


u1 =


2



 un =

1 − u2n−1

2−2

, ∀n ≥ 2.

2

Bài giải.
Ta có u1 =

π
1
= sin .
2
6

Từ công thức lượng giác cos2 α = 1 − sin2 α ta có
2−2
u2 =

Giả sử un = sin

π
2n−1 .6

1 − sin2

π
6

2

2 1 − cos
=

π
6

= sin

2

π
.
2.6

.

2−2

1 − sin2

π
2n−1 .6

2 1 − cos

π
2n−1 .6

π
= sin n .
2
2
2 .6
π
Vậy, theo nguyên lý quy nạp ta chứng minh được un = sin n−1 .
2 .6

Khi đó un+1 =

=

(2.22)