Đề cương ôn thi tuyển sinh lớp 10

y

O

x
x2 + y2 – 2x – 6 y + 13 = 0

Năm học 2016- 2107

Gia sư: Trương Khánh Nguyên
Sđt: 01204808748



PHẦN A: ĐẠI SỐ
Chủ đề 1: CĂN BẬC 2- CĂN BẬC 3
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.

A có nghĩa khi A ≥ 0

2.


 A  A  0
A2  A  

 A  A  0 

3.

A.B  A. B ( A  0; B  0)

4.

A

B

A
A B

( B > 0)
B
B

A  B  2 AB  ( A  B ) 2 A  0; B  0

A ( A  0; B > 0)
B

A  B 2  2B A  ( A  B)2 A  0

6. Căn bậc ba:

5. Các phép biến đổi đơn giản:

a. Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a là
số x sao cho x3 = a

A2 .B  A B ( B  0)

+ A  0: A. B  A2 .B ( B  0)

b. Tính chất: a < b  3 a  3 b ;

+ A < 0: A. B   A2 .B ( B  0)

A

B

A B
( A, B  0; A  B)
A B

1

A B

3

ab  a . b ;
3

3

3

AB 1
 . AB ( AB > 0; B  0)
B2

B

a 3a

b 3b

II. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1: Tìm điều kiệ n củ a biến để mỗ i biểu thức (căn thức) sau cố nghĩa:
* Phương pháp:
- Xác dịnh điều kiện để biểu thức đã chô có nghĩa.
+

A có nghĩa khi A ≥ 0

+

1
có nghĩa khi A >0
A

- Giải bất pt để tìm giá trị của biến.
Lưu ý: Ta luôn có A2 ≥ 0

Ví dụ:
1)

2015
x  2016

6)

4a

2) 5  2x
7)

5a

3) 3x  12
8) 8  2 x  2 x  4 9)

4)

5
x2

3a  7

5)

1
3x  5

10) 2a 2  3

1


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!
Dạng 2:Vận dụng đẳng thức


 A A  0
để rút gọn biểu thức:
A2  A  

A
A

0





Bài tập:
1) (1  2) 2

1) ( 5  2)2

2) ( 2  3)2



5 3

3)

42 3

4)

4)

3 5  3 5

6) 3  5



2

2) 21  4 5





2 5



2

3)

42 3
6 2

5) 5  2 6  5  2 6

  3  5  3  5  3  5
7)  4  15  10  6  4  15 8) 6  2

5  13  48

Dạng 3: Thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức
Lưu ý: Đối với biểu thức chứa biến cà n ghi rỗ ĐK củ a biến khi rú t gộ n.
1) 3 50  5 18  2 72
3
4

2)
6 3
7 3
3)
4)
5)

x xy y
x y



 
3

2 1 

1) 5 8  2 18  3 50 2)

3)

x  0; y  0; x  y



2 1

3

x  2  2 x  3  x 1 4 x  3
3 x  4

1
1

43 2 43 2

1
1

43 2 43 2

4) 9a  16a  49a a  0

5) 16b  2 40b  3 90b b  0
7)



5  15
 21  4 5
1 3



8) 5 48  3 27  2 12 : 3

Dạng 4: Giải phương trình.
+ Dạ ng:

A  B  A  B 2 ( nế u B là mộ t số dương )

+ Dạ ng:

B  0
AB
( nế u B là mộ t biể u thức chứa biế n )
2
A

B


+ Dạng:

A  B
A B 
A0

+ Dạ ng:

A2  B . Ta đưa về phương trình chứa dá u giá trị tuyệ t đố i.

A2  B  A  B
*Trường hợp 1: Nế u B là mộ t số dương thì:

A B 
2

A  B
 A  B


6)

96 2  6
3


*Trường hợp 2: Nế u B là mộ t biể u thức chứa biế n thì:
B  0
 A  B

A B 

Bài tập: Giải các phương trình sau
1) 9( x  1)  21

1)

4x  8 

1
x  2  9 x  18  9
2

2)

( x  3) 2  9

3)

4x  4x  1  6

4)

x 2
x 4

x 5
x 6

1
2
x2
4x  8 
x2 
7
2

3
36
1
3) 18 x  9  8 x  4 
2x  1  4
3

5)

x2  6x  9  x  1

4) 3 3x  7 27 x  5 12 x  24

2)

2

5) 25 x  25 

15 x  1
3
 6
x 1
2
9
2

Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức:
+ Thực hiệ n cá c phế p biế n đổ i biể u thức chứa căn bạ c hai.
+ Vạ n dụ ng phương phá p chứng minh đả ng thức A = B

 C/m A = C; B = C
 Biến đổi A thành B hoặc B thành A.
Bài tập: Chứng minh các đẳng thức sau

 a  a  a  a 
1) 1 
1 
  1  a (a  0, a  1)
a  1 
a 1 

 x y

2) 
 x y


3)
4)


xy  1
 1 ( x  0; y  0; x  y )
 :
x y x y
xy

a b b a
1
:

 a b
ab
a b

( x  y  3 x  3 y )( x  y )
x  y 3

(a  0, b  0, a  b)

x y

( x  0, y  0)

 14  7
15  5 
1
5) 

 2
:
1

2
1

3
7

5



6)

3 2 3 2 2

 (2  3)  2
3
2 1

7)

15  12 6 3  2 6

 3
52
3 2

Dạng 6: Bài toán tổng hợp
3


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!
 a
1  a  a a  a 


1) Cho M = 





 2

2 a  a  1

a 1 

a) Tìm ĐKXĐ của M.
b) Rút gọn M
c) Tìm giá trị của a để M = - 4

x
x  x4
2) Cho S  

(x  0; x  4)
.
x  2  4x
 x 2

a) Rút gọn S
b) Tìm giá trị của x để S > 3.

 a
1  1
2 


3) Cho biểu thức Q = 
 .


 a 1 a  a   a 1 a 1 

với a > 0 ; a ≠ 1

a) Rút gọn Q.
b) Tính giá trị của Q khi a = 3 + 2 2
c) Tìm giá trị của a sao cho Q < 0.



a 2
a  2  a 1


a

1
a

2
a

1
a



4) Cho biểu thức M = 

a) Tìm điều kiện của a để M có nghĩa.
b) Rút gọn M.
c) Tìm các số nguyên a để M là số nguyên.




a
a 
a
a


 :
 với a và b là
 a  b b  a   a  b a  b  2 ab 

5) Cho biểu thức: A = 

các số dương khác nhau.
a) Rút gọn biểu thức A –

a  b  2 ab
.
ba

b) Tính giá trị của A khi a = 7  4 3 và b = 7  4 3 .

1
1

3
1
3
2
2
6) Tính giá trị của biểu thức: M 

1
1
1 1
3 1 1
3
2
2
1
 74 3
7) Rút gọn biểu thức: A 
2 3
x y
8) Tính giá trị biểu thức: P   với x  2  3; y  2  3
y x
1

4


1   a 1
 1
9) Cho biểu thức: K  2 


 với a > 0, a ≠ 1
: 2
a   a a 
 a 1
a) Rút gọn biểu thức K.
b) Tìm a để K  2012 .
x 1 2 x x  x

x 1
x 1
a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Với giá trị nào của x thì A < 1.


x
x
y



1
:
11) Cho biểu thức: P 

 x  x2  y 2
x 2  y 2   x 2  y 2

a) Tìm điều kiện của x, y để biểu thức P có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tính P biết rằng 2x – 3y = 0.
1
1
x xx


12) Cho biểu thức: A 
x  x 1
x  x 1 1 x
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
x yy x
13) Cho biểu thức: Q 
với x  0, y  0, x  y
x y
10) Cho biểu thức: A 






a) Rút gọn biểu thức Q.
b) Tính giá trị Q tại x  26  1; y  26  1.

Chủ đề 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Cho hàm số y = f(x) xác định với x ∈ D
 Nếu có hằng số M sao cho:
{

f(x) ≤ M với mọi x ∈ D
f(x) = M có nghiệm x ∈ D (tức là có x0 ∈ D thỏa f(x0 ) = M)

thì M là giá trị lớn nhất của f(x) và kí hiệu fmax = M.
 Nếu có hằng số m sao cho
{

f(x) ≥ m với mọi x∈D
f(x) = m có nghiệm x∈D (tức là có x0 ∈D thỏa f(x0 ) = m)

thì m là giá trị nhỏ nhất của f(x) và kí hiệ là fmin = m.
 Cho f(x) = A+

B
( với A là hằng số, B > 0 là hằng số, g(x) > 0 với mọi x ∈ D)
g(x)
5


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!
thì fmax khi và chỉ khi gmin
fmin khi và chỉ khi gmax
 Cho f(x) = A-

B
( A, B, g(x) như nếu trên).
g(x)

thì fmax khi và chỉ khi gmax

fmin khi và chỉ khi gmin
 Cho f(x) = A – g(x) (A là hằng số)
thì fmax khi và chỉ khi gmin
fmin khi và chỉ khi gmax
II. CÁC BÀI TOÁN
1) Cho M  x  4 x  4  x  4 x  4 . Tìm x để M nhỏ nhất và xác định giá trị nhỏ nhất
của M.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: y 
3) Cho M 

x 2  3x  1
x2  2 x  5

x2  2x 1 
1
1

 

. Tìm giá trị nhỏ nhất của M.
3
x  1 2  1  x  2 1  x  2 

4) Cho hàm số .. . Tìm x để y đạt giá trị nhỏ nhất. Xác định ymin.
5) Cho hàm số y 

x2
. Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất. Xác định ymax.
x4  1

x4  x2  1
1
t

7) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  4
.
HD:
Biến
đổi
y;
đặt
x2  1
x  2 x2  1
8) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2 

1
1
1

t

x

.
HD:
Đặt

2
x



5,
x

0


x2
x
x


Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. PHƯƠNG TRÌNH
I.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Phương trình ax + b = 0
 Nếu a ≠ 0: PT có nhiệm duy nhất là x  

b
a

 Nếu a = 0, b ≠ 0: PT vô nghiệm
 Nếu a = 0, b = 0: PT có vô số nghiệm
2. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0)
6


 Công thức nhiệm PT
∆ = b2 – 4 ac
b  

b  
x1 
; x2 
2a
2a
b
x1  x2  
2a

∆ > 0: PT có hai nghiệm
∆ = 0: PT có nghiệm kép

∆’ = b’2 – ac ( b = 2 b’)
b '  '
b '  '
x1 
; x2 
a
a

x1  x2  

b'
a

∆ < 0: PT vô nghiệm
 Định lí Vi-et:
b
c
S  x1  x2   ; P  x1.x2  ( x1, x2 là nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0, a≠0)

a
a

Ta có thể sử dụng định lí Vi-êt để tính các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c:
 S1  x1  x2  

b
a

 S2  x12  x22  ( x1  x2 )2  2 x1 x2 

b2  2ac
a2

3abc  b3
 S3  x  x  ( x1  x2 )  3x1 x2 ( x1  x2 ) 
a3
3
1

3
2

3

b 2  4ac
 x1  x2  ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  4 x1 x2 
a2
 Định lí Vi-êt đảo:
2

2

Nếu x + y = S và xy = P thì x, y là nghiệm của PT:
X2 – SX + P = 0 ( với điều kiện S2 ≥ 4P)
 Ứng dụng định lí Vi-et:
Nhẩm nghiệm:
a + b + c =0: x1 = 1; x2 =

c
a

a – b + c = 0: x1= -1; x2= 

c
a

Tìm hai số khi biết tổng tích:
Cho hai số x, y. Biết rừng x + y = S, x.y = P thì x, y là nghiệm của PT X2 +SX + P = 0
Phân tích thành nhân tử:
Nếu PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) có hai nghiệm x1, x2 thì
ax2+bx+c = a( x – x1)( x – x2) = 0
Xác định dấu các nghiêm số:
Cho PT ax2 + bx + c = 0 (a ≠0). Giả sử PT có nghiệm x1, x2, thì S = x1 + x2 = 

b
;
a

7

Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!
P = x1. x2 =

c
a

c
< 0 thì PT có hai nghiệm trái dấu.
a
c
Nếu P = x1. x2 = > 0 và ∆ = b2 – 4 ac > 0 thì PT có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó, nếu S
a
b
b
= x1 + x2 =  > 0 thì PT có hai nghiệm dương. Nếu S = x1 + x2 =  < 0 thì PT có hai
a
a
nghiệm âm.

Nếu P = x1. x2 =

3. Phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0 )
Nhẩm nghiệm x0 = α
Nếu a + b + c + d = 0 thì x0 = 1
Nếu a + c = b + d thì x0 = -1
Chia ax3 + bx2 + cx + d cho x – a để đưa về giải
phương trình bậc hai.
Lưu ý: Sử dụng máy tính casiô để nhẩm nghiệm

Bước 1: Nhập PT đã chô vàô máy tính
Bước 2: Bấm shift → CALC → “=”.
4. Các phương trình quy về phương trình bậc 2

a) Phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0
Đặt t = x2 ( t ≥ 0 ), PT trở thành: at2 + bt + c = 0. Giải và kiểm tra điều kiện.

b) Phương trình (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + ê = 0 với a + b = c + d
Đặt t = (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
⟹ (x + c)(x + d) = x2 +(c + d)x + cd = t – ab + cd nên PT trở thành:
t(t – ab – cd ) + ê = 0 ⇔ t2 + (cd – ab )t + e = 0 ( PT bậc hai theo t)

c) Phương trình (x + a)4 + (x + b)4 + c = 0
Đặt t = x + α với  

a b
a b
ab
thì có: x + a = t +
,x+b=t2
2
2

 a b  a b
 a b 2
 a b
4
PT trở thành:  t 
  t 
  c  0  2t  12 

 t  2
 c 0
2  
2 

 2 
 2 
4

4

2

Giải phương trình trùng phương.

d) Phương trình

ax4

+

bx3

+

cx2

+ dx + e = 0

2


e d  
 a  0,    
a b 


e  
b 

Chia hai vế cho x2 PT trở thành: a  x 2    b  x    c  0
ax  
bx 

8

4


2

d
2d
e
2d
d
Đặt t  x 
thì t 2  x 2  2 2 
 x2  2 
bx
bx

b
ax
b
Và PT trở thành: at2 + bt + c –

2ad
= 0 ( PT bậc hai theo t)
b

TH đặc biệt: a = e, b = ± d thì t = x ±

1
x

I.2 CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Giải các phương trình sau

1) x 4  5 x 3  12 x 2  5 x  1  0
2) ( x  1)( x  5)( x  3)( x  7)  20  0

6) 4( x  5)( x  6)( x  10)( x  12)  3x 2  0

1
48
 x 4
3) x 2  2  10   
3
x
3 x

3x 2  1
5x
119
7)
 2

x
3x  x  1 18
2
8)3x  x  10  0

4) 2 x 2  3 x  27  0

9)9 x 4  16 x 2  25  0

5) x 4  x 2  72  0

10) x 2  12 x  36  0
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1) x 2  5 x  6  0

3)2 x 2  7 x  5 x  2  0

2) x  2  1  2  0

4) 2 x 2  1  x 2  2 x  3
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

1) x  12 x  64  0

x4
2)
 x 8
x 2

4) 2 x 2  3x  5 2 x 2  3x  9  3  0
4
5) x  2 
2
2 x 3

3)( x  3) 2  3 x  22  x 2  3x  7

6) 4 x 2  12 x 1  x  27(1  x)

Bài tập tổng hợp:
1) x4  4x3  14x2  4x  1  0
2) ( x  1)(3x  4)(6 x  7)2  6  0
3) x3 ( x3  7)  8  0

14) 2 x4  x3  3x2  0
15) ( x  1)( x  2)  4(x  1)

4) x ( x  2)  1  0

16)

5) ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  35  0

17)

6) 6  3 x  9

18)

2

2
x 1  x  5
3
8) 36 x4  97 x2  36  0
2 x 2  3x  2
3
9)
2x  1
7)

x2
 12
x 1

x  5  2 x  18
x  2011  4 x  8044  3

1
1
1


x3 x4 x5

19) 4  5x  16
20) x  4 x  3  2
21) x2  x  20  0
22)

4 x 2  12 x  9  x 2
9


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!
10) 4  2 x  0
11) 3 2 x  5 8x  20  18 x  0

16 x  16  9 x  9  1
2
13) x  5x  6  0
12)

23)

4 x 2  12 x  9  3  2 x

x
10  2 x
 2
x  2 x  2x
25) 2x4  3x2  2  0
24)

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai có chứa tham số

1)

Chô phương trình: x2 - 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thôả mãn x12+x22  10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m.
f) Hãy biểu thị x1 qua x2.

2)

Chô phương trình: x2 + 2x + m -1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1.
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1  x1 

1
1
; y 2  x2 
với x1; x2 là nghiệm của
x2
x1

phương trình ở trên.

3)

Chô phương trình: x2 – 4x + m + 1 = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m saô chô phương trình có 2 nghiệm x1, x2 `thoả mãn: x12 + x22 = 10.
4)
có

Chô phương trình: 2x2 – 10x + m – 1 = 0 (1). Tìm giá trị của m để phương trình (1)
a) Hai nghiệm phân biệt.
b) Có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
c) Vô nghiệm.

5) Chô phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – 7 = 0. Tìm m đề phương trình có một
nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm còn lại.
6) Chô phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0. Chứng minh rằng PT luôn có hai
nghiệm phân biệt.
7) Chô phương trình : x2 – 2(m – 1)x + 2m – 4 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình
có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 = 4.
8) Chô phương trình 5x2 + (2m – 1)x – 3m2 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
10


b) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tính tổng và tích các nghiệm theo m
9) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :
a) x2 – 2(m+3)x + m2 + 3 = 0
b) (m – 1)x2 + 4mx + 4m – 1 = 0
10) Chô phương trình x2 – mx + 3 – m = 0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó

11) Chô phương trình : (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (1)
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó tính tổng
hai nghiệm của phương trình .
12) Chô phương trình x2 + 2(m+1)x + m2 – 3m + 2 = 0 .Tìm giá trị m để PT (1)
a) Có hai nghiệm phân biệt.
b) Có hai nghiệm thỏa mãn x12 + x22 = 16
13) Chô phương trình x2 – 2mx +m2 – m +1 = 0
a) Giải phương trình với m = 1.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
14) Chô phương trình x2 + 2(m +1)x + m2 + 2m – 8 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 vơi mọi m.
b) Xác định m để x1– 2x2 = 1.
c) Xác định m để – 5 < x1< x2 < 7.
15) Chô phương trình x2 – 2(m +1)x + m – 4 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m.
b) Chứng minh giá trị biểu thức A= x1(1–x2) +x2 (1–x1) không phụ thuộc vào m.
c) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau nhưng có giá trị tuyệt đố
bằng nhau.

16) Chô phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau .
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1.
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1  x1 

1
1
; y 2  x2 
với x1; x2 là nghiệm của
x2

x1

phương trình ở trên.

17) Chô phương trình bậc hai ẩn x: x 2  2m  1x  m2  2  0 (I)
a) Giải phương trình khi m = – 2
b) Tìm m để phương trình (I) có nghiệm? Có hai nghiệm phân biệt?.
c) Tìm m để phương trình (I) có hai nghiệm trái dấu
d) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa x12  x2 2  4
e) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa x1  2x2
f) Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm cùng dấu .
11


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!
g)
h)
i)
j)

Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm cùng âm.
Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm cùng dương.
Tìm m để phương trình (I) có 1 nghiệm bằng 1. Tìm nghiệm còn lại
Tìm m để phương trình (I) có 2 nghiệm x1; x2 thỏa 2 x1  4x2  3

18) Cho PT x2  (m  3) x  2m2  3m  2  0 (m là tham số thực). Tìm m để PT đã chô có
hai nhiệm phân biệt sao cho hai nghiệm này lần lượt là giá trị độ dài của hai cạnh liên tiếp
của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 . ( CT 2016)

19) Cho PT x2  ax  b2  5  0 (CT 2015)

a) Giải PT khi a = b = 3.
b) Tính 2a3  3b4 biết PT nhận x1=3, x2=-9 làm nghiệm.

20) Cho PT x2  4x  m2  3  0 (*)
a) Cm PT (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tính giá trị của m để PT (*) có hai nghiệm x1, x2 thỏa x2 = -5x1.

21) Cho PT 2 x 2  2mx  m  1  0(1)
a) Cm rằng (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Xác định m để (1) có hai nghiệm dương.
22) Cho PT (m  3) x2  2mx  5m  0 . Xác định m để PT có hai nghiệm phân biệt dương.

23) Cho PT x2  2x  m2  4  0 (1)
a) CMR PT (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để PT có nghiệm là -2. Tìm nghiệm còn lại.
c) Tìm m để PT (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa: x12  x22  20; x1  2 x2 ; x1  x2  10 .

24) Cho PT: x2  2(m  1) x  m  4  0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 5.
b) CMR (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m.
c) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu, cùng dấu, 2 nghiệm đều âm.
d) Chứng minh biểu thức A = x1 (1  x2 )  x2 (1  x1 ) không phụ thuộc vào m.

25) Cho PT: x2  2(m  1) x  2m  11  0 (1)
a) CMR (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀m.
b) Tìm m để (1) có 1 nghiệm > 1 và 1 nghiệm < 1.
26) Chô phương trình x2  2x  m  0 .Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
thỏa 3x1  2x 2  1

27) Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình (m  1) x2  2mx  m  4  0 .

12


CMR: A = 3( x1  x2 )  2x1 x2  8 không phụ thuộc m.

28) Cho PT: x2  10x  m  0 (1)
a) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Giả sử 2 nghiệm x1 , x2 .Tìm 2 nghiệm đó biết x12  x2 2  68

29) Cho PT: 2x 2  (2m  1) x  m  1  0 (1)
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt .
b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm đều âm.

30) Chô phương trình x2  2(m  1) x  m  3  0 ( m là tham số)
a) Giải phương trình khi m= 0
b) CMR phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 m
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc m
d) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm bằng về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau.

31) Cho PT: x2  2x  m  0 ( m là tham số)
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2
c) Tìm m để x1 , x2 thỏa điề kiện x12  x2 2  1
32) Cho PT: x2  2(m  2) x  m  2  0 .Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm
nghiệm kép đó.

33) Cho PT: x2  2(m  1) x  2m  5  0
a) chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt ∀m.
b) Tìm m để x12  x2 2  14 .
34) Cho PT: x2  (2m  3) x  m  3  0 .Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

x1 , x2 thỏa x1  x2  x1.x2  3 .

35) Chô phương trình: x2  2(m  1) x  m  5  0
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 ∀m.
b) Tìm m để A = x12  x2 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
36) Cho PT: x2  2(m  2) x  m  2  0 . Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tìm
nghiệm kép đó.

37) Chô phương trình bậc hai x2 – (m + 1)x + m = 0 (1).
a) Giải phương trình (1) khi m = 3.
13


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!
b) CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
c) Trông trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2
không phụ thuộc vào m.
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số

Giải các hệ phương trình sau:
2 x  y  1
a) 
 3x  4 y  1

5 x  6 y  17
b) 
 9x  y  7

7 x  2 y  17
c) 
 3x  2 y  5


 2x  3  y  0
d) 

5 x  y  3  0

Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 1
Nhận dạng: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì từng phương trình vẫn không thay đổi.
S  x  y
PP giải: Đưa về PT theo 2 biến mới là 
với điều kiện S2 ≥ 4P.
P

xy


Giải các hệ phương trình sau

 x  y  xy  11
 x  y  xy  2  3 2
a)  2
b)  2
2
2

 x y  xy  30

y  x  6

 xy  64

d)  1 1 1
x  y  4


 x y  y x  12
c) 
 x x  y y  28

Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2

Nhận dạng: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì phương trình này chuyển thành phương
trình kia.

PP giải: Trừ 2 PT với nhau để nhận được phương trình mới có dạng tích số. Chú ý HPT đối
xứng loại 2 nếu có nghiệm (xo; xo) ( tức là x = y). Nếu HPT có nghiệm (x; y) thì HPT cũng
có nghiệm ( y; x).

Giải các hệ phương trình sau:
 x y 3
a)  3
3
x  y  9

 x2  2 y  8
b)  2
 y  2x  8

 x3  1  2 y
c)  3
 y  1  2x

 x2  4x  3 y
d)  2
 y  4 y  3x

Bài tập về nhà:
4 x  2 y  3
6 x  3 y  5

2 x  3 y  5
4 x  6 y  10

3 x  4 y  2  0
5 x  2 y  14

2 x  5 y  3
3 x  2 y  14

1) 

2) 

3) 

4) 

3x  5 y  21
5) 
 2x  y  1

 x  y  43
6) 
3x  2 y  19

3x  4 y  20
7) 
 x  y  170

 x  3 y  10
8) 
 x  5 y  16

 2x  y  7
9) 
 x  4 y  10

 x  3 y  10
3x  5 y  18
10) 
11) 
 2 x  y  1
 x  2y  5

 2x  y  7
13) 
 x  2 y  4

 3x  2 y  12
14) 
4 x  3 y  1

14

2 x  3 y  2
15) 
 3x  2 y  3

4 x  3 y  6
12) 
 2 x  5 y  10
2 x  3 y  2
16) 
 5x  2 y  6


2 x  y  3
17) 
3 x  y  7

 x y 3
18) 
3 x  4 y  2

7 x  3 y  5
19) 
 4x  y  2

 3x  y  3
20) 
2 x  y  7

4 x  3 y  6
21) 
 2x  y  4

2 x  y  4
22) 
 3x  y  1

 x  y 1
23) 
3x  2 y  3

x  2 y  5
24) 
 3x  y  1

3x  y  5  0
25) 
 x y 3 0

0, 2 x  3 y  2
26) 
 x  15 y  10

 x  3 2y

27) 
2 x  4 y  2007

3x  2 y  10

27) 
2
1
x y 3

3
3


y

 x 5
28) 
2
2 x  y  6

 2x  3y  6

29)  5
5
 3 x  2 y  5

 3x  y  2
28) 
3 y  9 x  6

 5 4
 x y 2

30) 
 30  20  1
 x
y

 x 5  (1  3 ) y  1
31) 
(1  3 ) x  y 5  1

x 2
0,2 x  0,1 y  0,3
 
32) 
33)  y 3
3 x  y  5
 x  y  10  0


1
 4
 x  2y  x  2y 1

35) 
 20  3  1
 x  2 y x  2 y

 4 x  y 5x  8 y


2


7
2
36) 
15 x  4 y  4 y  7  3

2
 13

2 x  3 y  7
34) 
 3x  y  5

2( x  5)  3( y  1)  1

37)  x  1 y  2

0

2
5

Chủ đề 4: ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.1 Hàm số bậc nhất
1. Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax +b trông đó a, b là các số cho
trước và a ≠ 0

2. Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x ∈ R và có tính chất:
Đồng biến trên R khi a > 0; Nghịch biến trên R khi a < 0.
3. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0 ) là một đường thẳng:
b
Cắt trục tung tại điểm B(0; b); Cắt trục hoành tại điểm A(  ; 0) (a gọi là hệ số góc; b gọi
a
là tung độ góc)
4. Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. ( Nếu gọi α
là góc hợp bởi giữa đường thẳng và tia Ox thì a = tanα)
Chú ý: Nếu đường thẳng (D): y = ax + b (a ≠ 0) và đường thẳng (D'): y = a'x + b'
( a' ≠ 0 ) thì :
(D) cắt (D') ⇔ a ≠ a'
a  a '
(D) // (D') ⇔ 
b  b '
(D) ⊥ (D') ⇔ a.a' = -1

15


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!

a  a '
(D) ≡ (D') ⇔ 
b  b '
I.2 Hàm số y = ax2 ( a ≠ 0 )
Hàm số y = ax2 ( a ≠ 0 ) có tính chất:
Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0
Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 và đồng biến khi x < 0
Đồ thị hàm số y = ax2 ( a ≠ 0 ) là một parabol với đỉnh là gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục

đối xứng:
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hôành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hôành, O là điểm cao nhất của đồ thị.
I.3 Tìm giaô điểm của (P) và (d)
Tìm giaô điểm: (P): y = ax2(a  0) và (D): y = ax + b:
 Lạ p phương trình hoà nh độ giaô điể m củ a (P) và (D): cho 2 vế phả i củ a 2 hà m
 đưa về pt bạ c hai dạ ng ax2 + bx + c = 0.
số bà ng nhau
 Giả i pt hoà nh độ giaô điể m:
+ Nế u  > 0  pt cố 2 nghiệ m phân biệ t  (D) cá t (P) tạ i 2 điể m phân biệ t.
+ Nế u  = 0  pt cố nghiệ m kế p  (D) và (P) tiế p xú c nhau.
+ Nế u  < 0  pt vô nghiệ m  (D) và (P) không giao nhau.
Xác định số giaô điểm: (P): y = ax2(a  0) và (Dm) theo tham số m:
 Lạ p phương trình hoà nh độ giaô điể m củ a (P) và (Dm): cho 2 vế phả i củ a 2
hà m số bà ng nhau  đưa về pt bạ c hai dạ ng ax2 + bx + c = 0.
 Lạ p  (hoạ c  ' ) củ a pt hoà nh độ giaô điể m.
 Biệ n luạ n:
+ (Dm) cá t (P) tạ i 2 điể m phân biệ t khi  > 0  giả i bá t pt  tìm m.
+ (Dm) tiế p xú c (P) tạ i 1 điể m  = 0  giả i pt  tìm m.
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi  < 0  giả i bá t pt  tìm m.
II. BÀI TẬP
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y 

1 2
x
4

a) Vẽ đồ thị hàm số của (P).
2
1

b) Tìm tọa độ các giaô điểm của (P) với đường thẳng d: y   x 
3
3
1 2
x
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho (P): y 
2
a) Vẽ đồ thị của (P).
b) Gọi A( x1; y1) và B( x2; y2) là hôành độ giaô điểm của (P) và (d): y = x – 4 . Chứng
minh: y1 + y2 – 5( x1 + x2) = 0.
3) Cho (P): y = ax2
a) Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm A( 3 ; -3 ). Vẽ (P) với a vừa tìm được.

16


b) Xác định m để đường thẳng y  (2  m) x  3m  m2 tạo với trục hoành một góc
α = 60o.
4) Cho (P): y = ax2
a) Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm A( 3 ; -3 ).

5)

6)

7)

8)

b) CMR nếu điểm B thuộc (P) và có hôành độ là  3 và O làgốc tọa độ thì tam

giác OAB là tam giác đều.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P)
3
a) Tìm a biết rằng (P) cắt đường thẳng (d) có PT y   x  tại điểm A có hoành
2
độ bằng 3. Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm được.
b) Tìm tọa độ giaô điểm thứ hai B( khác A) của (P) và (d).
Chô hai đường thẳng (d1): y = x + 1 và (d2): y = x – 2. Gọi A, B theo thứ tự là giao
điểm của (d1) với trục hoành, trục tung và C, D theo thứ tự là giaô điểm của (d2) với
trục hoành, trục tung.
a) Xác định tọa độ các điểm A, B, C, D.
b) Vẽ (d1) và (d2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c) Cm tứ giác ABCD nội tiếp.
Chô hai đường thẳng d1: y = x + m – 3 và d2: y = -2x + 6 -2m.
a) Xác định tọa độ giaô điểm của d1 với các trục tọa độ.
b) Với giá trị nào của m thì d1 và d2 cắt nhau tại một điểm nằm trên trục hoành?
Vẽ đồ thị hàm số y = x 2 có đồ thị (P) và y = x +2 có đồ thị là (d) trên cùng 1 hệ
trục tọa độ. Xác định tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

1
9) Cho hàm số y =  x 2 có đồ thị (P) và y= x – 4 có đồ thị (d)
2

a) Vẽ (P).
b) Tìm tọa độ (P) và (d) bằng phép tính.
10) Cho (P) y = x 2
a) Vẽ đồ thị (P).
b) Xác định m để đường thẳng (d) y = mx - 4 tiếp xúc với (P).
11) Chô đồ thị (P): y  x2  2mx  4 và đường thẳng (d): y = 2x. Chứng minh (d)
luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B.

1
12) Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy cho (P): y  x 2 và đường thẳng (d) đi qua điểm
4
3

M  ; 1 có hệ số góc là m.
2

a) Vẽ đồ thị (P).
b) Viết PT đường thẳng (d).
c) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P).
d) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

17


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!

Chủ đề 5: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Các bài toán về chuyển động

Phương pháp giải:
Dựa vào quan hệ của ba đại lượng s: quãng đường, t: thời gian, v: vận tốc của chuyển
động đều trong công thức s = v.t
Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: ví dụ khi giải bài toán thuyền trên sông ta có: v1 = vo +
v3; v2 = vo – v3 trông đó v1 là vận tốc của thuyền khi xuôi dòng, v2 là vận tốc của thuyền
khi ngược dòng; vo là vận tốc riêng của thuyền; v3 là vận tốc dòng chảy.
Chú ý: để thuyền ngược dòng được thì phải có vo = v3
Bài tập:

1) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một xuồng máy đi xuôi dòng từ A
đến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C. Thời
gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ. Tính vận tốc xuồng
máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h.
2) Trong một cuộc đua xê mô tô, ba tay đua đã khởi hành cùng một lúc. Mỗi giờ, người
thứ hai chạy chậm hơn người thứ nhất 15km và nhanh hơn người thứ ba 3km nên
người thứ hai đế đích chậm hơn người thứ nhất 12 phút và sớm hơn người thứ ba 3
phút. Tính vận tốc của ba tay đua mô tô trên.
3) Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội
vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một
ga cách HN 300km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế - Hà
Nội dài 645km.
4) Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau đó lại ngược từ B về A. Thời gian
xuôi ít hơn thời gian ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết
rằng vận tốc dòng nước là 5km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược
bằng nhau.
5) Một người đi xê máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định trước. Sau khi
được 1/3 quãng đường AB người đó tăng vận tốc lên 10km/h trên quãng đường còn
lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xê lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B
sớm hơn dự định 24 phút.
6) Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường bộ 10km. Nếu đi từ A
đến B bằng ca nô thì mất 3 giờ 20 phút, còn đi bằng ô tô thì chỉ mất 2 giờ. Tính vận tốc
của ca nô, biết rằng mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn ca nô 17km.
7) Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một khoảng thời gian nhất định với vận tốc
định trước. Nếu ô tô đi với vận tốc 35km/h thì sẽ đến chậm 2h. Nếu đi với vận tốc
50km/h thì đến sớm hơn 1h. Tính quãng đường AB và thời gian dự định lúc ban đầu.
8) Hai tỉnh A và B cách nhau 120km. Lúc 6 giờ 45 phút một xê máy đi từ A đến B; 15
phút sau đó, một ô tô cũng khởi hành từ A đến B. Vì vậy vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe
máy 10km/h, nên xê máy đến B muộn hơn ô tô tới 45 phút. Hỏi ô tô đến B lúc mấy giờ?
9) Hai bến sông A và B cách nhau 80km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B, rồi ngược

dòng từ B trở về A mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô( vận tốc này là
không đổi), biết vận tốc của dòng nước trong cả hai trường hợp ca nô xuôi dòng và
ngược dòng đều bằng 4km/h.
18


10) Một người đi xê máy khởi hành từ Hôài Ân đi Quy Nhơn. Sa đó 75 phút, một ô tô
khởi hành từ Qui Nhơn đi Hôài Ân với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe máy là 20km/h.
Hai xe gặp nhau tại Phù Cát. Tính vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng Quy Nhơn cách Hôài
Ân 100km và Qui Nhơn cách Phù Cát 30km.
11) Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120km trong một thời gian qui định. Sau
khi đi được thêm 1 giờ thì ôt tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Dô đó để đến B đúng
thời gian xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
12) Bác Hai và cô Bảy đi xê đạp từ huyện lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khỏi
hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hai lớn hơn vận tốc xe của cô Bảy là 3km/h nên
bác Hai đến trước cô Bảy nữa giờ. Tính vận tốc của mỗi người?
Dạng 2: Các bài toán về năng suất laô động

Phương pháp:
Dựa vào quan hệ của ba đại lượng: N: năng suất laô động( khối lượng công việc hoàn
thành trong một đơn vị thời gian), t: thời gian để hoàn thành một công việc, s: lượng
s
công việc đã làm, công thức biểu diễn mối quan hệ là: N 
t
Bài tập:
1) Hai máy ủi cùng làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp được 1/10 khu đất. Nếu máy
ủi thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm việc một
mình trong 22 giờ thì cả hai máy ủi san lắp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một
mình thì mỗi máy ủi san lấp xông khu đất đã chô trông baô lâu?
2) Một đội thợ mỏ theo kế hoạch phải khai thác một lượng than. Họ dự định mỗi ngày

khai thác 50 tấn. Nhưng trên thực tế đội đã tăng năng suất nên mỗi ngày khai thác
được 57 tấn. Dô đó không những họ đã hôàn thành trước thời gian dự định 1 ngày mà
còn vượt chỉ tiêu 13 tấn. Tính số than mà đội phải thác theo kế hoạch?
3) Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất
định. Nhưng khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 10 sản phẩm.
Dô đó tổ đã hôàn thành công việc sớm hơn dự kiến 1 ngày. Tính xem thực tế mỗi ngày
tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?
4) Một công nhân phải làm việc 420 dụng cụ. Do mỗi ngày người đó tăng năng suất 5
dụng cụ nên đã hôàn thành công việc sớm 7 ngày. Tính số ngày người đó đã làm?
5) Một tổ công nhân phải làm 144 dụng cụ. Do công nhân chuyển đi làm việc khác nên
mỗi người còn lại phải làm thêm 4 dụng cụ.Tính số công nhân lúc đầu của mỗi tổ nếu
năng suất của mỗi người đều như nhau.
Dạng 3: Các bài toán về làm chung- làm riêng, vòi nước chảy chung- chảy riêng

Phương pháp giải:
Nếu x giờ( hoặc ngày) làm xong một công việc thì mỗi giờ( hoặc ngày) làm được 1/x
công việc đó.
Nếu trong 1 giờ: đối tượng A làm được 1/x công việc; đối tượng B làm được 1/y công
1 1
việc thì lượng công việc mà cả hai làm được trong 1 giờ là 
công việc.
x y
Nếu mỗi giờ làm được 1/x công việc thì a giờ làm được a/x công việc.

19


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!
Bài tập:
1) Hai vòi nước cùng chảy vào bể thì đầy sau 16 giờ. Nếu vòi I chảy trong 3 giờ và vòi II

chảy trong 6 giờ thì được thể tích nước bằng 25% bể. Tính thời gian cần thiết để riêng
mỗi vòi chảy đầy bể.
2) Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 16 giờ làm xong việc ấy. Nếu người
thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm được trong 6 giờ thì được 25% công việc
ấy. Hỏi nếu làm riêng một người thì mất bao lâu mới hoàn thành công việc này?
3) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 18 giờ bể đầy. Nếu chảy riêng thì voi
thứ nhất sẽ chảy đầy bể chậm hơn vòi thứ hai 27 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi
phải mất bao nhiêu lâu mới chảy đầy bể?
4) Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai
may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ
nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may
được bao nhiêu chiếc áo?
5) Hai máy cày cùng làm việc chung thì cày xông cánh đồng trong 6 giờ.Nếu làm việc
riêng thì máy cày thứ nhất xong sớm hơn máy cày thứ hai 5 giờ.Hỏi nếu làm việc riêng
thì máy cày thứ nhất cày xông cánh đồng trong mấy giờ?
6) Hai vòi nước cùng chảy vào bể nước cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể.Nếu mở vòi
thứ nhất chảy 10 phút vòi thứ hai chảy trông 12 phút thì đầy 2/15 bể.Hỏi nếu mỗi vòi
chảy một mình thì baô lâu đầy bể?
Dạng 4: Các bài toán sắp xếp, chia đều sản phẩm( hàng hóa…)

Phương pháp giải:
N: số lượng hàng hóa phân phối cho mỗi xe;
t: số xe chở hàng;

⟹N 

s
t

s: tổng số lượng hàng hóa trong kho

Bài tập:
1) Một đội xe dự định chở một số lượng hàng, với dự tính mỗi xe chở 5 tấn. Nhưng đến
khi thực hiện đội được tăng cường thêm 2 xe, vì vậy lúc này mỗi xe chỉ phải chở 4 tấn
và tổng hàng chở được nhiều hơn kế hoạch ban đầu là 1 tấn. Tính số xe tham gia chở
hàng.
2) Một hội trường có 300 ghế ngồi, chúng được sắp xếp thành từng dãy đều nhau. Nếu
mỗi dãy thêm 2 ghế và bớt 3 dãy thì hội trường sẽ giảm 11 ghế. Tính số dãy ghế trong
hội trường lúc đầu.
3) Nhà Lan có mảnh vườn trông cây cải bắp. Vườn được đánh thành nhiều luống, mỗi
luống trồng cùng một số cây cải bắp. Lan tính rằng: nếu tăng thêm 8 luống rau, nhưng
mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì tôàn vườn sẽ giảm đi 54 cây. Nếu giảm đi 4 luống nhưng
trồng thêm mỗi luống 2 cây thì tôàn vườn tăng thêm 32 cây. Hỏi vườn nhà Lan có bao
nhiều cây cải bắp?
4) Một hội đồng thi dự định có 552 thí sinh nhưng thực tế dự thi chỉ có 525 thí sinh nên
mỗi phòng thi xếp thêm một thí sinh thì số phòng giảm đi 2 phòng.Hỏi lúc đầu dự định
có bao nhiêu phòng thi?
5) Một phòng họp chứa được 300 chỗ ngồi.Nếu thêm 2 chỗ ngồi vào mỗi dãy ghế và
bớt đi 3 dãy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi.Hỏi phòng họp có bao nhiêu dãy ghế?
20


Dạng 5: Các bài tôán có liên quan đến cấu tạo thập phân của số

Phương pháp giải:
Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng trong một số.
Chú ý: ab  10a  b; abc  100a  10b  c
Bài tập:
1) Tìm các số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng: số đó là chẵn, chia hết cho 11 và tổng các
chữ số của số đó cũng chia hết cho 11.
2) Tìm một số có hai chữ số, biết tổng hai chữ số là 10. Số đó lớn hơn tích hai chữ số

của nó là 12.
3) Tìm số abc thỏa mãn: abc  (a  b) 2 4c
4) Cho một số có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu
chia số đó chô chữ số hàng chục của nó thì được thương là 11, dư là 2. Tìm số đã chô.
5) Chữ số hàng chục của 1 số có 2 chữ số hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ 2
chữ số ấy cho nhau sẽ được 1 số bằng

3
số ban đầu.Tìm số ban đầu.
8

6) Tìm 2 số biết tổng của chúng là 156. Lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 6,
dư 9.
7) Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị. Nếu chia số nhỏ cho 7, số lớn cho 5 thì thương thứ
nhất kém hơn thương thứ hai là 4 đơn vị. Tìm 2 số đó.
8) Tìm số tự nhiên , biết tích của nó với 1 số lớn hơn nó 2 đơn vị là 168.
Dạng 6: Các bài toán có nội dung hình học ( chú ý đến hệ thức lượng trong tam giác,

công thức tính chu vi, diện tích …. của các hình)
1) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675m2 và chu vi bằng 120m. Tìm
chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
2) Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh
lên 3cm thì diện tích sẽ tăng thêm 36cm2 còn nếu giảm một cạnh 2cm và cạnh kia giảm
4cm thì diện tích giảm đi 26cm2.
3) Một hình chữ nhật có chu vi là 160cm và có diện tích 1500m2. Tính kích thước các
cạnh của nó.
4) Một tấm tôn hình chữ nhật có chu vi bằng 114cm. Người ta cắt bỏ bốn tấm hình
vuông có cạnh là 5cm ở bốn góc rồi gấp lên thành một hình hộp chữ nhật( không nắp).
Tính kích thước của tấm tôn đã chô. Biết rằng thể tích hình hộp bằng 150cm3.
5) Một mãnh đất hình chữ nhật có diện tích 360m2. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm

chiều dài 4m thì diện tích mãnh đất không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mãnh
đất.

21


Những gì làm được hôm nay chớ để ngày mai!
6) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900m2 và chu vi 122m. Tìm chiều dài và
chiều rộng của khu vườn.
7) Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 675m2 và chu vi bằng 120m. Tìm
chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
8) Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích
thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi thửa
ruộng không thay đổi.
9) Cạnh huyên của một tam giác vuông bắng 10 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn
kém nhau 2cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
10) Cho tam giác vuông.Nếu tăng các cạnh góc vuông 2cm, 3 cm thì diện tích tăng
50cm2. Nếu giảm 2 cạnh đi 2cm thì diện tích giảm 32cm2.Tính độ dài 2 cạnh góc vuông.

22


PHẦN B: HÌNH HỌC
Chủ đề 1: TAM GIÁC

TÓM TẮT KIẾN THỨC
Hệ thức về cạnh và đường cao
trong vuông:

Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong vuông:

1) sin  =

AC
BC

2) cos  =

AB
BC

3) AB.AC = BC.AH

3) tan  =

AC
AB

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

4) cot  =

AB
AC

2

1) AB = BC.BH
AC2 = BC.CH
2) AH2 = BH.CH

4)

A


B


H

C

Áp dụng định lí pytago vào:
1) vuông ABC: AB2 + AC2 = BC2
2) vuông ABH: AH2 + BH2 = AB2
3) vuông ACH: AH2 + CH2 = AC2
Tỉ số lượng giác của hai góc phụ
nhau:
sin  = cos
Nếu  +  = 90
thì

0

cos  = sin
tan  = cot
cot  = tan

Một số tính chất của tỉ số lượng
giác:
sin 
1) tan  
cos

2) cot 

cos
sin 

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông:

1) cgv = ch . sin(góc đối)

1) AC = BC . sinB
AB = BC . sinC

2) cgv = ch . cos(góc kề)

2) AC = BC . cosC
AB = BC . cosB

3) cgv = cgv . tan(góc đối)

3) AC = AB . tanB
AB = AC . tanC

4) cgv = cgv . cot(góc kề)

4) AB = AC . cotB
AC = AB . cotC

3) sin 2   cos  1
4) tan  .cot  1

23