45 toa do oxyz trong khong gian TSHa van tien

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Bán toàn bộ tài liệu Toán 12 với 3000 Trang rất
công phu của Tiến Sĩ Hà Văn Tiến. Tài liệu có
giải chi tiết rất hay, phân dạng đầy đủ dùng để
luyện thi THPT Quốc Gia 2018
Lớp 12+Luyện Thi THPT Quốc Gia 2018 trọn bộ
giá 200 ngàn

Tặng: 50 đề thi thử THPT Quốc
Gia + Ấn phẩm Casio 2018 của
ĐH Sư Phạm TPHCM
Thanh toán bằng mã thẻ cào Vietnam mobile gửi mã
thẻ cào+số seri+Mail qua số điện thoại

mình sẽ gửi toàn bộ cho bạn. đây là một phần trích
đoạn tài liệu của Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

Trang 1

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Chuyên đề 11

Năm học: 2017 - 2018

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Chủ đề 1.1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Chủ đề 1.3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Chủ đề 1.4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 1.5. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chuyên đề 22

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT
TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

CHỦ ĐỀ 2.1. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ
CHỦ ĐỀ 2.2. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Chủ đề 2.3 - ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG

Chuyên đề 33

Phương trình, Bất PT mũ và logarit

Chủ đề 3.1 LŨY THỪA
Chủ đề 3.2. LOGARIT
Chủ đề 3.3 HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

Chủ đề 3.4. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Chủ đề 3.5. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Chuyên đề 44

Nguyên hàm Tích phân - Ứng dụng

( 410 câu giải chi tiết )

Trang 2

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Chủ đề 4.1. NGUYÊN HÀM
Chủ đề 4.2. TÍCH PHÂN
Chủ đề 4.3. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Chuyên đề 55

SỐ PHỨC

Chủ đề 5.1. DẠNG ĐẠI SỐ VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Chủ đề 5.2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

CHỦ ĐỀ 5.3 TẬP HỢP ĐIỂM

Chuyên đề 66

BÀI TOÁN THỰC TẾ

6.1. LÃI SUẤT NGÂN HÀNG
6.2 BÀI TOÁN TỐI ƯU

Chuyên đề 77

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHỦ ĐỀ 7.1. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
CHỦ ĐỀ 7.2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
CHỦ ĐỀ 7.4. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ

Chuyên đề 88

TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN

Trang 3

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

8.1 : TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
8.2 : PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

8.3: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
8.4: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
8.5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
8.6: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm
r r r
gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy , Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là
hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
rr rr r r
r2 r 2 r 2
Chú ý:
i = j = k = 1 và i. j = i.k = k . j = 0 .
2. Tọa độ của vectơr
r
r r
r
a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk
r
r
b) Tính chất: Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ), k ∈ ¡
r r
• a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
r
• ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 )
 a1 = b1
r r


• a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3
r
r
r
r
• 0 = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)
r r r
r
r
r
• a cùng phương b (b ≠ 0) ⇔ a = kb (k ∈ ¡ )
a1 = kb1
a
a a

⇔ a2 = kb2
⇔ 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ≠ 0)
b1 b2 b3
a = kb
3
 3
r r
rr
• a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
• a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
r
r

• a 2 = a12 + a22 + a32
• a = a12 + a22 + a22
rr
a1b1 + a2b2 + a3b3
a.b
r r
r r r
• cos(a , b ) = r r =
(với a , b ≠ 0 )
2
2
2
2
2
2
a .b
a1 + a2 + a3 . b1 + b2 + b3
3. Tọa độ của điểm
uuuu
r
r
r
r
a) Định nghĩa: M ( x; y; z ) ⇔ OM = x.i + y. j + z.k
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

• M ∈ ( Oxy ) ⇔ z = 0; M ∈ ( Oyz ) ⇔ x = 0; M ∈ ( Oxz ) ⇔ y = 0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B )
uuur

• AB = ( xB − x A ; y B − y A ; zB − z A )
Chú ý:

• AB = ( xB − xA ) 2 + ( yB − y A )2 + ( zB − z A ) 2
 x + x y + yB z A + z B 
;
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M  A B ; A
÷
 2
2
2 

Trang 4

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CC CHUYấN TON 12Lí THUYT + BI TP

Nm hc: 2017 - 2018

To trng tõm G ca tam giỏc ABC :
x + x + x y + y B + yC z A + z B + zC
G A B C ; A
;
ữ
3
3
3

To trng tõm G ca t din ABCD :
x + x + x + xD y A + yB + yC + y D z A + z B + zC + zC
G A B C
;
;
ữ

4
4
4

4. Tớch cú hng ca hai vect
r
r
a) nh ngha: Trong khụng gian Oxyz cho hai vect a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) . Tớch cú hng
r r
r
r
ca hai vect a v b, kớ hiu l a, b , c xỏc nh bi
a a3 a3 a1 a1 a2
r r
a , b = 2
;
;
ữ = ( a2b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2b1 )
b
b
b
b

b
b
2
3
3
1
1
2


Chỳ ý: Tớch cú hng ca hai vect l mt vect, tớch vụ hng ca hai vect l mt s.
b) Tớnh
r r cht:
r
r r
r
[a, b] a;
[ a, b] b
r r
r r
a, b = b, a
r r
r r r
r r
r
r
j , k = i ;
k , i = j
i , j = k ;
r r

r r
r r
[a, b] = a . b .sin ( a , b ) (Chng trỡnh nõng cao)
r r
r r
r
a, b cựng phng [a, b] = 0 (chng minh 3 im thng hng)
c) ng dng ca tớch cú hng: (Chngrtrỡnh
cao)
r nõng
r r r
r
iu kin ng phng ca ba vect: a, b v c ng phng [a, b].c = 0
uuu
r uuur
Din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD :
SY ABCD = AB, AD
1 uuur uuur
S ABC = AB, AC
Din tớch tam giỏc ABC :
2
uuur uuur uuur
VABCD. A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD]. AA
Th tớch khi hp ABCDABC D :
1 uuur uuur uuur
VABCD = [ AB, AC ]. AD
Th tớch t din ABCD :
6
Chỳ ý:
Tớch vụ hng ca hai vect thng s dng chng minh hai ng thng vuụng gúc, tớnh

gúc gia hai ng thng.
Tớch cú hng ca hai vect thng s dng tớnh din tớch tam giỏc; tớnh th tớch khi t
din, th tớch hỡnh hp; chng minh cỏc vect ng phng khụng ng phng, chng minh cỏc
vect cựng phng.
r r
rr
a br a.b = 0
r
r r r
[
a vaứ
b
cuứ
n
g
phửụng

a
, b] = 0
r r r
r r r
a, b, c ủo
ng phaỳ
ng [ a, b] .c = 0
5. Mt vi thao tỏc s dng mỏy tớnh b tỳi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal 570
Es Plus )
Trong khụng gian Oxyz cho bn im A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; y B ; z B ) , C ( xC ; yC ; z C ) , D ( xD ; y D ; z D )
uuur
w 8 1 1 (nhp vect AB )
uuur

q 5 2 2 2 (nhp vect AC )
uuur
q 5 2 3 1 (nhp vect AD )
uuu
r uuur
C q53q54= (tớnh AB, AC )

Trang 5

Tin S H Vn Tin


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

uuur uuur uuur
C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
uuu
r uuur uuur
Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=
r uuur uuur
1 uuu
(tính VABCD = [ AB, AC ]. AD
6

Trang 6

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.
Câu 5.

r
r
r
r
r
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos ϕ bằng
rr
rr
rr
r r
a.b
a.b
−a.b
a+b

A. r r .
B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a.b
a.b
a.b
r
r
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a = ( 1; 2;0 ) và b = ( 2;0; −1) , khi đó cos ϕ bằng
2
2
2
A. 0.
B. .
C.
.
D. − .
5
5
5
r
r
r
Cho vectơ a = ( 1;3; 4 ) , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r
r
r

A. b = ( −2; −6; −8 ) .
B. b = ( −2; −6;8 ) .
C. b = ( −2;6;8 ) .
D. b = ( 2; −6; −8 ) .
r
r
Tích vô hướng của hai vectơ a = ( −2; 2;5 ) , b = ( 0;1; 2 ) trong không gian bằng
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A ( −1; 2;3) , B ( 0;1;1) , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

Câu 7.

C. 10.
D. 12.
8.
rr r
uuuu
r
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M ( x; y; z ) thì OM bằng
r r r
r r r
r r r
r r r
A. − xi − y j − zk .

B. xi − y j − zk .
C. x j + yi + zk .
D. xi + y j + zk .
r
r
r r
Tích có hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được
xác định bằng tọa độ
A. ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
B. ( a2b3 + a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 + a2b1 ) .
C.

Câu 8.

Câu 9.

6.

B.

( a2b3 − a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .

D.

( a2b2 − a3b3 ; a3b3 − a1b1 ; a1b1 − a2b2 ) .

r
r
rr
Cho các vectơ u = ( u1 ; u2 ; u3 ) và v = ( v1 ; v2 ; v3 ) , u.v = 0 khi và chỉ khi

A. u1v1 + u2 v2 + u3v3 = 1 .
B. u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3 = 0 .
C. u1v1 + u2 v2 + u3v3 = 0 .
r
r
Cho vectơ a = ( 1; −1; 2 ) , độ dài vectơ a là

D. u1v2 + u2v3 + u3v1 = −1 .

A.

C. − 6 .

6.

B. 2.

D. 4.

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M ( a;0;0 ) , a ≠ 0 . B. M ( 0; b;0 ) , b ≠ 0 . C. M ( 0;0; c ) , c ≠ 0 . D. M ( a;1;1) , a ≠ 0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c ≠ 0 )
A. ( 0; b; a ) .
B. ( a; b;0 ) .
C. ( 0;0; c ) .
D. ( a;1;1)
r
r

r
r
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a = ( 0;3; 4 ) và b = 2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A. ( 0;3; 4 ) .

B. ( 4;0;3) .

C. ( 2;0;1) .

D. ( −8;0; −6 ) .

r r
r
r
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u , v  bằng

Trang 7

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
r r
r r
A. u . v .sin u , v .

r r
r r
B. u . v .cos u , v .

( )

( )

Năm học: 2017 - 2018

rr
r r
C. u.v.cos u , v .

rr
r r
D. u.v.sin u , v .

( )

( )

r
r
r
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a = ( 1; −1; 2 ) , b = ( 3;0; −1) , c = ( −2;5;1) , vectơ
ur r r r
m = a + b − c có tọa độ là
A. ( 6;0; −6 ) .
B. ( −6;6;0 ) .
C. ( 6; −6;0 ) .
D. ( 0;6; −6 ) .
Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Độ dài các cạnh
AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là

A.

21, 13, 37 .

B. 11, 14, 37 .

C.

21, 14, 37 .

D.

21, 13, 35 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
5 2 4
5

A.  ; ; − ÷.
B.  ; ; ÷.
C. ( 5; 2; 4 ) .
D.  ;1; −2 ÷ .
3 3 3
3 3 3
2

Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 0; −2;5 ) . Để 4 điểm A, B, C , D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là

A. D ( −2;5;0 ) .
B. D ( 1; 2;3) .
C. D ( 1; −1;6 ) .
D. D ( 0;0; 2 ) .

r

r

r

Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a = (1; 2;3),b = (−2;0;1),c = (−1; 0;1) . Tìm tọa độ của

r

r

r

r

r

vectơ n = a + b + 2c − 3i
r
r
A. n = ( 6; 2;6 ) .
B. n = ( 6;2; −6 ) .

r

C. n = ( 0; 2;6 ) .

r
D. n = ( −6; 2;6 ) .

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2

 1 
A. G  ;1;3 ÷ .
B. G ( 2;3;9 ) .
C. G ( −6;0; 24 ) .
D. G  2; ;3 ÷.
3

 3 
Câu 20. Cho 3 điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0; −3;0 ) , P ( 0;0;4 ) . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q ( −2; −3; 4 )
B. Q ( 2;3; 4 )
C. Q ( 3; 4; 2 )
D. Q ( −2; −3; −4 )
Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M ( 1;1;1) , N ( 2;3; 4 ) , P ( 7;7;5 ) . Để tứ giác MNPQ
là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q ( −6;5; 2 ) .
B. Q ( 6;5; 2 ) .
C. Q ( 6; −5; 2 ) .
D. Q ( −6; −5; −2 ) .
Câu 22. Cho 3 điểm A ( 1;2;0 ) , B ( 1;0; −1) , C ( 0; −1;2 ) . Tam giác ABC là

A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( −1; 2; 2 ) , B ( 0;1;3 ) , C ( −3; 4;0 ) . Để tứ giác
ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D ( −4;5; −1) .
B. D ( 4;5; −1) .
C. D ( −4; −5; −1) .
D. D ( 4; −5;1) .
r
r
r r
r
r
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a = 2; b = 4 . Khi đó a + b bằng
A.

8 3 + 20.

B. 2 7.

C. 2 5.

D. 2 .

Câu 25. Cho điểm M ( 1; 2; −3) , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Oxy ) bằng
Trang 8

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
B. −3 .

A. 2.

Năm học: 2017 - 2018

C. 1.

D. 3.

Câu 26. Cho điểm M ( −2;5; 0 ) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M ′ ( 2;5;0 ) .

B. M ′ ( 0; −5; 0 ) .

C. M ′ ( 0;5;0 ) .

D. M ′ ( −2;0; 0 ) .

Câu 27. Cho điểm M ( 1; 2; −3 ) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ ( 1; 2; 0 ) .

B. M ′ ( 1;0; −3) .

C. M ′ ( 0; 2; −3) .

D. M ′ ( 1; 2;3) .

Câu 28. Cho điểm M ( −2;5;1) , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A.

29 .

B.

5.

C. 2.

D.

26 .

Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
uu
r uur uur
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
A. IA = IB + IC.
B. IA + IB + CI = 0.
C. IA + BI + IC = 0. D. IA + IB + IC = 0.
→

→

→

Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a = ( −1;1;0 ) ; b = ( 1;1;0 ) ; c = ( 1;1;1) . Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào sai:
uu
r
A. br ⊥ cr.
B. a = 2.

ur
C. c = 3.

D. ar ⊥ br.

Câu 31. Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ ( 3; −2;1) .
B. M ′ ( 3; −2; −1) .
C. M ′ ( 3; 2;1) .
D. M ′ ( 3; 2;0 ) .
Câu 32. Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm M ′ ( a; b; c ) đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a + b + c bằng
A. 6.
B. 4.
C. 0.
D. 2.
r
r
r r

Câu 33. Cho u = ( 1;1;1) và v = ( 0;1; m ) . Để góc giữa hai vectơ u, v có số đo bằng 450 thì m bằng
A. ± 3 .

B. 2 ± 3 .

C. 1 ± 3 .

D.

3.

Câu 34. Cho A ( 1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur
 AB, AC  . AD

AB
1
1  , AC  . AD

A. h = 
B.

.
h=
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur
3  AB. AC 
3
AB
.
AC


uuu
r uuur uuur
uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD
 AB, AC  . AD

C.
D. h = 


.
h=
..
uuu
r uuur
uuu

r uuur
 AB. AC 
AB. AC


Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Độ
dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) là
9
9
9
9
A.
.
B. .
C.
.
D.
.
7 2
7
2
14

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; −5) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD

Trang 9

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
18


A. G  −9; ; −30 ÷.
4



B. G ( 8;12; 4 ) .

14 

C. G  3;3; ÷.
4


Năm học: 2017 - 2018

D. G ( 2;3;1) .

Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (2; −1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
1 1 3
1

3

 1 3

A. M  ; ; ÷.
B. M  ;0;0 ÷ .
C. M  ;0;0 ÷ .
D. M  0; ; ÷ .
2 2 2
2

2

 2 2
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (3; −1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
3

3 1 3
A. M ( 0;0; 4 ) .
B. M ( 0;0; −4 ) .
C. M  0;0; ÷.
D. M  ; ; ÷.
2

2 2 2
·
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; −2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
là
9
9
9
9
A.

.
B.
.
C. −
.
D. −
.
2 35
35
2 35
35
r
r
r
Câu 41. Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a = (2; −1; 2), b = (3; −2;1) là
r
r
r
r
A. n = ( 3; 4;1) .
B. n = ( 3; 4; −1) .
C. n = ( −3; 4; −1) .
D. n = ( 3; −4; −1) .
r
r
r r r r r
r
r
r
2π r

Câu 42. Cho a = 2; b = 5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
, u = k a − b; v = a + 2b. Để u vuông
3
r
góc với v thì k bằng
6
45
6
45
.
.
.
B.
C.
D. − .
45
6
45
6
r
r
uu
r
Câu 43. Cho u = ( 2; −1;1) , v = ( m;3; −1) , w = ( 1; 2;1) . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
3
3
8
8
A. .
B. − .

C. .
D. − .
8
8
3
3
r
r
r r
Câu 44. Cho hai vectơ a = ( 1;log 3 5; m ) , b = ( 3;log 5 3; 4 ) . Với giá trị nào của m thì a ⊥ b
A. m = 1; m = −1 .
B. m = 1 .
C. m = −1 .
D. m = 2; m = −2 .
A. −

Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
A. x = 5; y = 11 .
B. x = −5; y = 11 .
C. x = −11; y = −5 .
D. x = 11; y = 5 .
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có
diện tích bằng
1

6
6
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
2
3
2
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là ( 1;1;1) , ( 2;3; 4 ) , ( 7;7;5 ) . Diện tích của hình bình
hành đó bằng
83
A. 2 83 .
B. 83 .
C. 83 .
D.
.
2

Trang 10

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

r
r
r
r r r
Câu 49. Cho 3 vecto a = ( 1; 2;1) ; b = ( −1;1; 2 ) và c = ( x;3x; x + 2 ) . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng
phẳng
B. −1.

A. 2.

C. −2.

D. 1.

r
r
→
→
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a = ( 3; −2; 4 ) , b = ( 5;1;6 ) , c = ( −3;0; 2 ) . Tìm vectơ x
r r r
r
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A. ( 1;0;0 ) .

B. ( 0;0;1) .

C. ( 0;1;0 ) .

D. ( 0;0;0 ) .

Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; −3) , C (7; 4; −2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng
uuu
r
uuu
r
thức CE = 2 EB thì tọa độ điểm E là
A.  3; 8 ; − 8  .

÷
 3 3

B.  3; 8 ; 8  .

÷
 3 3

C.  3;3; − 8  .

÷
3


D.  1; 2; 1  .

÷
3


Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; −1) , B (2; −1;3) , C ( −2;3;3) .
Điểm M ( a; b; c ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P = a 2 + b 2 − c 2 có giá trị

bằng
A. 43. .

B. 44. .

C. 42. .

D. 45.

Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; −1) , B (2; −1;3) , C ( −2;3;3) . Tìm
tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .

B. D(0;3;1) .

C. D(0; −3;1) .

D. D(0;3; −1) .

Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(−1;3;5) , B(−4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa
độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
A. I ( ; ; ) .
3 3 3

5 8 8
5 8 8
8 8 5
B. I ( ; ; ) .
C. I (− ; ; ).

D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
ur
r
r
Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  a = ( −1;1;0 ) , b = ( 1;1;0 ) , c = ( 1;1;1) . Cho hình hộp
uuu
r r uuur r uuuu
r r
OABC .O ′A′B′C ′ thỏa mãn điều kiện OA = a , OB = b , OC ' = c . Thể tích của hình hộp nói trên
bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A ( 2; −1;1) , B ( 1;0;0 ) ,
C ( 3;1;0 ) , D ( 0;2;1) . Cho các mệnh đề sau:

1) Độ dài AB = 2 .
2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).

C. 1); 3).
D. 2), 1)
r
r
r
Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a = ( −1,1, 0 ) ; b = (1,1, 0); c = ( 1,1,1) . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng:
r r
6
cos b, c =
.
3
r r r
A. a, b, c đồng phẳng.
A.

B. r r r r
a + b + c = 0.

( )

rr
D. a.b = 1.

Trang 11

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B (−1;1; 2) , C (−1;1;0)
, D(2; −1; −2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A.

2
.
13

1
.
13

B.

C.

13
.
2

D. 3 13
.
13

Câu 59. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
uur 1 uur uur uuu

r
uur 1 uur uur uuu
r
A. SI = SA + SB + SC .
B. SI = SA + SB + SC .
2
3
uur uur uur uuu
r
uur uur uur uuu
r r
C. SI = SA + SB + SC.
D. SI + SA + SB + SC = 0.

(

)

(

)

Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1), D( −2;1; −1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1.
D. .

2
2
·
·
Câu 61. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = a, SC = 3a, ·ASB = CSB
= 600 , CSA
= 900 . Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C ( 1; 2; −1) và điểm
uuur uuur
M ( m; m; m ) , để MB − 2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A. 2.

B. 3 .

C. 1.

D. 4.

Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C ( 1; 2; −1) và điểm
M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.

D. 1.

Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A ( −2; 2;6 ) , B ( −3;1;8 ) , C ( −1;0;7 ) , D ( 1; 2;3) . Gọi H là trung
27
điểm của CD, SH ⊥ ( ABCD ) . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
(đvtt) thì có hai
2
điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của SS
1 2
A. I ( 0; −1; −3) .

B. I ( 1;0;3)

C. I ( 0;1;3) .

D. I ( −1;0; −3) .

Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; −1;7), B(4;5; −2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2

A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; −1), B(3;0;1), C(2; −1;3) và D thuộc
trục Oy . Biết VABCD = 5 và có hai điểm D1 ( 0; y1 ;0 ) , D2 ( 0; y2 ;0 ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó y1 + y2 bằng
A. 0.

B. 1.

C. 2 .

D. 3 .

Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(−1; 2; 4), B(3;0; −2), C(1;3;7) . Gọi D là
uuur
chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .
A.

207
.
3

B.

203

3
Trang 12

C.

201
.
3

D.

205
.
3

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B (5;1; −2) , C (7;9;1) .
Tính độ dài phân giác trong AD của góc A
A. 2 74 .
3

B. 3 74 .
2

C. 2 74.

D. 3 74.

Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; −1) , B (1; 4; −1) , C (2; 4;3) D(2; 2; −1)
. Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng
A.

7.

B.

C.

8.

9.

D.

6.

Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (−1; 2;0) , C (1;1; −2) . H là
trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
A.

870
.
12

B.

870
.
14

C.

870
.
16

D.

870
.
15

Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt
phẳng (Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác
ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
 −3 + 177 17 − 177  
3 − 177 
A. B 
;
;0 ÷, C  0;0;
÷.

4
2

 
4

 −3 − 177 17 + 177  
3 + 177 
B. B 
;
;0 ÷, C  0;0;
÷.

4
2
 
4

 −3 + 177 17 − 177  
3 + 177 
C. B 
;
;0 ÷, C  0;0;
÷.

4
2
 
4

 −3 + 177 17 + 177  
3 − 177 
D. B 

;
;0 ÷, C  0;0;
÷.

4
2
 
4

Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B (3;0;8) , D(−5; −4;0) . Biết
uuu
r uuu
r
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA + CB bằng:
A. 5 10.

B. 6 10.

C. 10 6.

D. 10 5.

Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; −1) , B (2;3; −4) ,
C (3;1; −2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9 − 2 6.

B. 9 − 3 6.

C. 9 + 3 6.

D. 9 + 2 6.

Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 3;0;0 ) , N ( m, n, 0 ) , P ( 0;0; p ) . Biết
2
2
·
MN = 13, MON
= 600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A = m + 2n + p
bằng
A. 29.

B. 27.

C. 28.

D. 30.

Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (−1; 2;0) , C (1;1; −2) . Gọi
I ( a; b; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức
P = 15a + 30b + 75c
A. 48.

B. 50.

C. 52.

Trang 13

D. 46.

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Trang 14

Năm học: 2017 - 2018

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.1
1
A

2
B

3
A

4
C

5
A

6
D

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A A B C A B D A A D A B B A B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.
Câu 5.

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
r
r
r
r
r
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos ϕ bằng
rr
rr
rr
r r
a.b
a.b
−a.b
a+b
A. r r .
B. r r .
C. r r .
D. r r .
a.b
a
.
b
a.b

a.b
r
r
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a = ( 1; 2;0 ) và b = ( 2;0; −1) , khi đó cos ϕ bằng
2
2
2
A. 0.
B. .
C.
.
D. − .
5
5
5
r
r
r
Cho vectơ a = ( 1;3; 4 ) , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
r
r
r
r
A. b = ( −2; −6; −8 ) .
B. b = ( −2; −6;8 ) .
C. b = ( −2;6;8 ) .
D. b = ( 2; −6; −8 ) .
r
r
Tích vô hướng của hai vectơ a = ( −2; 2;5 ) , b = ( 0;1; 2 ) trong không gian bằng

A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A ( −1; 2;3) , B ( 0;1;1) , độ dài đoạn AB bằng
A.

Câu 6.

Câu 7.

C. 10.
D. 12.
8.
rr r
uuuu
r
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M ( x; y; z ) thì OM bằng
r r r
r r r
r r r
r r r
A. − xi − y j − zk .
B. xi − y j − zk .
C. x j + yi + zk .
D. xi + y j + zk .
r
r
r r
Tích có hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu  a , b  , được

xác định bằng tọa độ
A. ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
B. ( a2b3 + a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 + a2b1 ) .
C.

Câu 8.

6.

B.

( a2b3 − a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .

D.

( a2b2 − a3b3 ; a3b3 − a1b1 ; a1b1 − a2b2 ) .

r
r
rr
Cho các vectơ u = ( u1 ; u2 ; u3 ) và v = ( v1 ; v2 ; v3 ) , u.v = 0 khi và chỉ khi
A. u1v1 + u2 v2 + u3v3 = 1 .
B. u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3 = 0 .
C. u1v1 + u2 v2 + u3v3 = 0 .

D. u1v2 + u2v3 + u3v1 = −1 .

Trang 15

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP
Câu 9.

Năm học: 2017 - 2018

r
r
Cho vectơ a = ( 1; −1; 2 ) , độ dài vectơ a là
A.

6.

C. − 6 .

B. 2.

D. 4.

Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M ( a;0;0 ) , a ≠ 0 . B. M ( 0; b;0 ) , b ≠ 0 . C. M ( 0;0; c ) , c ≠ 0 . D. M ( a;1;1) , a ≠ 0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c ≠ 0 )
A. ( 0; b; a ) .
B. ( a; b;0 ) .
C. ( 0;0; c ) .
D. ( a;1;1)
r

r
r
r
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a = ( 0;3; 4 ) và b = 2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A. ( 0;3; 4 ) .

B. ( 4;0;3) .

C. ( 2;0;1) .

D. ( −8;0; −6 ) .

r r
r
r
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u , v  bằng
r r
r r
r r
r r
rr
r r
A. u . v .sin u , v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u , v .

( )

( )

rr
r r
D. u.v.sin u , v .

( )

( )

r
r
r
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a = ( 1; −1; 2 ) , b = ( 3;0; −1) , c = ( −2;5;1) , vectơ
ur r r r
m = a + b − c có tọa độ là
A. ( 6;0; −6 ) .
B. ( −6;6;0 ) .
C. ( 6; −6;0 ) .
D. ( 0;6; −6 ) .
Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Độ dài các cạnh
AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A.

21, 13, 37 .

B. 11, 14, 37 .

C.

21, 14, 37 .

D.

21, 13, 35 .

Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
5 2 4
5

A.  ; ; − ÷.
B.  ; ; ÷.
C. ( 5; 2; 4 ) .
D.  ;1; −2 ÷ .
3 3 3
3 3 3
2

Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( 1; 2;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 0; −2;5 ) . Để 4 điểm A, B, C , D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D ( −2;5;0 ) .
B. D ( 1; 2;3) .
C. D ( 1; −1;6 ) .
D. D ( 0;0; 2 ) .
Hướng dẫn giải
uuu
r uuur uuur
Cách 1:Tính  AB, AC  . AD = 0
Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ độ D vào phương trình tìm được.

r

r

r

Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a = (1; 2;3),b = (−2;0;1),c = (−1; 0;1) . Tìm tọa độ của

r

r

r

r

r

vectơ n = a + b + 2c − 3i
r
r
A. n = ( 6; 2;6 ) .
B. n = ( 6;2; −6 ) .

r
C. n = ( 0; 2;6 ) .

r
D. n = ( −6; 2;6 ) .

Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2

 1 
A. G  ;1;3 ÷ .
B. G ( 2;3;9 ) .
C. G ( −6;0; 24 ) .
D. G  2; ;3 ÷.
3

 3 

Trang 16

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 20. Cho 3 điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0; −3;0 ) , P ( 0;0;4 ) . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q ( −2; −3; 4 )
B. Q ( 2;3;4 )
C. Q ( 3; 4; 2 )
D. Q ( −2; −3; −4 )
Hướng dẫn giải
 x=2

uuuu
r uuur

Gọi Q ( x; y; z ) , MNPQ là hình bình hành thì MN = QP ⇔  y = 3
z − 4 = 0

Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M ( 1;1;1) , N ( 2;3; 4 ) , P ( 7;7;5 ) . Để tứ giác MNPQ
là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q ( −6;5; 2 ) .
B. Q ( 6;5; 2 ) .
C. Q ( 6; −5; 2 ) .
D. Q ( −6; −5; −2 ) .
Hướng dẫn giải
Điểm Q ( x; y; z )
uuuu
r
uuur
MN = ( 1; 2;3) , QP = ( 7 − x;7 − y;5 − z )
uuuu
r uuur
Vì MNPQ là hình bình hành nên MN = QP ⇒ Q ( 6;5; 2 )
Câu 22. Cho 3 điểm A ( 1;2;0 ) , B ( 1;0; −1) , C ( 0; −1;2 ) . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.
Hướng dẫn giải
uuu
r
uuur

uuu
r uuur
AB = (0; −2; −1); AC = ( −1; −3;2) . Ta thấy AB. AC ≠ 0 ⇒ ∆ABC không vuông.
uuu
r uuur
AB ≠ AC ⇒ ∆ABC không cân.

Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( −1; 2; 2 ) , B ( 0;1;3) , C ( −3; 4;0 ) . Để tứ giác
ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D ( −4;5; −1) .
B. D ( 4;5; −1) .
C. D ( −4; −5; −1) .
D. D ( 4; −5;1) .
Hướng dẫn giải
D
x
;
y
;
z
)
Điểm (
uuur
uuur
AB = ( 1; −1;1) , DC = ( −3 − x; 4 − y; − z )
uuur uuur
Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC ⇒ D ( −4;5; −1)
r
r
r r

r
r
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và a = 2; b = 4 . Khi đó a + b bằng
A.

C. 2 5.
D. 2 .
Hướng dẫn giải
r r2 r2 r2
r r
r r
r r
Ta có a + b = a + b + 2 a b .cos a, b = 4 + 16 + 8 = 28 ⇒ a + b = 2 7.
8 3 + 20.

B. 2 7.

( )

Câu 25. Cho điểm M ( 1; 2; −3 ) , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Oxy ) bằng
A. 2.
B. −3 .
C. 1.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , ( Oxy ) ) = c
Câu 26. Cho điểm M ( −2;5; 0 ) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M ′ ( 2;5;0 ) .

B. M ′ ( 0; −5; 0 ) .

Trang 17

C. M ′ ( 0;5;0 ) .

D. M ′ ( −2;0; 0 ) .

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy là M 1 ( 0; b;0 )
Câu 27. Cho điểm M ( 1; 2; −3) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ ( 1; 2; 0 ) .

B. M ′ ( 1;0; −3) .

C. M ′ ( 0; 2; −3) .

D. M ′ ( 1; 2;3) .

Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( Oxy ) là M 1 ( a; b;0 )
Câu 28. Cho điểm M ( −2;5;1) , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A.

29 .

B.

5.

C. 2.
Hướng dẫn giải

D.

26 .

Với M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , Ox ) = b 2 + c 2
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
uu
r uur uur
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
uu
r uur uur r
A. IA = IB + IC.
B. IA + IB + CI = 0.
C. IA + BI + IC = 0. D. IA + IB + IC = 0.
→

→

→

Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a = ( −1;1;0 ) ; b = ( 1;1;0 ) ; c = ( 1;1;1) . Trong các mệnh
đề sau, mệnh đề nào sai:
uu
r
A. br ⊥ cr.
B. a = 2.

ur
C. c = 3.

D. ar ⊥ br.

Hướng dẫn giải
rr
Vì b.c = 2 ≠ 0.
Câu 31. Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ ( 3; −2;1) .
B. M ′ ( 3; −2; −1) .
C. M ′ ( 3; 2;1) .
D. M ′ ( 3; 2;0 ) .
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là M ( a; b; −c )
Câu 32.

Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm M ′ ( a; b; c ) đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a + b + c bằng
A. 6.
B. 4.

C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ điểm đối xứng của M qua trục Oy là M ′ ( − a; b; −c )

⇒ M ′ ( −3; 2;1) ⇒ a + b + c = 0.
r
r
r r
Câu 33. Cho u = ( 1;1;1) và v = ( 0;1; m ) . Để góc giữa hai vectơ u, v có số đo bằng 450 thì m bằng
A. ± 3 .

B. 2 ± 3 .

C. 1 ± 3 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
 m ≥ −1
1.0 + 1.1 + 1.m
1
cos ϕ =
=
⇔ 2 ( m + 1) = 3 m 2 + 1 ⇔ 
2
2
2
3. m 2 + 1
3 ( m + 1) = 2 ( m + 1)
⇔ m = 2± 3

Câu 34.

Cho A ( 1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Hướng dẫn giải

Trang 18

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

uuur
uuur
uuur
Tính AB = ( 2;5; 2 ) , AC = ( −2; 4; 2 ) , AD = ( 2;5;1)
r uuur uuur
1 uuu
V =  AB, AC  . AD = 3
6
Sử dụng Casio
uuur
w 8 1 1 (nhập vectơ AB )
uuur

q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
uuur
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V )
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
uuu
r uuur uuur
uuu
r uuur uuur



AB
,
AC
.
AD
AB
1  , AC  . AD

A. h = 1 
B.
.
h=
.
uuu
r uuur
uuu
r uuur

3  AB. AC 
3
AB
.
AC


uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD
 AB, AC  . AD

C.
D. h = 


.
h=
..
uuu
r uuur
uuu
r uuur
 AB. AC 
AB. AC


Hướng dẫn giải
Vì VABCD

1 1 uuur uuur
1
= h.  AB. AC  =
3 2
6

uuu
r uuur uuur
 AB, AC  . AD
uuu
r uuur uuur

 AB, AC  . AD nên h =  uuu
.
r uuur


 AB. AC 



Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Độ
dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) là
9
9
9
9
A.
.
B. .

C.
.
D.
.
7 2
7
2
14
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
uuur
Tính AB ( 2;5; 2 ) , AC ( −2; 4; 2 ) , AD ( 2;5;1)
r uuur uuur
1 uuu
V =  AB, AC  . AD = 3
6
1
1 uuur uuur
V = B.h , với B = S∆ABC =  AB, AC  = 7 2 , h = d ( D, ( ABC ) )
3
2
3V
3.3
9
⇒h=
=
=
B 7 2 7 2

Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; −5) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
18
14 



A. G  −9; ; −30 ÷.
B. G ( 8;12; 4 ) .
C. G  3;3; ÷.
D. G ( 2;3;1) .
4
4



Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (2; −1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
1 1 3
1

3

 1 3
A. M  ; ; ÷.
B. M  ;0;0 ÷ .
C. M  ;0;0 ÷ .
D. M  0; ; ÷ .
2 2 2
2


2

 2 2
Hướng dẫn giải
M ∈ Ox ⇒ M ( a;0;0 )

Trang 19

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

M cách đều hai điểm A, B nên MA2 = MB 2 ⇔ ( 1 − a ) + 22 + 12 = ( 2 − a ) + 22 + 12
3
⇔ 2a = 3 ⇔ a =
2
2

2

Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (3; −1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
3

3 1 3
A. M ( 0;0; 4 ) .

B. M ( 0;0; −4 ) .
C. M  0;0; ÷.
D. M  ; ; ÷.
2

2 2 2
·
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; −2;3), B(0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
là
9
9
9
9
A.
.
B.
.
C. −
.
D. −
.
2 35
35
2 35
35
r
r
r
Câu 41. Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a = (2; −1; 2), b = (3; −2;1) là
r

r
r
r
A. n = ( 3; 4;1) .
B. n = ( 3; 4; −1) .
C. n = ( −3; 4; −1) .
D. n = ( 3; −4; −1) .
r
r
r r r r r
r
r
r
2π r
Câu 42. Cho a = 2; b = 5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
, u = k a − b; v = a + 2b. Để u vuông
3
r
góc với v thì k bằng
6
45
.
D. − .
45
6
Hướng dẫn giải
rr
r r r
r
r r

2π
u.v = ka − b a + 2b = 4k − 50 + ( 2k − 1) a b cos
3
= −6k − 45
r
r
uu
r
Câu 43. Cho u = ( 2; −1;1) , v = ( m;3; −1) , w = ( 1; 2;1) . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
3
3
8
8
A. .
B. − .
C. .
D. − .
8
8
3
3
Hướng dẫn giải
r r
r r uu
r
Ta có: u , v  = ( −2; m + 2; m + 6 ) , u , v  .w = 3m + 8
r r uu
r
r r uu
r

8
u , v, w đồng phẳng ⇔ u , v  .w = 0 ⇔ m = −
3
r
r
r r
Câu 44. Cho hai vectơ a = ( 1;log 3 5; m ) , b = ( 3;log 5 3; 4 ) . Với giá trị nào của m thì a ⊥ b
A. m = 1; m = −1 .
B. m = 1 .
C. m = −1 .
D. m = 2; m = −2 .
A. −

6
.
45

(

B.

)(

45
.
6

C.

)

Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
A. x = 5; y = 11 .
B. x = −5; y = 11 .
C. x = −11; y = −5 .
D. x = 11; y = 5 .
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
AB = ( 1; 2;1) , AC = ( x − 2; y − 5;3)
uuur uuur
x −2 y −5 3
A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương ⇔
=
= ⇔ x = 5; y = 11
1
2
1
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Hướng dẫn giải

Trang 20

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

uuu
r
uuu
r
uuu
r
BA = ( 1;0; −1) , CA = ( −1; −1; −1) , CB = ( −2; −1;0 )
uuu
r uuu
r
BA.CA = 0 ⇒ tam giác vuông tại A , AB ≠ AC .
Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có
diện tích bằng
1
6
6
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
2
3
2

Hướng dẫn giải
uuur
uuur
1 uuur uuur
6
AB = ( −1;0;1) , AC = ( 1;1;1) . S ∆ABC =  AB. AC  =


2
2
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là ( 1;1;1) , ( 2;3; 4 ) , ( 7;7;5 ) . Diện tích của hình bình
hành đó bằng
83
A. 2 83 .
B. 83 .
C. 83 .
D.
.
2
Hướng dẫn giải
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A, B, C
uuur
uuur
AB = ( 1; 2;3) , AC = ( 6;6; 4 )
uuur uuur
2
2
S hbh =  AB, AC  = ( −10 ) + 142 + ( −6 ) = 2 83
r
r

r
r r r
Câu 49. Cho 3 vecto a = ( 1; 2;1) ; b = ( −1;1; 2 ) và c = ( x;3x; x + 2 ) . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng
phẳng
A. 2.

B. −1.

C. −2.

D. 1.

Hướng dẫn giải
u
u
u
r
r
r
r r r
a, b, c đồng phẳng thì  a, b  .c = 0 ⇒ x = 2.
 
r
r
→
→
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a = ( 3; −2; 4 ) , b = ( 5;1;6 ) , c = ( −3;0; 2 ) . Tìm vectơ x
r r r
r
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c

A. ( 1;0;0 ) .

B. ( 0;0;1) .

C. ( 0;1;0 ) .

D. ( 0;0;0 ) .

Hướng dẫn giải
r
rr rr rr
Dễ thấy chỉ có x = (0;0;0) thỏa mãn x.a = x.b = x.c = 0.
Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B (1; 2; −3) , C (7; 4; −2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng
uuu
r
uuu
r
thức CE = 2 EB thì tọa độ điểm E là
A.  3; 8 ; − 8  .

÷
 3 3

B.  3; 8 ; 8  .

÷
 3 3

C.  3;3; − 8  .


÷
3


D.  1; 2; 1  .

÷
3


Hướng dẫn giải

x = 3
uuu
r
uuu
r 
8
E ( x; y; z ) , từ CE = 2 EB ⇒  y = .
3

8

 z = − 3

Trang 21

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; −1) , B (2; −1;3) , C ( −2;3;3) .
Điểm M ( a; b; c ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P = a 2 + b2 − c 2 có giá trị
bằng
A. 43. .

B. 44. .

C. 42. .

D. 45.

Hướng dẫn giải
M ( x; y; z ) , ABCM là hình bình hành thì
 x − 1 = −2 − 2
uuuu
r uuur 
AM = BC ⇒  y − 2 = 3 + 1 ⇒ M ( −3;6; −1) ⇒ P = 44. .
z +1 = 3 − 3

Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; −1) , B (2; −1;3) , C ( −2;3;3) . Tìm
tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .

C. D(0; −3;1) .

B. D(0;3;1) .

D. D(0;3; −1) .

Hướng dẫn giải
Ta có AB = 26, AC = 26 ⇒ tam giác ABC cân ở A nên D là trung điểm BC
⇒ D(0;1;3).
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(−1;3;5) , B(−4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa
độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
A. I ( ; ; ) .
3 3 3

5 8 8
B. I ( ; ; ) .
3 3 3

5 8 8
C. I (− ; ; ).
3 3 3

8 8 5
D. I ( ; ; ) .
3 3 3

Hướng dẫn giải
Ta có: AB = BC = CA = 3 2 ⇒ ∆ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là
 5 8 8
trọng tâm của nó. Kết luận: I  − ; ; ÷.
 3 3 3
ur

r
r
Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ  a = ( −1;1;0 ) , b = ( 1;1;0 ) , c = ( 1;1;1) . Cho hình hộp
uuu
r r uuu
r r uuuu
r r
OABC .O ′A′B ′C ′ thỏa mãn điều kiện OA = a , OB = b , OC ' = c . Thể tích của hình hộp nói trên
bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Hướng
uuu
r r
uuur r
uuuu
r rdẫn giải
OA = a , ⇒ A( −1;1;0), OB = b ⇒ B (1;1;0), OC ' = c ⇒ C '(1;1;1)
uuu
r uuu
r uuuur
uuur uuur
uuuu
r

uuuu
r
AB = OC ⇒ C (2;0;0) ⇒ CC ' = ( −1;1;1) = OO ' ⇒ VOABC .O ' A ' B ' C ' = OA, OB  OO '
Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A ( 2; −1;1) , B ( 1;0;0 ) ,
C ( 3;1;0 ) , D ( 0;2;1) . Cho các mệnh đề sau:

1) Độ dài AB = 2 .
2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).

Trang 22

C. 1); 3).

D. 2), 1)

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

r
r
r
Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a = ( −1,1, 0 ) ; b = (1,1, 0); c = ( 1,1,1) . Trong các mệnh đề

sau, mệnh đề nào đúng:
r r
6
cos b, c =
.
3
r r r
A. a, b, c đồng phẳng.
A.

B. r r r r
a + b + c = 0.

( )

rr
D. a.b = 1.
Hướng dẫn giải

rr
r r
b.c
cos(b, c) = r r
b.c

Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B (−1;1; 2) , C (−1;1;0)
, D(2; −1; −2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A.

2

.
13

B.

1
.
13

C.

13
.
2

D. 3 13
.
13

Hướng dẫn giải
uuur uuur uuur
 AB, AC  . AD
1


=
.
Sử dụng công thức h =
uuur uuur
13

AB. AC
Câu 59. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
uur 1 uur uur uuu
r
uur 1 uur uur uuu
r
A. SI = SA + SB + SC .
B. SI = SA + SB + SC .
2
3
uur uur uur uuu
r
uur uur uur uuu
r r
C. SI = SA + SB + SC.
D. SI + SA + SB + SC = 0.

(

)

(

)

Hướng dẫn giải
uur uur uur
SI = SA + AI 
uur uur uur 

uur uur uur uur uur uur uur
SI = SB + BI  ⇒ 3SI = SA + SB + SB + AI + BI + CI
uur uuu
r uur 
SI = SC + CI 
uur uur uur r uur 1 uur uur uuu
r
Vì I là trọng tâm tam giác ABC ⇒ AI + BI + CI = 0 ⇒ SI = SA + SB + SC .
3

(

)

(

)

Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B (0;1;0), C (0;0;1), D( −2;1; −1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1.
D. .
2
2
Hướng dẫn giải
1  uuur uuur  uuur

Thể tích tứ diện: VABCD =   AB,  AC  . AD
6
·
·
Câu 61. Cho hình chóp S . ABC có SA = SB = a, SC = 3a, ·ASB = CSB
= 600 , CSA
= 900 . Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Hướng dẫn giải

Trang 23

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến


CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

Áp dụng công thức tổng quát: Cho hình chóp S . ABC có SA = a, SB = b, SC = c và có
·ASB = α , BSC
·
·
= β , CSA
= γ . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó
1 2
a + b 2 + c 2 + 2ab cos α + 2ac cos γ + 2bcβ
3
Chứng minh:
uuu
r 1 uur uur uuu
r
Ta có: SG = SA + SB + SC
3
uur uur uuu
r 2 uur 2 uur 2 uuu
r2
uur uur uur uuu
r uur uuu
r
SA + SB + SC = SA + SB + SC + 2SA.SB + 2SA.SC + 2SB.SC
SG =

(

(
)

)

1 2
a + b 2 + c 2 + 2ab cos α + 2ac cos γ + 2bcβ
3
a 15
Áp dụng công thức trên ta tính được SG =
3
Khi đó SG =

Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C ( 1; 2; −1) và điểm
uuur uuur
M ( m; m; m ) , để MB − 2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A. 2.

B. 3 .

C. 1.
D. 4.
Hướng dẫn giải
uuur
uuur
AC ( −1; −3; −2 ) , MB ( −2 − m; − 6 − m; 2 − m )
uuur uuur
2
2
MB − 2 AC = m 2 + m 2 + ( m − 6 ) = 3m 2 − 12m + 36 = 3 ( m − 2 ) + 24
uuur uuur
Để MB − 2 AC nhỏ nhất thì m = 2

Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C ( 1; 2; −1) và điểm
M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Hướng
dẫn
giải
uuur
uuur
uuuu
r
MA = ( 2 − m;5 − m;1 − m ) , MB = ( −2 − m; −6 − m; 2 − m ) , MC = ( 1 − m; 2 − m; −1 − m )
MA2 − MB 2 − MC 2 = −3m 2 − 24m − 20 = 28 − 3 ( m − 4 ) ≤ 28
2

Để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m = 4
Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A ( −2; 2;6 ) , B ( −3;1;8 ) , C ( −1;0;7 ) , D ( 1; 2;3) . Gọi H là trung
27
điểm của CD, SH ⊥ ( ABCD ) . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
(đvtt) thì có hai
2
điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của SS
1 2
A. I ( 0; −1; −3) .

C. I ( 0;1;3) .
D. I ( −1;0; −3) .
Hướng dẫn giải

uuur
uuur
r uuur
1 uuu
3 3
Ta có AB = ( −1; −1; 2 ) , AC = ( 1; −2;1) ⇒ S ABC =  AB, AC  =


2
uuur
uuur
uuur
uuur2
DC = ( −2; −2; 4 ) , AB = ( −1; −1; 2 ) ⇒ DC = 2. AB ⇒ ABCD là hình thang và
S ABCD = 3S ABC =

B. I ( 1;0;3)

9 3
2

1
Vì VS . ABCD = SH .S ABCD ⇒ SH = 3 3
3
Lại có H là trung điểm của CD ⇒ H ( 0;1;5 )

Trang 24

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12–LÝ THUYẾT + BÀI TẬP

Năm học: 2017 - 2018

uuur
uuur
uuur uuur
Gọi S ( a; b; c ) ⇒ SH = ( − a;1 − b;5 − c ) ⇒ SH = k  AB, AC  = k ( 3;3;3) = ( 3k ;3k ;3k )
Suy ra 3 3 = 9k 2 + 9k 2 + 9k 2 ⇒ k = ±1
uuur
+) Với k = 1 ⇒ SH = ( 3;3;3) ⇒ S ( −3; −2; 2 )
uuur
+) Với k = −1 ⇒ SH = ( −3; −3; −3) ⇒ S ( 3; 4;8 )
Suy ra I ( 0;1;3)

Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; −1;7), B(4;5; −2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2
A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M ⇒ M (0; y; z )

uuur
uuur
⇒ MA = (2; −1 − y;7 − z ), MB = (4;5 − y; −2 − z )
 2 = k .4

uuur
uuur
1
Từ MA = k MB ta có hệ  −1 − y = k ( 5 − y ) ⇒ k =
2

7
−
z
=
k
−
2
−
z
(
)

Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; −1), B(3;0;1), C(2; −1;3) và D thuộc
trục Oy . Biết VABCD = 5 và có hai điểm D1 ( 0; y1 ;0 ) , D2 ( 0; y2 ;0 ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó y1 + y2 bằng
A. 0.

B. 1.

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

D ∈ Oy ⇒ D (0; y;0)
uuur
uuur
uuur
Ta có: AB = ( 1; −1; 2 ) , AD = ( −2; y − 1;1) , AC = ( 0; −2; 4 )
uuur uuur
uuur uuur uuur
⇒  AB. AC  = ( 0; −4; −2 ) ⇒  AB. AC  . AD = −4 y + 2
1
VABCD = 5 ⇔ −4 y + 2 = 5 ⇔ y = −7; y = 8 ⇒ D1 ( 0; −7;0 ) , D2 ( 0;8;0 ) ⇒ y1 + y2 = 1
6
Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(−1; 2; 4), B(3;0; −2), C(1;3;7) . Gọi D là
uuur
chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .
A.

207
.
3

Gọi D ( x; y; z )

B.

203

3

201
.
3
Hướng dẫn giải
C.

D.

205
.
3

DB AB 2 14
=
=
=2
DC AC
14
5

3 − x = −2 ( 1 − x )
x = 3
uuur
uuur


⇔ y = 2
Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên DB = −2 DC ⇔ − y = −2 ( 3 − y )


z = 4
−2 − z = −2 ( 7 − z )


u
u
u
r
205
5

Suy ra D  ; 2; 4 ÷⇒ OD =
3
3


Trang 25

Tiến Sĩ Hà Văn Tiến