non tru cau 75 giai chi tiet

Chuyên đề 7. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
Chủ đề 7.5. MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ
1 KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. MẶT NÓN

Hình
1

Hình
2
P
Trong mặt phẳng   , cho 2 đường thẳng d ,  cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc  với

1/ Mặt nón tròn xoay

00    900 . Khi quay mp  P  xung quanh trục  với góc  không thay đổi được gọi là mặt nón tròn
xoay đỉnh O (hình 1).
 Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.
 Đường thẳng  gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2  gọi là góc ở đỉnh.
2/ Hình nón tròn xoay
Cho OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình,
gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).
 Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình
nón.
 Hình tròn tâm I , bán kính r  IM là đáy của hình nón.
3/ Công thức diện tích và thể tích của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:
 Diện tích xung quanh: S xq   .r.l
 Diện tích đáy (hình tròn): Sð   .r
 Thể tích khối nón: Vnon 

Diện tích toàn phần hình nón: .
2

1
1
Sð .h   .r 2 .h .
3
3

4/ Tính chất:
 TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( P ) đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu mp( P ) cắt mặt nón theo 2 đường sinh � Thiết diện là tam giác cân.
+ Nếu mp( P ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh. Trong trường hợp này, người ta gọi đó
là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.
 TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q ) không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:
+ Nếu mp(Q ) vuông góc với trục hình nón � giao tuyến là một đường tròn.
+ Nếu mp(Q ) song song với 2 đường sinh hình nón � giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
+ Nếu mp(Q ) song song với 1 đường sinh hình nón � giao tuyến là 1 đường parabol.
II. MẶT TRỤ


1/ Mặt trụ tròn xoay
Trong mp  P  cho hai đường thẳng  và l song song

∆

nhau, cách nhau một khoảng r . Khi quay mp  P 

l

r
A
quanh trục cố định  thì đường thẳng l sinh ra một
D
mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt
là mặt trụ.
 Đường thẳng  được gọi là trụC.
 Đường thẳng l được gọi là đường sinh.
 Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.
2/ Hình trụ tròn xoay
B
Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường
r
C
thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường
gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi
là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
 Đường thẳng AB được gọi là trụC.
 Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
 Độ dài đoạn thẳng AB  CD  h được gọi là chiều cao của hình trụ.
 Hình tròn tâm A , bán kính r  AD và hình tròn tâm B , bán kính r  BC được gọi là 2 đáy của
hình trụ.
 Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả
hình trụ.
3/ Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , khi đó:
 Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq  2 rh
 Diện tích toàn phần của hình trụ:
 Thể tích khối trụ:

Stp  S xq  2.S Ðay  2 rh  2 r 2
V  B.h   r 2 h

4/ Tính chất:
 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp    vuông góc với trục  thì ta được
đường tròn có tâm trên  và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

 Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp    không vuông góc với trục  nhưng
cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn
bằng

2r
, trong đó  là góc giữa trục  và mp    với 00    900 .
sin 

 Cho mp    song song với trục  của mặt trụ tròn xoay và cách  một khoảng d .
+ Nếu d  r thì mp    cắt mặt trụ theo hai đường sinh � thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu d  r thì mp    tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu d  r thì mp    không cắt mặt trụ.


III. MẶT CẦU
1/ Định nghĩa
Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O ,
bán kính R , kí hiệu là: S  O; R  . Khi đó S  O; R    M | OM  R
2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
Cho mặt cầu S  O; R  và một điểm A bất kì, khi đó:
 Nếu OA  R � A �S  O; R  . Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu. Nếu OA và OB là hai bán
uuu
r

uuu
r
kính sao cho OA  OB thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của
B
mặt cầu.
O
 Nếu OA  R � A nằm trong mặt cầu.
A
A
 Nếu OA  R � A nằm ngoài mặt cầu.
� Khối cầu S  O; R  là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM �R .
3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

A

Cho mặt cầu S  O; R  và một mp  P  . Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp  P  và
H là hình chiếu của O trên mp  P  � d  OH .
 Nếu d  R � mp  P  cắt mặt cầu S  O; R  theo giao tuyến là đường tròn nằm trên mp  P  có
tâm là H và bán kính r  HM  R 2  d 2  R 2  OH 2 (hình a).
 Nếu d  R � mp  P  không cắt mặt cầu S  O; R  (hình b).
 Nếu d  R � mp  P  có một điểm chung duy nhất. Ta nói mặt cầu S  O; R  tiếp xúc mp  P  .
Do đó, điều kiện cần và đủ để mp  P  tiếp xúc với mặt cầu S  O; R  là d  O ,  P    R (hình c).

d

Hình a

Hình b

d=

Hình c

4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầu S  O; R  và một đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu củaO trên đường thẳng  và
d  OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng  . Khi đó:
d
d=
 Nếu d  R �  không cắt mặt cầu S  O; R  .
 Nếu d  R �  cắt mặt cầu S  O; R  tại hai điểm phân biệt.
 Nếu d  R �  và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một điểm duy nhất). Do đó: điều kiện cần và đủ để
đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu là d  d  O,    R .
Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S  O; R  thì:


 Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S  O; R  .
 Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau.
 Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S  O; R  .
5/ Diện tích và thể tích mặt cầu
• Diện tích mặt cầu: SC  4 R 2 .

• Thể tích mặt cầu: VC 

4
 R3 .
3

2 KỸ NĂNG CƠ BẢN
I. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
1/ Các khái niệm cơ bản

 Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông
góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.
� Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.
 Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông
góc với đoạn thẳng đó.
� Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
 Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với
đoạn thẳng đó.
� Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác,
nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của
một cạnh bên hình chóp.
 Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện cơ bản
a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
� Tâm là I , là trung điểm của AC ' .
- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).
AC '
A
B
A
� Bán kính: R 
.
2
D
C
I
I

A
B
’
’
C
C
D
’
’
b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội ’tiếp đường tròn.
A
A
' ' '
'
Xét hình lăng trụ đứng A1 A2 A3 ... An . A1 A2 A3 ... An , trong đó có 2 đáy
n
O
1
A
A1 A2 A3 ... An và A1' A2' A3' ... An' nội tiếp đường tròn  O  và  O '  . Lúc đó,
A
mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
- Tâm: I với I là trung điểm của OO ' .

2

S

S

'
- Bán kính: R  IA1  IA2  ...  IAn .

I

3

A
’1

O
A’
I
’
A
c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.
2
I
’3
�  SBC
�  900 .
- Hình chóp S . ABC có SAC
A
A
C
B

B

C

A
’n

D


+ Tâm: I là trung điểm của SC .
SC
 IA  IB  IC .
+ Bán kính: R 
2
- Hình chóp S . ABCD có
�  SBC
�  SDC
�  900 .
SAC
+ Tâm: I là trung điểm của SC .
SC
 IA  IB  IC  ID .
+ Bán kính: R 
2
d/ Hình chóp đều.
Cho hình chóp đều S . ABC...
- Gọi O là tâm của đáy � SO là trục của đáy.
- Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên,

S
∆
M

chẳng hạn như mp  SAO  , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA
là  cắt SA tại M và cắt SO tại I � I là tâm của mặt cầu.
- Bán kính:
SM SI

� Bán kính là:
Ta có: SMI : SOA �
SO SA
SM .SA SA2
R  IS 

 IA  IB  IC  ...
SO
2 SO
e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

I
A
D

O
B
C

Cho hình chóp S . ABC... có cạnh bên SA  đáy  ABC...  và đáy ABC... nội tiếp được trong
đường tròn tâm O . Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC... được xác định như sau:
- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp  ABC...  tại
O.
- Trong mp  d , SA  , ta dựng đường trung trực  của cạnh SA , cắt SA tại M , cắt d tại I .

� I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và bán kính R  IA  IB  IC  IS  ...
- Tìm bán kính:
Ta có: MIOB là hình chữ nhật.
Xét MAI vuông tại M có:

S

d
M

I

∆

2

R  AI  MI 2  MA2 

�SA �
AO 2  � �.
�2 �

f/ Hình chóp kháC.
- Dựng trục  của đáy.

O

A

B

- Dựng mặt phẳng trung trực    của một cạnh bên bất kì.
-

   �  I � I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.

g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O
là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

C


O

O

Hình vuông: O là giao
điểm 2 đường chéo.

O

Hình chữ nhật: O là giao
điểm của hai đường chéo.

∆ đều: O là giao điểm của 2
đường trung tuyến (trọng
tâm).

O

O

∆ vuông: O là trung điểm
của cạnh huyền.

∆ thường: O là giao điểm của
hai đường trung trực của hai
cạnh ∆.

II. KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP.
Cho hình chóp S . A1 A2 ... An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác
định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa
S
giác đáy.
Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên.

I

- Tâm O của mặt cầu:  �mp( )   O

Lúc đó :

O

- Bán kính: R  SA   SO  . Tuỳ vào từng trường hợp.

D
A

C

H

B
Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và
vuông góc với mặt phẳng đáy.

Tính chất: M � : MA  MB  MC
M
Suy ra: MA  MB  MC � M �
2. Các bước xác định trục:
- Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
A
- Bước 2: Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy.
VD: Một số trường hợp đặc biệt
C
H
A. Tam giác vuông
B. Tam giác đều
B
 giác bất kì


C. Tam


B

H

C

B

C

B

H
A

A

H
A

C


S

3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng

M

SO SM

SMO đồng dạng với SIA �
.
SA
SI

O
I

A

4. Nhận xét quan trọng:
�MA  MB  MC
M , S : �
� SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC .
�SA  SB  SC
5. Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Dạng 1: Chóp có các điểm cùng nhìn một đoạn dưới một góc vuông.
�SA   ABC 
Ví dụ: Cho S . ABC : �
. Theo đề bài:
�ABC  B

�
�BC  AB  gt 
�
�BC  SA  SA   ABC  

 BC  (SAB)  BC  SB
Ta có B và A nhìn SC dưới một góc vuông
 nên B và A cùng nằm trên một mặt cầu có đường kính là SC.
Gọi I là trung điểm SC � I là tâm MCNT khối chóp S . ABC và bán kính R  SI .
Dạng 2: Chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S . ABC .
+ Vẽ SG   ABC  thì G là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC .
+ Trên mặt phẳng  SGC  , vẽ đường trung trực của SC , đường này cắt

SG tại I thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S . ABC và bán kính R  IS .
+ Ta có SGC : SKI  g  g  �

SG SC
SC .SK SC 2

� R

SK SI
SG
2SG

Dạng 3: Chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Mặt bên  SAB    ABC  và SAB
đều. Gọi H , M lần lượt là trung điểm của AB, AC .
Ta có M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC (do MA  MB  MC ).
Dựng d1 là trục đường tròn ngoại tiếp ABC ( d1 qua M và song song SH ).
Gọi G là tâm đường tròn ngoại tiếp SAB và d 2 là trục đường tròn ngoại
tiếp SAB , d 2 cắt d1 tại I � I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABC
� Bán kính R  SI . Xét SGI � SI  GI 2  SG 2 .

3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
MẶT CẦU
Câu 1.

Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khối cầu đó là V . Tính bán kính R của mặt cầu.
A. R 

Câu 2.

3V
.
S

B. R 

S
.
3V

C. R 

4V
.
S

D. R 

V

.
3S

Cho mặt cầu S (O; R ) và điểm A cố định với OA  d . Qua A , kẻ đường thẳng  tiếp xúc với
mặt cầu S (O; R ) tại M . Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ?
A.

Câu 3.

2R 2  d 2 .

B.

d 2  R2 .

C.

R 2  2d 2 .

D.

d 2  R2 .

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu ( S ) theo a , b, c .
B. 2 ( a 2  b2  c 2 ) .
 2
2
2
D. ( a  b  c ) .

2

A.  ( a 2  b2  c 2 ) .
C. 4 ( a 2  b2  c 2 ) .
Câu 4.

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu ( S ) là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.
B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.

Câu 5.

Cho mặt cầu S (O; R ) và đường thẳng  . Biết khoảng cách từ O tới  bằng d . Đường thẳng
 tiếp xúc với S (O; R ) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?
A. d  R .

Câu 6.

B. d  R .

C. d  R .

D. d �R .

Cho đường tròn (C ) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C ) . Có tất cả bao nhiêu mặt cầu
chứa đường tròn (C ) và đi qua A ?
A. 2.

Câu 7.

B. 0.

C. 1.

D. vô số.

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp tâm những mặt cầu đi qua A và B là
A. mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . B. đường thẳng trung trực của AB .
C. mặt phẳng song song với đường thẳng AB . D. trung điểm của đoạn thẳng AB .

Câu 8.

Cho mặt cầu S (O; R ) và mặt phẳng ( ) . Biết khoảng cách từ O tới ( ) bằng d . Nếu d  R
thì giao tuyến của mặt phẳng ( ) với mặt cầu S (O; R ) là đường tròn có bán kính bằng bao
nhiêu?
A.

Câu 9.

Rd .

B.

R2  d 2 .

C.

R2  d 2 .

D.

R 2  2d 2 .

Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S (O; R ) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với mặt cầu ?
A. Vô số.

B. 0.

C. 1.

D. 2.


Câu 10. Một đường thẳng d thay đổi qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M . Gọi H là hình
chiếu của M lên đường thẳng OA . M thuộc mặt phẳng nào trong những mặt phẳng sau đây?
A. Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA .
B. Mặt phẳng trung trực của OA .
C. Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM . D. Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM .
Câu 11. Một đường thẳng thay đổi d qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M . Gọi H là hình
chiếu của M lên đường thẳng OA . Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là:
A.

R
.
2

B.

R 3
.
3

C.

2R 3
.
3

D.

3R 3
.
4

1 3
22
Câu 12. Thể tích của một khối cầu là 113 cm thì bán kính nó là bao nhiêu ? (lấy  � )
7
7
A. 6 cm .
B. 2 cm .
C. 4 cm .
D. 3cm .
Câu 13. Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh ra khinh khí cầu
dùng khí nóng. Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt
22
khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy  � và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

7
A. 379, 94 (m 2 ) .

B. 697,19 (m 2 ) .

C. 190,14 cm .

D. 95, 07 (m 2 ) .

Câu 14. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có độ dài mỗi cạnh là 10 cm . Gọi O là tâm mặt cầu đi
qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là:
A. S  150 (cm2 );V  125 3 (cm3 ) .

B. S  100 3 (cm 2 );V  500 (cm 3 ) .

C. S  300 (cm 2 );V  500 3 (cm 3 ) .

D. S  250 (cm 2 );V  500 6 (cm 3 ) .

Câu 15. Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH . Quay
đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng
là:
A.

 a3 3
.
54

B.

4 a 3
.
9

C.

4 a 3 3
.
27

D.

4 a 3
.
3

4 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 7.5
1
A

2
B

3
A

4
D

5
A

6
C

7
A

8
C

9
A

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B D A C C A A D A B

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A B A C A
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
D A B A C B D A A B A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
* MẶT CẦU


Câu 1. Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khối cầu đó là V . Tính bán kính R của mặt cầu.

3V
S
4V
.
B. R 
.
C. R 
.
S
3V
S
 Hướng dẫn giải:
Ta có công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu là:
4
3V
S  4 r 2 ; V   r 3 �
 r.
3
S
A. R 

Câu 2.

D. R 

V
.
3S

Cho mặt cầu S (O; R ) và điểm A cố định với OA  d . Qua A , kẻ đường thẳng  tiếp xúc với

mặt cầu S (O; R ) tại M . Công thức nào sau đây được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ?
A. 2R 2  d 2 .
B. d 2  R 2 .
C. R 2  2d 2 .
 Hướng dẫn giải:
Vì  tiếp xúc với S (O; R ) tại M nên OM   tại M .
Xét tam giác OMA vuông tại M , ta có:
AM 2  OA2  OM 2  d 2  R 2 � AM  d 2  R 2 .

Câu 3.

D.

d 2  R2 .

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là
mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Tính diện tích của hình cầu ( S ) theo a , b, c .
A.  ( a 2  b2  c 2 ) .
C. 4 ( a 2  b2  c 2 ) .

B. 2 ( a 2  b2  c 2 ) .
 2
2
2
D. ( a  b  c ) .
2

 Hướng dẫn giải:
Đường kính của mặt cầu ( S ) chính là đường chéo của hình hộp chữ nhật, nên mặt cầu ( S ) có
bán kính r 

Câu 4.

1 2
a  b2  c 2 . Do đó diện tích mặt cầu ( S ) là: S  4 r 2   ( a 2  b 2  c 2 ) .
2

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c . Gọi ( S ) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình
hộp chữ nhật đó. Tâm của mặt cầu ( S ) là
A. một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật.
B. tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật.
C. trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật.
D. tâm của hình hộp chữ nhật.
 Hướng dẫn giải:
Tâm của hình hộp chữ nhật cách đều 8 đỉnh của hình hộp nên tâm của mặt cầu ( S ) chính là
tâm của hình hộp chữ nhật.


GIỚI THIỆU
8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12
Giải chi tiết
** Quà tặng : Bộ 50 đề thi minh họa THPT – đáp án chi tiết **

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU
Nhấn giữ phím Ctrl

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

CHUYÊN ĐỀ

8
CHUYÊN
ĐỀ
LUYỆN
THI THPT
(200.000đ)
(2331 câu hỏi
giải chi tiết )

Nhấn giữ Ctrl + Click chuột trái vào đường
link gạch chân dưới để XEM bản PDF đầy đủ

1. Khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số ứng dụng của đạo />hàm
( 400 câu giải chi tiết )
2. Khảo sát và vẽ đồ thị
hàm số ứng dụng của đạo
hàm
( 180 câu giải chi tiết )

/>

3.Phương trình, Bất PT mũ

và logarit
( 349 câu giải chi tiết )
4. Nguyên hàm Tích phân

( 410 câu giải chi tiết )

/> />
5. Số Phức
( 195 câu giải chi tiết )

/>
6. Lãi suất + bài tập
( 72 câu giải chi tiết )

/>
7. HH không gian bộ lớp 11
( 290 câu giải chi tiết )
8. HH tọa độ không gian
( 435 câu giải chi tiết )

/> />
CAM KẾT!
- Chế độ chữ : Times New Roman.
- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi,
NHCH…
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.
- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản PDF xem trước bên dưới.
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903 Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0988 360 309
Hoặc nhắn tin “ Xem 8 chuyên đề 12 + địa chỉ gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ
gửi 8 chuyên đề bản PDF vào mail để thầy cô tham khảo

8 CHUYÊN ĐỀ TRỌN CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 8 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
HƯỚNG DẪN CÁCH XEM CẢ BỘ TÀI LIỆU
Nhấn giữ phím Ctrl

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

Giữ phím Ctrl và bấm chuột vào
đường link gạch chân bên dưới để
xem tài liệu

STT

TÊN TÀI LIỆU

1

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PTLG

/>
2

TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

/>
3

DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

/>
4

GIỚI HẠN

/>
5

ĐẠO HÀM

/>
6

PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

/>
7

QUAN HỆ SONG SONG

/>
QUAN HỆ VUÔNG GÓC

/>

KHOẢNG CÁCH

/>
8

- Công thức toán học Math Type Để các thầy cô chỉnh sửa, làm chuyên đề ôn thi, Ngân
hàng câu hỏi …
- Các đáp án A,B,C,D đều căn chỉnh chuẩn
- File không có màu hay tên quảng cáo.


- Về thanh toán: nếu không yên tâm ( sợ bị lừa ): tôi sẽ gửi trước 1 file word chuyên đề
nhỏ bất kì mà thầy cô yêu cầu trong bản xem trước .
Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0912 801 903
Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem trọn bộ 11 + địa chỉ gmail của
thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham khảo trước
khi mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm


9 CHUYÊN ĐỀ HHKG NÂNG CAO
Giải chi tiết

200.000đ cả bộ 9 chuyên đề file Word
NẠP THẺ ĐIỆN THOẠI hoặc chuyển khoản ok
Nhấn giữ phím Ctrl

STT

+

Bấm chuột Trái vào đường link để mở chuyên đề

TÊN TÀI LIỆU

Giữ phím Ctrl Bấm vào đường
link gạch chân bên dưới để xem tài
liệu

1

CHỦ ĐỀ 1_KHỐI ĐA DIỆN {26 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 7-11}

/>iew?usp=sharing

2

CHỦ ĐỀ 2_THỂ TÍCH KHỐI CHÓP {59 Trang}
Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 12-21}

/>iew?usp=sharing

3

CHỦ ĐỀ 3_THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ {34 />JiEpOQTzZlQVc0Z2xGTmJrVkk/vie

w?usp=sharing
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 22-26}
CHỦ ĐỀ 456_NÓN TRỤ CẦU {56 Trang}
/>Tặng 10 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
w?usp=sharing
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 27-36}

4

5

CHỦ ĐỀ 7_KHOẢNG CÁCH {68 Trang}
Tặng 12 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 37-49}

/>ew?usp=sharing

6

CHỦ ĐỀ 8_GÓC {21 Trang}
Tặng 5 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 50-54}

/>w?usp=sharing

7

CHỦ ĐỀ 9_CỰC TRỊ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CÁC KHỐI LỒNG NHAU {29 Trang}
JiEpOQTzZlbGNqckR0YzhBOEk/vie

w?usp=sharing
Tặng 8 đề word thi thử THPT Quốc gia 2017
(có đáp án và lời giải chi tiết) {Đề 55-63}

Điện thoại hỗ trợ : 0912 801 903Cảm ơn các thầy cô đã quan tâm
Zalo: 0912 801 903


Nếu Thầy cô chưa xem được nhắn tin “ Xem bộ HHKG NÂNG CAO + địa chỉ
gmail của thầy cô” chúng tôi sẽ gửi chuyên đề vào mail để thầy cô xem tham
khảo trước khi mua tài liệu.
Ngoài ra chúng tôi còn rất nhiều tài liệu 11, 12 khác để thầy cô tham khảo và rất
nhiều quà tặng đi kèm

MUA NHIỀU KHUYẾN MÃI NHIỀU...