[toanmath.com] Tuyển chọn bài tập trắc nghiệm nguyên hàm có đáp án và lời giải

TUYỂN CHỌN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NGUN HÀM 
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  />PHẦN A. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT. 
DẠNG 1. ÁP DỤNG CƠNG THỨC NGUN HÀM CƠ BẢN. 

  
Câu 1: Cho hàm số  y  2 sin 2 x  cos x  1  có nguyên hàm  f ( x )  thỏa mãn  f    . 
2 2
Khẳng định nào sau đây là sai ? 
A.  f ( x ) có hệ số tự do bằng 0. 

B.  f ( x )  có hệ số tự do bằng 2. 

C.  f (1)   cos 2 x  sin1  1 . 

D.  f ( )    1 . 

Câu 2: Cho hàm số  y  3 x  4 3 x  có nguyên hàm f ( x )  sao cho  f ( x )  7  Tính giá trị của 
biểu thức  f (0)  f (64) . 
A.1796 

B.1792 

C.1945 

D.2016 













Câu 3: Tìm một nguyên hàm I  của hàm số y   2 x  1 x 2  x  4 dx . 





B.  I 





D.  I 

A.  I 

2
1 2
x x4  2 
2

C.  I 

2
1 2
x  x  4  3 x   
4

Câu 4: Cho hàm số 

x
f x 

2

1
x3



2
1 2
x  x  4  3 2   
3

2
3 2
x  x 4 9 
2

2

. Một nguyên hàm F (x) của  f (x) thỏa mãn  F (1)  4  

là: 
A. 

x2
2
 2 ln x  2  4     
2
x

x2
1
9
C.   2 ln x  2   
2
2x 2

B. 

x2
2
 2 ln x  2  4  
2
2x

x2
2
D.   2 ln x  2  2  
2
x

 e x
Câu 5: Một nguyên hàm F (x) của hàm số  f  x   e x  1  2
x



  thỏa mãn  F 1  e  là: 


A.  F  x   e x 

1
 1   
x

 

B.  F  x   e x 

1
 1   
x

C.  F  x   e x 

1
 1   
x

 

D.  F  x   e x 

1
 1   
x

  
Câu 6: Tìm nguyên hàm  F  x   của hàm số  f  x   sin 2 2 x  và  F    . 
 8  16

A.  F  x  

1
1
1
x  sin 4 x    
2
8
8

B.  F  x  

1
1
1
x  sin 4 x    
2
8

8
Trang 1


C.  F  x  

1
1
1
x  sin 4 x    
2
8
8

1
1
1
x  sin 4 x    
2
8
8

D.  F  x  

 
Câu 7: Tìm một nguyên hàm F  (x) của hàm số  f ( x )  tan 2 x   biết  F    1   Kết quả là: 
4
A.  F  x   tan x  x 



C.  F  x   x  tan x 



4
4

   

B.  F  x   tan x  x 



   

D.  F  x   x  tan x 



4
4

  
  

x2  2x  1
1
  biết  F 1   . Kết quả 
x

2

Câu 8: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số  f  x  
là: 
A.  F  x  

x2
 2 x  ln x  2   
2

B.  F  x  

x2
 2 x  ln x  2  
2

C.  F  x  

x2
1
 2 x  ln x    
2
2

D.  F  x  

x2
1
 2 x  ln x   
2

2

Câu 9: Tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f  x   3 x  4  biết F  0   2  . Kết quả là: 
A.  F ( x ) 

2
2
(3 x  4)3    
9
9

B.  F ( x ) 

2
2
(3 x  4)3    
9
9

C.  F ( x ) 

2
10
(3 x  4)3    
3
3

D.  F ( x ) 

2

10
(3 x  4)3    
3
3

Câu 10: Một nguyên hàm của hàm số  f  x   x 3  3 x 2  5  là: 
A.  3 x 2  6 x   
C. 

x2
 x 3  5 x  C   
4

 

B.  3 x 2  6 x  C   

 

D.  x 4  x 3  5 x  C   

Câu 11: Một nguyên hàm của hàm số  g  x   5 x 4  4 x 2  6  là: 
A.   x 5 

4 3
x  6 x  C     
3

C.  20 x 3  8 x   

 

B.  20 x 3  8 x  C   
D.   x 5 

Câu 12: Một nguyên hàm của hàm số  f  x   1 
A. 

1
  
x2

B.  x  ln x   

4 3
x  C   
3

1
 là: 
x

C.  x 

1
  
x2

2

1
1
D.   x     
2
x

Câu 13: Tính   (sinx  cosx )dx  là: 
A. cosx  sinx  C   

B.  cosx  sinx  C  

C.  cosx  sinx  C  

D.  cosx  sinx  C  


Câu 14: Tính   (3 x 2 
A.

1
 2)dx  là: 
x

x3
 ln x  2 x  C     
3

C.  x 3  ln x  C  

B.  x 3 

1
 2x  C  
x2

D.  x 3  ln x  2 x  C  

 

Câu 15: Một nguyên hàm của hàm số  f  x  

2
 là: 
cos2 x

A. 2tanx  C   

C. 2sinx  C   

B. 2cotx  C   

D.  2cosx  C   

 1 1
Câu 16: Tính   
  dx  là: 
 x 2
A. 

x x

  C   
2 2

B.  2 x 

x
 C   
2

C. 

1
2 x



1
x  C   
2

D. 

2
x



x
C 
2

Câu 17: Tính   (e  x  4)dx  là: 
A. e  x  4 x  C   

B. 

1
 4x  C  
e x

C.  e  x  C  

Câu 18: Một nguyên hàm của hàm số  f  x   3 
A. 3x  tanx  C   

B. 3x  tanx  C   

D.  e  x  4 x  C  

1
 là: 
sin 2 x

C. 3x  cotx  C   

D.  3x  cotx  C   

Câu 19: Cho f  x    x 3  3 x 2  2 x . Một nguyên hàm F (x) của f (x) thỏa mãn  F 1  2  là: 
A.  

x2
1
 x 3  x 2      
4
4

B.  

x2
9
C.    x 3  x 2      
4
4
1

Câu 20: Tính    e3 x 1  2
x

1
1
A.  e3 x 1   C   
3
x

x2
1
 x 3  x 2    
4
4

x2
9
D.    x 3  x 2    
4
4

 dx  là: 


B.  3e3 x 1 

1
 C   
x

C.  3e3 x 1 

1
 C   
x

1
1
D.  e3 x 1   C   
3
x

 
Câu 21: Cho f  x   sinx  cosx . Một nguyên hàm F(x) của f(x) thỏa mãn  F    0  là: 
4

A. cosx  sinx  2   

 

B.  cosx  sinx 

C.  cosx  sinx  2  

 

D.  cosx  sinx 

2
 
2
2
 
2

Câu  22:  Cho  hàm  số f  x   2 x  sinx  2cosx .  Một  nguyên  hàm  F(x)  của  f (x)  thỏa  mãn 

F  0   1  là: 
Trang 3


A. x 2  cosx  2sinx   

 

B.  x 2  cosx  2sinx  2  

C. 2  cosx  2sinx  

 

D.  x 2  cosx  2sinx  2  

Câu 23: Một nguyên hàm của hàm số  y 

3x  5
 là: 
x2

A.  F  x   3 x  4ln x  2  C   

B.  F  x   3 x  ln x  2  C   

C.  F ( x )  3 x  ln x  2  C   

D.  F  x   3 x  ln x  2  C   

Câu 24: Một nguyên hàm của hàm số  f  x  

x
 là: 
x 1

A.

ln x  1   

 

D.  2 ln x  1  

B.  x  ln x  1  

x  ln x  1

C. 

Câu 25: Một nguyên hàm của hàm số  f  x   tan 2 x  là: 
A. 

tan 3 x
  
3

B. 

tan 3 x
1
  
.
3 cos2 x

C.  tan x  x  

D. 

2 sin x
 
cos3 x

Câu 26: Một nguyên hàm của hàm số  f  x   cos 4 x  sin 4 x  là: 

1
B. sin2 x   
2

A. cos2 x   

D.  cos2 x   

C. 2 sin2 x   

Câu 27: Một nguyên hàm của hàm số  f  x   sin2 x  3 x 2  là: 
A. F  x   cos2 x  6 x     

1
B.  F  x   cos2 x  6 x  
2

1
C.  F  x    cos2 x  x 3   
2

1
D.  F  x    cos2 x  x 3  
2

Câu 28: Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ? 
A.  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k  )   

B.   f ( x ).g( x )dx   f ( x )dx . g( x )dx  

C.    f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx  

D.   f m ( x ) f '( x )dx 

f m 1 ( x )
 C   
m 1

Câu 29: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số  f  x   2 sin2 x ? là: 
A. F  x   sin 2 x   

 

B.  F  x   2cos2 x   

1
C. F  x   cos2 x   
2

 

D. F  x   cos2 x   

Câu 30: Một nguyên hàm của hàm số  f  x   9 x  3 x 2 là: 

A. F ( x )  9 x  x 3   
C. F  x  

9x
 6 x   
ln 9

 

B. F ( x )  9 x ln9  x 3   

 

D. F  x  

9x
 x3  
ln 9

 


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1: Ta có 

 ydx    2 sin x  cos x  1dx   sin 2 xd(2 x )   cos xdx   dx   cos 2 x  sin x  x  C   
  
Mà.  f     ( cos 2 x  sin x  x  C )
2 2



x




2


2

 C2


2




2



 C  2  Chọn B. 

3

4

C â u 2 :   T a   c ó    ydx   3 x  4 3 x dx  3 xdx  4  3 xdx  2 x 2  3 x 3  C    
4
 3

Mà  f (1)  7   2 x 2  3 x 3  C 
 7  C  2  .Do  đó  f  0   f  64   2C  1792  1796 . 

x
1



Chọn A. 







 

C â u 3 :   T a   c ó     2 x  1 x  x  4 dx   x  x  4 dx x  x  4
2

2

2



x


2

 x  4
2

2

 C   

Chọn A. 
Câu 4:Ta có 
F ( x )   f ( x )dx  

x

2

1
x3



2

dx  

x4  2x2  1
2 1 
1

dx    x   3  dx  x 2  2 ln x  2  C   
3
x
x x 
2x


1
1
9


M à   F (1)  4   x 2  2 ln x  2  C 
 4  C   4  C     .Chọn C. 
2x
2
2

 x 1
 e x
C â u   5 :   T a   c ó   F ( x )   f ( x )dx   e x  1  2
x



 x 1

dx    e  2
x



1

x
 dx  e  x  C    


1
1


Mà  F (1)  e   e x   C 
 e  C  e  1  e  C  1  F( x )  e x   1   C h ọ n   C  
x
x

 x 1
Câu 7: Ta có 
F ( x )   f ( x )dx   tan 2 xdx 

sin 2 x
1  cos2 x
 1

dx


dx   
 1 dx  tan x  x  C    
2
2
2

cos x
cos x
cos
x





 
Mà  F    1   tan x  x  C 
  1  C 1  1  C   
4
4
x
4
4
Chọn A. 
Câu 8: Ta có F ( x )   f ( x )dx  
Mà.  F (1) 

x2  2x  1
1
x2



dx    x   2  dx 
 2 x  ln x  C   
x
x
2




1  x2
1
   2 x  ln x  C 
  C  2  Chọn A. 
2  2
 x 1 2

Trang 5


Câu 9: Ta có 
1

F ( x )   f ( x )dx   3 x  4 dx    3 x  4  2 dx 

3
2
2
3x  4 2  C 

9
9

3x  4 

3

C 

Mà 

2
F (0)  2  
9

3x  4 

3

16
2
2

 C
 2  C   2  C   F( x ) 
9
9
9
 x0

3x  4 

3



2
.  
9

Chọn A. 





C â u 1 0 :   T a   c ó   F ( x )   f ( x )dx   x 3  3 x 2  5 dx 

x4
 x3  5x  C  
4

Chọn C. 





C â u   1 1 :   T a   c ó   F ( x )   f ( x )dx   5 x 4  4 x 2  6 dx   x 5 

4 3
x  6 x  C Chọn A. 
3

 1
Câu 12: Ta có  F ( x )   f ( x )dx    1   dx  x  ln x  C . Chọn B. 
x

Câu 13: Có 

  sin x  cos x  dx   sin xdx   cos xdx   d(cos x )   d(sin x )   sin x  cos x  C . 
Chọn A.  

1
dx


Câu 14: Ta có    3 x 2   2  dx   3 x 2 dx    2  dx  x 3  ln x  2 x  C . Chọn D. 
x
x


Câu 15: Ta có   f ( x )dx  

2
dx  2  d (tan x )  2 tan x  C .Chọn A. 
cos2 x





x
1
1
1
 1 1
  dx  
dx   dx   d 2 x   dx  2 x   C . Chọn B. 
Câu 16: Ta có   
2
2
2
x
 x 2





Câu 17: Ta có   e  x  4 dx   e  x dx  4  dx    d (e  x )  4  dx  e  x  4 x  C .Chọn D. 

dx
1 

Câu 18:   3  2  dx   3dx   2  3 x  cot x  C . Chọn C. 
sin x 
sin x






Câu 19:  F( x )    x 3  3 x 2  2 x dx    x 3 dx  3 x 2 dx  2  xdx  

F(1)  2  

x4
 x3  x2  C  
4

14 3 2
9
 1  1  C  2  C  . Chọn C. 
4
4

1 
dx 1
e3 x 1 1

  C . Chọn D. 
Câu 20:    e3 x 1  2  dx   e3 x 1dx   2   d  e3 x 1    x 2 dx 
x 
x
3
3
x


Câu 21: 

F( x )    sin x  cos x  dx   sin xdx   cos xdx   cos x  sin x  C .    


 

 
 
 
F    0   cos    sin    C  0  C  2 Chọn A. 
4
4
4
Câu 22: 

F( x )    2 x  sin x  2 cos x  dx  2  xdx   sin xdx  2  cos xdx  x 2  cos x  2 sin x  C .  
F  0   1  0 2  cos 0  2 sin 0  C  1  C  2 Chọn B. 

d  x  2
1 
 3x  5 

dx    3 
dx  3 dx  
 3 x  ln x  2  C .Chọn C. 
Câu 23:   



x2
x2
 x2 

Câu 24:  

d  x  1
x
1 

dx    1 
dx   dx  
 x  ln x  1  C .   Chọn C. 

x 1
x 1
x 1


dx
 1

 1  dx  
 dx  tan x  x  C Chọn C. 
C â u   2 5 :   .    tan 2 xdx   
2
cos2 x 
 cos x 









Câu 26:   cos4 x  sin 4 x dx   cos2 x  sin 2 x dx   cos 2 xdx 

1
sin 2 x
cos 2 xd 2 x 
C 

2
2

.Chọn B 





Câu 27:   sin 2 x  3 x 2 dx 

1
cos 2 x
 x 3  C  .Chọn C. 
sin 2 xd 2 x  3 x 2 dx  


2
2

Câu 28: Từ các tinh chất của nguyên hàm ta dễ dàng chọn được đáp án B. Chọn 
B  
Câu 29:   2 sin 2 xdx   sin 2 xd  2 x    cos 2 x  C . Chọn D 





Câu 30:   9 x  3 x 2 dx   9 x dx  3 x 2 dx 

9x
 x 3  C . Chọn D 
ln 9
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trang 7

DẠNG 2. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM (PHẦN 1) 
Câu 1: Họ nguyên hàm của hàm số  f ( x ) 

t2
 C   
2

 

B.  F(t )  t 

t2 t3
 C 
2 3

 

D . F (t )  

A.  F(t )  t 
C .   F (t ) 

cos3 x
  sau phép đặt  t  sin x là 
1  sin x

Câu 2: Họ nguyên hàm của hàm số  f ( x ) 

t2
C 

2

t2 t3
 C 
2 3

2 x 3
  sau phép đặt  t  x  3  là 
2 x 3  x

A.  F (t )  4t  ln t  1  9 ln t  3  C   

B.  F (t )  4t  ln t  1  9 ln t  3  C  

C.  F (t )  4t  ln t  1  9 ln t  3  C  

D.  F (t )  4t  ln t  1  9 ln t  3  C  

Câu 3: Họ nguyên hàm của hàm số  f ( x ) 
A. F(t )  t  4 ln t  2 

4
 C   
t2

C .   F(t )  2t  4 ln t  2 

4
C 
t2

Câu 4: Cho nguyên hàm  I  

x2
  sau phép đặt  t  x  2  là 
x64 x2
B.  F(t )  2t  8 ln t  2 

8
C 
t2

D.  F(t )  2t  8 ln t  2 

8
C 
t2

x
dx  . Giả sử đăt  t  4 x  1  thì ta đươc : 
4x  1

1  t3 
A.  I    t   C   
8 3 

 

1  t3 
B.  I    t   C  

4 3 

1  t3 
C.  I    t   C  
8 3 

 

1  t3 
D.  I    t   C  
4 3 

Câu 5: Cho nguyên hàm  I  

e

e2 x
x

1



 1
dx  a  t    C  với  t  e x  1  , giá tri của a 
 t
e 1
x

bằng 

A.‐2 

B. 2 

C.‐1 

D. 

Câu 6: Nguyên hàm của hàm số  y  x 3 x 2  1  là: 



A. 

1
3x 2  1
15

C. 

1 2
x 1
5



 x

 x

2

2



 

3

B. 



D. 

3

1  C  

Câu 7: Nguyên hàm của hàm sô  y 

x 1
x 2



 x



 x

1
3x 2  2
15

 1  C   

1
3x 2  4
15

 bằng: 

2

2



3

1  C  



3

1  C  

1. 


A. 

3
 x  1 x  2  C     
2

B. 

C. 

2
 x  1 x  2  C    
3

D. 

3

4
 x  1 x  2  C  
3

x 1
1
.
 bằng: 

x  2 ( x  2)2

Câu 8: Nguyên hàm của hàm số  y 
3

2  x 1 
A. 
 C   
9  x  2 

2
 x  1 x  2  C  
3

3

2  x 1 
B. 
C  
3  x  2 

2  x  1 
C 
C 
9  x  2 

D. 

3

2  x  1 
C 
9  x  2 
Câu 9: Nguyên hàm của hàm sô  y 

x 1
x 7

 bằng: 

A. 

2
 3 x  1 x  7  C    
3

B. 

C. 

2
 3 x  11 x  7  C  
3

D. 

Câu 10: Cho nguyên hàm sau  I  
A.  I  

dt

  
t (t  1)

B.  I 

dx
x x 1
10

1
dt
 
2

10 t  1

2
 3 x  1 x  7  C  
3
1
 2 x  1 x  7  C  
3

 . Khi đặt  t  x 10  1  ta được: 
C.  I 

1
dt
 
3


10 t  t 2

Câu  11:  Giả  sử  F  x   là  một  nguyên  hàm  của  hàm  số  y 

D.  I 

1

1 dt
 
5  t2  1

.Biết  F 1  3  .  Vậy 

1 x 1

F(2)  bằng: 
A. 5  ln2  C   

B. 5  ln2   

Câu 12: Nguyên hàm của hàm số  y 

A.  x  4 x  1  4 ln





C. 5  21n2   



x
1 1 x



2

D.  5  21n2  C  

 là: 





x  1  1  C   

B.  x  1  4 ln



D.  x  4 x  1  2 ln

C.  x  1  2 x  1  2 ln



x 1 1  

Câu 13: Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số  y 

x 1 1  C  

x2
x 1





x 1 1  C  

 . Biết F (10)  40 . Vậy  F  2   

bằng: 
A. 

10
  
3

B. 

32
 
3

C. 

20
 
3

D.  4  

Trang 9


Câu 14: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f ( x ) 
A.  2 2 ln x  1  

B.  1  2 ln x  

1
x 1  2 ln x

1  2 ln x
 
4

C. 

D. 
x3

Câu 15: Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số  f ( x ) 

A. 

x

2

2



1  x2

  

3

x
C. 

2

1



1  x2

3

 

1 4
x  5  C   
8

 

x
D.  

B. 

1 4
x  5  C   
4

Câu 17: Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x ) 
A. t 4  6t 2  9  C   

2
2  ln 3 x  C     
3

2
2  ln 3 x  C  
3



 

4 x 5

 

 C   

D. 

, khi đặt t  3  x  : 

ln 2 x
x 2  ln 3 x

D.

 

 

: 

4

3 x

1  x2

3

1

B.  

 
 

2

2

1  2 ln x
 
2

 

1
D.  t 5  2t 3  9t  C  
5

Câu 18: Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x ) 

C. 

x4  5

x3

1  x2

B.  2t 4  12t 2  18  C  

 

2
C.   t 5  4t 3  18t  C    
5

A.  


3

x3

C. 

1

2

B.  

Câu 16: Tìm nguyên hàm của hàm số  f ( x ) 

A. 

x

 

1  x2

. 

  

1
2  ln 3 x  C  
3

1
2  ln 3 x  C  
3

 

:

1
8 x4  5

 C   

 


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 

Câu 1: Đặt  t  sin x  dt  cos xdx  khi đó ta có 









1  sin 2 x d  sin x 
1  t 2 dt
cos3 xdx
cos2 x cos xdx
1



  1  t  dt  t  t 2  C   
 1  sin x  1  sin x


1  sin x
1 t
2
.  Chọn A. 
Câu 2: Đặt  t  x  3  t 2  x  3  2tdt  dx khi đó ta có 





4 t 2  2 t  3   t  3   9  t  1
2t.2tdt
dt
 2 x  3  x dx   t 2  2t  3  
 t  3 t  1
2 x 3

1
9 

 4

dt  4t  ln t  1  9 t  3  C
t  1 t  3 


 

Chọn A. 
Câu 3: Đặt  t  x  2  t 2  x  2  2tdt  dx khi đó ta có 
x2

 x64

x2

dx  





2 t 2  4t  4  8  t  2   8
t.2tdt
dt

t 2  4t  4 
t 2  4t  4


8
8 
8
  2 

 dt  2t  8 ln t  2 
C
2
t2
 t  2  t  2  

 

Chọn B. 
Câu 4: Đặt  t  4 x  1  t 2  4 x  1  2tdt  4dx  tdt  2 dx khi đó ta có  
t 2  1 tdt
.
x

2  1 t 2  1 dt  1  1 t 3  t   C  
dx   4

t
8
8  3
4x  1








Chọn C. 
Câu 5: Đặt  t  e x  1  t 2  e x  1  2tdt  e x dx  2tdt  (t 2  1)dx  dx 

2tdt
 khi đó ta 
t2  1

có 
I

t

2



2tdt
2
t 2  1  2 t  1 dt  2  1  1  dt  2  t  1   C  a  2  


 t2
  t 2 
t3
 t



2

1 .



Chọn B. 
Câu 6: Ta có 

x


3



1 2


2  5













1 2 2
1
x x  1d x 2  1   x 2  1 x 2  1  x 2  1  d x 2  1


2
2
  . 
5
3
3
2 2
1
2
2

2
2
2
x 1  x 1   C 
3x  2
x 1  C
3
15


x 2  1dx 









 



Trang 11


Chọn B. 
Câu 7: Ta có 



x 1

1 
2

dx    x  2 
dx  3
x 2
x 2 




x 2



3
2

2 x 2 

2
 x  1 x  2  C  . Chọn C. 
3

x 1
x 1

3dx
dx
2
 t2 
 2tdt 

  tdt  khi đó ta có 
2
2
3
x 2
x 2
 x  2
 x  2

Câu 8: Đặt  t 

3

x  1 dx
2
2
2  x 1 
 2 
  t.   t  dt    t 2 dt   t 3  C  
C  
2
x  2  x  2
3
9

9  x  2 
 3 



Chọn C. 
Câu 9: Ta có 



x 1

6 
2

dx    x  7 
dx  3
x 7
x 7 




x 7



3
2

 12 x  7 

2
 x  11 x  7  C   
3

Chọn B. 
Câu 10: Đặt  t  x 10  1  t 2  x 10  1  2tdt  10 x 9 dx  dx 

x

dx
x 1
10



tdt
5x

10

x 1
10



tdt
 khi đó ta có 
5x9

tdt
1 dt
  
  2
5 t 1 t 5 t 1



2



Chọn D. 
Câu 11: 
F( x )  

1
1 x 1

x 1  t
dx 
F( x )  

2t
dt  
1 t

2 


 F( x )    2 
dx  2t  2 ln t  1  C  
t  1 

 2 x  1  2 ln





x  1  1  C  2 x  1  2 ln 1  x  2  C  

Bài ra  F (1)  3  0  2 ln1  C  3  C  3  F(2)  2  2 ln 2  3  5  2 ln 2 . Chọn C 
Câu 12:   F ( x )  

 F( x )  2 

1 

x
1 x



2

1 x  t
dx 
F( x )  

t2  1

1  t 

2





d t2  1  

 t  1 t  1 .2t  
2
 t  1

 t  1 t  2   2 dt  2  t  2  2  dt  
t2  t
dt  2 
 
t 1
t 1
t  1 

 t2

 F( x )  2   2t  2 ln t  1   C  x  1  4 x  1  4 ln 1  x  1  C  
2




Chọn A 




Câu 13:  F ( x )  

x2
x 1

x 1  t
dx 
F( x )  

 t3

2
 F( x )  2   3t   C 
3
3


 x  1

3

t2  3
t2  3

d t2  3  
.2tdt  2  t 2  3 dt  
t
t









 6 x 1  C  

2 3
2
32
. Chọn B 
9  6 9  C  40  C  4  F(2)   6  4 
3
3
3

Bài ra  F (10)  40 
Câu 14: 

Fx  

1

dx  

x 1  2 ln x

1

d  ln x  

1  2 ln x

1
1
d 1  2 ln x   1  2 ln x  C . 

2 1  2 ln x

Chọn B 
Câu 15:  F ( x )  

 Fx 

x3
1  x2

dx 

1
x2
1 1  t2

1 x 2  t
2
d
x


F
(
x
)

d 1  t2  
2  1  x2
2 t

 





1 1  t2
t3
1
2
.

2
t
dt


t

1
dt

 t  C  t2  3 t  C  




2
t
3
3







2  x 
C  

1  x2





2

1
 1  x2  3
3



Câu 16:  

x3

1 x

x 5
4

2



3

dx 



 C . Chọn D 

1
1
1 4
d x4  5 
x  5  C  Chọn A 

4
4
8
x 4

Câu 17: 

3  t 
2

H

t

2

3  t 
   t .  2t  dt  2   t
2



d 3t

2

2

4

 t5

 6t 2  9 dt  2   2t 3  9t   C  
5




Chọn C 
Câu 18:  


ln 2 x
x 2  ln x
3

dx  

ln 2 x
2  ln x
3

d  ln x  





1
1
d ln 3 x   

3
3
2  ln x

1
1
2
2  ln 3 x  C . Chọn A 
d  2  ln 3 x   

3
3
3
2  ln x

 
 
 
 
 
 
 

Trang 13


DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM PHẦN 2. 
Câu 1: Xét nguyên hàm  I   4  x 2 dx  với phép đặt  x  2sin t  . Khi đó 
  A.  I   2 1  cos 2t dt   

  C.  I   2  4  cos 2t dt   

B.  I   2 1  cos 3t dt    

D.  I   2 1  2 cos 2t dt   

x
dx  là nguyên hàm nào sau đây  
1  x2
1
1
B.  J   tan 2tdt   
C.  J   tan 2tdt    D.  J   tan 2 tdt   
  A.  J   tan tdt   
2
2
1
  
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   2
x 1
B.  I  cot x  C   
C.  I  arctan x  C    D.  I  arccot x  C   
  A.  I  tan x  C   

Câu 2: Sử dụng phép đặt  x  tan t  thì  J  

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   1  x 2   
  A.   f  x dx 

arcsin x  x 1  x 2
 C   
2

B.   f  x dx 

arcsin x  x 1  x 2
 C     
2

  C.   f  x dx 

2 arcsin x  x 1  x 2
 C   
2

D.   f  x dx 

2 arcsin x  x 1  x 2
 C   
2

Câu 5: Tìm một nguyên hàm của hàm số  f  x  

x2
1  x2

  

  A.   f  x dx 

arcsin x  x 1  x 2
 2   
2

B.   f  x dx 

arcsin x  x 1  x 2
 C     
2

  C.   f  x dx 

2 arcsin x  x 1  x 2
 C   
2

D.   f  x dx 

2 arcsin x  x 1  x 2
 2 x   
2

Câu 6: Tính nguyên hàm của hàm số  f  x   x 2 9  x 2  khi đặt  x  3sin t   

1
1
C.  t  sin 4t  C   
D.  2t  sin 4t  C   
4
2
2
x
Câu 7: Tính nguyên hàm của hàm số  f  x  
  
1  x2
arcsin x 1
  A.  arcsin x  x 1  x 2  C   
B. 
 x 1  x 2  C     
2
2
arcsin x 1
x
 
D. 
  C.  arcsin  C   
 x 1  x 2  C   
2
2
2
  
Câu 8: Cho nguyên hàm  I   x 2 4  x 2 dx  . Nếu đổi biến số  x  2sin t  với  t    ;   thì  
 2 2

cos 4t
sin 8t
  A.  I  2t 
B.  I  2t 
 C    
 C     
2
4
cos 4t
sin 4t
 C     
D.  I  2t 
 C   
  C.  I  2t 
2
2
x
dx
Câu 9: Nguyên hàm  
 với phép đặt  t  tan  trở thành 
2
1  sin x
dt
2dt
2dt
2dt
  
B.  
  
C.  

  
D.  
  
  A.  
2
3
2
2
3 1  t 
3 1  t 
1  t 
1  t 
  A. 

81t 81
t 1
 sin 4t  C    B.   sin 4t  C   
8 32
2 8

Câu 10: Sử dụng phép đặt  x  sin t  , tìm biểu diễn của nguyên hàm  I  1  x 2 dt   
B.  I   2 sin t cos 2 tdt     
  A.  I   2 cos t cos tdt    


  C.  I   cos t cos tdt     

D.  I   4 sin t cos tdt   

    

Câu 11: Cho nguyên hàm  I   4  x 2 dx  . Khi đặt  x  2sin t  t    ;    ta được: 
  2 2 
  A.  I  2t  sin 2t  C    B.  I  2t  sin 2t  C    C.  I  t  sin 2t  C    D.  I  4t  2sin 2t  C   
1  x2
dx  . Bạn A làm như sau: 
x2
   

Bước 1: Đặt  x  sin t  t    ;  ; t  0   dx  cos tdt   
  2 2


Câu 12: Để tính nguyên hàm  I  

1  sin 2 x .cos tdt
cos 2 t

dt   
2
sin t
sin 2 t
cot 3 t
cot 3 x
Bước 3:   I   cot 2 tdt 
C  I 
 C  (với  t  sin x)   
3
3
Vậy bạn A làm đúng hay sai? 
  A. Bạn A làm sai bước 1 

B. Bạn A làm sai bước 2 
 
  C. Bạn A làm sai bước 3 
D. Bạn A làm hoàn toàn đúng 

dx
 . Biết rằng  F  0    . Vậy  F  2   có giá trị bằng 
Câu 13: Cho nguyên hàm  F  x    2
8
x 4

Bước 2: Khi đó  I  

  A.  F  2  



8

B.  F  2  

  



2

C.  F  2  

  

Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x  

1
x

2

1  x2



4

D.  F  2   0   

  

 sau phép đặt  x  sin t , với 

  
t    ;  \ 0  là 
 2 2
  A.  F  t    tan t  C     

B.  F  t    cot t  C     

  C.  F  t   tan t  C   

D.  F  t   cot t  C   

 

9  x2
 sau phép đặt  x  3sin t  , với 
x2

Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x  

  
t    ;  \ 0  là 
 2 2
  A.  F  t   9 cot t 
  C.  F  t   cot t 

1‐A 
11‐B 
 

2‐A 
12‐C 

9t 2
 C   
2

B. F  t   9 cot t  9t  C   

t2
 C   

2

3‐C 
13‐C 

 

D.  F  t    cot t  t  C   

4‐B 
14‐B 

5‐A 
15‐D 

Đáp án 
 
6‐A 
7‐B 
 
 

8‐D 
 

9‐A 
 

10‐C 
 

 
 
 
 
 
 

Trang 15


LỜI GIẢI CHI TIẾT 
Câu 1: Đáp án A 

  
x  2sin t  với  t    ;   dx  2 cos tdt   
 2 2
 I   4  x 2 dx  4  cos t cos t dt  4  cos 2 tdt  2  1  cos 2t dt  . 
Câu 2: Đáp án A 

dt
xdx
J 
 tan tdt   
2
cos t
1  x2 
Câu 3: Đáp án C 
x  tan t  dx 

dt
dx
 2
 dt  t  C  arctan x  C   
2
cos t
x 1 
Câu 4: Đáp án B 
x  tan t  dx 

  
x  sin t  với  t    ;   dx  cos tdt  
 2 2
  1  x 2 dx   cos t cos t dt   cos 2 tdt 

1
t sin 2t
C 
1  cos 2t dt  

2
2
4

arcsin x  sin t.cos t
arcsin x  x 1  x 2
C 
 C   
2
2

Câu 5: Đáp án A 



  
x  sin t  với  t    ;   dx  cos tdt  
 2 2
2
x dx
sin 2 t cos tdt
1


  sin 2 tdt   1  cos 2t dt  
cos t
2
1  x2
t  sin t cos t
arcsin x  x 1  x 2
C 
 C   
2
2
Câu 6: Đáp án A 



  
x  3sin t  với  t    ;   dx  3cos tdt     x 2 9  x 2 dx  81 sin 2 t cos t cos t dt  
 2 2

81
81
81t 81sin 4t
  sin 2 2tdt   1  cos 4t dt 

 C  . 
4
8
8
32
Câu 7: Đáp án B 
  
x  sin t  với  t    ;   dx  cos tdt  
 2 2
2
x dx
sin 2 t cos tdt
1


  sin 2 tdt  1  cos 2t dt  
2
cos t
2
1 x
t  sin t cos t
arcsin x  x 1  x 2
C 
 C   
2

2
Câu 8: Đáp án D 



  
x  2sin t  với  t    ;   dx  2 cos tdt  
 2 2


  x 2 4  x 2 dx  16  sin 2 t cos t cos t dt    4  sin 2 2tdt  2  1  cos 4t  dt  2t 

sin 4t
 C   
2

Câu 9: Đáp án A 
t  tan

2dt
x
dx
dx 
x  dx
  
 dt 
  1  tan 2     1  t 2   dx 
x 2 
2
1 t2

2
2
2 cos 2
2

 t  1  dx  2 dt   
2t
Mặt khác  sin x  1  2
1  2
 1  sin x  1  t 2
t 1
t 1
2

Câu 10: Đáp án C 

x  sin t  dx  cos tdt  I   1  x 2 dt   cos t 1  sin 2 tdt   cos t cos t dt    
Câu 11: Đáp án B 

    
x  2sin t  t    ;    dx  2 cos tdt   
  2 2 
 I   4  x 2 dx  4  cos 2 tdt  2  1  cos 2t  dt    2t  sin 2t  C   
Câu 12: Đáp án C 
cos 2 t
1  sin 2 t
 1

dt


dt    2  1     cot t  t  C   
2
2

sin t
sin t
 sin t 

Bước 3 sai vì  I  
Câu 13: Đáp án C 

dx
2dt
1
t
x  2 tan t  dx 
 F  x   2
    dt   C 
2
x 4 2
cos t
2
F  0 





arctan



2

x
2 C  

 C   F  2     
8
8
4
Câu 14: Đáp án B 
dx  cos tdt  

dx

x 1 x
Câu 15: Đáp án D 
dx  3cos tdt  

2

2



dt
cos tdt
    2   cot t  C   
2

sin t
sin t cos t

cos t
9  x2
cos 2 t
 1

dx

tdt
cos
 

dt    2  1 dt   cot t  t  C   
2
2
2


x
sin t
sin t
 sin t 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Trang 17


DẠNG 4. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHÂN ĐỂ TÌM NGUYÊN HÀM  
 
Câu 1: Nguyên hàm  I   x ln  x  1 dx  bằng 

x2 1
x2 x
x2 1
x2  2x
B. 
 
 C   
ln  x  1    C   
ln  x  1 
2
4 2
2
4
x2
x2 x

x2 1
x2
  C. 
D.  ln  x  1    C   
ln  x  1   x  C   
2
4 2
2
4
Câu 2: Gọi  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x   x  ln  x  1  . Biết  F  0   1  , vậy 

  A. 

F  x   bằng: 
x2  2x
  x  1 ln  x  1  1   
2
x2  x
  C. 
  x  1 ln  x  1  1   
2

  A. 

x2  2x
 x ln  x  1  1   
 
2
x2  2x
  x 2  1 ln  x  1  1   

D. 
2

B. 

ln  x  2 
 bằng: 
x2
ln x  x  2  ln  x  2 
ln x  x  2  ln  x  2 
  A. 
B. 

 C   

 C    
2
x
2x
x
ln x  x  2  ln  x  2 
ln x ln  x  2 
  C. 
D. 

 C   

 C   
2
2x

2
x
1

Câu 4: Giả sử  F  x   là một nguyên hàm của hàm số  f  x    x   ln x . Biết  F 1  0 . 
x

Vậy  F  x   bằng: 
Câu 3: Nguyên hàm của hàm số  y 

x 2  2 x 2 ln x ln 2 x 1
 x 2  2 x 2 ln x ln 2 x 1

   

     
B. 
4
2
4
4
2
4
2
2
2
2
2
2
 x  2 x ln x ln x 1

 x  2 x ln x ln x 1
  C. 

   

   
D. 
4
2
4
4
2
4
x
Câu 5: Hàm số  f  x   xe  có các nguyên hàm là: 

  A. 

  A.  F  x   xe x  e x  C   

B.  F  x   x 2 e x  C     

1 x 1
D.  F  x   e x  x  1  C   
e  C   
x 1
Câu 6: Hàm số  f  x    x  1 sin x  có các nguyên hàm là: 

  C.  F  x   x 

  A.  F  x    x  1 cos x  sin x  C   

B.  F  x     x  1 cos x  sin x  C   

  C.  F  x     x  1 cos x  sin x  C   

D.  F  x     x  1 cos x  sin x  C   

 

Câu 7: Hàm số  f  x   ln x  có các nguyên hàm là: 
  A.  F  x   x  ln x  1  C   

B.  F  x  

1
 C   
x

 

ln 2 x
 C     
D.  F  x   x  ln x  1  C   
2
Câu 8: Gọi hàm số  F  x   là một nguyên hàm của  f  x   x cos 3 x , biết  F  0   1  . Vậy 
  C.  F  x  

F  x   là: 
1

1
  A.  F  x   x sin 3 x  cos 3 x  C   
3
9

1
1
B.  F  x   x sin 3 x  cos 3 x  1   
3
9

 


1 2
1
1
8
D.  F  x   x sin 3 x  cos 3 x    
x sin 3 x     
6
3
9
9
Câu 9: Nguyên hàm  F  x   của  f  x   xe  x  thỏa mãn  F  0   1  là: 

  C.  F  x  

  A.  F  x     x  1 e  x  1   

B.  F  x     x  1 e  x  2   

  C.  F  x    x  1 e  x  1   

D.  F  x    x  1 e  x  2   

 

Câu 10: Kết quả nào sai trong các kết quả sau? 
 x.cos x
 C   
  A.   x sin xdx 
B.   x sin xdx   cos x  sin x  C   
 
2
 x.cos 2 x 1
  C.   x cos xdx  x sin x  cos x  C   
D.   x sin 2 xdx 
 sin 2 x  C   
2
4
Câu 11: Kết quả nào sai trong các kết quả sau? 
xe3 x 1 3 x
3x
  A.   xe dx 
 e  C   
B.   xe x dx  x.e x  e x  C   
 
3
8

x2
x
x 1
  C.   xe x dx  .e x  C   
D.   x dx  x  x  C   
2
e
e
e
Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x    x 2  1 e x   
  A.   f  x  dx   x  1 e x  C   
2

  C.   f  x  dx   x 2  2 x  2  e x  C   

B.  f  x    x  1 e x  C   


 

D.   f  x  dx   x 2  2 x  2  e x  C   

Câu 13: Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x   x 2  3.ln x  1   

 1 1
  A.   f  x  dx  x3 .  ln    C   
 x 3

1


B.   f  x  dx  x3  ln x    C   
3

1
  C.   f  x dx  x3 .ln x  C   
D.   f  x dx  x3 .ln  C   
x
ln x
 qua phép đặt  t  x  là 
Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x  
x
  A.  F  t   2t ln 2 t  4t  C   
B.  F  t   2t ln 2 t  4t  C   
 
  C.  2t ln t 2  4t  C   

 

D.  2t ln t 2  4t  C   
ln 1  x 
 là: 
Câu 15: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x  
x2
  A.  F  x   2  x  1 ln 1  x   2 x  C   
B.  F  x   2  x  1 ln 1  x   x  C     
 

1 x
1 x
.ln 1  x   ln x  C   

.ln 1  x   ln x  C   
D.  F  x  
x
x
Câu 16: Tìm nguyên hàm H của hàm số  f  x    3 x 2  1 ln x   
  C.  F  x   

x3
x3
 x  C   
B.  H  x3 ln x   x  C   
 
3
3
x3
x3
  C.  H  x  x 2  1 ln x   C   
D.  H  x3 ln x   C   
3
3
Câu 17: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x   cos x  sau phép đặt  t  x  x  0   là: 
  A.  H  x  x 2  1 ln x 

  A.  F  t   2t cos t  2sin t  C   

B.  F  t   2t sin t  2 cos t  C     

  C.  F  t   2t cos t  2sin t  C   

D.  F  t   2t sin t  2 cos t  C   

Câu 18: Nguyên hàm của hàm số  y 

x sin x
 bằng 
cos3 x

Trang 19


x
tan x
x
tan x
B. 

 C   

 C    
2
2
2 cos x
2
2 cos x
2
x
x
D. 
  C. 
 tan x  C    

 tan x  C   
2
2 cos x
2 cos 2 x
Câu 19: Tìm nguyên hàm H của hàm số  f  x   x ln x   

  A. 

  A.  H 
  C.  H 

1‐A 
11‐A 
 

 3ln x  2  x

x

9
 6 ln x  4  x x

2‐A 
12‐A 

9

3‐C 
13‐C 

 2 ln x  3 x

 C   

B.  H 

 C   

D.  H 

4‐B 
14‐D 

 
Đáp án 
 
5‐D 
6‐B 
15‐C 
16‐A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

x

9
 4 ln x  6  x x

7‐A 
17‐B 

9

8‐D 
18‐B 

 C   

 

 C   

9‐A 
19‐C 

10‐A 
 


LỜI GIẢI CHI TIẾT 
 
Câu 1: Đáp án A 

1
1
1
ln  x  1 d  x 2   x 2 ln  x  1   x 2 d  ln  x  1   

2
2
2

2
1
1 x
1
1 
1 
 x 2 ln  x  1  
dx  x 2 ln  x  1    x  1 
 dx  
2
2 x 1
2
2 
x 1
2
x2 x
1
11
 x 1
ln  x  1    C  . 
 x 2 ln  x  1   x 2  x  ln  x  1  
2
22
2
4 2

Câu 2: Đáp án A 
Ta có   x ln  x  1 dx 

1 2

1
x   ln  x  1 dx  x 2  x ln  x  1   xd  ln  x  1    
2
2
1
x
1
x  2x
dx  x 2  x ln  x  1  x  ln  x  1   
  x  1 ln  x  1  C   
 x 2  x ln  x  1  
2
x 1
2
2
Câu 3: Đáp án C 
Ta có  F  x     x  ln  x  1 dx 

ln  x  2 
ln  x  2 
1
1
  d  ln  x  2    
dx    ln  x  2  d    
2
x
x
x
x
 ln  x  2 

dx
 


x
x  x  2

Ta có  



ln  x  2  1  x  2   x
ln  x  2  1
1
dx  
 
 ln x  ln  x  2   C  
x
2 x  x  2
x
2
2

ln x  x  2  ln  x  2 

 C   
x
2x
Câu 4: Đáp án B 



1
ln x
1

Ta có    x   ln xdx   x ln dx  
dx   ln xd  x 2    ln xd  ln x    
2
x
x

1 2
1 2
1 2
1 2
1
1
 x ln x   x d  ln x   ln x  x ln x  ln 2 x   xdx   
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1

1
 x  2 x ln x ln x
 x 2 ln x  ln 2 x  x 2 

 C   
2
2
4
4
2
1
 x 2  2 x 2 ln x ln 2 x
Mà  F 1  0  C   F  x  

 C   
4
4
2
Câu 5: Đáp án D 
Ta có   xe x dx   xd  e x   xe x   e x dx  xe x  e x  C   
Câu 6: Đáp án B 
Ta có    x  1 sin xdx   x sin xdx   sin xdx    xd  cos x   cos x     x cos x   cos xdx  cos x  
  x cos x  sin x  cos x  C    x  1 cos x  sin x  C   

Câu 7: Đáp án A 
Ta có   ln xdx  x ln x   xd  ln x   x ln x   dx  x ln x  x  C    x  ln x  1  C   
Câu 8: Đáp án D 

Trang 21

1
1
1
1
1
xd  sin 3 x   x sin 3 x   sin 3 xdx    x sin 3 x  cos 3 x  C   

3
3
3
3
9
8
1
1
8
Do  F  0   1  C   F  x   x sin 3 x  cos 3 x   . 
9
3
9
9
Câu 9: Đáp án A 

Ta có   x cos 3 xdx 

Ta có:   xe  x dx    xd  e  x    xe  x   e  x dx     xe  x  e  x  C    x  1 e  x  C   

Mà  F  0   1  C  1  F  x     x  1 e  x  1   
Câu 10: Đáp án A 

Ta có   x sin xdx    xd  cos x    x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C  . 
Câu 11: Đáp án A 

1
1
1
1
1
xd  e3 x   xe3 x   e3 x dx  xe3 x  e3 x  C   

3
3
3
3
9
Câu 12: Đáp án A 
Ta có   xe3 x dx 

 u  x 2  1 du  2 xdx
 . Suy ra   f  x  dx   x 2  1 e x   2 x.e x dx   
Đặt  

x
x

v
e
dx


dv
e
dx


 u  2x
du  2dx
  
Đặt  

x
x
dv  e dx  v  e dx





Suy ra   f  x  dx   x 2  1 e x   2 x.e x dx   x 2  1 e x  2 x.e x   2.e x dx  
  x 2  1 e x  2 x.e x  2.e x  C   x  1 e x  C  . 
2

Cách khác: Đối với nguyên hàm từng phần dạng 
x
x
x
x
x
 f  x  .e dx  f  x  .e  f  x  .e  f  x  .e  ...  k.e  C .  

x

2

 1 e x dx   x 2  1 e x  2 xe x  2.e x  C   x 2  2 x  1 .e x  C    

Câu 13: Đáp án C 


3

u  3ln x  1 du  x dx
  
Đặt  

2
3
 dv  x dx
 v x


3
x3
x3
x3
Suy ra   x 2  3.ln x  1 dx  .  3ln x  1   x 2 dx  .  3ln x  1   C    x3 .ln x  C   
3
3
3
Câu 14: Đáp án D 

Đặt  t  x  2tdt  dx   
ln t 2
.  2tdt   4  ln t.dt  4t ln t  4  t.d  ln t   4t ln t  4  dt    4t ln t  4t  C   
Suy ra   f  x dx  
t
Quan sát các đáp án ta thấy D đúng, vì  2t ln t 2  4t  C  4t ln t  4t  C  . 
Câu 15: Đáp án C 

1

dx
u  ln 1  x   du 


1 x
  

Đặt  
1
 dv  x 2 dt
v   1  1   1  x

x
x



1 x
1
1 x

.ln 1  x    dx  
ln 1  x   ln x  C   
x
x
x
Câu 16: Đáp án A 

Suy ra  F  x   

1

u  ln x
du  dx


x
Đặt  
  

2
dv   3 x  1 dt v  x3  x  x  x 2  1


Suy ra  F  x   x  x 2  1 ln x    x 2  1dx  x  x 2  1 ln x 

x3
 x  C   
3

Câu 17: Đáp án B 

Đặt  t  x  2tdt  dx  . Suy ra  F  t    2t cos tdt   

 u  2t
du  2dt
Đặt  

 F  t   2t sin t  2 cos t  C   
dv  cos tdt  v  sin t
Câu 18: Đáp án B 
ux

 du  dx


  
Đặt  
d  cos x   
1
sin x
dx  
dv 
v  2.cos 2 x
3
3
cos x
cos x

x
1
1

x
tan x
dx 
Suy ra  F  x  
 

 C   
2
2
2
2 cos x 2 cos x
2 cos x
2
Câu 19: Đáp án C 

1

 u  ln x
 du  x dx

  
Đặt  
2
dv

xdx

v  x x



3

H 

 6 ln x  4  x x  C    
2
2
2
4
x x ln x  
xdx  x x ln x  x x  C 
3
3
3
9
9

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

Trang 23


DẠNG 5. TÌM NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ. 
 
x 1
  
Câu 1: Tìm ngun hàm của hàm số  f  x  
x 1
  A.   f  x  dx   x  2 ln x  1  C   
B.   f  x  dx   x  2 ln x  1  C   
  C.   f  x  dx  x  2 ln x  1  C   

 

D.   f  x  dx  x  2 ln x  1  C   

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số  f  x  

x2  x  4
  
x3

x2  2x

 10 ln x  3  C   
2
x2  2 x
  C.   f  x  dx 
 10 ln x  3  C   
2

B.   f  x  dx 

x2  4 x
 10 ln x  3  C     
2
x2  4 x
D.   f  x  dx 
 10 ln x  3  C   
2
5 x
  
Câu 3: Tìm một nguyen hàm của hàm số  f  x  
3  2x  x2
2
2
 x  3   
 x  3  C    
  A.   f  x  dx  ln
B.   f  x  dx   ln
x 1
x 1

  A.   f  x  dx 

  C.   f  x 

 x  3
dx  ln

2

D.   f  x 

 C   

x 1

 x  3
dx   ln

2

x 1

 C   

dx
 f  x   C  , giá trị biểu thức  f  2    bằng: 
x  2x  3
1
1
1
1

C.  f  2    ln 3    D.  f  2   ln 3   
  A.  f  2    ln 4    B.  f  2   ln 4   
3
3
4
4
2x 1
dx , nếu đổi biến số  t  2 x  1  thì 
Câu 5: Cho nguyên hàm  I   2
4x  4x  1
1
1
1
1
1
1
  A.  I  ln t   C    B.  I  ln t   C    C.  I  ln t   C    D.  I  ln t   C   
2
t
2
t
t
t
2x
 là 
Câu 6: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x  
3
1  x 

Câu 4: Cho  I  

2

  A.  F  x  

2
1

 C   
x  1  x  12

B.  F  x  

2
1

 C     
x  1  x  12

  C.  F  x  

1
1

 C   
1  x 4 1  x 4

D.  F  x  

1

1

 C   
1  x 4 1  x 4

Câu 7: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x  
  A.  F  x   x  1 
  C.  F  x   x  1 

3

2

 là 



2
 C   
x 1

B.  F  x   x  1  3ln x  1 

2
 C     
x 1

2



2
 C   
x 1

D.  F  x   x  1  3ln x  1 

2
 C   
x 1

3

Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x  
  A.  F  x   

 x  1

2

 x  1
 x  1

x2  x

ax
1
 C   
ln
2a a  x

1
 a  0   là: 
x  a2
1 xa
 C   
B.  F  x   ln
2 xa
2

 


1 xa
  C.  F  x   ln
 C   
2 xa

D.  F  x  

Câu 9: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x  

1

 x  a  x  b 

 là 

1
xb

 C     
ln
a b x a
1
xa
D.  F  x   
ln
 C   
a b x b
4x  3
Câu 10: Họ nguyên hàm của hàm số  f  x   2
 là 
x  3x  2
x 1
x 1
 C   
 C   
B.  F  x   4 ln x  2  ln
  A.  F  x   4 ln x  2  ln
x2
x2
x2
x2
  C.  F  x   4 ln x  2  ln
D.  F  x   4 ln x  2  ln
 C   
 C   
x 1
x 1
dx

Câu 11: Tìm   2
 là 
x  3x  2
x2
1
1
B.  ln
 
  A.  ln
 C   
 ln
 C   
x 1
x2
x 1
x 1
 C   
 
D.  ln  x  2  x  1  C   
  C.  ln
x2
3x  5
Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số  y 
 là 
x2
  A.  F  x   3 x  4 ln x  2  C   
B.  F  x   3 x  ln x  2  C     
1
ln
ba

1
  C.  F  x  
ln
a b

  A.  F  x  

xa
 C   
x b
xa
 C   
x b

1
xa
ln
 C   
2a x  a

B.  F  x  

  C.  F  x   3 x  ln x  2  C   

D.  F  x   3 x  ln x  2  C   

Câu 13: Một nguyên hàm của hàm số  f  x  

x
 là: 

x 1
B.  F  x   x  ln x  1    

  A.  F  x   ln x  1   

 

  C.  F  x   x  ln x  1    

 

D.  F  x   2 ln x  1   

x  2x 1
 , thỏa mãn  F 1  0  là: 
x2  2x  1
2
2
B.  F  x   x 
  A.  F  x   x 
 2   
 2    
x 1
x 1
2
2
 2   
D.  F  x   x 
  C.  F  x   x  2 ln  x  1   
x 1

x 1
 thì  f  x  1  là: 
Câu 15: Nếu một nguyên hàm của  f  x   là  F  x  
x 1
2
2
2
  A.  2x 2   
B.  2   
C.  x  1 
  
D. 
  
2
ln x
x
 x  1

Câu 14: Nguyên hàm  F  x   của  f  x  

2

dx
  
x  2x  3
1 x  1
1 x  3
1 x3
  A.  ln
 C    B.  ln

 C    C.  ln
 C   
4
x3
4
x 1
4 x 1
2x  3
Câu 17: Nguyên hàm của hàm số  I   2
dx  là: 
2x  x 1

Câu 16: Tính  

2

1 x 1
D.  ln
 C   
4 x3

Trang 25