Mô hình 3-3-1 với Lepton ngoại lai điện tích đôi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
======

THÀNH HỮU HỒNG GIANG

MÔ HÌNH 3-3-1 VỚI LEPTON
NGOẠI LAI ĐIỆN TÍCH ĐÔI
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số: 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học: GS. Hoàng Ngọc Long

HÀ NỘI, 2017


Lời cảm ơn
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS. Hoàng Ngọc Long,
người thầy trực tiếp hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn
này. Em xin cảm ơn thầy không chỉ vì sự quan tâm, tận tình chỉ bảo,
cung cấp tài liệu và phương thức nghiên cứu trong chuyên môn mà còn
vì những lời khuyên, những định hướng quý báu trong cuộc sống.
Em cũng xin cảm ơn sâu sắc TS. Phùng Văn Đồng, TS. Lê Thọ
Huệ và các anh chị trong nhóm vì đã cho em một môi trường học tập
và làm việc chân thành, cởi mở như những người thân.
Em xin cảm ơn các thầy cô tại Viện Vật Lí - Viện Khoa Học và
Công Nghệ Việt Nam, các thầy cô trong khoa Vật Lí - Trường Đại Học
Sư Phạm Hà Nội 2 vì đã tận tình chỉ dạy, trang bị những nền tảng kiến
thức quý báu cho quá trình học tập và nghiên cứu của em.

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo, phòng sau đại học trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để chúng tôi học
tập và làm việc.
Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin dành cho gia đình và người thân vì
đã luôn ủng hộ, động viên và sát cánh bên tôi.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả luận văn

Thành Hữu Hồng Giang


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin
cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được
cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Hà Nội, tháng 6 năm 2017
Tác giả luận văn

Thành Hữu Hồng Giang


Mục lục

Mở đầu

1

1 Giới thiệu

3

1.1

Mô hình chuẩn và sự cần thiết của mở rộng . . . . . . .

3

1.2

Mô hình 3-3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Mô hình 3-3-1 tối thiểu . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải . . . .

5

2 Mô hình 3-3-1 với điện tích bất kỳ

7

2.1

Cấu trúc hạt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Các trường Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.1

Tương tác Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2.2

Khối lượng các fermion . . . . . . . . . . . . . . .

9

Các trường chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3.1

Khối lượng trường chuẩn mang điện . . . . . . . .

10

2.3.2

Khối lượng trường chuẩn trung hòa . . . . . . . .

12

2.3

3 Mô hình 3-3-1 với lepton ngoại lai điện tích đôi

14

3.1

Hạt lepton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.2

Quark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

3.3

Trường chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.3.1

Khối lượng trường chuẩn mang điện . . . . . . . .

16

3.3.2

Khối lượng trường chuẩn trung hòa . . . . . . . .

17


3.4

Thế Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.4.1

Thế năng Higgs của mô hình . . . . . . . . . . . .

25

3.4.2

Tương tác Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.4.3

Khối lượng các fermion . . . . . . . . . . . . . . .

31

Kết luận

32

Tài liệu tham khảo

33

Phụ lục

34

A Lagrangian khối lượng của boson chuẩn mang điện

35

B Lagrangian khối lượng của boson chuẩn trung hòa

37

C Ma trận và hệ thức

39


1

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Mô hình chuẩn được phát triển vào những năm đầu của thập niên
1970, mô hình đã rất thành công trong việc mô tả những hiện tượng
quan sát và mọi dự đoán của mô hình chuẩn đã được kiểm chứng thực
nghiệm với độ chính xác cao.
Tuy nhiên, mô hình chuẩn vẫn còn nhược điểm đó là neutrino không
có khối lượng. Bằng thực nghiệm năm 1998, người ta đã phát hiện ra
neutrino có khối lượng khác không dù rất nhỏ. Vì vậy cần phải mở rộng
mô hình chuẩn. Trong mô hình chuẩn có tính lặp lại, không biết số thế
hệ bằng bao nhiêu và không giả thích được tại sao số thế hệ lại bằng
ba. Nhưng mô hình 3-3-1 lại giải thích tốt điều đó[2, 3]. Hiện nay mô
hình chuẩn không giải thích được lượng tử hoá còn mô hình 3-3-1 lại giải
thích được.
Ngày nay có nhiều mô hình chuẩn mở rộng : siêu đối xứng , đối xứng
trái phải, mô hình 3-3-1, và nhiều mô hình khác .... Mô hình 3-3-1 có rất
nhiều phiên bản. Trong đó, người ta có nghiên cứu về lepton điện tích
đôi. Vì vậy trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu đề tài: “Mô hình

3-3-1 với lepton ngoại lai điện tích đôi”
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về mô hình 3-3-1 mở rộng.


2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về sự mở rộng của mô hình chuẩn thành mô hình 3-3-1.
4. Đối tượng nghiên cứu
Các trường fermion, trường chuẩn và trường Higgs cùng tương tác
của chúng trong mô hình 3-3-1.
5. Phương pháp nghiên cứu
Lý thuyết trường lượng tử.
Ứng dụng Mathematica.
6. Bố cục luận văn:
Mở đầu
Nội dung (gồm 3 chương)
• Chương I: Giới thiệu
• Chương II: Mô hình 3-3-1 với điện tích bất kỳ
• Chương III: Mô hình 3-3-1 với lepton ngoại lai điện tích đôi
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Phục lục


3

Chương 1
Giới thiệu

1.1

Mô hình chuẩn và sự cần thiết của mở rộng

Mô hình Chuẩn (the Standard Model - SM) được đưa ra vào những
năm 1970, là lý thuyết về tương tác của các hạt cơ bản dưới tác động
của lực điện - từ, lực tương tác mạnh, lực tương tác yếu để từ đó hình
thành nên các sự vật và hiện tượng trong cuộc sống. Mô hình được xây
dựng dựa trên nhóm SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y với nhóm gauge của
tương tác mạnh SU (3)C và các nhóm gauge của tương tác điện yếu
SU (2)L ⊗ U (1)Y . Mô hình này đã rất thành công và được kiểm chứng
bằng thực nghiệm với độ chính xác cao. Tuy nhiên, việc giải thích về
khối lượng các hạt neutrino thì mô hình chuẩn lại có một số hạn chế
nhất định.
Trong mô hình chuẩn, neutrino có khối lượng bằng không và được
bảo toàn (không chuyển hóa lẫn nhau). Nhưng thực nghiệm đã chỉ ra
rằng neutrino có khối lượng khác không dù rất nhỏ và giữa chúng có sự
chuyển hóa lẫn nhau giữa các neutrino khác thế hệ. Sự chuyển hóa lẫn
nhau của các lepton trung hòa khác thế hệ chính là bằng chứng cho sự
vi phạm số lepton thế hệ trong thế giới các hạt mà tín hiệu từ máy gia
tốc năng lượng cao và các thí nghiệm thu neutrino từ khí quyển và mặt
trời. Điều này vượt ngoài dự đoán của mô hình chuẩn. Chính vì vậy mô


4

hình chuẩn cần phải được mở rộng.

1.2

Mô hình 3-3-1

1.2.1

Mô hình 3-3-1 tối thiểu

Trong mô hình 3-3-1 nhóm SU (2)L được mở rộng thành nhóm SU (3)L
bằng cách xếp neutrino phân cực phải vào đáy của mỗi tam tuyến lepton.
Xuất hiện các quark mới ở đáy (phản) tam tuyến của mô hình gọi là
quark ngoại lai có số lepton L = 2. Người ta cần ba tam tuyến Higgs
để phá vỡ đối xứng tự phát sinh khối lượng cho các hạt. Do neutrino và
phản neutrino nằm trong cùng một đa tuyến nên số lepton L trong SM
không còn bảo toàn nữa. Đây là đặc điểm chung của các mô hình 3-3-1.
Tuy nhiên, trong mô hình này các đa tuyến lepton gồm ba thành phần
chứa tất cả các lepton đã có trong mô hình SM mà không cần thêm bất
kỳ lepton mới nào. Phổ Higgs trong mô hình này lại phức tạp hơn khi
xuất hiện lục tuyến Higgs.
Leptons trong phản tam tuyến:
fLa = (eaL , −νLa , (ec )aL )T ∼ (1, ¯3, 0) ,

(1.1)

trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ.
Hai thế hệ đầu của quark trong tam tuyến, còn thế hệ thứ ba trong
phản tam tuyến :
QiL = (uiL , diL , DiL )T ∼

uiR ∼

3, 1,

2
, diR ∼
3

3, 1, −

3, 3, −

1
, DiR ∼
3

Q3L = (d3L , −u3L , TL )T ∼

1
,
3

3, 1, −

3, ¯3,

2
,
3

(1.2)

4

, i = 1, 2,
3


5

u3R ∼

3, 1,

2
, d3R ∼
3

3, 1, −

1
, TR ∼
3

3, 1,

5
.
3

Toán tử điện tích có dạng
√

Q = T3L +

3T8L + XI3 .

(1.3)

Với các vi tử trong biểu diễn cơ sở (tam tuyến) có dạng
T3L =

1
λ3
= diag(1, −1, 0),
2
2

T8L =

λ8
1
= √ diag(1, 1, −2).
2
2 3

Để phá vỡ đối xứng tự phát mô hình này cần ba tam tuyến Higgs và
một lục tuyến
φ =

φ++ , φ+ , φ0

ρ =

0 −
ρ+
1 , ρ , ρ2

T

T

∼ (1, 3, 1) ,

∼ (1, 3, 0) ,
T

η 0 , η − , η −− ∼ (1, 3, −1) ,

√ 
√
++
+
0
σ1
σ1 / 2 σ / 2

√
√ 
+
−
0
∆ = 
σ

/
2
σ
σ
/
2
2
 1 √
,
√
σ 0 / 2 σ2− / 2 σ2−−
√
√
với trung bình chân không: ρ = υρ / 2, η = υη / 2, và
√
σ 0 = ω/ 2, σ 0 = 0.
η =

1.2.2

Mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải

Mô hình này cũng được xây dựng tương tự như đối với các mô hình
3-3-1 đã giới thiệu. Điều khác biệt trong mô hình này là số lepton mở
rộng được bảo toàn. Lepton trong tam tuyến:
fLa = (νLa , eaL , (νLc )a )T ∼ (1, 3, −1/3) , eaR ∼ (1, 1, −1) ,
trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ.

(1.4)

6

Hai thế hệ đầu của quark trong phản tam tuyến và thế hệ thứ ba
trong tam tuyến:
QiL = (diL , −uiL , DiL )T ∼ (3, ¯3, 0) ,

(1.5)

uiR ∼ (3, 1, 2/3) , diR ∼ (3, 1, −1/3) , DiR ∼ (3, 1, −1/3) , i = 1, 2,

Q3L = (u3L , d3L , TL )T ∼ (3, 3, 1/3) ,

u3R ∼ (3, 1, 2/3) , d3R ∼ (3, 1, −1/3) , TR ∼ (3, 1, 2/3) .
Trong mô hình này toán tử điện tích có dạng
1
Q = T3 − √ T8 + X.
3

(1.6)

Với các vi tử trong biểu diễn cơ sở (tam tuyến) có dạng
T3 =

λ3
1
= diag(1, −1, 0),
2
2

T8 =

λ8
1
= √ diag(1, 1, −2).
2
2 3

Để phá vỡ đối xứng tự phát mô hình này cần ba tam tuyến Higgs
ρ =

0 +
ρ+
1 , ρ2 , ρ3

T

∼ (1, 3, 2/3) ,

η =

η10 , η2− , η30

T

∼ (1, 3, −1/3) ,

χ =

0

χ01 , χ−
2 , χ3

T

(1.7)

∼ (1, 3, −1/3) .

Phá vỡ đối xứng tự phát theo sơ đồ sau:
0|χ|0

SU (3)L ⊗ U (1)X −→ SU (2)L ⊗ U (1)Y
trong đó 0|χ|0

T

√
= (0, 0, ω/ 2).

0|ρ|0 , 0|η|0

−→

U (1)Q ,

(1.8)


7

Chương 2
Mô hình 3-3-1 với điện tích bất kỳ
2.1

Cấu trúc hạt

Mô hình 3-3-1 với beta bất kỳ đã được nghiên cứu rất nhiều [5]. Tuy
nhiên, cách tiếp cận đấy chưa làm sáng tỏ ý nghĩa của các thành phần
Higgs. Do đó, chúng tôi trình bày mô hình 3-3-1 với lepton ngoại lai điện
tích bất kỳ.
Sự khác nhau của mô hình 3-3-1 được xác định bởi tham số β trong
toán tử điện tích [6]:
Q = T3 + βT8 + X,

(2.1)

trong đó β là bất kỳ; T3 , T8 là các vi tử trong biểu diễn cơ sở (tam tuyến)
và chúng có dạng
T3 =

λ3
1
= diag(1, −1, 0),
2
2

T8 =

λ8

1
= √ diag(1, 1, −2).
2
2 3

Lepton tam tuyến có dạng:
faL = (νa , la , Eaq )TL ∼ (1, 3, (q − 1)/3) ,

a = e, µ, τ,

(2.2)

trong đó q là điện tích của lepton bất kỳ. Lepton phải là đơn tuyến dưới
SU (3)L
laR ∼ (1, 1, −1),

q
EaR
∼ (1, 1, q).


8

Từ (2.1) và (2.2) ta thu được
2q + 1
β=− √ ,
3

XfaL =

q−1
.
3

Khi đó toán tử điện tích của tam tuyến có dạng [12]

1
3 (1 − q) + X

Q=
− 31 (2 + q) + X

1
3 (1 + 2q) + X

2.2

Các trường Higgs

2.2.1

Tương tác Yukawa

(2.3)



.


(2.4)

Cho lepton:
faL = (νa , la , Eaq )TL ∼
laR ∼ (1, 1, −1),

q−1
,
3
∼ (1, 1, q).

1, 3,

q
EaR

(2.5)

Khối lượng của Eaq thu được từ tương tác Yukawa
q
E
−LE
Y ukawa = hab faL Φ1 EbR + h.c.,

(2.6)

trong đó

Φ1 ∼

1, 3, −

1 + 2q
3


=


(−q)
Φ1
(−q−1)
Φ1
Φ01



.


(2.7)

Do đó, nếu φ01 có trung bình chân không (vacuum expectation value VEV)

√ω ,
2

khi đó Eaq nhận khối lượng từ ma trận khối lượng
ω
(mE )ab = hE

ab √ .
2

(2.8)

−LlY ukawa = hlab faL Φ2 lbR + h.c.,

(2.9)

Với lepton thường


9

trong đó

Φ2 ∼

Nếu Φ02 có VEV

√ν ,
2

2+q
3

1, 3,


=



(+)
Φ2
Φ02
Φq+1
2



.


khi đó ma trận khối lượng liên quan đến la là
ν
(ml )ab = hlab √ .
2

2.2.2

(2.10)

(2.11)

Khối lượng các fermion

Đối với phần hạt quark


u3






Q3L = 
d
 3  ∼
T

3, 3,

1+q
3

,

L

u3R ∼ (3, 1, 2/3), d3R ∼ (3, 1, −1/3),
2 + 3q
TR ∼ 3, 1,
.
3

(2.12)

Thông qua tương tác Yukawa u3 có khối lượng
−LtY ukawa = ht Q3L Φ3 u3R + h.c.,

(2.13)

trong đó

Φ3 ∼

Nếu Φ03 có VEV

√u
2

1, 3,

q−1
3


=


Φ03
(−)
Φ3
Φq3



.


(2.14)

khi đó số hạng khối lượng của u3 là
u
mu3 = ht √ .
2

(2.15)

Số hạng Yukawa khác liên quan đến Q3L
b
T
−Lg3
Y ukawa = h Q3L Φ2 d3R + h Q3L Φ1 TR + h.c.,

(2.16)


10

từ đó đưa ra hai số hạng khối lượng:
ω
ν
md3 = hb √ , mT = hT √ .
2
2
Hai thế hệ quark khác là

QαL

(2.17)



dα


 ∼ 3, 3∗ , − q ,
= 
−u
α


3
Dα

α = 1, 2,

L

uαR ∼ (3, 1, 2/3), dαR ∼ (3, 1, −1/3),
1 + 3q
DαR ∼ 3, 1, −
.
3

(2.18)

Số hạng Yukawa có liên quan

†
†
d2
u2
−L12
Y ukawa = hαβ QαL Φ3 dβR + hαβ QαL Φ2 uβR
†
+ hD2
αβ QαL Φ1 DβR + h.c,

(2.19)

từ đó ta có số hạng khối lượng
u
u2 ν
D2 ω
√
√
(md2 )αβ = hd2
,
(m
)
=
−h
,
(m
)
=
h
u2

αβ
D2
αβ
αβ
αβ
αβ √ .
2
2
2

2.3
2.3.1

(2.20)

Các trường chuẩn
Khối lượng trường chuẩn mang điện

Khối lượng trường chuẩn xuất hiện từ số hạng động năng hiệp biến
của Higgs
3

(Dµ Φi )† Dµ Φi .

LHiggs =

(2.21)

i=1

Đạo hàm hiệp biến được định nghĩa
8

Dµ = ∂µ − ig
≡ ∂µ −

Aaµ Ta − ig XBµ T9

a=1
igPµN C

− igPµCC ,

(2.22)


11

trong đó g, g và Aaµ , Bµ là tương tác chuẩn và trường của nhóm chuẩn
√1 diag(1, 1, 1),
6

SU (3)L và U (1)X tương ứng. Đối với tam truyến, T9 =
và phần liên quan với dòng trung hòa
PµN C = 21 diag A3 +

A8
√
3

−

2
3 XtB

+
2A
√8
3

+

, −A3 +

2
3 XtB

A8
√
3

2
3 XtB

+

,

,

(2.23)

µ

trong đó chỉ số không thời gian của trường chuẩn có thể được bỏ qua và
t ≡ g /g. Phần liên kết với dòng mang điện
PµCC =

Ta Aaµ ;

a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7



W+

a

0

V −q




1  −
−(1+q)  ,
= √ 
W
0

Y

2
V q Y (1+q)
0

(2.24)

µ

√
√
trong đó chúng tôi kí hiệu 2Wµ± ≡ A1µ ∓ iA2µ , 2Vµ±q ≡ A4µ ± iA5µ ,
√ ±(1+q)
2Yµ
≡ A6µ ± iA7µ . Kí hiệu chỉ số dưới trên điện tích của bosons
chuẩn, nhắc nhở rằng phần này không phụ thuộc vào X-điện tích của
tam tuyến.
Tóm lại, với cấu trúc chân không Higgs sau
Φ1 =

ω
0, 0, √
2

T

, Φ2 =

ν

0, √ , 0
2

T

, Φ3 =

u
√ , 0, 0
2

T

,
(2.25)

ta thu được khối lượng của boson chuẩn không Hermitian
m2W

g 2 (ν 2 + u2 ) 2
g 2 (u2 + ω 2 ) 2
g 2 (ν 2 + ω 2 )
=
, mV =
, mY =
.
4
4
4

(2.26)

Bằng phá vỡ đối xứng tự phát (spontaneous symmetry breaking - SSB),
có mối liên quan sau: ω

u, ν; và từ (2.26) ta có hệ quả

2
u2 + ν 2 = νSM
= 2462

GEV 2 .

(2.27)


12

2.3.2

Khối lượng trường chuẩn trung hòa

Chéo hóa của phần boson chuẩn trung hòa phức tạp hơn, bởi vì tất cả
ba trường chuẩn thường bị trộn. Trong cơ sở (A3µ , A8µ , Bµ ), tương ứng
với bình phương ma trận khối lượng [8]

2N G
Mmass
=

g2 

4 

u2 + ν 2

√1 (u2 − ν 2 )
3
1 2
(u
+ ν 2 + 4ω 2 )
3

2t
√ [(q
3 6
− 1)u2

2t
√ [(q
9 2
2t2
27 [(q −

− 1)u2 − (q + 2)ν 2 ]




+ (q + 2)ν 2 + 2(2q + 1)ω 2 ] 

.
1)2 u2 + (q + 2)2 ν 2 + (2q + 1)2 ω 2 ]

Trước hết, luôn có một giá trị riêng với trạng thái riêng tương ứng
√
√
3t
6
Aµ =
B ,
A3µ + βA8µ +
t µ
18 + 4(1 + q + q 2 )t2
nó không phụ thuộc vào VEV như một hệ quả của việc bảo toàn điện
tích [4].
Tiếp theo có thể viết tương tác điện từ theo dạng chuẩn [4] và do đó
góc Weinberg được định nghĩa
√
sW =

3t

18 + 4(1 + q + q 2 )t2

,

trong đó sW = sinθW , cW = cosθW . Do đó trường photon được viết lại
√
6tW
Aµ = sW A3µ + cW βtW A8µ +

Bµ .
t
SM Z boson trực giao với trường photon như thường
√
6tW
Zµ = cW A3µ − sW βtW A8µ +
Bµ .
t
Mô hình đang xét có chứa một boson mới, boson chuẩn trung hòa gọi
là Z , đươc trực giao với trường siêu tích yếu trong trường photon và Z,
nó có dạng
Zµ =

1
6 + β 2 t2

√

6A8µ − βtBµ ,


13

trong đó t = √

√
3 2sW
.
3−4(1+q+q 2 )s2W

Khi thay đổi thành các cơ sở mới (Aµ , Zµ , Zµ ). Tương ứng, ma trận
2N G
khối lượng Mmas
được đổi thành
2N G
M 2 = U T Mmas
U=

0

0

0 M

,

2

trong đó (A3µ , A8µ , Bµ )T = U (Aµ , Zµ , Zµ )T và

sW
cW
0
√
 βt2 c2
2
βt cW
6
W


U =  sW (6+β 2 t2 ) − 6+β 2 t2 √6+β 2 t2
 √ 2
√
6tcW
6tcW
√ βt 2 2
−
sW (6+β 2 t2 )
6+β 2 t2 −




.


6+β t

Trường photon Aµ được tách riêng ra, trong khi trạng thái (Zµ , Zµ )
trộn bởi chính chúng thông qua ma trận khối lượng 2 × 2, ta tìm được
M 2 có dạng

M

2

=

g2 


4

u2 +ν 2
c2W
2
2
u −ν −2[(1+q)u2 +qν 2 ]s2W
c2W

√

3−4(1+q+q 2 )s2W



u2 −ν 2 −2[(1+q)u2 +qν 2 ]s2W

√

c2W 3−4(1+q+q 2 )s2W
u2 +ν 2 +4ω 2 −4s2W [(1+q)u2 −qν 2 +2ω 2 −((1+q)2 u2 +q 2 ν 2 +ω 2 )s2W ]
c2W [3−4(1+q+q 2 )s2W ]


.

Chéo hóa ma trận khối lượng ta tìm được các trạng thái vật lý tương
ứng
Z1µ = cε Zµ − sε Zµ ,

Z1µ = sε Zµ + cε Zµ ,

(2.28)

trong đó Zµ − Zµ có góc trộn lẫn (ξ)
t2ξ = tan 2ξ
=

3 − 4(1 + q + q 2 )s2W [ν 2 − u2 + 2((1 + q)u2 + qν 2 )s2W ]
u2 + ν 2 − 2ω 2 − 2s2W [ν 2 + q(qu2 + (2 + q)ν 2 ) − 2ω 2 + ((1 + q)2 u2 + q 2 ν 2 + ω 2 )s2W ]
3 − 4(1 + q + q 2 )s2W [u2 − ν 2 − 2((1 + q)u2 + qν 2 )s2W ]
2ω 2 c4W

và khối lượng tương ứng
g 2 (u2 + ν 2 )
2
mZ1
,
4c2W
Vì u, ν

m2Z1

,

2g 2 ω 2 c2W
.
3 − 4(1 + q + q 2 )s2W

ω nên Z1 boson có khối lượng nhỏ trong thang đo yếu (u, ν)

giống như Z boson trong mô hình chuẩn, trong khi đó Z1 boson là một
boson mới tỉ lệ với thang đo ω.


14

Chương 3
Mô hình 3-3-1 với lepton ngoại lai
điện tích đôi
3.1

Hạt lepton

Neutrino Majorana tồn tại trong tự nhiên là một trong những câu hỏi
cơ bản nhất trong vật lý. Những nỗ lực to lớn để giải quyết câu hỏi đó
đã được đưa vào thực nghiệm, và trong số đó có đề nghị về va chạm
electron-electron. Từ hiện tượng va chạm electron-electron trong máy
gia tốc LHC [9, 10] để thăm dò neutrino Majorana. Trong luận văn này,
chúng tôi nghiên cứu lepton ngoại lai với điện tích đôi trong mô hình
3-3-1.
Xét mô hình lepton ngoại lai có điện tích đôi (q = −2) [7]
faL = νa , la , Ea−−

T
L

Áp dụng (2.1) và (3.1) thu được
√
β = 3,

∼ (1, 3, −1),

a = e, µ, τ.

XaL = −1.

Khi đó toán tử điện tích có dạng

1+X

Q=
X


(3.1)

(3.2)



−1 + X


.


(3.3)

15

Theo chương trước, với ba tam tuyến Higgs




+
(++)
φ
ρ


 1 
(+)  ∼ (1, 3, 1),
0 
φ = 
ρ=
 φ

 ρ  ∼ (1, 3, 0),
φ0
ρ−
2


η0


−  ∼ (1, 3, −1).

η = 
η


η −−
Phá vỡ đối xứng bởi vì VEV của φ0 =

√ω ,
2

ρ0 =

√ν ,
2

η0 =

(3.4)

√u .
2

Với tương tác Yukawa
−−
l
−LY ukawa = hE
ab faL φEbR + hab faL ρlbR + h.c,

(3.5)

thu được khối lượng các lepton
ω
(mE )ab = hE
ab √ ,
2

3.2

ν
(ml )ab = hlab √ .
2

(3.6)

Quark

Bây giờ chuyển sang phần hạt quark


u3


−1

Q3L = 
∼
3,
3,
,
d

 3 
3
T
L

u3R ∼ (3, 1, 2/3), d3R ∼ (3, 1, −1/3),
−4
TR ∼ 3, 1,
.
3
Quark ngoại lai có điện tích qT =

−4
3 ,

(3.7)

u3 có khối lượng qua

t
b
T
−Lq3
Y ukawa = h Q3L ηu3R + h Q3L ρd3R + h Q3L φT3R + h.c.

(3.8)

Quark có được khối lượng
u
ν

ω
mu3 = ht √ , md3 = hb √ , mT = hT √ .
2
2
2

(3.9)


16

Với hai thế hệ quark khác

dα

QαL = 
 −uα
Dα



 ∼


3, 3∗ ,

2
, α = 1, 2,
3

L

uαR ∼ (3, 1, 2/3),
5
DαR ∼ 3, 1,
.
3

dαR ∼ (3, 1, −1/3),
(3.10)

Quark ngoại lai có điện tích qDα = 35 .
Các số hạng Yukawa có liên quan
†
u2
†
D2
†
d2
−L12
Y ukawa = hαβ QαL η dβR +hαβ QαL ρ uβR +hαβ QαL φ DβR +h.c., (3.11)

từ đó ta có các khối lượng
u
(md2 )αβ = hd2
αβ √ ,
2

3.3
3.3.1

ν
(mu2 )αβ = −hu2
αβ √ ,
2

ω
(mD2 )αβ = hD2
αβ √ . (3.12)
2

Trường chuẩn
Khối lượng trường chuẩn mang điện

Xét trường chuẩn
PµCC =

1
2

λa Aa ,

a = 1, 2, 4, 5, 6, 7,

i



+

++



0 W V

1 
−
+  .
= √ 
W
0
Y 
2
V −− Y −
0
µ

(3.13)


17

Lagrangian khối lượng của các boson chuẩn trong mô hình
g 2 ω 2 ++ −−µ
(Vµ V
+ Yµ+ Y −µ )
LCC
=
mass

4
2 2
g ν
(Wµ+ W −µ + Yµ+ Y −µ )
+
4
g 2 u2
+
(Wµ+ W −µ + Vµ++ V −−µ )
4
2
g 2
g2 2
2
+
−µ
=
(ν + u )Wµ W + (u + ω 2 )Vµ++ W −−µ
4
4
2
g 2
(ν + ω 2 )Yµ+ Y −µ .
(3.14)
+
4
Thu được các khối lượng boson chuẩn
g 2 (ν 2 + u2 ) 2
g 2 (u2 + ω 2 ) 2
g 2 (ν 2 + ω 2 )

m2W =
, mV =
, mY =
.
(3.15)
4
4
4
3.3.2

Khối lượng trường chuẩn trung hòa

Từ (2.23) với các tam tuyến Higgs
PµN C φ
PµN C ρ
PµN C η

=
=
=

ω
√
2 2

2
− √ A8 +
3

2

tB
3

1
ν
√ −A3 + √ A8
2 2
3
u
√
2 2

,
µ

,
µ

1
A3 + √ A8 −
3

2
tB
3

.

(3.16)

µ

Khi đó thu được các số hạng khối lượng
2N G
Mmas
=

g2
4

u2 A3 +

√1 A8
3

+ω

2

−

2
3 tB

− √23 A8

+

2

+ ν 2 −A3 +
2
3 tB

√1 A8
3

2

2

.

(3.17)

Trong cơ sơ (A3µ , A8µ , Bµ ), ta có ma trận bình phương khối lượng


2 2
√1 (u2 − ν 2 )
u2 + ν 2
−
tu
3
3

√
g2 
2N G


2t
1
2
2
2
2
2  . (3.18)
Mmass = 
3 (u + ν + 4ω )
3 (−u − 2ω ) 
4
2t2
2
2
3 (u + ω )


18

Trong thành phần boson chuẩn trung hòa, trường photon Aµ cũng như
boson có khối lượng Z và Z có dạng
√
Aµ = sW A3µ + cW tW 3A8µ +

1 − 3t2W Bµ ,

√
tW 3A8µ +

1 − 3t2W Bµ ,

Zµ = cW A3µ − sW
Zµ = −

√
1 − 3t2W A8µ + tW 3Bµ .

(3.19)

2N G
Ma trận khối lượng Mmass
trong cơ sở mới trở thành
2N G
M 2 = U T Mmass
U=

0

0

0 M

2

,

trong đó (A3µ , A8µ , Bµ )T = U (Aµ , Zµ , Zµ )T và

sW
cW

0
 √
√
U =
3sW
− 3sW tW
1 − 3t2W

√
1 − 4s2W −tW 1 − 4s2W − 3tW
Tìm được ma trận khối lượng M
M

2

g2
=
4

u2 +ν 2
c2W
2
2
u −ν −2(−u2 −2ν 2 )s2W
c2W

√

3(1−4s2W )

2

(3.20)



.


(3.21)

có dạng
u2 −ν 2 −2(−u2 −2ν 2 )s2W

√

c2W 3(1−4s2W )
(u2 +ν 2 +4ω 2 −4s2W [−u2 +2ν 2 +2ω 2 −(u2 +4ν 2 +ω 2 )s2W ])
3c2W (1−4s2W )

(3.22)
.

Với bình phương khối lượng
MA2 = 0,
g 2 (ν 2 + u2 )
2
MZ =
,
(3.23)

4c2W
g 2 (u2 + ν 2 + 4ω 2 − 4s2W [−u2 + 2ν 2 + 2ω 2 − (u2 + 4ν 2 + ω 2 )s2W ])
2
MZ =
.
12c2W (1 − 4s2W )
Trường Aµ không có khối lượng và được đồng nhất với photon. Bên cạnh
đấy khi chéo hóa ma trận khối lượng ta tìm thấy các trạng thái vật lý
tượng ứng
Z1µ = cε Zµ − sε Zµ ,

Z1µ = sε Zµ + cε Zµ ,

(3.24)


19

với góc trộn có dạng
tan 2ξ =

3(1 − 4s2W )[ν 2 − u2 + 2(−u2 − 2ν 2 )s2W ]
u2 + ν 2 − 2ω 2 − 2s2W [ν 2 + 4u2 − 2ω 2 + (u2 + 4ν 2 + ω 2 )s2W ]
3(1 − 4s2W )[u2 − ν 2 − 2(−u2 − 2ν 2 )s2W ]
2ω 2 c4W

và khối lượng tương ứng
g 2 (u2 + ν 2 )
,
m2Z1

4c2W

m2Z1

,

(3.25)

2g 2 ω 2 c2W
.
3(1 − 4s2W )

Mô hình có 9 trường : 4 trường mô hình chuẩn và 5 trường mới.
Chúng ta đã gặp phải những số hạng khó chịu trộn lẫn các trường
chuẩn có khối lượng với các trường vô hướng. Để làm mất chúng, ta chọn
phép chuẩn Rξ và viết lại đạo hàm hiệp biến
ig
Dµ = ∂µ − √ W + τ + + W − τ − + V ++ σ ++ + V −− σ −−
2
g
+ Y + κ+ + Y − κ− − ig t3 A3µ + t8 A8µ + XBµ t9 , (3.26)
g
trong đó τ + , τ − , σ ++ , σ −− , κ+ , κ− là các ma trận có dạng (C.1). Số hạng
thứ hai trong biểu thức trên gắn với dòng mang điện, còn số hạng cuối
gắn với dòng trung hòa.√Với t3,8 ∼ I3,8 và đồng nhất hằng số tương tác
c
1−3t2
điện từ e = gsW = g W √6 W , phương trình trên trở thành
Dµ = ∂µ + DµCC + DµN C
ig

= ∂µ − √ W + τ + + W − τ − + V ++ σ ++ + V −− σ −−
2
Zµ
ig
+ Y + κ+ + Y − κ− −
1 − 4s2W (I3 − Q)
2
cW 3(1 − 4sW )
ig
+ c2W X −
Zµ I3 − s2W Q − ieQAµ .
(3.27)
cW
Đối với dòng mang điện, để tổng quát ta ký hiệu


u
f
 L 
u
u
d
d
T
T
d 
Lf = 
 fL  , Rf = fR , Rf = fR , Rf = fR ,
fLT

(3.28)


20

và điện tích của fermion trên lớn hơn điện tích của fermion dưới là một.
Xét Lagrangian Dirac của fermion trong một thế hệ [1]
u
d
T
¯ µ
¯u µ
¯d µ
¯T µ
LD
f = iLf γ Dµ Lf + iRf γ Dµ Rf + iRf γ Dµ Rf + iRf γ Dµ Rf

= if¯Lu γµ ∂ µ fLu + if¯Ru γµ ∂ µ fRu + if¯Ld γµ ∂ µ fLd + if¯Rd γµ ∂ µ fRd
g
¯ f γ µ τ + Lf
+ if¯LT γµ ∂ µ fLT + if¯RT γµ ∂ µ fRT + √ W + L
2
−¯
µ −
++ ¯
µ ++
¯ f γ µ σ −− Lf
+ W Lf γ τ Lf + V Lf γ σ Lf + V −− L
¯ f γ µ κ+ Lf + Y − L
¯ f γ µ κ− Lf

+ Y +L
¯ f γ µ QLf + R
¯ fu γ µ QRfu + R
¯ fd γ µ QRfd + R
¯ fT γ µ QRfT
+ eAµ L
g
Zµ f¯Lu γ µ I3 (fLu )fLu + f¯Ld γ µ I3 (fLd )fLd + f¯LT γ µ I3 (fLT )fLT
+
cW
− s2W Q(f u )f¯u γ µ f u + Q(f d )f¯d γ µ f d + Q(f T )f¯T γ µ f T
g
Zµ 1 − 4s2W f¯Lu γ µ I3 (fLu )fLu
+
2
cW 3 (1 − 4sW )
+ f¯Ld γ µ I3 (fLd )fLd + f¯LT γ µ I3 (fLT )fLT − Q(f u )f¯u γ µ f u
+ Q(f d )f¯d γ µ f d + Q(f T )f¯T γ µ f T

+ c2W f¯Lu γ µ X(fLu )fLu

+ f¯Ld γ µ X(fLd )fLd + f¯LT γ µ X(fLT )fLT

.

(3.29)