de thi thu thpt quoc gia nam 2017 mon toan truong thpt chuyen phan boi chau nghe an lan 2

SỞ GIÁ O DỤC VÀ ĐÀ O TẠO NGHÊ ̣ AN KÌ THI THỬ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐ C GIA 2017
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
LẦ N 2
Môn thi: TOÁ N (Thời gian là m bà i: 90 phú t)

Ho ̣, tên thı́ sinh:…………………………………
Số bá o danh:……………………………………
Câu 1.

Số đường tiê ̣m câ ̣n đứng và tiê ̣m câ ̣n ngang củ a đồ thi ̣ y =
A. 2.

Câu 2.

Câu 3.

Câu 4.

Câu 5.

B. 3.

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

C. 4.

4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2

là :
x2 − x
D. 1.

Đồ thi trong
̣
hıǹ h bên là củ a hà m số nà o sau đây:
x −1
x −1
.
.
A. y =
B. y =
1 − 2x
2 x −1
x +1
x −1
.
.
C. y =
D. y =
2x +1
2x +1

y
1
2
O

Toạ đô ̣ điể m cực đaị củ a đồ thi ha

̣ ̀ m số y = −2 x3 + 3 x 2 + 1 là :
A. ( 0;1) .

B. (1;2 ) .

C. ( −1;6 ) .

D. ( 2;3 ) .

1
−
2

1

x

−1

1
Cho hà m số y = x 3 + mx 2 + ( 2m − 1) x − 1 . Tım
̣ đề sai.
̀ mênh
3
A. ∀m < 1 thı̀ hà m số có hai điể m cực tri. ̣
B. Hà m số luôn có cực đaị và cực tiể u.
C. ∀m ≠ 1 thı̀ hà m số có cực đaị và cực tiể u.
D. ∀m > 1 thì hà m số có cực tri. ̣
4
2

2
Tım
̀ m để hà m số y = mx + ( m − 9 ) x + 1 có hai điể m cực đaị và môṭ điể m cực tiể u.

B. 0 < m < 3.
D. 3 < m.

A. −3 < m < 0.
C. m < −3.
Câu 6.

Mã đề thi 02

Đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 7 x 2 + 4 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. 2 .
B. 3 .
C. 4 .

D. 1 .

Hàm số y = 2 x − x 2 − x nghịch biến trên khoảng
A. ( 0;1) .

B. ( −∞;1) .

C. (1; +∞ ) .

D. (1; 2 ) .

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 − x 2 − x là

A. 2 − 2 .

B. 2 .

C. 2 + 2 .

D. 1 .

Biết đồ thị
A. 6 .

a − 2b ) x 2 + bx + 1
(
y=
có tiệm cận đứng là
x2 + x − b
B. 7 .

x = 1 và tiệm cận ngang là y = 0 . Tính a + 2b .

C. 8 .

D. 10 .

Câu 10. Biết đường thẳng y = ( 3m − 1) x + 6m + 3 cắt đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 tại ba điểm phân biệt

sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?
 3
3 
A. ( −1;0 ) .

B. ( 0;1) .
C.  1;  .
D.  ; 2  .
 2
2 
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 1/22 - Mã đề thi 02


Câu 11.

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một
hòn đảo ở C như hình vẽ. Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ C
biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4 km. Tổng chi
phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên
đất liền là 20 triệu đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành
B
A
công việc trên(làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 106, 25 triệu đồng. B. 120 triệu đồng.
C. 164,92 triệu đồng. D. 114, 64 triệu đồng.

Câu 12. Cho hai số dương a, b thỏa mãn a 2 + b 2 = 7 ab. Chọn đẳng thức đúng
a+b 1
1
A. log
= ( log a + log b ) .
B. log a + log b = log ( 7ab ) .
3

2
2
1
C. log a 2 + log b 2 = log 7ab.
D. log a + log b = log ( a 2 + b 2 ) .
7
Câu 13. Tập xác định của hàm số y = log 2 ( 3x − 2 ) là:
A. ( 0; +∞ ) .
Câu 14.

2

C.  ; +∞  .
3


B. [ 0; +∞ ) .

D. ( log 3 2; +∞ ) .

Tìm tổng các nghiệm của phương trình 22 x+1 − 5.2 x + 2 = 0.
5
B. .
C. 1.
A. 0.
2

D. 2.

Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( 3.2 x − 2 ) < 2 x là:

A. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

B. ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) .

2 

C.  log 2 ;0  ∪ (1; +∞ ) .
3 


D. (1; 2 ) .

Câu 16. Cho hàm số y = log 1 ( x 2 − 2 x ) . Tập nghiệm của bất phương trình y′ > 0 là
3

A. ( −∞,1) .

B. ( −∞,0 ) .

C. (1, +∞ ) .
3

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 2 x − x
A. m >

1
.
3

1

B. m ≥ .
3

2

+ mx

D. ( 2, +∞ ) .

đồng biến trên [1, 2] .

C. m ≥ −1 .

D. m > −8 .

Câu 18. Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng một tháng. Cứ sau 3 năm thì
ông An được tăng lương 40% . Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được
là bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)?
A. 726,74 triệu.
B. 71674 triệu.
C. 858,72 triệu.
D. 768,37 triệu.
Câu 19. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y = 23− x nghịch biến trên ℝ .
B. Hàm số y = log 2 ( x 2 + 1) đồng biến trên ℝ .
C. Hàm số y = log 1 ( x 2 + 1) đạt cực đại tại x = 0 .
2

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x + 22− x bằng 4 .
Câu 20. Cho hàm số f ( x ) =

A. 50 .

4x
 1 
. Tính giá trị biểu thức A = f 
+
x
4 +2
 100 
149
B. 49 .
C.
.
3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

 2 
f
 + ... + f
 100 
301
D.
.
6

 100 

?
 100 

Trang 2/22 - Mã đề thi 02


Câu 21. Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổ i. Mức cường độ
k
âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức LM = log 2 (Ben) với k là
R
hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là
LA = 3 (Ben) và LB = 5 (Ben). Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ
số sau dấu phẩy).
B. 3, 06 (Ben).
C. 3, 69 (Ben).
D. 4 (Ben).
A. 3,59 (Ben).
Câu 22. Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 m /s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người

lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc − a m/s 2 .
Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây.
A. ( 3; 4 ) .

B. ( 4;5) .

C. ( 5;6 ) .

Câu 23. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

D. ( 6;7 ) .
1
?

2x +1

1
B. F ( x ) = ln 2 x + 1 + 2 .
2
1
D. F ( x ) = ln ( 4 x 2 + 4 x + 1) + 3 .
4

A. F ( x ) = ln 2 x + 1 + 1 .
1
C. F ( x ) = ln 4 x + 2 + 3 .
2

Câu 24. Biết hàm số F ( x ) = ax3 + ( a + b ) x 2 + ( 2a − b + c ) x + 1 là một nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = 3x 2 + 6 x + 2 . Tổng a + b + c là:

A. 5 .

B. 4 .

C. 3 .

B. e − 1 .

C.

D. 2 .

1

Câu 25. Tính I = ∫ e2 x dx .
0

A. e2 − 1 .

e2 − 1
.
2

D. e +

1
.
2

a

2
Câu 26. Có bao nhiêu số a ∈ ( 0;20π ) sao cho ∫ sin 5 x sin 2 xdx = .
7
0

A. 20 .

B. 19 .

C. 9 .

D. 10 .

π
4

Câu 27. Cho tích phân I = ∫ ( x − 1) sin 2 xdx . Tìm đẳng thức đúng
0

π

π

π

4

4

A. I = − ( x − 1) cos 2 x + ∫ cos 2 xdx .
4
0

B. I = − ( x − 1) cos 2 x − ∫ cos 2 xdx .

0

0

π
π
1

14
C. I = − ( x − 1) cos 2 x 04 + ∫ cos 2 xdx .
2
20

π
π
1
14
D. I = − ( x − 1) cos 2 x 04 − ∫ cos 2 xdx .
2
20

Câu 28. Cho khố i cầu tâm O bán kính R . Mặt phẳng ( P ) cách O một khoảng

hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
5
5
A.
.
B.
.
27
19

C.

5
.
24

R
chia khố i cầu thành
2

D.

5
.
32

Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là
A. 13 + 2 .

B. 4 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

C. 6 .

D. 13 + 1 .
Trang 3/22 - Mã đề thi 02


Câu 30. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + 2i )( 3 − i ) là
A. 6 .

B. 10 .

C. 5 .

D. 0 .

Câu 31. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0. Tính độ dài
đoạn thẳng AB.
A. 6.
B. 2.
C. 12.
D. 4.
Câu 32. Biết phương trình z 2 + az + b = 0 ( a, b ∈ ℝ ) có một nghiệm là: z = −2 + i. Tính a − b.
A. 9.
B. 1.
C. 4.
D. −1.
Câu 33. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z − i = 2 và z 2 là số thuần ảo:
A. 3.

B. 1,

C. 4.

D. 2.

Câu 34. Cho A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z 3 + i = 0 . Tìm phát biểu sai:
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC có trọng tâm là O ( 0;0 ) .
C. Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O ( 0;0 ) .
D. S ∆ABC =

3 3

.
2

Câu 35. Một chiếc xô hình nón cụt đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm có chiều cao 20cm, đường kính
hai đáy lần lượt là 10cm và 20cm . Cô giáo giao cho bạn An sơn mặt ngoài của xô (trừ đáy).
Tính diện tích bạn An phải sơn (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 1942,97cm2 .
B. 561, 25cm 2 .
C. 971, 48cm 2 .
D. 2107, 44cm 2 .
Câu 36. Cho hình chóp S .ABCD có SA vuông góc với đáy. Tam giác ABC vuông cân tại B .
SA = AC = 2a . Tính theo a thể tích của khố i chóp S . ABC
2 2 3
1
2
4
a .
A.
B. a 3 .
C. a 3 .
D. a 3 .
3
3
3
3
Câu 37. Cho khố i chóp S .ABCD có thể tích bằng a 3 . Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy
ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa SA và CD .
2a
a
A. 2 3a .

B. a 3 .
C.
.
D. .
2
3
Câu 38. Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 12a 3 . Tính theo a thể tích khố i lập
phương đó.
a3
A. 8a 3 .
B. 2a 3 .
C. a 3 .
D.
.
3
Câu 39. Khố i chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SA = SB = SC = a , Cạnh SD thay
đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S .ABCD là:
a3
a3
3a 3
a3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
8

4
8
2
Câu 40.

Cho khối nón đỉnh O , trục OI . Măt phẳng trung trực của OI chia khố i chóp thành hai phần.
Tỉ số thể tích của hai phần là:
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
2
8
4
7

Câu 41. Cho hình trụ có trục OO′ , thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a . Mặt phẳng ( P ) song

song với trục và cách trục một khoảng
A. a 2 3 .

B. a2 .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

a

. Tính diện tích thiết diện của trụ cắt bởi ( P ) .
2
C. 2a 2 3 .
D. π a2 .
Trang 4/22 - Mã đề thi 02


Câu 42. Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm . Mặt đáy phẳng và dày 1cm , thành
cốc dày 0, 2cm . Đổ vào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm . Hỏi
mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu cm . (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 3,67 cm .
B. 2,67 cm .
C. 3,28cm .
D. 2, 28cm .
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1;2;1) , B ( 3;0; −1) và mặt phẳng

( P ) : x + y − z − 1 = 0 . Gọi

M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên mặt phẳng ( P ) .

Tính độ dài đoạn MN .
A. 2 3 .

B.

4 2
.
3

C.

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

2
.
3

D. 4 .

cho hai điểm

A (1;2;1) và mặt phẳng

( P ) : x + 2 y − 2 z − 1 = 0 . Gọi

B là điểm đố i xứng với A qua ( P ) . Độ dài đoạn thẳng AB là
4
2
B. .
C. .
D. 4.
3
3

A. 2.

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các vectơ a = (1; 2;1) , b = ( −2;3; 4 ) , c = ( 0;1; 2 ) ,

d = ( 4;2;0 ) . Biết d = x.a + y.b + z.c . Tổng x + y + z là
A. 2.

B. 3.
C. 5.
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho điểm

D. 4.

A (1;2;1)

và đường thẳng

x +1 y − 2 z
=
= . Viết phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d .
1
1
−1
A. x − y + z − 1 = 0.
B. x − y + z − 1 = 0.
C. x − y + z = 0.
D. x − y + z − 2 = 0.
d:

Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 2;1;3) và đường thẳng d có phương trình
x −1 y − 2 z
=
= . Mặt phẳng chứa A và d . Viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc với
2
1

−1
mặt phẳng ( P ) .

A. x 2 + y 2 + z 2 =

12
.
5

B. x2 + y 2 + z 2 = 3.

C. x 2 + y 2 + z 2 = 6.

Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng

D. x 2 + y 2 + z 2 =

24
.
5

( P ) : 2x + y − z −1 = 0

và

( Q ) : x − 2 y + z − 5 = 0 . Khi đó, giao tuyến của ( P ) và ( Q ) có một vectơ chỉ phương là:
B. u = ( −1;3; −5 ) .
C. u = ( 2;1; −1) .
D. u = (1; −2;1) .
A. u = (1;3;5 ) .

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2;1) . Mặt phẳng ( P ) thay đổ i đi qua M
lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khố i tứ
diện OABC .
A. 54.
B. 6.
C. 9.
D. 18.
x−2 y z
=
=
và mặt cầu
2
−1 4
2
2
2
( S ) : ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1) = 2 . Hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) chứa d và tiếp xúc với ( S ) .

Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :

Gọi M , N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN .
4
.
A. 2 2.
B.
C. 6.
3
----------------HẾT---------------TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 4.

Trang 5/22 - Mã đề thi 02


BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A D B B C C D A A A D A D A C B C D B D C C A A C
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
D C A D B A D C D C C A A D D C D B B A C D A C B
PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Số đường tiêm
̣ câṇ đứng và tiêm
̣ câṇ ngang củ a đồ thi ̣ y =
A. 2.

B. 3.

Cho ̣n A.

C. 4.
Hướng dẫn giả i

4 x 2 −1 + 3x 2 + 2
là :
x2 − x
D. 1.

1  1 


Tâp̣ xá c đinh:
̣ D =  −∞; −  ∪  ;1 ∪ (1; + ∞ )
2 2 

Tiêm
̣ câṇ đứng:

4 x2 − 1 + 3x2 + 2
4 x 2 −1 + 3x 2 + 2
= +∞ ; lim− y = lim−
= −∞
x →1
x →1
x →1
x →1
x ( x − 1)
x ( x − 1)
Suy ra x = 1 là tiêm
̣ câṇ đứng.
Tiêm
̣ câṇ ngang:
4 1
2
− 4 +3+ 2
2
4 x 2 − 1 + 3x 2 + 2
x
x = 3 ⇒ y = 3 la tiêm
lim y = lim

= lim x
̣ câṇ ngang
̀
x →+∞
x→+∞
x →+∞
1
x2 − x
1−
x
4 1
2
− 4 +3+ 2
2
2
2
4 x − 1 + 3x + 2
x
x = 3 ⇒ y = 3 la tiêm
lim y = lim
= lim x
̣ câṇ ngang
̀
2
x →−∞
x→−∞
x →−∞
1
x −x
1−

x
Vâỵ đồ thi ha
̣ ̀ m số có hai tiêm
̣ cân.
̣
y
Đồ thi trong
̣
hıǹ h bên là củ a hà m số nà o sau đây:
x −1
x −1
.
.
A. y =
B. y =
1− 2x
2 x −1
x +1
x −1
.
.
C. y =
D. y =
1
2x +1
2x +1
2
Hướng dẫn giả i
O
1

Cho ̣n D.
2
1
-1
Nhıǹ và o đồ thi ta
̣ thấ y đồ thi ha
̣ ̀ m số có tiêm
̣ câṇ đứng x = − ,
2
1
tiêm
̣ câṇ ngang y = . Đồ thi đ̣ i qua (1;0 ) và ( 0; − 1) .
2
1
Phương á n A có tiêm
̣ câṇ đứng x = suy ra loaị phương á n A.
2
1
Phương á n B có tiêm
̣ câṇ đứng x = suy ra loaị phương á n B.
2
Phương á n C cắ t truc̣ hoà nh taị ( −1;0 ) suy ra loaị phương á n C.
Choṇ D.
lim+ y = lim+

Câu 2.

Câu 3.

1

Toạ đô ̣ điể m cực đaị củ a đồ thi ha
̣ ̀ m số y = −2 x 3 + 3 x 2 + 1 là :

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 6/22 - Mã đề thi 02

x


A. ( 0;1) .

B. (1; 2 ) .

C. ( −1;6 ) .

D. ( 2;3) .

Hướng dẫn giả i

Cho ̣n B.
Tâp̣ xá c đinh:
̣ D=ℝ
x = 0
y′ = −6 x 2 + 6 x ; y′ = 0 ⇔ 
x = 1
Bả ng biế n thiên:
x −∞
−

y′
y +∞

0
0

1
0
2

+

+∞
−∞

1

−∞

Vâỵ điể m cực đaị là (1; 2 ) .
Câu 4.

Câu 5.

1
Cho hà m số y = x 3 + mx 2 + ( 2m − 1) x − 1 . Tım
̣ đề sai.
̀ mênh
3
A. ∀m < 1 thı̀ hà m số có hai điể m cực tri. ̣

B. Hà m số luôn có cực đaị và cực tiể u.
D. ∀m > 1 thì hà m số có cực tri. ̣
C. ∀m ≠ 1 thı̀ hà m số có cực đaị và cực tiể u.
Hướng dẫn giả i
Cho ̣n B.
Tâp̣ xá c đinh:
̣ D=ℝ
2
y′ = x + 2mx + 2m − 1 ; y′ = 0 ⇔ x 2 + 2mx + 2m − 1 = 0
Hà m số có cực tri (ho
̣ ăc̣ có cực đaị và cực tiể u) khi và chı̉ khi ∆′ = m 2 − 2m + 1 > 0
2
⇔ ( m − 1) > 0 ⇔ m ≠ 1 .
4
2
2
Tım
̀ m để hà m số y = mx + ( m − 9 ) x + 1 có hai điể m cực đaị và môṭ điể m cực tiể u.

A. −3 < m < 0.

B. 0 < m < 3.

C. m < −3.
Hướng dẫn giả i

D. 3 < m.

Cho ̣n C.
Hà m bâc̣ 4 trù ng phương có hai điể m cực đaị suy ra a = m < 0 .

m > 3
Hà m bâc̣ 4 trù ng phương có 3 cực tri ̣ ⇔ m.( m 2 − 9 ) < 0 ⇔ m 2 − 9 > 0 ⇔ 
 m < −3
Kế t hơp̣ điêụ kiên:
̣ . .
Câu 6.

Đồ thị hàm số y = 2 x 4 − 7 x 2 + 4 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
A. 2 .

B. 3 .

C. 4 .
Hướng dẫn giải.

D. 1 .

Chọn C.

Số giao điểm là số nghiệm của phương trình: 2 x 4 − 7 x 2 + 4 = 0 . Phương trình có 4 nghiệm nên
số giao điểm là 4.
Câu 7.

Hàm số y = 2 x − x 2 − x nghịch biến trên khoảng
A. ( 0;1) .

B. ( −∞;1) .

C. (1; +∞ ) .

D. (1; 2 ) .

Hướng dẫn giải.
Chọn D.
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 7/22 - Mã đề thi 02


Hàm số có đạo hàm trên ( 0; 2 ) và đạo hàm là y ' =

1 − x − 2 x − x2
2 x − x2

.

Xét bất phương trình y ' ≤ 0 ⇔ 1 − x − 2 x − x 2 ≤ 0 ⇔ 1 − x ≤ 2 x − x 2 . Dễ thấy bất phương
trình này nghiệm đúng mọ i x ∈ (1; 2 ) .
Câu 8.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 − x 2 − x là
A. 2 − 2 .

C. 2 + 2 .
Hướng dẫn giải.

B. 2 .

D. 1 .

Chọn A.
Tập xác định của hàm số  − 2; 2  .

−x − 2 − x2

Ta có y ' = 0 ⇔

2 − x2

(

)

y ( −1) = 2; y − 2 = 2; y
Câu 9.

Biết đồ thị y =

x ≤ 0
= 0 ⇔ −x = 2 − x2 ⇔  2
⇔ x = 1.
2
x = 2 − x

( 2) = −

( a − 2b ) x 2 + bx + 1
x2 + x − b

a + 2b .

A. 6 .

2 . Vậy min y = − 2;max y = 2 .

có tiệm cận đứng là x = 1 và tiệm cận ngang là y = 0 . Tính

B. 7 .

C. 8 .
Hướng dẫn giải.

D. 10 .

Chọn A
Theo giả thiết ta có lim y = 0 ⇔ a − 2b = 0 và lim y = ±∞ ⇔ b = 2, a = 4 .
x→±∞

x →1

Vậy a + 2b = 6 .
Câu 10. Biết đường thẳng y = ( 3m − 1) x + 6m + 3 cắt đồ thị hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 tại ba điểm phân

biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại. Khi đó m thuộc khoảng nào dướ i
đây?
3
3
A. (−1;0) .
B. (0;1) .
C. (1; ) .
D. ( ;2) .

2
2
Hướng dẫn giải.
Chọn A.
Yêu cầu bài toán tương đương phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng
x 3 − 3 x 2 + 1 = ( 3m − 1) x + 6m + 3 ⇔ x3 − 3x 2 − ( 3m − 1) x − 6m − 2 = 0 .
Giả sử phương trình x 3 − 3 x 2 − ( 3m − 1) x − 6m − 2 = 0 có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa
x1 + x3
(1) .
2
Mặt khác theo viet ta có x1 + x2 + x3 = 3 (2) . Từ (1) và (2) suy ra x2 = 1 . Tức x = 1 là một
1
nghiệm của phương trình trên. Thay x = 1 vào phương trình ta được m = − .
3
1
Thử lại m = − thỏa mãn đề bài.
3

mãn x2 =

Câu 11. Một đường dây điện được nố i từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình vẽ.
Khoảng cách từ C đến B là 1 km. Bờ biển chạy thẳng từ A đến B với khoảng cách là 4 km.
Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 40 triệu đồng, còn trên đất liền là 20 triệu
đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để hoàn thành công việc trên(làm tròn đến hai chữ số sau dấu
phẩy).
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 8/22 - Mã đề thi 02

A. 106, 25 triệu đồng.
C. 164,92 triệu đồng.

B. 120 triệu đồng.
D. 114, 64 triệu đồng.
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Gọi M là điểm trên đoạn AB để lắp đặt đường dây điện ra biển nố i với điểm C .
2

Đặt BM = x ⇒ AM = 4 − x ⇒ CM = 1 + ( 4 − x ) = 17 − 8 x + x 2 , x ∈ [ 0; 4]

Khi đó tổng chi phí lắp đặt là : y = x.20 + 40 x 2 − 8 x + 17 đơn vị là triệu đồng.
y′ = 20 + 40.

x−4

x 2 − 8 x + 17 + 2 ( x − 4 )

.
x 2 − 8 x + 17
12 − 3
y′ = 0 ⇔ x 2 − 8 x + 17 = 2 ( 4 − x ) ⇔ x =
2
 12 − 3 
Ta có y 
 = 80 + 20 3 ≈ 114,64; y ( 0 ) = 40 17 ≈ 164,92; y ( 4 ) = 120 .
3



Vậy ta chọn đáp án D.
x 2 − 8 x + 17

= 20.

Câu 12. Cho hai số dương a, b thỏa mãn a 2 + b 2 = 7 ab. Chọn đẳng thức đúng
A. log

a+b 1
= ( log a + log b ) .
3
2

C. log a 2 + log b 2 = log 7ab.

1
B. log a + log b = log ( 7ab ) .
2
1
D. log a + log b = log ( a 2 + b 2 ) .
7
Hướng dẫn giải

Chọn A
2
Ta có a 2 + b 2 = 7 ab ⇔ ( a + b ) = 9ab ⇔ 2log ( a + b ) = 2log3 + log a + log b
⇔ log

a+b 1

= ( log a + log b )
3
2

Câu 13. Tập xác định của hàm số y = log 2 ( 3x − 2 ) là:
A. ( 0; +∞ ) .

2

C.  ; +∞  .
3

Hướng dẫn giải

B. [ 0; +∞ ) .

D. ( log 3 2; +∞ ) .

Chọn D
Ta có 3x − 2 > 0 ⇔ 3x > 2 ⇔ x > log 3 2.
Câu 14.

Tìm tổng các nghiệm của phương trình 22 x+1 − 5.2 x + 2 = 0.
5
A. 0.
B. .
C. 1.
2
Hướng dẫn giải
Chọn A

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

D. 2.

Trang 9/22 - Mã đề thi 02


Ta có 2.( 2

x 2

)

 2x = 2
x = 1
− 5.( 2 x ) + 2 = 0 ⇔  x 1 ⇔ 
.
2 =
x = −1


2

Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình log 2 ( 3.2 x − 2 ) < 2 x là:
A. ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) .

B. ( −∞;0 ) ∪ (1; +∞ ) .

2 


C.  log 2 ;0  ∪ (1; +∞ ) .
3 


D. (1; 2 ) .
Hướng dẫn giải

Chọn C
3.2 − 2 > 0
Ta có  x
x 2
3.2 − 2 < ( 2 )
x

2

2

 x > log 2 3
 x > log 2 3
2 



⇔ x
⇔
⇔ x ∈  log 2 ;0  ∪ (1; +∞ ) .
2 < 1
x<0

3 




x
  2 > 2
 x > 1

Câu 16. Cho hàm số y = log 1 ( x 2 − 2 x ) . Tập nghiệm của bất phương trình y′ > 0 là
3

A. ( −∞,1) .

B. ( −∞,0 ) .
C. (1, +∞ ) .
Hướng dẫn giải

D. ( 2, +∞ ) .

Chọn B.
Tập xác định của hàm số D = ( −∞,0 ) ∪ ( 2, +∞ ) .

Ta có y′ =

2x − 2

(x

2

1
3
2x − 2

− 2 x ) ln

Do đó y′ > 0 ⇔

>0⇔

x −1
<0
x − 2x

1


 do ln < 0  .
3



1
3
Giải bất phương trình cuối và kết hợp tập xác định hàm số ta có tập nghiệm là S = ( −∞,0 ) .

(x

2

− 2 x ) ln

2

3

Câu 17. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = 2 x − x
A. m >

1
.
3

1
B. m ≥ .
3

2

+ mx

đồng biến trên [1, 2] .

C. m ≥ −1 .

D. m > −8 .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

3
2
Ta có y′ = ( 3 x 2 − 2 x + m ) 2 x − x +mx ln 2 .

Hàm số đã cho đồng biến trên [1, 2] ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ [1, 2] ⇔ 3 x 2 − 2 x + m ≥ 0, ∀x ∈ [1, 2] ( *)
b 1
= < 2 nên
2a 3
1 − 3m ≤ 0

 ∆′ ≤ 0
1

m≥



3
 1 − 3m > 0
  ∆′ > 0




⇔ 1
⇔ 
1 ⇔ m ≥ −1
(*) ⇔  x1 + x2
<1
m <

 < 1


3

 3
 2

 m 2

  m ≥ −1
 ( x1 − 1)( x2 − 1) ≥ 0
 − + 1 ≥ 0
 3 3

Vì f ( x ) = 3x 2 − 2 x + m có a = 3 > 0, −

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 10/22 - Mã đề thi 02


Câu 18. Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng một tháng. Cứ sau 3 năm thì
ông An được tăng lương 40% . Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được
là bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)?
A. 726,74 triệu.
B. 71674 triệu.
C. 858,72 triệu.
D. 768,37 triệu.
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Mức lương 3 năm đầu: 1 triệu
Tổng lương 3 năm đầu: 36. 1
 2
 2
Mức lương 3 năm tiếp theo: 1. 1 + 
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36  1 + 
 5
 5
 2
Mức lương 3 năm tiếp theo: 1.  1 + 
 5

2

 2
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1 + 
 5

 2
Mức lương 3 năm tiếp theo: 1.  1 + 
 5

3

 2
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36  1 + 
 5

 2

Mức lương 3 năm tiếp theo: 1.  1 + 
 5

4

 2
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36 1 + 
 5

 2
Mức lương 3 năm tiếp theo: 1.  1 + 
 5

5

 2
Tổng lương 3 năm tiếp theo: 36  1 + 
 5

5

 2
 2
Mức lương 2 năm tiếp theo: 1.  1 + 
Tổng lương 2 năm tiếp theo: 24  1 + 
 5
 5
Tổng lương sau tròn 20 năm là
5
6

  2   2 2
 2 
 2
S = 36 1 + 1 +  +  1 +  + ... + 1 +   + 24 1 + 
 5  
 5
  5   5 

6

6

2

3

4

  2 6 
1 1 −  1 +  
6
  5  
 2
= 36. 
+ 24 1 +  ≈ 768,37
 2
 5
1 − 1 + 
5



Câu 19. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y = 23− x nghịch biến trên ℝ .
B. Hàm số y = log 2 ( x 2 + 1) đồng biến trên ℝ .
C. Hàm số y = log 1 ( x 2 + 1) đạt cực đại tại x = 0 .
2

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 x + 22− x bằng 4 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đáp án A đúng vì y′ = −23− x ln 2 < 0, ∀x ∈ ℝ .
2x
< 0, ∀x < 0 , do đó không thể đồng biến trên ℝ .
Đáp án B sai vì y′ = 2
( x + 1) ln 2
Đáp án C đúng, dựa vào bảng biến thiên ta có ngay kết quả.
4
4
Đáp án D đúng vì y = 2 x + 22− x = 2 x + x ≥ 2 2 x. x = 4 .
2
2
Câu 20. Cho hàm số f ( x ) =

4x
 1 
. Tính giá trị biểu thức A = f 
+
x
4 +2
 100 

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

 2 
f
 + ... +
 100 

 100 
f
?
 100 

Trang 11/22 - Mã đề thi 02


A. 50 .

B. 49 .

149
.
3
Hướng dẫn giải

C.

D.

301

.
6

Chọn D.
X
 100

4

 = 301 .
Cách 1. Bấm máy tính Casio fx 570 theo công thức ∑ X


6
X =1  100

4 +2
4x
Cách 2. Sử dụng tính chất f ( x ) + f (1 − x ) = 1 của hàm số f ( x ) = x
. Ta có
4 +2
  1 
  49 
 99     2 
 98  
 51  
 50 
A=f 
+ f 
 +  f 

+ f 
  + ... +  f 
+ f 
 + f 
+
 100     100 
 100  
 100  
 100 
  100 
  100 
100

 100 
f

 100 

1

= 49 +

42
1
2

+

4 +2

4
301
=
4+2
6

PS: Chứng minh tính chất của hàm số f ( x ) =

4x
.
4x + 2

4x
41− x
4x
4
4x
2
+ 1− x
= x
+
= x
+
= 1.
Ta có f ( x ) + f (1 − x ) = x
x
4 + 2 4 + 2 4 + 2 4 + 2.4
4 + 2 2 + 4x
Câu 21. Một nguồn âm đẳng hướng đặt tại điểm O có công suất truyền âm không đổ i. Mức cường độ
k

âm tại điểm M cách O một khoảng R được tính bởi công thức LM = log 2 (Ben) với k là
R
hằng số. Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB và mức cường độ âm tại A và B lần lượt là
LA = 3 (Ben) và LB = 5 (Ben). Tính mức cường độ âm tại trung điểm AB (làm tròn đến 2 chữ

số sau dấu phẩy).
A. 3,59 (Ben).

B. 3,06 (Ben).

C. 3,69 (Ben).

D. 4 (Ben).

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: LA < LB ⇒ OA > OB .
Gọi I là trung điểm AB . Ta có:
k
k
k
LA = log
⇒
= 10 LA ⇒ OA =
LA
2
2
OA
OA
10

LB = log

k
k
k
⇒
= 10 LB ⇒ OB =
LB
2
2
OB
OB
10

k
k
k
⇒ 2 = 10LI ⇒ OI =
LI
2
OI
OI
10
k
1 k
k
1
Ta có: OI = ( OA − OB ) ⇒
= 
−

LI
LA
LB
2
2  10
10
10
1  1
1 
⇒ LI = −2log  
−
LA
LB 
  ⇒ LI ≈ 3,69 .
 2  10
10  
LI = log


1
1 1
1
= 
−
 ⇒
LI
LA
LB
2  10
10

10






Câu 22. Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15 m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người
lái đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc −a m / s 2 .
Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn. Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 12/22 - Mã đề thi 02


A. ( 3; 4 ) .

B. ( 4;5) .

C. ( 5;6 ) .

D. ( 6;7 ) .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi x ( t ) là hàm biểu diễn quãng đường, v ( t ) là hàm vận tốc.
t

Ta có: v ( t ) − v ( 0 ) = ∫ ( − a ) dt = − at ⇒ v ( t ) = − at + 15 .

0
t

t

1
x ( t ) − x ( 0 ) = ∫ v ( t ) dt = ∫ ( − at + 15 ) dt = − at 2 + 15t
2
0
0
1
x ( t ) = − at 2 + 15t
2
− at + 15 = 0
v ( t ) = 0
15
8
45

Ta có: 
⇒ − t + 15t = 20 ⇒ t = ⇒ a =
.
⇔ 1 2
2
3
8
− 2 at + 15t = 20
 x ( t ) = 20

Câu 23. Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f ( x ) =

1
?
2x +1

1
B. F ( x ) = ln 2 x + 1 + 2 .
2
1
D. F ( x ) = ln ( 4 x 2 + 4 x + 1) + 3 .
4

A. F ( x ) = ln 2 x + 1 + 1 .
1
C. F ( x ) = ln 4 x + 2 + 3 .
2

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đáp án A. Sai vì ( ln 2 x + 1 + 1)′ =

2
2x +1

Câu 24. Biết hàm số F ( x ) = ax3 + ( a + b ) x 2 + ( 2a − b + c ) x + 1 là một nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = 3x 2 + 6 x + 2 . Tổng a + b + c là:

A. 5 .

B. 4 .

C. 3 .

D. 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn A.
F ′ ( x ) = 3ax 2 + 2 ( a + b ) x + ( 2a − b + c )

3a = 3
a = 1


Ta có: F ′ ( x ) = f ( x ) ⇒ 2 ( a + b ) = 6 ⇒ b = 2 ⇒ a + b + c = 5 .


 2 a − b + c = 2 c = 2
1

Câu 25. Tính I = ∫ e2 x dx .
0

A. e 2 − 1 .

B. e − 1 .

C.

e2 − 1
.

2

D. e +

1
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
1

1

1
e2 − 1
I = ∫ e dx = e 2 x =
.
2
2
0
0
2x

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 13/22 - Mã đề thi 02


a

2
Câu 26. Có bao nhiêu số a ∈ ( 0;20π ) sao cho ∫ sin 5 x sin 2 xdx = .
7
0

A. 20 .

B. 19 .

C. 9 .

D. 10 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
a

a

a

2
2
2
Ta có ∫ sin x sin 2 xdx = 2∫ sin x cos xdx = 2∫ sin 6 xd ( sin x ) = sin 7 x 0a = sin 7 a = .
7
7
7
0

0
0
5

6

Do đó sin 7 a = 1 ⇔ sin a = 1 ⇔ a =
0<

π
2

+ k 2π . Vì a ∈ ( 0;20π ) nên

1
+ k 2π < 20π ⇔ − < k < 10 và k ∈ ℤ nên có 10 giá trị của k
2
2

π

π
4

Câu 27. Cho tích phân I = ∫ ( x − 1) sin 2 xdx . Tìm đẳng thức đúng
0

π
π

π

4

4

A. I = − ( x − 1) cos 2 x 04 + ∫ cos 2 xdx .

B. I = − ( x − 1) cos 2 x − ∫ cos 2 xdx .

0

0

π
π

π

4

1
1
C. I = − ( x − 1) cos 2 x 04 + ∫ cos 2 xdx .
2
20

π

1

14
4
D. I = − ( x − 1) cos 2 x 0 − ∫ cos 2 xdx .
2
20

Hướng dẫn giải
Chọn C
π

π
du = dx
u = x − 1
1
14

I
x
x
Đặt 
ta
có
=
−
−
1
cos
2
+
cos 2 xdx

⇒
(
)
4
1
2
2 ∫0
dv = sin 2 xdx v = − cos 2 x
0

2
Câu 28. Cho khố i cầu tâm O bán kính R . Mặt phẳng ( P ) cách O một khoảng

hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
5
5
A.
.
B.
.
27
19

C.

5
.
24

R

chia khố i cầu thành
2

D.

5
.
32

Hướng dẫn giải
Chọn A

Thể tích khố i cầu là V =

4π 3
R .
3

Thể tích chỏ m cầu có chiều cao h =

h
R 2 5 R 5π R 3
R

là V1 = π h 2  R −  = π
.
.
=
2
3

4 6
24


27π R3
5
V
Do đó phần còn lại có thể tích V2 = V − V1 =
. Vậy 1 =
.
24
V2 27
Câu 29. Cho số phức z thỏa mãn z − 2 − 3i = 1 . Giá trị lớn nhất của z + 1 + i là
A. 13 + 2 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 13 + 1 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Gọi z = x + yi ta có z − 2 − 3i = x + yi − 2 − 3i = x − 2 + ( y − 3) i .
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

M2
M1
H

I

Trang 14/22 - Mã đề thi 02


2

2

Theo giả thiết ( x − 2 ) + ( y − 3) = 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm trên đường
tròn tâm I ( 2;3) bán kính R = 1 .
Ta có z + 1 + i = x − yi + 1 + i = x + 1 + (1 − y ) i =

Gọi M ( x; y ) và H ( −1;1) thì HM =

2

( x + 1) + ( y − 1)

2

( x + 1) + ( y − 1)

2

2

.

.

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường
tròn.
 x = 2 + 3t
Phương trình HI : 
, giao của HI và đường tròn ứng với t thỏa mãn:
 y = 3 + 2t

1
3
2 
3
2 


nên M  2 +
;3 +
;3 −
,M  2 −
.
13
13
13 
13
13 


Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM = 13 + 1 .
9t 2 + 4t 2 = 1 ⇔ t = ±

Câu 30. Tổng phần thực và phần ảo của số phức z = (1 + 2i )( 3 − i ) là
A. 6 .

B. 10 .

C. 5 .

D. 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có z = 3 − i + 6i − 2i 2 = 5 + 5i nên tổng phần thực và phần ảo của z bằng 10
Câu 31. Gọi A, B là hai điểm biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình z 2 + 2 z + 10 = 0. Tính độ dài
đoạn thẳng AB.
A. 6.
B. 2.
C. 12.
D. 4.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
 z = −1 + 3i
Ta có: z 2 + 2 z + 10 = 0. ⇔ 
. Vậy tọa độ hai điểm là A ( −1;3) , B ( −1; −3)
 z = −1 = 3i
⇒ AB =

2

( −1 + 1) + ( −3 − 3)

2

=6.

Câu 32. Biết phương trình z 2 + az + b = 0 ( a, b ∈ ℝ ) có một nghiệm là: z = −2 + i. Tính a − b.
A. 9.

B. 1.

C. 4.
Hướng dẫn giải

D. −1.

Chọn D.
Thay z = −2 + i vào phương trình ta được:

3 − 2a + b = 0
a = 4
+ a ( −2 + i ) + b = 0 ⇔ 3 − 2a + b + ( a − 4 ) i = 0 ⇔ 
⇔
a − 4 = 0
b = 5
Vậy a − b = 4 − 5 = −1

( −2 + i )

2

Câu 33. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn: z − i = 2 và z 2 là số thuần ảo:

A. 3.

B. 1,

C. 4.
Hướng dẫn giải

D. 2.

Chọn C.
Gọi z = a + bi ⇒ z − i = a + ( b − 1) i, z 2 = a 2 − b 2 + 2abi

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 15/22 - Mã đề thi 02


Để z − i = 2 và z 2 là số thuần ảo
 a = b

1± 3

 2
2
a=b=

a
a
a 2 + ( b − 1) 2 = 2
+

−
1
=
2
(
)

2
⇔
⇔
⇔
2
2

−1 ± 3
a − b = 0
 a = −b
 a = −b =
2
 2

2
 a + ( − a − 1) = 2
Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Câu 34. Cho A, B, C là các điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn z 3 + i = 0 . Tìm phát biểu sai:
A. Tam giác ABC đều.
B. Tam giác ABC có trọng tâm là O ( 0;0 ) .
C. Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O ( 0;0 ) .
D. S ∆ABC =

3 3
.
2
Hướng dẫn giải

Chọn D.

z = i
Ta có z + i = 0 ⇔ ( z − i ) ( z + iz − 1) = 0 ⇔ 
z = ± 3 − i

2
 3 1 
3 1
Vậy tọa độ các điểm biẻu diễn số phức z : A ( 0;1) , B 
; −  ; C  −
; − 
2  2
2
 2
Tam giác ABC có AB = AC = BC = 3 , trọng tâm O ( 0;0 ) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp
3

2

tam giác và diện tích tam giác S ∆ABC =

a2 3 3
= (Với a = 3 )

4
4

Câu 35. Một chiếc xô hình nón cụt đựng hóa chất ở phòng thí nghiệm có chiều cao 20cm, đường kính

hai đáy lần lượt là 10cm và 20cm . Cô giáo giao cho bạn An sơn mặt ngoài của xô (trừ đáy).
Tính diện tích bạn An phải sơn (làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 1942,97cm 2 .
B. 561, 25cm 2 .
C. 971, 48cm 2 .
D. 2107, 44cm2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có S xq = π ( r1 + r2 ) l
Với r1 = 5 , r2 = 10
2

2

l = h 2 + ( r2 − r1 ) = 202 + (10 − 5 ) = 5 17

Vậy S xq = π ( 5 + 10 ) 5 17 = 75 17π ≈ 971, 48

Câu 36. Cho hình chóp S . ABCD có SA vuông góc với đáy. Tam
giác ABC vuông cân tại B . SA = AC = 2a . Tính theo a thể tích của khố i chóp S . ABC
A.

2 2 3
a .
3

B.

1 3
a .
3

2 3
a .
3
Hướng dẫn giải

C.

D.

4 3
a .
3

Chọn C.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 16/22 - Mã đề thi 02


Vì tam giác ABC vuông cân tại B
AC
⇒ BA = BC =

=a 2.
2
Diện tích tam giác vuông ABC là:
1
S ABC = BA.BC = a 2 .
2
Thể tích khố i chóp S . ABC là:
1
2
V = AA′.S ABC = a3 .
3
3

S

2a

B

A
2a

C
Câu 37. Cho khối chóp S . ABCD có thể tích bằng a3 . Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy
ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách giữa SA và CD .
2a
a
A. 2 3a .
B. a 3 .
C.

.
D. .
2
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Vì đáy ABCD là hình bình
S
a3
1
hành ⇒ VSABD = VSBCD = VS . ABCD = .
2
2
Ta có:
Vì tam giác SAB đều cạnh a
a
a2 3
a
⇒ S SAB =
4
Vì CD AB ⇒ CD ( SAB ) nên
A

D

d ( CD, SA ) = d ( CD, ( SAB ) ) = d ( D, ( SAB ) )

a

a

3

a
3VSABD 3. 2
=
= 2
= 2 3a.
S SBD
a 3
4

B

C

Câu 38. Cho hình lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 12a 3 . Tính theo a thể tích khố i lập
phương đó.
A.

8a 3 .

B.

C. a3 .

2a 3 .

D.

a3
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Khố i lập phương có 6 mặt là hình vuông bằng nhau
12a 2
Từ giả thiết suy ra diện tích một mặt là
= 2a 2 .
6

Cạnh của khố i lập phương là

2a 2 = a 2 .

(

Thể tích của khối lập phương là: V = a 2

)

3

= 8a 3 .

Câu 39. Khố i chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a . SA = SB = SC = a , Cạnh SD thay
đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S . ABCD là:
TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 17/22 - Mã đề thi 02


A.

a3
.
8

B.

a3
.
4

3a 3
.
8
Hướng dẫn giải
C.

D.

a3
.
2

Chọn D.
Khi SD thay đổi thi AC thay đổi. Đặt AC = x .
Gọi O = AC ∩ BD .

Vì SA = SB = SC nên chân đường cao SH trùng với
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
⇒ H ∈ BO .

S
a

2

4a 2 − x 2
4a 2 − x 2
x
=
Ta có OB = a 2 −   =
4
2
2

a

A

1
1
4a 2 − x 2 x 4a 2 − x 2
S ABC = OB. AC = x.
=
2
2
2

4
2
2
a.a.x
a x
a
=
=
.
HB = R =
4S ABC
x 4a 2 − x 2
4a 2 − x 2
4.
4

B
x
O

D
SH = SB 2 − BH 2 = a 2 −

a

H
C

a4
a 3a 2 − x 2

=
4a 2 − x 2
4a 2 − x 2

1
2 a 3a 2 − x 2 x 4a 2 − x 2
VS . ABCD = 2VS . ABC = 2. SH .S ABC = .
.
3
3 4a 2 − x 2
4
1
1  x 2 + 3a 2 − x 2  a 3
= a x. 3a 2 − x 2 ≤ a 
=
3
3 
2
 2

(

)

Câu 40. Cho khố i nón đỉnh O , trục OI . Măt phẳng trung trực của OI chia khố i chóp thành hai phần.
Tỉ số thể tích của hai phần là:
1
1
1
1

A. .
B. .
C. .
D. .
2
8
4
7
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi R là bán kính đáy của khố i nón trục
O
1
OI . ⇒ V = π R 2 .OI
3
Giả sử mặt phẳng trung trực của OI cắt trục OI tại
H , cắt đường sinh OM tại N . Khi đó mặt phẳng này
N r H
chia khố i nón thành 2 phần, phần trên là khố i nón mới
R
OI
có bán kính r = , có chiều cao là
2
2
R
2

1  R   OI  π .R 2 .OI
⇒ V1 = π   
. Phần dưới là khố i

=
3 2  2 
24
nón cụt có thể tích
π R 2 .OI π R 2 .OI 7π R 2 .OI
V2 = V − V1 =
−
=
.
3
24
24

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

M

I

Trang 18/22 - Mã đề thi 02


π R 2 .OI

Vậy t ỉ số thể tích là:

1
V1
24
=

=
2
V2 7π R .OI 7
24

Câu 41. Cho hình trụ có trục OO ' , thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a . Mặt phẳng ( P ) song

song với trục và cách trục một khoảng
B. a 2 .

A. a 2 3 .

a
. Tính diện tích thiết diện của trụ cắt bởi ( P ) .
2

D. π a 2 .

C. 2a 2 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Mặt phẳng ( P ) song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một kích
2

a
thước là 2a . Kích thước còn lại là 2 r − d = 2 a −   = a 3 , trong đó r = a bán kính
 2
a
đáy và d = là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng ( P ) .

2
2

2

2

Diện tích thiết diện là 2a 2 3 .
Câu 42. Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm , đường kính 6cm . Mặt đáy phẳng và dày 1cm , thành
cốc dày 0, 2cm . Đổ vào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm . Hỏi
mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu cm . (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy).
A. 3,67 cm .
B. 2,67 cm .
C. 3, 28cm .
D. 2, 28cm .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Thành cốc dày 0, 2cm nên bán kính đáy trụ bằng 2,8cm . Đáy cốc dày 1cm nên chiều cao hình
2

trụ bằng 8cm . Thể tích khố i trụ là V = π .( 2,8) .8 = 197,04 ( cm3 ) .
Đổ 120ml vào cốc, thể tích còn lại là 197,04 − 120 = 77, 04 ( cm3 ) .
4
Thả 5 viên bi vào cốc, thể tích 5 viên bi bằng Vbi = 5. .π .13 = 20,94 (cm3 ) .
3

Thể tích cốc còn lại 77,04 − 20,94 = 56,1( cm3 ) .
2

Ta có 56,1= h '.π .( 2,8 ) ⇒ h ' = 2, 28 cm .

Cách khác: Dùng tỉ số thể tích
2

8. ( 2,8 ) .π
VTr
h
8
= coc ⇔
=
⇒ hnuoc+bi = 5,72
4
Vnuoc + Vbi hnuoc+bi
h
nuoc
+
bi
120 + 5. .π
3
Chiều cao còn lại của trụ là 8 − 5,72 = 2, 28 .

Vậy mặt nước trong cốc cách mép cốc là 2, 28cm .
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1;2;1) , B ( 3;0; −1) và mặt phẳng

( P ) : x + y − z − 1 = 0 . Gọi

M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên mặt phẳng ( P ) .

Tính độ dài đoạn MN .

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 19/22 - Mã đề thi 02


A. 2 3 .

B.

4 2
.
3

2
.
3
Hướng dẫn giải
C.

D. 4 .

Chọn B.
Gọi d là đường thẳng qua A (1;2;1) và vuông góc với mặt phẳng ( P ) .
Độ dài đoạn thẳng MN là khoảng cách từ B ( 3;0; −1) đến đường thẳng d .

AB = ( 2; −2; −2 ) , nP = (1;1; −1) ⇒  AB, nP  = ( 4;0; 4 )
MN =

 AB, nP 
16 + 0 + 16 4 2



=
=
.
1+1+1
3
nP

Câu 44. Trong không gian với hệ tọa độ

( P ) : x + 2 y − 2 z − 1 = 0 . Gọi
A. 2.

B.

Oxyz

cho hai điểm

A (1;2;1) và mặt phẳng

B là điểm đố i xứng với A qua ( P ) . Độ dài đoạn thẳng AB là
4
.
3

2
.
3
Hướng dẫn giải

C.

D. 4.

Chọn B.
B là điểm đối xứng với A qua ( P ) nên AB ⊥ ( P ) tại trung điểm đoạn AB .
Độ dài đoạn AB = 2d ( A, ( P ) ) =

2 1+ 4 − 2 −1
1+ 4 + 4

=

4
.
3

Câu 45. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các vectơ a = (1; 2;1) , b = ( −2;3; 4 ) , c = ( 0;1; 2 ) ,

d = ( 4; 2;0 ) . Biết d = x.a + y.b + z.c . Tổng x + y + z là
A. 2.

B. 3.

C. 5.
Hướng dẫn giải
x − 2y = 4
x = 2



d = x.a + y.b + z.c ⇔ 2 x + 3 y + z = 2 ⇔  y = −1 .
 x + 4 y + 2z = 0
z = 1



D. 4.

Vậy x + y + z = 2 − 1 + 1 = 2
Chọn A
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho điểm

A (1;2;1)

và đường thẳng

x +1 y − 2 z
=
= . Viết phương trình mặt phẳng chứa A và vuông góc với d .
1
1
−1
A. x − y + z − 1 = 0.
B. x − y + z − 1 = 0.
C. x − y + z = 0.
D. x − y + z − 2 = 0.
Hướng dẫn giải

Chọn C.
d:

Đường thẳng d nhận u = (1; −1;1) làm vectơ chỉ phương .

Vì mặt phẳng ( P ) vuông góc với d nên mặt phẳng ( P ) nhận u = (1; −1;1) làm vectơ pháp
tuyến.
Phương trình mặt phẳng ( P ) : 1( x − 1) − ( y − 2 ) + ( z − 1) = 0 ⇔ x − y + z = 0.

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 20/22 - Mã đề thi 02


Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho điểm

A ( 2;1;3 )

và đường thẳng

x −1 y − 2 z
=
= . Mặt phẳng chứa A và d .Viết phương trình mặt cầu tâm O tiếp xúc vớ i
2
1
−1
mặt phẳng ( P ) .
d:

A. x 2 + y 2 + z 2 =

12
.
5

B. x 2 + y 2 + z 2 = 3.

C. x 2 + y 2 + z 2 = 6.

D. x 2 + y 2 + z 2 =

Hướng dẫn giải

24
.
5

Chọn D.
Đường thẳng d đi qua điểm B (1; 2;0 ) và nhận u = ( 2; −1;1) làm vectơ chỉ phương.

Có : AB = ( −1;1; −3) .
Khi đó : nP =  AB; u  = ( 2;5;1) .
Phương trình mặt phẳng ( P ) : 2 x + 5 y + z − 12 = 0 .
Vì mặt cầu tâm O tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) nên : R = d O; ( P )  =
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm : x 2 + y 2 + z 2 =

12
.

30

24
.
5

Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng

( P) : 2x + y − z −1 = 0

và

( Q ) : x − 2 y + z − 5 = 0 . Khi đó, giao tuyến của ( P ) và ( Q ) có một vectơ chỉ phương là:
A. u = (1;3;5 ) .
B. u = ( −1;3; −5) .
C. u = ( 2;1; −1) .
D. u = (1; −2;1) .
Hướng dẫn giải
Chọn A.

Có nP = ( 2;1; −1) và nQ = (1; −2;1)
Khi đó, vectơ chỉ phương của giao tuyến của ( P ) và ( Q ) là :
u =  nP ; nQ  = (1;3;5) .
Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; 2;1) . Mặt phẳng ( P ) thay đổ i đi qua M

lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O . Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khố i tứ
diện OABC .
B. 6.
C. 9.
D. 18.

A. 54.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0,0, c ) với a, b, c > 0 .
Phương trình mặt phẳng ( P ) :
Vì : M ∈ ( P ) ⇔

x y z
+ + =1 .
a b c

1 2 1
+ + =1 .
a b c

1
Thể tích khố i tứ diện OABC là : VOABC = abc
6

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

1 2 1
12 1
.
+ + ≥ 33
a b c
ab c

Trang 21/22 - Mã đề thi 02


2
54
⇔1≥
abc
abc
1
Suy ra : abc ≥ 54 ⇔ abc ≥ 9
6
Vậy : VOABC ≥ 9 .
Hay 1 ≥ 3 3

Câu 50. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
2

2

( S ) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 1)

2

x−2 y z
=
=
và mặt cầu
2
−1 4

= 2 . Hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) chứa d và tiếp xúc với ( S ) .

Gọi M , N là tiếp điểm. Tính độ dài đoạn thẳng MN .
A. 2 2.

B.

4
.
3

C.

6.

D. 4.

Hướng dẫn giải
Chọn B .

Mặt cầu

(S )

có tâm I (1;2;1) , R = 2

Đường thẳng d nhận u = ( 2; −1; 4 ) làm vectơ

chỉ phương
Gọi H là hình chiếu của I lên đường thẳng d .

H ∈ d ⇔ H ( 2t + 2; −t ; 4t )
Lại có :
IH .u = 0 ⇔ ( 2t + 1; −t − 2; 4t − 1) .( 2; −1; 4 ) = 0
⇔ 2 ( 2t + 1) + t + 2 + 4 ( 4t − 1) = 0 ⇔ t = 0

Suy ra tọa độ điểm H ( 2;0;0 ) .
Vậy IH = 1 + 4 + 1 = 6
Suy ra: HM = 6 − 2 = 2
Gọi K là hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng HI .
1
1
1
1 1 3
=
+
= + = .
Suy ra:
2
2
2
MK
MH
MI
4 2 4
2
4
⇒ MN =
Suy ra: MK =
.
3

3

TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm và biên tập

Trang 22/22 - Mã đề thi 02