de cuong on tap hk2 mon toan lop 11

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. CẤP SỐ CỘNG
đ/n
 u n  d; n  N* với d là số không đổi.
a) Định nghĩa: u n  là cấp số cộng  u
n 1

b) Công thức số hạng tổng quát: u n  u  n  1d; n  2 .
1
c) Tính chất các số hạng của CSC: u k 

u k 1  u k 1
; k  2 (trừ số hạng đầu và số hạng
2

cuối).
d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (u n ) là một CSC. Khi đó

Sn  u  u  ...  u 
1
2
n



 



n u  un
n 2u  n  1d .
1
1

2
2

2. CẤP SỐ NHÂN
đ/n
 u n q; n  N* với q là số không đổi.
a) Định nghĩa: u n  là cấp số nhân  u
n 1

b) Công thức số hạng tổng quát: u n  u q n - 1; n  2 .
1
.u
;k  2
c) Tính chất các số hạng của CSC: u 2  u
k
k 1 k 1

hay u

k

 u

.u
(trừ số hạng đầu và số hạng cuối).
k 1 k 1

d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (u n ) là một CSN. Khi đó
1 qn
Sn  u  u  ...  u n  u
;q  1
1
2
1 1 q
.
Sn  nu khi q  1
1
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1. Dạng 1. Chứng minh một dãy số là một cấp số cộng, cấp số nhân
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSC:


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Để chứng minh dãy số (u n ) là một CSC ta xét hiệu H  u n 1  u n
- Nếu H là hằng số thì (u n ) là một CSC có công sai d  H .
- Nếu H phụ thuộc vào n thì (u n ) không là CSC.
Ví dụ: Chứng minh dãy số u n  với u  20n  9 là một CSC. Tìm số hạng đầu và
n
công sai của CSC đó.
Giải:
Ta có u

n 1

u

n

 20n  1  9 - 20n - 9  20  u

n 1

 u  20 . Vậy
n

u n 

là một

CSC với u  11 và d = 20.
1
* Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSN:
Để chứng minh dãy số (u n ) là một CSN ta xét thương T 

u n 1
, n  1
un

- Nếu T là hằng số thì (u n ) là một CSN có công bội q  T .
- Nếu T phụ thuộc vào n thì (u n ) không là CSN.
Ví dụ: Xét xem dãy số u n  với u  n  1.5 n  1 có là một CSN không? Nếu là CSN

n
tìm số hạng đầu và công bội.
Giải:
Ta có

u

n 11
n2
n  1  n  1  1.5
 5.
phụ thuộc n nên u n  không là CSN.
n

1
u
n

1
n  1.5
n

2. Dạng 2. Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN
* Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC:
- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1 và d phải thỏa. Giải hệ này ta được u1 và d .
u  u  u  10

Ví dụ: Tìm số hạng đầu và công sai của CSC u n  biết  2 3 5
u 4  u 6  26
Giải: Áp dụng công thức u n  u1  n  1d , ta có

u1  d   u1  2d   u1  4d   10
u1  3d  10
u  1
.

 1
d  3
u1  3d   u1  5d   26
2u1  8d  26

(1)  

(1).


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Vậy u n  đã cho có u1  1, d  3.
* Phương pháp xác định công bội và số hạng đầu của một CSN:
- Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1 và q phải thỏa. Giải hệ này ta được u1 và q .
Ví dụ: Cho CSN u n  có u 2  4, u 4  16 và công bội q < 0. Tìm số hạng đầu và số hạng
thứ sáu của CSN đó.
Giải: Ta có
4
4


u1 q  4
u 2  4
 q  2

u1  q
u1  q
.
 3




u1  2
u 4  16
u1 q  16
u q.q 2  16
q 2  4

 1

Vậy u n  đã cho có u1  2; u 6  u1 .q 5  (2).(2) 5  64.
3. Dạng 3. Dùng công thức u n và S n của CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng
* Phương pháp dùng công thức u n và S n của CSC để chứng minh hay tính tổng
Ta thường dùng linh hoạt các công thức:
- Nếu (u n ) là một CSC có công sai d thì d  u n 1  u n
u n  u1  n  1d
Sn 

nu1  u n  n2u1  n  1d 

2
2

để biến đổi, rút gọn và tính toán.

- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC  a  c  2b .
Ví dụ: Cho ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC. Chứng minh: a 2  2bc  c 2  2ab
(2).
Giải:
Ta có VT(2) = a 2  a  c .c  a 2  ac  c 2  c 2  a 2  ac   c 2  a a  c   c 2  2ab  VP(2) .
Vậy a 2  2bc  c 2  2ab .
* Phương pháp dùng công thức u n và S n của CSN để chứng minh hay tính tổng
Ta thường dùng linh hoạt các công thức:
- Nếu (u n ) là một CSN có công bội q thì q 

u n 1
,n 1
un


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
u n  u1 q n 1 ; n  2
1 qn
;q  1
1 q
S n  nu1 khi q  1
S n  u1

để biến đổi, rút gọn và tính toán.
- Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSN  ac  b 2 .
...
Ví dụ: Tính tổng A  9  99  999  ...  99

9 .
n

Giải: Ta có
A  9  99  999  ...  99
...

9



n

 

 ...  10  - n





 10 - 1  10  1  10 3  1  ...  10 n  1



 10  10 2

2

n

1 - 10 n

-n
1 - 10
10 n 1  10  9n

9
 10.

II. BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Tìm u1 , d, tính S50 của cấp số cộng biết:

 u 2  u 5  27
;
u

u

33
 3
6

a) 

u6  8
 u1  u 5  u 3  10
 u1  2u 5  0
; c) 
; d)  2
2
S4  14
 u1  u 6  7

 u 2  u 4  16

b) 

2. Định x để 3 số sau lập thành một cấp số cộng: 10  3x; 2x 2  3; 7  4x .
3.Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh: a 2  2bc  c 2  2ab
4. Tìm u1 , q của cấp số nhân biết:
a) u4 = 64, và u6 = 1024;

 u1  u 3  u 5  21
 u 2  u 4  10

b) 

5. Cho ba số 2, 14, 50. Phải cộng thêm mỗi số cùng một số nào để ba số mới lập thành cấp
số nhân.
6. Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số nhân.
Chứng minh: (a  b  c)(a  b  c)  a 2  b 2  c 2


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

7. Cho ba số

2 1 2
, ,
lập thành một CSC. Chứng minh a, b, c lập thành một CSN.
ba b bc

8. Ba số a, b, c lập thành một CSC và b, c, a lập thành một CSN. Tính a, b, c biết:

a) a  b  c  18

b) abc  125

9. Tìm 4 số hạng của một CSN biết rằng tổng của ba số hạng đầu bằng

148
, đồng thời
9

theo thứ tự chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một CSC.
10. Tính các tổng
...
a) A  9  99  999  ...  99

9

...
b) B  6  66  666  ...  66

6

n

c)

n

C  100 2  99 2  98 2  97 2  ...  2 2  1 2

11. Định m để phương trình x 4  2m  1x 2  2m  1  0 có 4 nghiệm phân biệt lập thành
một CSC.
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
a) Giả sử lim f ( x)  L, lim g ( x)  M . Khi đó
x  x0

x  x0

lim  f ( x)  g ( x)  L  M ,

x  x0

lim  f ( x).g ( x)  L.M ,

x  x0

lim

x  x0

f ( x)
L

, ( M  0)
g ( x) M

b) Nếu f ( x)  0 và lim f ( x)  L thì L  0, lim
x  x0

x  x0

f ( x) 

L (dấu của f(x) được xét trên

khoảng đang tìm giới hạn, với x  x0 .
Chú ý: Định lý trên vẫn đúng cho trường hợp x  x0  , x  x0  , x  , x  .
2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN
lim f ( x)  L  lim_ f ( x)  lim f ( x)  L

x  x0

x  x0

x  x0

3. CÁC QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

+) Nếu lim f  x    thì lim

x  x0

x  x0

1

f  x

0

+ Bảng quy tắc
lim f ( x)

x x 0

+∞

L>0

-∞
+∞
-

L<0

∞

lim f ( x)

lim  f ( x).g ( x)

lim g ( x )

x x 0

x x 0

x x0

lim g ( x ) Dấu của

x x 0

+∞
L>0

-∞

0

-∞
L<0

+∞

4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN:

S

g(x)

lim

x x 0

+

+∞

-

-∞

+

-∞

-

+∞

f ( x)
g ( x)

u1
,| q | 1
1 q

CHÚ Ý:Các giới hạn cơ bản:
1. lim C  C (C = const)
x  x0

2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

3. lim

x  x0

1
 0 (với n > 0)
xn

5. HÀM SỐ LIÊN TỤC
a) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0  K .
Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f ( x)  f  x0  .
x  x0

b) Một số định lý cơ bản:
ĐL 1:
- Hàm số đa thức liên tục trên R.
- Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định
của chúng.
ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại x0 là những hàm số liên tục
tại x0 (trường hợp thương thì mẫu phải khác 0 tại x0 ).
ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên a; b và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
c  a; b  sao cho f(c) = 0.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
1. Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số.
Phương pháp:
- Sử dụng các quy tắc đã học để tính.

- Nếu giới hạn của hàm số cần tính có một trong bốn dạng

0 
;
;    ; 0.∞ thì ta phải
0 

khử dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước hoặc nhân lượng
liên hợp hoặc chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu...Cụ thể:
* Dạng

0
:
0

- Nếu tử, mẫu là những đa thức thì ta đặt thừa số

x  x0  làm nhân tử chung và rút gọn

nhân tử này ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.
- Nếu tử hay mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của tử hoặc
mẫu và cũng rút gọn thừa số

x  x0  ở tử và mẫu ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác

định.
Cần chú ý các công thức biến đổi sau:
a2  b2
a3  b3
ab 

;a  b  2
ab
a  ab  b 2

+ Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
+ Liên hợp của biểu thức:
1. a  b là
3. 3 a  b

là

a b
3

a 2  3 a .b  b 2

2.
4.

a  b là
3

a b

Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
x 4  16
a) lim 3
x2 x  2 x 2

Giải:

b) lim
x 1

2  3x  1
x2 1

là

a b
3

a 2  3 a .b  b 2


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

a) lim
x2



Vậy lim
x2

b) lim
x 1











 x  2  x 2  4  4 .8  8
x 4  16
x  2 x  2 x 2  4

lim

lim
x2
4
x 3  2 x 2 x2
x2
x 2 x  2
x 4  16
 8.
x3  2x 2

2  3x  1
4  3 x  1
3
3
3
 lim 2

 lim


2
x

1
x

1
8
x 1
x  1 2  3x  1 1  1 2  3.1  1
x  1 2  3x  1















2  3x  1

3
 .
2
x 1
8
x 1

Vậy lim
* Dạng


:


- Chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu.
- Sau đó dùng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương cùng giới hạn
lim

x  

1
 0 với k nguyên dương.
xk

Ví dụ:Tìm các giới hạn sau:
3 x 4  16 x  2
x   x 4  2 x 2  4

x 2  5x  1
x   10  2 x 3

a) lim

3 x 4  16 x  2
Giải: a) lim 4
 lim
x   x  2 x 2  4
x  

b) lim
16

x3
2
1 2 
x
3

2
x4  3  0  0  3
4
1 0  0
4
x

3 x 4  16 x  2
 3.
x   x 4  2 x 2  4

Vậy lim

1 5
1
 2  3
x  5x  1
x  000  0
 lim x x
B) lim
3
x   10  2 x
x  
10
02
2
3
x
2

x 2  5x  1
0
x   10  2 x 3

Vậy lim

* Dạng    :


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

- Nếu x  x0 thì ta quy đồng mẫu số để đưa về dạng

0
.
0

- Nếu x   thì ta nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng


.


Ví dụ: Tìm các giới hạn sau:
3 
 1


x 1 1  x
1  x3 


a) lim

b) lim

x  

 4x

2

 3x  1  2 x



Giải: a) Ta có
1 x  x2  3 
 x2  x  2 
x  1x  2  lim  x  2  1
3 
 1



  lim
lim


lim

lim

3
3
3
2


x 1 1  x
x 1 1  x  x 2
1  x  x 1 

1 x

 x 1  1  x
 x 1 1  x  1  x  x





3 
 1
lim

  1
x 1 1  x
1  x3 


Vậy
b) Ta có

1
4 x  3x  1  4 x
3x  1
3
3
x
lim 4 x 2  3x  1  2 x  lim
 lim
 lim



x
x
22 4
3 1
4 x 2  3x  1  2 x x 4 x 2  3x  1  2 x x
4  2 2
x x







Vậy lim

x  

 4x

2

2



 3x  1  2 x 



3

2

3
.
4

* Dạng 0.∞
- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn,
quy đồng mẫu số,...ta có thể đưa giới hạn đã cho về dạng quen thuộc.
Ví dụ: Tìm giới hạn sau: lim x 3  1


x 1

x
.
x 1
2

Giải: Ta có
x
x
xx 1
xx 1
lim x 1 2  lim x2  x 1 x 1
 lim x2  x 1

 lim x2  x 1
 3.0  0
x1
x 1x 1 x1
x 1x 1 x1
x 1
x 1 x1



3











2






VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Vậy lim x 3  1


x 1

x
0.
x 1
2

2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vô hạn
- Sử dụng công thức

S

u1
,| q | 1 .
1 q

 1
1
1
Ví dụ: Tính tổng S  1   2  ...  n 1  ...
10 10
10
n

Giải: Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với u1  1 và q = 

1
.
10

1
10
 .
11
 1
1  
 10 

Vậy S 

3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số
3.1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
 f1 ( x )
 f 2 ( x)

- Dạng I: Cho h/s f ( x)  

khi x  x0
khi x  x0

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0?

Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0); lim f ( x)
x x0

B3:

lim f ( x) = f(x0)  KL liên tục tại x0

x x0

Ví dụ:

x2  4
khi x  2

Xét tính liên tục của các hàm số f ( x)   2  x
 4 khi x  2


tại x0 = 2

ĐS: liên tục
 f1 ( x )
 f 2 ( x)

- Dạng II: Cho h/s f ( x)  

Ví dụ:

khi x  x0
khi x  x0

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0?

 x2

Xét tính liên tục của các hàm số f ( x)   x  1  1
 3x  4


khi x  2
khi x  2

tại x0 = 2


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

ĐS: liên tục
3.2 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B3: Kết luận
Ví dụ:

 x 2  3x  2

Xét tính liên tục của các hàm số f ( x)   x  2

1


khi x  2

trên TXĐ của

khi x  2

nó.
ĐS: hsliên tục trên R
3.3 Tìm điều kiện của tham số để hàm số liên tục tại x0
Ví dụ:

 x2  x  2

Tìm điều kiện của số thực a sao cho hàm số f  x    x  1

a


khi

x  1

khi

x  1

liên tục tại x0 = -1.
ĐS:

a = -3

3.4 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên  a; b  :
B1: Tính f(a), f(b)  f(a).f(b) < 0
B2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên  a; b 
B3: Kết luận về số nghiệm của PT trên  a; b 
Ví dụ: CMR phương trình x 7  3x5  2  0 có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số f  x   x 7  3 x5  2 liên tục trên R
Và

nên f(x) liên tục trên [0;1]

f  0   2  0 
  f  0  . f 1  0
f 1  2  0 

Nên phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm x0   0;1 .
III. BÀI TẬP TỔNG HỢP


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

):


Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
 x3  5x  1
x  2 x 3  3 x 2  1

3 x 3  2

x  2 x  1

a) lim

x5  2 x3  4 x
d) lim
x  1  3 x 2  2 x 3

ĐS: a) -1/2

5 x3  x 2  1
x 
3x 2  x

b) lim

c) lim

5x2 1
e) lim 3
x  2 x  3 x 2  1

b) -

c) - 

x2  2x  4x2  1
2  5x

f) lim

x 

d) -

e) 0

f) -1/5

Bài 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):
a) lim ( 2 x 3  x 2  3 x  1)

b) lim (  x 4  x 3  5 x  3)

x 

d) lim x 2  3 x  2

e) lim

x 

x 

ĐS: a) +

c) lim 4 x 2  x  2

x 

b) - 



3x2  x  2 x

c) + 

d) +



x 

f) lim

x 

e) - 



2 x2  x  x



f) + 

Bài 3: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a) lim

x 3

x 1
1 x
b) lim
2
x

4
x3
 x  4

f) lim



x 1

c) lim

x 3

2x 1
x3

b) - 

c) + 

d) + 

Bài 4: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng

x 3

x 2

2 x x
2 x  1
e) lim 2
x 0 x  x
x2

3x  1
x 1

ĐS: a) - 

a/ lim

d) lim

x2  9
x3

b/ lim
x 1

x 2  3x  2

x 1

e) 1

f) + 

0
):
0
x3
x 3 x 2  2 x  3

c) lim

d) lim
x 1

x3  1
x2 1

x2  2x  3
e) lim 2
x 1 2 x  x  1

f) lim
x2

lim

x 1

g) lim

x7 3

x  2 1

x 3

k) lim

x5 2

ĐS: a) 6
g) 24

2 x

h) 4/3

h) lim

x 1  2

x4

x 2  3x  2

x  2

b) -1

x2  9

2 x

c) -4
i) 2

d) 3/2
k) 0

e) 4/3

f) -6

2x 1  3
x 2

i)


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ):
a) lim  x  1


x 1

ĐS: a)0

2x  3
x2 1

b) lim x 2  9.


x 3

b) +

2x 1
x3

c/ lim  x 3  8 
x2



x
2  x2

c) 0

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng  - ):
x 

d) lim

x 





a) lim



x 2  1  x b) lim

x 

x 2  x  x 2 1

ĐS: a) 1/2



x2  2 x  x2 1



c)

lim

x 



4 x2  x  2 x



b) 1

c) 1/4

d) 1/2

Bài 7: Tính các giới hạn sau:
1, lim

x 2



x 

x 

x  5 1



x 1
2, lim
x 3 x  2

x 2  x  4x 2  1
2x  3

5, lim
8, lim

2



x2  x  x2 1

( x  3) 3  27
x 0
x

11, lim

ĐS: 1)2
8) lim

x  



2)4

3, lim (  x  x  x  1)
3

x 

1 1







x3
2
x 1 x  2 x  3

9, lim

12, lim
x2

x22
x7 3

3)+

4)-2



2 x3  5 x 2  2 x  3

x 3 4 x 3  13 x 2  4 x  3

10, lim

2 x3
x 7
x 2  49

13, lim
5)1/2

6)-1





10) 11/17

11)27

12)3/2

13) -1/56

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng lim
x 0

sin 3 x
x 0

x

sin x sin 2 x
x 0
3x 2

a) lim

b) lim

1  cos 2 x
x 0
x sin x

c) lim

b) 2/3

2 x3  3x  4
4, lim 3 2
x   x  x  1

1  7, lim ( 4 x 2  x  2 x)
6, lim 
x 
x 0 x  x  1


1
1

x 2  x  x 2  1   ; lim x 2  x  x 2  1 
2 x  
2

9) -1/2

ĐS: a) 3

2

sin x.sin 2 x....sin nx
x 0
xn

d) lim

c) 1

d) n!

sin x
1 )
x

7) -2




VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Bài 9: Tính tổng

 1
1
1
1/ S  1   2  ...  n 1  ...
10 10
10
n

2/ S = 1 

2
2
2

 ... 
 ...
2
100 100
100 n

 1
1 1 1
3/ ,  , ,..., n
3 9 27
3

n 1

,...

Bài 10: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
1 1 1
 1
a) 1,  , ,  ,...,   
2 4 8
 2

n1

,...

1 1 1
1 
b) 1, , , ,...,  
3 9 27
3

ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 11: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
x2  4
khi x  2

a) f ( x)   2  x
 4 khi x  2

 x2  4x  3


b) f ( x)   x  3

5

 2 x 2  3x  5

c) f ( x)  
x 1

7

 2  x 1

d) f ( x)   3  x

3

 x2  2

e/ f ( x)   x  2
2 2

 x2

f) f ( x)   x  1  1
 3x  4


tại x0 = 2

khi x<3

tại x0 = 3

khi x  3
khi x  1

tại x0 = 1

khi x  1
khi x  3

tại x0 = 3

khi x  3
khi x  2

tại x0 = 2

khi x  2
khi x  2
khi x  2

tại x0 = 2

n1

,...

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ;
c) liên tục ;

d) không liên tục ;

e) liên tục ;

f) liên tục

Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
 x 2  3x  2

a) f ( x)   x  2

1

 1 x
2

b) f ( x)    x  2 
 3


khi x  2
khi x  2
khi x  2
khi x  2

 x2  x  2
c) f  x    x  2
 5 x


khi x  2
khi

x2

x
khi x  0


2
d) f  x   
x
khi 0  x  1
 x 2  2 x  1 khi x  1


ĐS:
a) hsliên tục trên R
b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R
d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1.
Bài 13: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
 x2  x  2

a) f  x    x  1


a



x2
2ax  3

b) f (x)  

khi

x  1

khi

x  1

với x0 = -1

khi x  1
với x0 = 1
khi x  1

 x7 3

c) f ( x)   x  2
 a 1


khi x  2
khi x  2

với x0 = 2


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
3x2 1
d) f (x)  
2a 1

ĐS:

khi x  1
với x0 = 1
khi x  1

a) a = -3

b) a = 2

c) a = 7/6

d) a = 1/2

Bài 14:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2 x 3  10 x  7  0
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3  1000 x  0,1  0
c) CMR: Phương trình

x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).

d) Chứng minh phương trình x 2 sin x  x cos x  1  0 có ít nhất một nghiệm x0   0;   .
e) Chứng minh ptrình m  x  1  x  2   2 x  3  0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
3

Bài 15: CM:
a) x 4  5 x  2  0 có ít nhất một nghiệm.
b) x 5  3x  7  0 có ít nhất một nghiệm.
c) 2 x 3  3 x 2  5  0 có ít nhất một nghiệm
d) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
e) x 3  3x 2  1  0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
g) 1  m 2   x  1  x 2  x  3  0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; -1) với mọi
3

m.
h) m  x  1  x 2  4   x 4  3  0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
3

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. BẢNG ĐẠO HÀM
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản

C  = 0

x  = 1
(kx)’= k (k là hằng số)

(C là hằng số)

Đạo hàm của hàm số hợp


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

x  = n.xn-1

(n  N, n  2)


1
 1
   2
x
x

(x  0)


U
 1
   2
U
U
 

(x>0)

 U   2UU

n

1

( x ) =

U  =n.Un-1. U 
n



2 x

sin x '  cos x
cos x '   sin x
1
 1  tan 2 x
2
cos x
cot x '   12   1  cot 2 x
sin x

(U  0)

sin U '  U ' cos U
cos U '  U ' sin U
U'
cos 2 U
cot U '   U2 '

sin U

tan x ' 



(U  0)

.tan U ' 



2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Ký hiệu U = U(x), V=V(x)).


U  V 

U.V'  U'.V  V'.U

 U  V 

(k.U)  k.U (k


U'.V  V'.U
 U
  
V2
V

là hằng số)

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP:

g(x) = f[U(x)] , g ' x = f 'u . U x

4. ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ
Đạo hàm cấp 2: f ( x)   f ( x)
Đạo hàm cấp n: f ( n ) ( x)   f ( n 1) ( x)



5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
Lưu ý:
f’( x0 ) = hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) tại điểm M  x0 , f  x0 
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao của các hàm số Sử dụng các quy tắc và bảng
đạo hàm để tính.
Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

a) y  x 3

b) y  3x 2  1

ĐS: a) y’=3x2

c) y  x  1

b) y’= 6x

c) y’ =

d) y 
1

1
1 x

d) y ' 

2 x 1

1

1  x 2

2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
* Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm M  x0 , f  x0 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

(*)

* Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k
+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước:

Phương pháp:
B1: Tiếp tuyến d’ // d nên k d '  k d
B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= k d 

(3)

B3: Giải (3) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).
B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.
+ Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước
Phương pháp:
B1: Tiếp tuyến d’ // d nên k d '  

1
kd

B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= k d 

(4)

B3: Giải (4) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0).
B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập.
* Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước
Phương pháp:
B1: Gọi d là tiếp tuyến cần viết và M  x0 , y 0  là tiếp điểm. Khi đó d có pt dạng
y  y 0  f '  x 0  x  x 0 

B2: Cho d đi qua A ta được y A  y 0  f '  x0  x A  x0 
B3: Giải (5) tìm x0  y 0 ? . Suy ra pt tiếp tuyến cần viết.

(5)

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
1
x

Ví dụ: Gọi (C) là đồ thị hàm số: y  f ( x)  . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại điểm có hoành độ bằng -2
b) Tại điểm có tung độ bằng 3
1
9

c) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  : y = - x + 2014.
1
4

d) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ' : y = x – 4.
e) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-8;0).
ĐS:

1
4

a) y = - x -1

b) y = -9x+6;
1
9

c) y = - x +

2
1
2
,y=- x3
9
3

d) y = -4x+4, y = -4x-4 ;
e) y = -

1
1
x- .
16
2

III. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1. y  x 3  2 x  1
3. y  10 x 4 

2
x2

2. y  2 x 5 

x
3
2

4. y  ( x 3  2)( x  1)

5. y  5 x 2 (3x  1)

6. y  ( x 2  5) 3

7. y  ( x 2  1)(5  3x 2 )

8. y  x ( 2 x  1)(3x  2)

9. y  ( x  1)( x  2) 2 ( x  3) 3

10. y 

2x
x 1

2x 2  6x  5
2x  4

12. y 

5x  3
x  x 1

11. y 

13. y  x 2  6 x  7

2

2

14. y  x  1  x  2


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

15. y  ( x  1) x 2  x  1
17. y 

3x 2  2 x  1
2x  3

19) y  a  3b
3 2
x

x x

2

2 3

16. y 
18) y =

(x  2)2
(x  1)3 (x  3)4

25) y  x 2  3x  2
27) y 

1

22) y  x 2 3 x 2
24) y  (x 7  x)2
26) y 

1 x
1 x

28/ y= x 1  x 2

x x

29/ y=

3x - 2
x - x+ 2
2

20) y  3 a  bx 3

21) y  (a3  b 3 ) 2
23) y 

x 2  2x  3
2x  1

x (x2- x +1)

30/ y=

31/ y = (2x+3)10

1 x
1 x

32/ y = (x2+3x-2)20

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y  3 sin 2 x. sin 3x
3) y  cos x. sin 2 x
5) y  sin 4

x
2

4

7) y  cot 3 (2x  )
9) y  
11) y 

cosx 4
 cot x
3sin3 x 3

1
(1  sin 2 2 x ) 2

2) y  (1  cot x ) 2
4) y 

1  sin x
2  sin x

6) y 

sin x  cos x
sin x  cos x

8) y  2  tan2 x
10) y  1  cos 2

x
2

12) y = sin 4 p - 3x

13) y = cos ( x3 )

14) y= 5sinx-3cosx

15) y = x.cotx

16) y  cot 3 1  x 2

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

17) y= sin(sinx)

18) y  sin2 (cos3x)

19) y  x sin x

20)

21) y  tan x  1

22) y  1  2tan x

1  tan x

2

y

sin x
x

x
sin x

Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2
c) y =

b) y =

x 1
; x0 = 0
x 1

1
; x0 = 2
x

d) y =

x - x; x0 = 2
2x 1
; x0 = 3
x 1

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1

f) y =

g) y = x.sinx; x0 = π
3

h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 = π
3

i) Cho f ( x)  3 x  1 , tính f ’’(1)

k)Cho y = xcos2x

. Tính f”(x)

l) Cho f  x    x  106 . TÝnhf ''  2

 

m) f  x   sin 3x . Tính f ''    ;f ''  0 f ''  
 2
 18 

Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
y

ax  b
cx  d

Áp dụng:

y
y

ax 2  bx  c
dx  e

3x  4
 2x  1

y

y

 x2  x  2
2x  1

ax 2  bx  c
mx 2  nx  p

y

1
4

Bài 5: Cho hai hàm số: f ( x)  sin 4 x  cos 4 x và g ( x)  cos 4 x .
Chứng minh: f '(x)  g '(x)
Bài 6:

(x ) .

Cho y  x 3  3 x 2  2 . Tìm x để:

a) y’ > 0
x  0

ĐS: a) 
x  2

b) y’ < 3
b) 1  2  x  1  2

Bài 7: Giải phương trình: f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.

b) f(x) = 3 sin x  cosx  x

x 2  3x  4
2x 2  x  3


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
Bài 8: Cho hàm số

d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

f (x)  1  x. Tính :

f (3)  (x  3)f '(3)

Bài 9:
a) Cho y =
b) Cho y =

2 x  x 2 ; chứng minh y 3 y   1  0
x3
;
x4

chứng minh2(y’)2=(y -1)y’’

cos2 x
c) Cho f(x)=
;
1  sin2 x

d) Cho hàm số: y 


4


4

c/m f ( )  3f ' ( )  3

x2  2x  2
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
2

e) Cho hàm số y = cos22x.
- Tính y”, y”’.
- Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.
Bài 10: Chứng minh rằng f '( x)  0 x   , biết:
2
3

a/ f ( x)  x 9  x 6  2 x 3  3x 2  6 x  1
x2  x

Bài 11: Cho hàm số y 
x2

b/ f ( x)  2 x  sin x

(C)

a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2

(C)

a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phtrình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 13: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y  x 3  5x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1
7

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4.
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;0).


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

x2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

x2

Bài 14: Cho đường cong (C): y 
a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1;2).
Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1) y 

x 1
x2

2) y 

2x 1
x x2
2

4) y  x x 2  1

5) y  x 2 sin x

7) y = x.cos2x

8) y = sin5x.cos2x

ĐS:
1) y '' 
2) y '' 

3) y '' 
4) y '' 

6

 x  2

3

4 x 3  10 x 2  30 x  14

x

2



x2

2x x2  3

x
x

2



1



3



3

2 x3  3x
2



1

x2  1

5) y ''   2  x 2  sin x  4 x cos x
6) y ''  4 x sin x  ( x 2  3) cos x
7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a) y 

1

x 1

b) y = sinx

3) y 

x
x 1
2

6) y  (1  x 2 ) cos x


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

ĐS: a) y  n    1

n



b) y  n   sin  x  n 
2

n!

 x  1

n 1





B. HÌNH HỌC
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 .



 

Phương pháp 2: a  b  u .v  0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
Phương pháp 3: Chứng minh a  ( )  b hoặc b  (  )  a
Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a  b  a  b ' với b’ là hình
chiếu của đt b lên mp chứa đt a).
* LƯU Ý: Trong các phương pháp trên thì phương pháp 3 là thông dụng nhất.
Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
Phương pháp 1: Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M;

a,b  (P)

Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a  (P)
Phương pháp 3: Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q).
Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q)  (R) và (Q) (P), (R)  (P).
Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
Phương pháp 1: Chứng minh (P)  a  (Q).
Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R)  (Q).
Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a  (Q).

Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là 
+) Nếu d  (P) thì  = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó:  = (d,d’)


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Dạng 6: Tính góc  giữa hai mp (P) và (Q).
Phương pháp 1:
Xác định a  (P), b  (Q).
Tính góc 

= (a,b)

Phương pháp 2: Nếu (P)  (Q) = d
Tìm (R)  d
Xác định a = (R)  (P)
Xác định b = (R)  (Q)
Tính góc  = (a,b).
Dạng 7: Tính khoảng cách.
Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d ( M , a )  MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH

Tính khoảng giữa đt  và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ).
Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a  b :
Dựng (P)  a và (P)  b
Xác định A = (P)  b
Dựng hình chiếu H của A lên b
AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
Dựng (P)  a và (P) // b.
Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’  a = H
Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 3: