de thi hk2 mon toan lop 11 truong thpt an duong vuong tphcm nam 2014 2015

Sở Giáo Dục & Đào Tạo TP. Hồ Chí Minh

KIỂM TRA HỌC KỲ II

Trường THPT An Dương Vương

Môn Toán – Khối 11. Năm học 2014 – 2015

Đề Chính Thức

Thời gian: 90 phút

A. Phần đại số (6 điểm)
Bài 1 (2,0 điểm). Tính đạo hàm các hàm số sau:
1
2
a) y  x 3 
;
b) y = cot 2 x 2 + 1 .

x

1
x

(

)

Bài 2 (1,5 điểm).
 x  6  2


a) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x = 2: f ( x )   x 2  x  6

1


b) Cho y 

khi x  2;
khi x  2.

3x  1
. Chứng minh biểu thức 2y’2  (y+3).y” không phụ thuộc vào giá trị của x.
x 1

Bài 3 (2 điểm). Cho hàm số: y = x3  3x2 + 6x  4 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) trong các trường hợp sau:
a) Tại điểm A có hoành độ bằng 1.
b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x  3 y  7  0 .
Bài 4 (0,5 điểm).
Một khối kim loại hình hộp chữ nhật có bề rộng = 4a, bề dài = 7a, chiều cao = 3a với
a = 10cm. Ở nhiệt độ thấp khối kim loại co rút với a = 0,01cm. Dùng vi phân, hãy tính
gần đúng sự suy giảm của thể tích khối kim loại.
B. Phần hình học (4 điểm)
Bài 5 (4 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân nội tiếp trong nửa đường tròn
tâm 0, đường kính là đáy lớn AD = 2a; góc BAD = 60o, SA  ( ABCD) và SA  a 6 . Kẻ AH
vuông góc với SC tại H (H  SC).
a) (1,5 điểm) Chứng minh CD  SC ; chứng minh AH  ( SCD) .
b) (1,0 điểm) Tính khoảng cách từ A và từ B đến mặt phẳng (SCD).
c) (0,75 điểm) Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBD).

d) (0,75 điểm) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) và tính góc
giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
-----Hết-----


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA CUỐI KỲ II – MÔN TOÁN – KHỐI 11
NỘI DUNG

ĐIỂM

Bài 1.

1đ

a) y ' = 3x 2 +

1
2x

3/ 2

2
( x - 1)2

Điểm chi tiết: đúng 1 số hạng: 0,25Đ, đúng 2 số hạng: 0,5Đ
b) y ' =

(cot (2 x2 + 1))'
(

)

2. cot 2 x 2 + 1
- 1

y'=

05đ

2

2

sin (2 x + 1)

0.25đ+

.(2 x 2 + 1) '

(

)

2. cot 2 x 2 + 1

=

x2 x 2  x  6

x2

x  2 ( x  3).



1

(

)

sin 2 (2 x 2 + 1). cot 2 x 2 + 1

x  6  2

Bài 2. a) lim f ( x )  lim
= lim

- 2x

 lim

0,25đ

.

(  x  6)  4

x  2 ( x  3)( x  2).



x  6  2

1

20
x  6  2



0.25đ
0.25đ



Vậy : lim f ( x )  f (2) nên f(x) không liên tục tại x = 2.

0.25d

4
3x  1
4
.=3+
=> y’ =
x 1
x 1
  x  12

0.25d

x2

b) y 

=> y” =

8

0.25đ

  x  13

nên 2y’2  (y+3).y” = 0, không phụ thuộc vào giá trị của x.

0.25đ

Bài 3. a) Hàm số: y = x3  3x2 + 6x  4 có y’(x) = 3x2  6x + 6 .
x0 = 1 => y’(1) = 15; y(1) = 14.

0.25đ
0.25đ

Suy ra: (d): y = y’(1).(x+1)+y(1)

0.25đ

y = 15.(x+1)  14 = 15x + 1

0.25đ

b) Đường thẳng x  3 y  7  0 có hệ số góc k1 = 1/3.

0.25đ

(d)  x  3 y  7  0  k.k1 =  1  k = f’(x0) = 3.

0.25đ

Giải phương trình f’(x0) = 3 được x0 = 1.

0.25đ

Với x0 = 1, ta có d2: y = 3(x  1) + 0 = 3x  3.

0.25đ


Bài 4.

0,25đ

Thể tích khối kim loại V(a) = 4a.7a.3a = 84a3 ; V’(a) = 252a2.
V  dV = V’(a). a = 252.102.(0,01) = 252 cm2.

0,25đ

Bài 5.

a) CD  AC (ACD nội tiếp trong nửa đường tròn) (0,25 đ), CD  AS (do AS 

1.5đ

(ABCD) ) (0,25 đ)
nên CD  (ASC) (0,25 đ); Từ đó, CD  SC (0,25 đ) .
CD  (ASC) nên CD  AH (AH  (ASC) (0,25 đ); Đề cho SC  AH nên AH 
SCD (0,25 đ).
b) Theo câu a) AH  (SCD) nên d(A, (SCD)) = AH (0.25đ).
· = 600 nên tam giác ABO cân tại O là một tam giác đều, suy ra AB = a.
BAD

0.75 đ

Hình thang ABCD cân nên CD = AB = a. Tam giác vuông ACD cho ta AC = a 3 .
Tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao nên
1

1
1
=
+
Þ AH = a 2 . Vậy d(A, (SCD)) = a 2
AH 2 SA2 AC 2

(0,5 đ)

· = 600 nên BC = a ; Do BC = OD (cùng = a) nên BODC là hình bình hành
BOC

(thực ra là hình thoi) , suy ra BO // CD, nên BO // (SCD).

Suy ra d(B, (SCD)) = d(O, (SCD)).
Mà AO cắt (SCD) tại D nên:

0. 25đ


d (O;(SCD ))
d ( A;(SCD ))

=

OD 1
1
a 2
= Þ d (O;(SCD )) = d ( A;(SCD )) =
AD 2
2
2

(0,25đ)

c) Kẻ AK  SB (K  SB).

0.5đ

Tương tự câu a, ta được AK  (SBD) nên hình chiếu của SA lên (SBD) là SK. Vậy
ASK = ·
ASB
góc giữa SA và (SBD) là ·
DSAB vuông tại A :

1

1
1
6
=
+
Þ AK = a
.
2
2
2
7
AK
SA
AB

0.25đ

6
AK
7
7 = 7 Þ SA
·,( SBD ) = ·
sin ·
ASK =
=
ASK = arcsin
» 22012 ') .

(
SA
7
7
a 6
a

ASB =
Cách khác: tan ·

AB
a
6
6
=
=
Þ (·
SA,( SBD ) = ·
ASB = arctan
» 22012 ')
(
SA a 6
6
6

d) AD // BC nên AD // (SBC), suy ra d(AD, (SBC)) = d(A, SBC)).

0.25đ

Trong (ABCD) kẻ AE  BC; dễ thấy BC  (SAE) .

Từ A kẻ AF  SE, ta sẽ có AF  ( SBC) nên d(A, (SBC)) = AF.
· = 30o , suy ra AE = a 3 .
Ta có: BAE

0.25đ

2

D SAE vuông tại A :

1
1
1
a 6
.
=
+
Þ d ( A,( SBC )) = AF =
2
2
2
AF
AE
AS
3

Hai đt BC, AD song song nhau và cùng  (SAE) nên giao tuyến của (SBC) và (SAD)
là đường thẳng t’St qua A và  (SAE). Do đó góc giữa hai mp (SAD) và (SBC) là góc
ASE.
3

AE
2
2 = 2 Þ (·
ASE =
=
SAD,( SBC ) = ·
ASE = arctan
» 19028') .
Nên: tan ·
(
SA
4
4
a 6
a

0.25đ