de thi hsg mon toan lop 10 so gd dt hai duong nam hoc 2016 2017

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

HẢI DƯƠNG

LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2016 - 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 05/4/2017
(Đề thi gồm 01 trang)

Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = -x2 + 2(m + 1)x + 1 - m2 (1), (m là tham số).
1) Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B sao
cho tam giác KAB vuông tại K, trong đó K(2; -2)
2) Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.
Câu II (3,0 điểm)
 x 2 y  2 y  x  4 xy

1) Giải hệ phương trình  1
1 x
 x 2  xy  y  3


2) Giải phương trình ( x  3  x  1)( x 2  x 2  4 x  3)  2 x

3) Giải bất phương trình (x2 - 3x + 2)(x2 - 12x + 32) ≤ 4x2
Câu III (3,0 điểm)
1) Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh CD; N là điểm thuộc cạnh AD
sao cho AN 
Tính tỉ số

1
AD . Gọi G là trọng tâm tam giác BMN, đường thẳng AG cắt BC tại K.
3

BK
.
BC

2) Cho tam giác ABC không có góc vuông và có các cạnh BC  a , CA  b, AB  c .
Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn a 2  b 2  2c 2 và tan A  tan C  2 tan B
thì tam giác ABC đều.
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại C và có diện tích bằng 10. Đường
thẳng AB

có phương trình x  2 y  0 . Điểm I  4; 2 

là trung điểm cạnh AB, điểm


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí
 9
M  4; 
 2

thuộc đường thẳng BC . Tìm tọa độ các điểm A, B, C biết điểm B có tung

độ là số nguyên.
Câu IV (1,0 điểm)
Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện tích 5 ha. Để chăm
bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh. Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần
dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50 triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha
cần dùng 5 tấn phân vi sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi
loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết rằng số
phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.
Câu V (1,0 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P

ab
bc
ca


a 2  ab  bc b 2  bc  ca c 2  ca  ab


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM

HẢI DƯƠNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10
THPT – NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)

Câu
Câu
I.1

Nội dung
Cho hàm số y   x 2  2(m  1) x  1  m 2

Điểm
(1) (m là tham số).

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân
biệt A, B sao cho tam giác KAB vuông tại K , trong đó K (2; 2) .
Phương trình hoành độ giao điểm
 x 2  2(m  1) x  1  m 2  0  x 2  2(m  1) x  m 2  1  0

(2)

0,25

Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ
khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt
  '  0  ( m  1) 2  m 2  1  0  2 m  2  0  m  1 .

0,25

Gọi các nghiệm của phương trình (2) là x1 , x2 .
Tọa độ các giao điểm A, B là A( x1;0), B ( x2 ;0) ;


KA  ( x1  2; 2), KB  ( x2  2; 2) .
 
KA  KB  KA . KB  0  ( x1  2)( x2  2)  4  0  x1x2  2( x1  x2 )  8  0
m  1
 m 2  1  2.2(m  1)  8  0  m 2  4m  3  0  
.
m  3

Kết hợp điều kiện m  1 , ta được m  1, m  3 .
Câu

0,25

0,25

Tìm giá trị của m để hàm số (1) có giá trị lớn nhất bằng 6.

I.2
y  x2  2(m  1) x  1  m2  y  x2  2(m  1) x  (m  1)2  (m  1)2  1  m2
 y   ( x  m  1) 2  2m  2 .

0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

 y  2m  2 .

0,25

Dấu "  " xảy ra khi x  m  1 . Giá trị lớn nhất của hàm số là 2m  2 .

0,25

Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 khi 2m  2  6  m  2 .

0,25

Câu

 x 2 y  2 y  x  4 xy (1)

1 x
1
(2)
 x 2  xy  y  3


Giải hệ phương trình

II.1

Điều kiện x  0, y  0 .
Chia hai vế của (1) cho xy ta có phương trình x 

0,25

2 1
  4.
x y

1
1 x
1 1 1  x
1 1 1 
   3      3    
2
x
xy y
x x y  y
x x y 

1 1 
x    4
y x

1  1 1 

  x      4
x  y x 


0,25


2 1

1 1 1

 1
 x        4  x   2
x  x  y  4
x  x y
x



Ta có hệ 


 x  1   1  1   4  x  1   1  1   4
1  1  2






 x y
x  y x 
x  y x 


0,25

1


 x2  2x  1  0
 x  x  2
x  1


 1 1

.
y 1
1  1  2
x  y 2

 x y

0,25

Câu

Giải phương trình

II.2







x  3  x  1 x 2  x 2  4x  3  2x

Điều kiện x  1 . Với x  1  x  3  x  1  0 .







x  3  x  1 x2  x2  4 x  3  2 x







x  3  x  1 x2  x2  4 x  3

 x2  x2  4 x  3  x.





x  3  x 1



x  3  x  1  2x





x  3  x 1


0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

 x 2  x x  3  ( x  3)( x  1)  x x  1  0
x  x  3  0
 x  x  3 x  x 1  0  
 x  x  1  0



Câu
II.3





0,25

x  0
x  0

1  13
x  x 3  0  x 3  x  

x
 2
2
2
x  3  x
x  x  3  0

0,25

x  0
x  0
1 5
x  x 1  0  x 1  x  
 2
x
2
2
x  1  x
x  x 1  0

0,25

Giải bất phương trình ( x 2  3 x  2)( x 2  12 x  32)  4 x 2

(1)

( x 2  3 x  2)( x 2  12 x  32)  4 x 2

  x  1 x  2  x  4  x  8   4 x 2  x  2 x  4 x  1 x  8  4 x 2
  x 2  6 x  8  x 2  9 x  8   4 x 2

(2)

0,25

Xét x  0 , thay vào bất phương trình (2) không thỏa mãn.

0,25

Xét x  0 , chia hai vế của (2) cho x 2 ta được bất phương trình

x

2

 6x  8  x2  9x  8 
8
8



.
 4   x  6  x  9   4
x
x
x
x





Đặt t  x 

8
, có bất phương trình
x

0,25

 t  6  t  9   4  t 2  15t  54  4  t 2  15t  50  0  5  t  10 .
 x2  5 x  8
8

x  0
x


5
0




x
x
5  t  10  
 2
  x  0

 x  8  10  x  10 x  8  0  5  17  x  5  17



x
x
 5  17  x  5  17

Câu
III.1

Cho hình bình hành ABCD . Gọi M là trung điểm cạnh CD ; N là
điểm thuộc cạnh AD sao cho AN 

1
AD . Gọi G là trọng tâm tam
3

0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

giác BMN , đường thẳng AG cắt BC tại K . Tính tỉ số

BK
.
BC

   

3AG  AN  AM  AB
1  1    5  1  
 AD  AD  AC  AB  AD  AC  AB
3
2
6
2







5
1
3
4 
 AD  AB  AD  AB  AB  AD
6
2
2
3
 1  4 
 AG  AB  AD
2
9

    
 


Đặt BK  xBC  AK  AB  BK  AB  xBC  AB  x AD









0,25
0,25

Ba điểm A, G , K thẳng hàng nên

  
 1  4     m  4m 
AK  mAG  AB  xAD  m AB  AD   AB  xAD  AB  AD
9
2
9
2

 m
m  2
1  2


 8

x  4m x  9

9
 8 
BK 8
 BK  BC 

9
BC 9

Câu

Cho tam giác ABC không có góc vuông và có các cạnh

III.2

BC  a , CA  b, AB  c . Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thỏa mãn

0,25

0,25

a 2  b 2  2c 2 và tan A  tan C  2 tan B thì tam giác ABC đều.
a
sin A
abc
tan A 
 2 2R

2

2
cos A b  c  a
R b2  c2  a 2 
2bc
abc
abc
tan B 
, tan C 
2
2
2
2
R c  a  b 
R a  b 2  c 2 
 tan A  tan C  2.tan B 

abc
abc
abc


2.
R b2  c2  a2  R  a2  b2  c2 
R  a2  c2  b2 

0,25

0,25

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí


1
1
1
 2
 2. 2 2 2 .
2
2
2
2
b c a
a b c
a c b
2

  c 2  a 2  b 2  a 2  b 2  c 2   b 2  c 2  a 2 a 2  c 2  b 2
 2  b 2  c 2  a 2  a 2  b 2  c 2 



 a 4   b 2  c 2   c 4  a 2  b 2   2 b 4  a 2  c 2
2

2



2





0,25

 a 2  a 2  b 2  2c 2   c 2  b 2 c 2  2b 2   0 .

0,25

Kết hợp với a 2  b 2  2c 2  a  b  c . Vậy tam giác ABC đều.
Câu

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại C và có diện tích

III.3

bằng 10. Đường thẳng AB có phương trình x  2 y  0 . Điểm



9

là trung điểm cạnh AB , điểm M  4; 
2


I  4; 2 

thuộc đường thẳng BC . Tìm

tọa độ các điểm A, B, C biết điểm B có tung độ là số nguyên.
B  AB  B  2b; b  , (b  )  A 8  2b; 4  b  ; AB  20 b  2

Phương trình CI : 2 x  y  10  0
C  CI  C  c ;10  2c   CI  5 4  c .
bc  4b  2c 61
1
SABC  CI.AB 10  4b  2c bc 8  2 
2
bc  4b  2c 102

0,25

 
11   
9
CM   4  c; 2c   , MB   2b  4; b  
2
2


4  c  k  2b  4
  
M  BC  k   | CM  kMB  
11  9   2bc  6b  5c 16  0
2c  2  k  b  2 




b  1  2

Từ 1 ,  3   

b  1  2

Từ

( không thỏa mãn).

b  3
 A 2;1 , B 6;3 ; C 2;6  .
c  2

 2  , 3  

3

0,25

0,25
0,25


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Câu
IV

Một nông trại dự định trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất có diện
tích 5 ha. Để chăm bón các loại cây này, nông trại phải dùng phân vi sinh.
Nếu trồng cà rốt trên 1 ha cần dùng 3 tấn phân vi sinh và thu được 50
triệu đồng tiền lãi. Nếu trồng khoai tây trên 1 ha cần dùng 5 tấn phân vi
sinh và thu được 75 triệu đồng tiền lãi. Hỏi nông trại cần trồng mỗi loại
cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tổng số tiền lãi cao nhất? Biết
rằng số phân vi sinh cần dùng không được vượt quá 18 tấn.
Giả sử trồng x(ha ) cà rốt và y (ha ) khoai tây.
Điều kiện : x  0, y  0 và x  y  5
Số

phân vi sinh cần dùng là: 3 x  5 y (tấn)

0,25

Ta có 3 x  5 y  18
Số tiền thu được là T  50 x  75 y (triệu đồng).
Ta cần tìm x, y thoả mãn:

 x  0, y  0

x  y  5
3 x  5 y  18


(I)

0,25

sao cho T  50 x  75 y đạt giá trị lớn nhất.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng

d1 : x  y  5; d 2 : 3x  5 y  18
Đường thẳng d1 cắt trục hoành tại điểm C (5;0) , cắt trục tung tại điểm

E (0;5) .
Đường thẳng d 2 cắt trục hoành tại điểm D (6;0) , cắt trục tung tại điểm

 18 
A  0;  .
 5

0,25

7 3
2 2

Đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau tại điểm B  ;  .


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền đa giác

OABC .

x  0
x  0
x  5


T  0; 
 T  250 ; 

18  T  270 ;
y

0
y

0
y




5
7

x


2
 T  287,5

3
y 

2

0,25

Vậy để thu được tổng số tiền lãi cao nhất thì nông trại trồng 3,5 ha cà
rốt và 1,5 ha khoai tây.
Câu

Cho các số thực dương a, b, c . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

V

P
P

1

a
c
1
b
a



ab
bc
ca
 2
 2
a  ab  bc b  bc  ca c  ca  ab
2

1

b
a
1
c
b



1

c
b
1
a
c

.

Đặt x 

3

a
b
; y  3 ;z 
b
c

3

c
a

1
1
1
 3
 3
Ta có P  3 3
với x, y , z dương và
3
x  z  1 y  x  1 z  y3  1

0,25

xyz  1 .
x 3  y 3  ( x  y )  ( x  y )2  xy   ( x  y ) xy  x 3  y 3  1  1  ( x  y ) xy
 x 3  y 3  1  ( x  y ) xy  xyz  xy ( x  y  z )
1
1
 3

3
x  y  1 xy ( x  y  z )

0,25

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Tương tự
P

1
1
1
1


; 3
3
3
y  z  1 yz ( x  y  z ) z  x  1 xz ( x  y  z )
3

1
1
1
1



1
xy ( x  y  z ) yz ( x  y  z ) zx ( x  y  z ) xyz

Dấu "  " xảy ra khi x  y  z  1  a  b  c .
Vậy giá trị lớn nhất của P là 1 .
Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

0,25

0,25