de thi hsg mon toan lop 10 truong thpt con cuong nghe an nam 2015 2016

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG KHỐI 10

TRƯỜNG THPT CON CUÔNG

NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1. (5,0 điểm) Cho phương trình:

 m  2  x 2   2m  1 x  3m  3  0

(1)

a) Giải phương trình (1) khi m  3
b) Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m sao cho

 2m  1 x1   m  2  x22  m  2
Câu 2. (3,0 điểm) Giải phương trình:

x x 1 





x  1 . 2 x 2  3x  2
1





Câu 3. (2,0 điểm) Cho a, b là các số thực thỏa mãn: a, b   ;2  và a  b  4ab . Tìm giá trị lớn
4
nhất của biểu thức:

P  a  b  2a  b
2

Câu 4. (3,0 điểm) Cho sin   cos  

6
 
,    0;  . Tính giá trị biểu thức sau:
2
 4



P  cos      2 1  sin cos   sin   cos  
4

Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC . Điểm M thuộc cạnh BC sao cho MC  3MB , I là điểm
thuộc đoạn AM sao cho AI  3IM . Xác định điểm K thuộc cạnh AC sao cho ba điểm B, I , K
thẳng hàng.

Câu 6. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A  2;6  , đường phân

 3
 2
ngoài tiếp tam giác ABC có phương trình: x 2  y 2  x  2 y  30  0 .

giác trong của góc A cắt cạnh BC tại D  2;-  . Viết phương trình cạnh BC . Biết đường tròn

---- Hết ---Họ tên thí sinh:............................................................. Số báo danh:...................................


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Nội dung

Câu
1.
a) Giải phương trình (1) khi m  3
Khi m  3 PT (1) có dạng: x 2  7 x  6  0
Ta có: a  b  c  0
PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1  1 và x2  6
b) Tìm giá trị m thỏa mãn

m  2  0
a  0

2
  0  2m  1  4  m  2  3m  3  0

Để PT(1) có 2 nghiệm  

m  2
m  2




10  3 6
10  3 6 (*)
2

m

  8 m  40 m  23  0


4
4
2m  1
3m  3
Theo hệ thức Viet ta có: x1  x2 
và x1 x2 
m2
m2
2
Theo bài ra:  2m  1 x1   m  2  x2  m  2   x1  x2  x1  x22  1

Điểm
5,0

1,5
0,5
0,5
0,5
3,5
0,5

1,0

0,5
0,5

2

9
 2m  1  3m  3

 1  17 m  9  m 
(Không thỏa mãn)
 
m2
17
 m2 
Vậy không có giá trị m thỏa mãn bài toán.
2. Giải phương trình:

0,5
0,5
3,0

ĐK: x  0

x 1

Trên ĐK đó PT  

 x  x  1  2 x  3 x  2 1

0,5

2

Giải PT(1). Ta nhận thấy x  0 không là nghiệm của PT (1) nên
PT (1) 
Đặt t 

x

x

1
1

 1  2 x    3
x
x


0,5

1
; ĐK: t  2
x

0,5

t  4
t  2 (Loại)

Ta được PT: t  1  2t 2  7  t 2  2t  8  0  

0,5

1
 4  x  4 x 1 0  x  2  3  x  7  4 3
x
Vậy PT đã cho có ba nghiệm: x  1 và x  7  4 3

1,0

Khi t  4 ta có

x


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2,0

Ta có: P   a  b   2  a  b    a  b   3  a  b 
2

Đặt: t  a  b 

2

0,5

1
. Khi đó: P  f (t )  t 2  3t
2

Theo bài ra: a  b  4ab   a  b   a  b  1  t  1 (do a  b 
2

a, b   0;2   a  2  b  2   ab  2  a  b   4  0

1
)
2
0,5

ab
16
16
 2a  b  4  0  a  b   t 
4
7

7
 16 
Xét hàm số: f (t )  t 2  3t trên đoạn 1; 
 7


Ta có bảng biến thiên:

t

3
2

1

0,5

80

49

2

f (t )

Vậy maxP  

16
7

9
4

80
2
2
khi a  2; b  hoặc a  ; b  2
49
7
7

0,5

4. Tính giá trị của biểu thức




Ta có: cos   

3,0



1


 sin   cos 

4

2

2 1  sin cos   sin   cos   
P

1,0

1  sin   cos 

2

1
 sin   cos   sin   cos  1
2

0,5

Theo bài ra:  sin   cos     sin   cos    2   sin   cos   
2

2

1
 
Do    0;   sin   cos   0  sin   cos   
2
 4
3 2
Vậy: P 
2

5. Xác định điểm K
   


Đặt: AB  a ; AC  b và AK  t. AC

2

1
2

1,0

0,5
4,0
0,5


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí







Khi đó: BK   a  t.b
Ta có:

0,5

 3  3    1 
AI  AM  AB  BM ; BM  BC
4
4
4
 9  3 
1  
 AC  AB  AI  a  b
4
16
16
   9  3  
7  3
Mà BI  AI  AB  a  b  a   a  b
16
16
16
16
Để ba điểm B, I , K thẳng hàng thì




 7  3 
 m : BK  mBI   a  t.b  m   a  b 
16 
 16
7m
16




1


m



16
7


t  3m
t  3
 16
 7
 3 
3
Suy ra AK  . AC  AK  . AC
7
7
3
Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho AK  . AC
7
6. Viết phương trình cạnh BC







A



1,0

K
I
B

M

C

0,5

0,5

1,0
3,0

 1 
 2 

Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I   ;1

0,5

Phương trình đường thẳng AD : x  2  0

0,5

Giao điểm E khác A của AD với đường tròn (C) là nghiệm của hệ:

A

 x  2  0
 x  2; y  4

 2
 x  2; y  6  E  2; 4 
2
4
x

4
y

4
x

8
y

120


0



  CAE
 (do AD là phân giác)
Mặt khác: BAE

B

  EC
  IE  BC
 EB
  5
2




1,0
I
D

C

0,5

E



Mà IE   ; 5   cạnh BC có vtpt n  1; 2 

3

Phương trình cạnh BC: 1 x  2   2  y    0  x  2 y  5  0
2


0,5


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Một số điểm lưu ý:
Học sinh có thể giải cách khác đáp án nếu đúng cho điểm tương ứng như trong đáp án đã nêu.
Cách giải khác Câu 3: (Dồn biến theo tích a.b)
Ta có: P   a  b   2  a  b   16  ab   12ab
2

Đặt: t  ab 

2

1
. Khi đó: P  f (t )  16t 2  12t
16

Theo bài ra: 4ab   a  b   16  ab   ab 
2

2

1
1
1
 t  (do ab  )
4
4
16

a, b   0;2   a  2  b  2   ab  2  a  b   4  0
 ab  8ab  4  0  ab 

4
4
t 
7
7
1 4

Xét hàm số: f (t )  16t 2  12t trên đoạn  ; 
4 7
Ta có bảng biến thiên:

t

1
4

3
8


2

f (t )

Vậy maxP  

4
7
80
49

9
4

80
4
2
2
khi t   a  2; b  hoặc a  ; b  2
49
7
7
7

Cách giải khác Câu 5: (Bằng cách sử dụng định lí Menelaus)
Định lí (Menelaus): Là định lí không quen thuộc trong chương trình giáo khoa THCS.

Vì vậy yêu cầu học sinh cần nêu rõ tên và nội dung của định lí như dưới đây (không cần chứng
minh).
Định lí (Menelaus): Cho tam giác ABC, ba điểm M,N,P lần lượt nằm

A

K
I
B

M

C


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

trên các đường thẳng AB, BC, CA. Nếu M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi

MA NB PC
.
.
1
MB NC PA

Áp dụng định lí (Menelaus) cho tam giác AMC ta có ba điểm I,B,K lần lượt nằm trên ba đường
thẳng AM, MC, CK.
Khi đó I, B, K thẳng hàng khi và chỉ khi

Mà IA  3IM 

IA BM KC
.
.
1
IM BC KA

IA
BM 1
 3 ; MC  3MB 

IM
BC 4

1 KC
3
 1  AK  .KC
4 KA
4

Từ đó ta có: 3. .

3
4

Vậy điểm K thuộc cạnh AC sao cho AK  .KC
Cách khác câu 5: (giải theo CT lớp 9)

A

Kẻ MN // BK , N thuộc AC

K

CM CN
Theo định lí Talet trong tam giác CBK ta có:

3
MB NK
Theo định lí Talet trong tam giác AMN ta có:

Từ đây suy ra:

AI AK

3
IM KN

AK CN

 3  AK  CN  3 NK
KN NK

Mà CK  CN  NK  4 NK
Suy ra:

AK 3

CK 4

------------ Hết ----------

N

I
B

M

C