Thư viện tài liệu | Giáo dục và Đào tạo Quế Sơn - Quảng Nam

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN – Lớp 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (1,5 điểm):

a) Cho A = 31 + 32 + 33 + ... + 32015. Tìm n biết rằng: 2A + 3 = 3n.
b) Cho S1 = 1; S2 = 2 + 3; S3 = 4 + 5 + 6; ... Hãy tính S100.
Bài 2 (1,5 điểm):
3a  4b 3c  4d
a c

. Chứng minh rằng:  .
5a  6b 5c  6d
b d
a1 a2 a3
a
   ...  9 .
b) Cho dãy tỷ số bằng nhau:
a2 a3 a4
a10

a) Cho tỷ lệ thức

9

�a  a  ...  a9 � a1
Chứng minh rằng: � 1 2
�
�a2  a3  ...  a10 � a10
Bài 3 (2,0 điểm):
Tìm x biết:
a) 3x  3x 1  3x  2  3x 3  3240
2
2
b) 4 x  3x  2  4 x  2 x  3

Bài 4 (2,0 điểm):
x 2  15
Cho A = 2
.
x 3

a) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
b) Tìm giá trị lớn nhất của A khi x thay đổi.
Bài 5 (3,0 điểm):
Tam giác ABC vuông cân tại A có AD là trung tuyến. Trên đoạn thẳng DC lấy
điểm H. Hạ BE và CF vuông góc với đường thẳng AH (E, F thuộc đường thẳng AH)
a) Chứng minh BE = AF.
b) Gọi G là giao điểm của AD và BE. Chứng minh rằng GH song song với AC.
c) Chứng minh tam giác DEF vuông cân tại D.
d) Chứng minh HE > HD.


KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8
NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN – Lớp 7

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1(1,5 điểm):

2A + 3 = 3A – A + 3 = 32 + 33 + ... + 32016 – (31 + 32 + 33 + ... + 32015) + 3
= 32016.
32016 = 3n  n = 2016
S1 + S2 + S3 + ... + S99 = 1 + 2 + 3 + ... + n
trong đó n = 1 + 2 + 3 + ... + 99 = 99(99+1):2 = 4950.
S100 = (4950 + 1) + (4950 + 2) + ... + (4950 + 100)
= 4950.100 + (1 + 2 + 3 + ... + 100)
= 495000 + 5050 = 500050

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 2(1,5 điểm):

 3a  4b   5c  6d    3c  4d   5a  6b 
15ac  18ad  20bc  24bd  15ac  18bc  20ad  24bd
38bc  38ad
a c

ad = bc  
b d
a1 a1  a2  ...  a9
 
(Tính chất dãy tỷ số bằng nhau).
a2 a2  a3  ...  a10
9

0,25
0,25
0,25
0,25

9

�a � �a  a  ...  a9 �
 � 1 � � 1 2
�
�a2 � �a2  a3  ...  a10 �

0,25

9

�a � a a a
a
Có: � 1 � 1 . 2 ... 9  1  đpcm
�a2 � a2 a3 a10 a10

0,25

Bài 3(2,0 điểm):
3x  3.3x  9.3x  27.3x  3240
x

3 (1 + 3+ 9 + 27) = 3240
3x = 3240: 40 = 81
3x = 34 x = 4.
2
2
2
Vì 4 x  3x  2 ≥0 nên được: 4 x  3x  2  4 x  2 x  3
3x  2  2 x  3

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

3x  2  2 x  3
�
được x = 1
3 x  2 �0
�

0,25

3 x  2  2 x  3

�
được x = -1
3x  2  0
�

0,25

Giải: �

Giải: �


Bài 4(2,0 điểm):
x 2  3  12
12

1

x2  3
x2  3
12
Để A nguyên thì 2
nguyên  x2 + 3 là ước của 12
x 3
A=

(*)

x2 + 3 ≥ 3 nên x2 + 3 { 3; 4; 6; 12}
x  Z được x = 0; x = ±1; x = ±3

Từ (*) được A lớn nhất khi

12
lớn nhất
x 3
2

12
lớn nhất khi x2 + 3 nhỏ nhất
x 3
2

x2 ≥ 0 nên x2 nhỏ nhất khi x = 0
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 + 12:3 = 5 khi x = 0

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

Bài 5(3,0 điểm):

Hai tam giác vuông EBA và FAC bằng nhau vì:
- AB = AC (ABC cân tại A)
� = FAC
�

�
- EBA
(Cùng phụ với BAE
)
 BE = AF.
Tam giác ABH có AD, CE là các đường cao  HG là đường cao thứ ba
 HG AB  HG song song với AC
� = DCF
�
� �
Chứng tỏ được: DAE
(cùng phụ với cặp góc: FHC
AHD )
Từ ABC vuông cân chứng minh được AD = CD
Từ a) có AE = CF
 DAE = DCF
(*)
 DE = DF  DEF cân tại D.
� = CDF
� .
Từ (*) có ADE
�
�
 EDF
 �
ADC � EDF
 900 . Vậy DEF vuông cân tại D.
�
Từ c) được DEH
 450

�
�
EHD
 900 � EDH
 450
�
� � HE  HD (Quan hệ cạnh đối diện)
� EDH
 DEH

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25