Tham khao bai hinh trong de on thi hoc ki 1q3

KienThiet
Bài 3:Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 6cm.Đường trung trực của OB cắt
đường tròn (O) tại C,D, Cắt AB tại I.Vẽ đường kính CE của (O).Tính Độ dài dây
cung DE của (O)?
Ta có CD⊥ AB
⇒ IC=ID và OC=OE
⇒ ED=2OI =OB= = = 3 (cm)
Lê Lợi
Bài 5: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB và C thuộc
đường tròn (O).C khác A,B. Vẽ OH vuông góc với dây AC tại H.
a) Chứng minh H là trung điểm của AC và OH / / BC
b)Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OH tại D. Chứng minh đường thẳng DA là tiếp
tuyến tại A của (O)?
c) Chứng minh: (DH/OH) = (DA/OA)
a) H là trung điểm của AC và OH / / BC
Ta có OH⊥ AC ⇒ H là trung điểm của AC
mà ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) có AB là đường
kính ⇒ ∆ABC vuông tại C ⇒ BC⊥ AC⇒ OH//BC
b) DA là tiếp tuyến tại A của (O)
Ta có OC = OH.OD = OA ( vì OA=OC=R) ⇒ ∆DAO∽∆AHO(c.g.c)
⇒ ∠DAO= ∠AHO = 90 ⇒ DA⊥ AB và OA=R ⇒ DA là tiếp tuyến với (O) tại A.
c) DH/OH = (DA/OA)
DA = DH.DO và OA = OH.DO (hệ thức lượng trong ∆ADO vuông có AH⊥ DO)
⇒ = = (đpcm)
Lê Quí Đôn
Bài 9: Cho đường tròn (O;R) và S nằm ngoài (O). Vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB đến (O)
với A,B là 2 tiếp điểm.
a) Chứng minh S,A,O,B cùng nằm trên 1 đường tròn, Xác định tâm I của đường
tròn này?
b) Chứng minh SO vuông góc AB.
c) Lấy C thuộc (O), C nằm trên nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa S.

Gọi D,E,F lần lượt là hình chiếu của C lên AB,SA,SB. Chứng minh
∠DCE=∠DCF
d) Kẻ đường kính AK của (O). gọi M là hình chiếu của B trên AK và N là giao
điểm của SK và BM.Chứng minh N là trung điểm của BM.
e) Chứng minh SE +AD +BF = SF +BD +AE và xác định vị trí của S sao cho
x = SE +AD +BF nhỏ nhất


a) S,A,O,B cùng nằm trên 1 đường tròn, Xác định tâm I của đường tròn
SA⊥ OA và SB⊥ OB ⇒ ∠SAO=∠SBO = 90
⇒ ∆SAO vuông tại A và ∆SBO vuông tại B
⇒ ∆SAO và ∆SBO nội tiếp đường tròn đường kính SO
⇒ Tâm I là trung điểm của SO.
b) SO⊥ AB
Ta có SA=SB và OA=OB=R ⇒ SO là đường trung trực AB ⇒ SO⊥ AB
c) ∠DCE=∠DCF
CF⊥ SB,CE⊥ SA và CD⊥ AB ⇒ ∠ADC=∠AEC=∠CFB=∠CDB=90
⇒ ∠ADC+∠AEC=∠CFB+∠CDB=180
⇒ ∠DCE+∠SAB=∠DCF+∠SBA=180
Mà ∆SAB cân tại S (vì SA=SB) ⇒ ∠SAB = ∠SBA ⇒ ∠DCE=∠DCF
d) N là trung điểm của BM
∆NMK∽∆SAK(g.g) ⇒ = = ⇒ =
∆BMK∽∆SAO (g.g) ⇒ = = ⇒ BM = 2NM
Vậy N là trung điểm của BM.
e) Chứng minh SE + BF + AD = SF + BD + AE :
Ta có SE +EC = SC = SF +FC ⇔ SE +AC -AE = SF +BC -BF
⇔ SE +AD +DC -AE = SF +BD +DC -BF
⇔ SE +AD +BF = SF +BD +AE (đpcm)
xác định vị trí của S sao cho x = SE +AD +BF nhỏ nhất
⇒ 2x= 2(SE +AD +BF ) = SE +AD +BF +SF +BD +AE

⇔ 2x = (SE +AE )+(AD +BD )+(BF +SF )
Áp dụng BĐT: a + b ≥
,ta được:
(SE +AE )≥ ;(AD +BD )≥ ; (BF +SF )≥
⇒ 2x ≥ + + ⇔ x ≥
Minx = ⇔ SE=EA, AD=BD, BF=SF⇔ C là giao điểm 3 đường trung trực của
∆SAB ⇔ C là trung điểm cung AB không chứa điểm K ⇔ C ≡ I
⇔ OI=R⇔ SO=2R.
Vậy điểm S cách tâm O của đường tròn (O) là 2R.


Bạch Đằng
Bai 8: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ các
tiếp tuyến AB, AC của (O) (B và C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.
a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính BK của (O). Gọi Q là giao điểm của AK với (O). Tia KC cắt tia
BQ tại I, AK cắt BC tại M. Chứng minh: MI//AB.
c) Gọi V là hình chiếu của I lên KB. Chứng minh: M là trung điểm của VI.

a)A,B,C,O cùng thuộc đường tròn:
AB⊥OB và AC⊥OC⇒∠ABO=∠ACO=90°⇒△ABO vuông tại B và △ACO vuông
tại C ⇒△ABO và △ACO nội tiếp đường tròn đường kính OA
Vậy 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA.
b)MI//AB:
△BCK và △BQK nội tiếp đường tròn (O) có BK là đường kính
⇒△BCK vuông tại C và △BQK vuông tại Q ⇒ ∠BCK=90° và ∠BQK=90°
⇒BC⊥IK và KQ⊥BI⇒M là trực tâm của △BIK⇒MI⊥BK mà AB⊥BK⇒MI//AB
c)M là trung điểm của VI:
△IVK∽△ABO(g.g) ⇒VI/AB=VK/OB
MI//AB và AB⊥BK⇒MI⊥BK và VI⊥BK

⇒M, I, V thẳng hàng ⇒MV⊥BK
△MVK∽△ABK(g.g) ⇒ MV/AB=VK/BK=VK/2OB(vì BK=2OB)
⇒2MV/AB=VK/OB ⇒VI/AB=2MV/AB ⇒VI=2MV
Vậy M là trung điểm VI
Bàn Cờ
Bài 7: Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O)
(B và C là 2 tiếp điểm). Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OC; qua A vẽ đường
thẳng vuông góc với AC, Hai đường thẳng này cắt nhau tại D.
a) Chứng minh OA đi qua trung điểm H của BC và 5 điểm A, D, B, O, C cùng
nằm trên một đường tròn.


b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OD và AH. Chứng minh : MN⊥ CN.
c) OD cắt AB tại E. Chứng minh: OE.OD + AE.AB = OA .
a) AB = AC và OB = OC = R ⇒OA là đường trung trực của BC
⇒ OA⊥BC và HA =HC⇒ H là trung điểm của BC.
AB⊥OB và AC⊥OC⇒∠ABO=∠ACO=90°⇒△ABO vuông tại B và △ACO vuông
tại C ⇒△ABO và △ACO nội tiếp đường tròn đường kính OA
AD⊥AC , OD⊥OC và AC⊥OC ⇒ ∠DAC=∠DOC=∠ACO=90°
⇒ADOC hình chử nhật
⇒∠ADO=90°⇒△ADO vuông tại D ⇒△ADO nội tiếp đường tròn đường kính OA
Vậy 5 điểm A, B, O, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OA.
b) MN⊥CN
ADOC hình chữ nhật ⇒AO cắt DC tại trung điểm E của mỗi đường
⇒EO=EA và MA=MO ⇒ME//AD ⇒ ME⊥DO tại M ( vì AD⊥DO)
Ta lại có ∠ACD =∠EOM ; ∠MDC =∠NAC; AC = DO và DC = AO
⇒△DOC∽△AHC (c.g.c) ⇒DO/DC = AH/AC ⇒2DM/DC = 2AN/AC
⇒△MDC∽△NAC (c.g.c) ⇒∠DCM =∠ACN và MC/DC = NC/AC
⇒MC/AO=NC/DO ⇒MC/2MO =NC/2EO ⇒MC/MO = NC/EO
vì ∠DCM+∠NCE =∠NCE+∠ACN ⇒∠MCN =∠ACD

mà ∠ACD =∠EOM ⇒∠MCN =∠EOM và MC/MO = NC/EO
⇒△MCN∽△EOM (c.g.c) ⇒∠MNC=∠EMO = 90° ⇒MN⊥NC

c) OE.OD+AE.AB = OA
Ta có △ADE∽△OBE ( g.g ) ⇒ AE/OE= ED/EB
Mà OA = OD + AD = OD.(OE+ED) + AE - DE
OA = OE.OD + OD.ED + AE.(AB - EB)-DE(OD-OE)
OA = OE.OD+OD.ED+AE.AB-AE.EB-OD.ED +ED.OE
OA = OE.OD+AE.AB (dpcm)
Đoàn thị Điểm


Bài 6 Cho đương tròn (O;R) có đường kính AB và điểm C thuộc (O) (C khác B và C;
CA>CB). Vẽ đường thẳng d là tiếp tuyến của (O) tại B. Gọi M là trung điểm AC. Vẽ
CH⊥ AB tại H.
a) Chứng minh O, M, C, H cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm I của
đường tròn này.
b) Tia AC cắt d tại E. Chứng minh EC.EA = EO - R
c) Gọi N là trung điểm của CH; tia AN cắt d tại E. Chứng minh EC là tiếp tuyến
của đường tròn (O).

a) O, M, C, H cùng thuộc đường tròn và xác định tâm của đường tròn này:
Ta có M là trung điểm AC ⇒ OM⊥ AC
⇒ ∆OMC vuông tại M và ∆OHC vuông tại H nội tiếp đường tròn đường kính OC
⇒ tâm I là trung điểm của OC.
b) EC.EA=EO - R
Ta có EO = EB + OB ⇒ EO - R = EB
Mà EB = EC.EA 9He65 thức lượng trong ∆AEB vuông tại B)
⇒ EC.EA = EO - R
c) FC là tiếp tuyến của (O):

CH⊥AB và BE⊥AB⇒CH//BE ⇒CH/BE và NH//BF
⇒ CH/BE=AH/AB và NH/BF=AH/AB ⇒CH/BE=NH/BF⇒CH/NH=BE/BF=1/2
⇒EF=FB⇒△OCF=△OBF(c.c.c) ⇒∠OCF=∠OBF=90°⇒CF⊥OC
mà OC=R ⇒FC là tiếp tuyến của (O) tại C.
Lương Thế Vinh
Bài 5: Cho đường tròn (O;R) và điểm A ở ngoài (O) sao cho OA=2R. Vẽ tiếp tuyến
AB với (O). Gọi BH là đường cao của tam giác ABO. Đường thẳng BH cắt (O) tại C.
a) Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O).
b) Từ O vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt AC tại K. Chứng minh KA=KO.
c) Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I.Tính IK theo R.
a) AC là tiếp tuyến của (O)
Xét △ABO vuông tại B có đường cao BH


⇒ OB =OH.OA = OC =R (hệ thức lượng trong △ vuông)
⇒△ACO∽△CHO(c.g.c) ⇒∠ACO=∠CHO=90 °⇒AC⊥OC
và OC = R ⇒AC là tiếp tuyến của (O) tại C.
b) KA=KO
OK⊥OB và AB⊥OB ⇒OK//AB⇒ ∠AOK=∠BAO
mà OA là tia phân giác của ∠BAC⇒∠BAO=∠KAO
⇒∠KAO=∠AOK ⇒△AKO cân tại K⇒KA=KO
c)Tính IK theo R
AB = AC ⇒△ABC cân tại A.
I thuộc (O;R)⇒OI = R ⇒ I là trung điểm AO và △AKO cân tại K
⇒ KI⊥AO⇒IK//HC( cùng ⊥AO) ⇒ IK/HC = AI/AH
mà cosAOC = OC/AO=1/2=⇒∠ACH=∠AOC=60°(cùng phụ ∠CAO)
⇒△ABC đều ⇒sin60°=HC/OC ⇒HC= R /2
⇒ AH = HC.tan60°= R . /2 = 3R/2
⇒IK = AI.HC/AH = (R.R /2)/(3R/2) = R /3

Tây Úc
Bài 6:Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC (B, C là 2 tiếp
điểm). H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC, từ đó suy ra OH.OA=R .
b) Kẻ đường kính BE của (O), đường thẳng AE cắt (O) tại F. Chứng minh :
AH.AO=AE.AF.
c) Chứng minh ∠AEO + ∠OHF = 180


a)OA là đường trung trực của BC, OH.OA=R
Ta có AB =AC và OB = OC ⇒ OA là đường trung trực của BC ⇒ OA⊥BC
⇒ OB = OH.OA (hệ thức lượng trong △ABO vuông tại B) ⇒R = OH.OA
b) AH.AO=AE.AF
Ta có △BFE nội tiếp đường tròn (O) có cạnh BE là đường kính ⇒△BFE vuông tại F
⇒BF⊥AE ⇒ AB2 = AF.AE (hệ thức lượng trong △ABE vuông tại B) . Mà AB2
=AH.AO (hệ thức lượng trong △ABO vuông tại O.
⇒ AH.AO=AE.AF
c) ∠AEO + ∠OHF = 180 °
Ta có AH.AO=AE.AF ⇒ △AOE∽△AFH( c.g.c)⇒∠AEO =∠AHF
Mà ∠AHF + ∠OHF =180° (kề bù) ⇒∠AEO + ∠OHF = 180 °
Á Châu:
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A,vẽ (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại
N, M. Gọi H là giao điểm của BM và CN. Chứng minh OM là tiếp tuyến của đường
tròn đi qua bốn điểm A, N, H, M.
OM là tiếp tuyến của đường tròn đi qua bốn điểm A, N, H, M.
Ta có ∆BNC và ∆BMC nội tiếp trong đường tròn
(O) có đường kính là BC
⇒ ∆BNC vuông tại N và ∆BMC vuông tại M
⇒ CN⊥ AB và BM⊥ AC ⇒ H là trực tâm
⇒AO⊥ BC

Mà ∆ANH vuông tại N và ∆AMH vuông tại M
⇒ ∆ANH và ∆AMH nội tiếp đường tròn đường
kính AH
⇒ tâm I là trung điểm của AH ⇒ IM=IH.
⇒ ∆IHM cân tại I⇒ ∠H =∠M .
Vì OA=OB ⇒ ∆BOC cân tại O ⇒∠B=∠M.
Do ∠H =∠H (đđ) và ∠B +∠H=90
⇒∠M +∠M =90 ⇒∠IMO=90 ⇒ OM⊥ IM
Mà IM là bán kính cùa (I) ⇒ OM là tiếp tuyến của (I) tại M.


Phan Sào Nam
Câu 7: Từ M nằm ngoài (O;R) sao cho OM = 2R, vẽ 2 tiếp tuyến MA,MB với (O) tại
A,B. Tính chu vi và diện tích tam giác MAB theo R?

Ta có :MA=MA và OA=OB=R⇒OM là đường trung trực của AB ⇒ OM⊥AB tại H
Cos O = OA/OM=R/2R=1/2⇒∠O =60° ⇒∠A =∠O=60° ( cùng phụ ∠AMO)
Mà △MAB cân tại M (MA=MB) ⇒△MAB đều
P = 3.AM = 3.OM.sin60°= (3.2R. )/2=3 R
S = (1/2).MH.AB=(1/2).AM.sin60°.AB= 3 R/4
Thăng Long
Câu 8: Cho (O) và A là điểm cách tâm 13cm. Từ A vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC với (O) tại
B,C. Biết AB = 12cm.Tính độ dài đoạn thẳng BC?
Ta có AB = AC và OC = OB = R
⇒OA là đường trung trực của BC
⇒ OA⊥BC tại H và 2HB =2HC = BC.
OB = = = 5 (cm)
ta có AB/OA=sinO =BH/OB ⇒ BC =2BH =
2AB.OB/OA
BC= 2.12.5/13 ≅ 9 (cm)

COLETTE
Bài 3 Cho (O;5cm), vẽ dây AB = 8cm. Gọi M là trung
của AB. Qua M vẽ CD là đường kính của (O) (D thuộc
cung nhỏ AB). Tính dây AD của (O).
Ta có AB=8cm; OD=5cm ⇒ AM=4cm; CD=10cm
Vì MA=MB⇒CD⊥AB tại M
Do điểm A∈(O) và CD là đường kính ⇒△ADC nội
tiếp đường tròn (O) ⇒△ABD vuông tại A

điểm


Xét △ABD vuông tại A, AM⊥CD ta có :
AD = DM.CD ⇒AD =
Mà DM=OD-OM=OD- =5- =2(cm)
⇒AD= =2 (cm)
Hai Bà Trưng
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A (ABTính độ dai AH, BH và CH.
Áp dụng định lí Pitago ta có :
BC = AC+AB =64+36= 100 ⇒ BC=10
Theo hệ thức lượng trong ∆ABC vuông tại A, AH⊥ BC
ta có: AH = AB.AC/BC = 64.36/100= 4,8
BH=AB /BC = 36/10 = 3,6 ⇒ CH=BC-BH=10-3,6=6,4
Đề thi HK1(2015-2016) Quận 3
Cho tam giác KFC(KFtại N, HM vuông góc KF tại M.
a) Chứng minh 4 điểm K, M, H, N cùng thuộc đường tròn.Xác định tâm I của
đường tròn đi qua bốn điểm K, M, H, N.

b) Chứng minh: KM.KF=KN.KC.
c) Qua I vẽ đường thẳng song song KC cắt HC tại V.Chứng minh : VN là tiếp
tuyến của đường tròn tâm I.
d) Cho KH=R . Chứng minh: Ba điểm M, O, N thẳng hàng.
a) 4 điểm K, M, H, N cùng thuộc đường tròn.Xác định tâm I
HM⊥KF và HN⊥KC ⇒∠KMH=∠KNH=90°⇒△KMH vuông tại M và △KNH
vuông tại N cùng nội tiếp đường tròn đường kính KH
⇒ 4 điểm K, M, H, N cùng thuộc đường tròn đường kính KH ⇒ tâm I là trung
điểm của KH.
b) KM.KF = KN.KC
Ta có KH2 = KM.KF (hệ thức lượng trong △KHF vuông tại H)
KH2 = KN.KC (hệ thức lượng trong △KHC vuông tại H)
⇒ KM.KF = KN.KC (đpcm)
c) VN là tiếp tuyến của (I)
Ta có IN = IH ⇒△INH cân tại I ⇒∠INH=∠IHN
Mà ∠IHN = ∠VCN ( cùng phụ ∠HKC) ⇒∠INH = ∠VCN
IN=IH và IV//KC ⇒VH=VC
⇒NV là đường trung tuyến của △HNC vuông tại N.
⇒NV=VC ⇒ △NVC cân tại V ⇒∠VCN=∠VNC ⇒∠INH = ∠VNC
Vì ∠VNC + ∠VNH =90° ⇒∠INC + ∠VNH = ∠INV =90°⇒ VN⊥IN
Mà N thuộc (I) ⇒ VN là tiếp tuyến của (I) tại N.
d) Ba điểm M, O, N thẳng hàng khi KH=R
Kéo dài KO cắt MN và (O) lần lượt tại G và L.
⇒△KLC∽△KFH (g.g) ⇒KF.KC=KH.KL ⇒∠LKC=∠FKH ⇒ KO⊥MN


△KGN∽△KHF(g.g))⇒ KN/KG=KF/KH=KF.KC/KH.KC=2R.KH/KH.KC
⇒ KN/KG==2R/KC=2R.R/R.KC=KH.KH/R.KC=KN.KC/R.KC=KN/R
⇒KG = R ⇒ G ≡ O ⇒ 3 điểm M, N, O thẳng hàng

Đề thi HK1 (2016-2017) Quận 3
Cho đường tròn (O;R)có đường kính AB. Lấy điểm C trên đường tròn (O) sao cho
góc AOC là góc tù. Vẽ OH vuông góc với AC tại H. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt tia
OH tại D; DB cắt (O) tại E (E khác B); Gọi F là trung điểm của đoạn BE.
a) Chứng minh DC là tiếp tuyến của (O) và năm điểm A, D, C, F, O cùng thuộc
một đường tròn.
b) Chứng minh: DA = DE.DB và ∠EHD = ∠EBO.
c) Chứng minh: HC là tia phân giác của góc EHB.
d) Tiếp tuyến tại B của (O) cắt tia AC tại K. Chứng minh ba điểm O, F, K thẳng
hàng.


a) DC là tiếp tuyến của (O) và 5 điểm A, D, C, F, O cùng ∈ một đường tròn.
OH⊥AC tại H ⇒ HA=HC⇒ OH là đường trung trực của AC ⇒ DA=DC
Mà OA=OC=R ⇒ ∆DAO=∆DCO (c.c.c)⇒∠DAO=∠DCO=90⇒ DC⊥ OC
Vì C∈(O;R) ⇒ DC là tiếp tuyến với (O;R) tại C.
FE=FB⇒ OF⊥ BE ⇒ OF là đường trung trực của BE.
Ta lại có ∆DAO vuông tại A; ∆DCO vuông tại C và ∆DFO vuông tại F đều nhận
DO là cạnh huyền ⇒ ∆DAO; ∆DCO và ∆DFO cùng nội tiếp đường tròn đường
kính DO ⇒ 5 điểm A, D, C, F, O cùng thuộc đường tròn đường kính DO.
b) DA = DE.DB và ∠EHD = ∠EBO
Ta có E∈(O;R) và AB là đường kính ⇒ ∆AEB vuông tại E⇒AE⊥ BE
Theo hệ thức lượng trong ∆ADB vuông tại A; AE⊥BE : DA=DE.DB.
Theo hệ thức lượng trong ∆ADO vuông tại A; AH⊥OD : DA=DH.DO.
⇒ DE.DB=DH.DO⇒ ∆DEH∽∆DOB(c.g.c)⇒ ∠EHD=∠EBO
c) HC là tia phân giác của góc EHB
Theo hệ thức lượng trong ∆ADO vuông tại A; AH⊥OD : OA=OH.DO=OB
⇒ ∆BOH∽∆DOB( c.g.c) ⇒ ∠BHO=∠EBO ⇒ ∠BHO=∠DHE
⇒ ∠BHO+∠CHB =∠CHE+∠DHE=90 ⇒ ∠CHB =∠CHE
Vậy HC là tia phân giác của ∠EHB

d) 3 điểm O, F, K thẳng hàng.
Tiếp tuyến tại B của (O) cắt tia OF tại K’. Ta có; OK’⊥ BE tại F.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:
OB =OF.OK’ và OA =OH.OD ⇒ OF.OK’=OH.OD (vì OB=OA=R)
⇒ ∆DFO∽∆K’HO(c.g.c )⇒ ∠DFO=∠K’HO =90 ⇒ HK’⊥ OH.
Mà HA⊥ OH ⇒ HK’≡ HA ⇒A, H, K’ thẳng hàng ⇒A, H, C, K’ thẳng hàng
⇒ K’ là giao điểm của AC và tiếp tuyến tại B của (O) ⇒ K’≡ K
⇒ 3 điểm O, F, K thẳng hàng.