ON THI HSG TOAN 9 DE 18

ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2017 – 2018

ĐỀ THI SÔ 18
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1. (4 điểm)
2

2

1
1
a) Rút gọn biểu thức: A =  a 2 + 2 ÷ − 4  a + ÷ + 12
a 
a


x
y
z
x2
y2
z2
+
+
= x+ y+ z
b) Cho y + z + z + x + x + y = 2 . Chứng minh rằng
y+z z+x x+ y

Câu 2. (3 điểm)
Chứng minh rằng giá trị biểu thức (n2 + 2n + 5)3 – (n + 1)2 + 2012 luôn chia hết cho

6 với mọi số nguyên n.
Câu 3. (3 điểm)
Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn đồng thời các đẳng thức x – y + z = 2 và
2
2x – xy + x – 2z = 1
Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. P là điểm nằm giữa A và C. Gọi M là trung điểm BP.
Đường thẳng kẻ qua P song song AB cắt BC tại Q, cắt tia AM tại K.
a) Chứng minh tứ giác ABKP là hình bình hành.
b) N là giao điểm các đường trung trực của tam giác CPQ. Tính số đo ·AMN .
Câu 5. (3 điểm)
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = b và ba đường cao kẻ từ ba đỉnh A, B,
C của tam giác có độ dài lần lượt là ha; hb; hc. Gọi r là khoảng cách từ giao điểm của ba
đường phân giác của tam giác đến một cạnh của tam giác.
1

1

1

1

Chứng minh : h + h + h = r
a
b
c
Câu 6. (2 điểm)
Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện a > 1, b > 1, c > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P =

a2
2b 2 3c 2
+
+
+ 1993
a −1 b −1 c −1

==== hết ====

Chú ý câu 4 ra cho lớp 8 khi học xong hình bình hành