Bài soạn HON 100 BAI TAP ON THI HSG TOAN 9

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9
Năm học
2009 - 2010
2008
Tuyển chọn đề thi HSG toán 9
/>Sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số: ............
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Đề thi gồm 1 trang
Cõu 1:(2 im)
1) Tính:
9 17 9 17 2A = + +
2) Tính:
( ) ( )
6 2 10 5 3 2 3B = +
.
3) Cho
1 2
2009 1 2008 1C =
và
2 2
2.2009
2009 1 2008 1
D =
+
.
Không dùng máy tính hãy so sánh C và D .
Câu 2: (2điểm)
1) Cho đa thức

( ) ( )
1.2 2.3 3.4 ... . 1f x x x= + + + + +
. Tìm x để
( )
2010f x =
2) Giải hệ phơng trình:
2 2 2
x y z 6
xy yz zx 1
x y z 14
+ + =


+ =


+ + =

Câu 3: (2điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ
( )
1;1
và điểm A di động
( )
A m;0
1) Viết phơng trình họ đờng thẳng
( )
m
d
vuông góc với AB tại A.

2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ
( )
m
d
đồng qui.
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ
( )
m
d
đi qua
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là
điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M
xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD.
a) Tính số đo góc NEB.
b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: (1điểm)
Cho các số
1 2 2009
, a , . . . ,a a
đợc xác định theo công thức sau:

=
+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)
với n = 1, 2, , 2008.

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9
Năm học
2009 - 2010
2008
Chứng minh rằng:

<
1 2 2009
2008
a + a + . . . + a
2010
....................Hết....................

Sở giáo dục và đào tạo
hải dơng
Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số: ............
Hớng dẫn chấm gồm . . . trang
.................................................
H ớng dẫn chấm
Câu Phần Nội dung Điể
m
Câu
1
2
điểm
1)
0,5điểm
9 17 9 17 2A = + +
(

)
2 9 17 9 17 2
2
+ +
=
18 2 17 18 2 17 4
2
+ +
=
( ) ( )
2 2
17 1 17 1 2
2
+ +
=
0,25
( )
( )
2 17 1
17 1 17 1 2 2 17 2
2 17 1
2 2 2

+ +
= = = =
0,25
2)
0,5điểm
( ) ( )
6 2 10 5 3 2 3B = +

( ) ( )
3 1 10 5 3 2. 2 3= +
( ) ( ) ( )
3 1 10 5 3 2 2 3= +
( ) ( ) ( )
2
3 1 10 5 3 3 1= +
0,25
( ) ( )
2
3 1 10 5 3= +
( ) ( )
4 2 3 10 5 3= +
( ) ( )
10 2 3 2 3= +
10=
0,25
3)
1,0điểm
1 2
2009 1 2008 1C =
(
)
(
)
1 2 1 2
1 2
2009 1 2008 1 2009 1 2008 1
2009 1 2008 1
+

=
+
(
)
(
)
2 2
1 2
1 2
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1

=
+
0,25
2 2
1 2
2009 1 2008 1
2009 1 2008 1
+
=
+

( ) ( )
2 2
2009 2008 2009 2008
2009 1 2008 1
+
=
+

2 2
4017
2009 1 2008 1
=
+
0,25
Mà
4017 4018 2.2009
< =


2 2
4017
2009 1 2008 1 +
<
2 2
4018
2009 1 2008 1 +
0,25
Vậy C < D 0,25
Câu
2
2
1)
1,0điểm
Ta có
( ) ( )
1.2 2.3 3.4 ... . 1f x x x= + + + + +

( ) ( )
3. 1.2.3 2.3.3 3.4.3 ... . 1 .3f x x x= + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 ... . 1 . 2 1x x x x= + + + + + +

0,25
H

AB
C
D
E
H
M
N
I
P
O
K
45
0
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9
Năm học
2009 - 2010
2008
điểm
( ) ( ) ( ) ( )
0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ... 1 . 1 . 1 2x x x x x x= + + + + + +
( ) ( )

. 1 2x x x= + +


( ) ( ) ( )
1
. 1 2
3
f x x x x= + +
Để
( )
8f x =


( ) ( )
1
. 1 2 8
3
x x x+ + =


( ) ( )
. 1 2 24x x x+ + =

3 2
3 2 24 0x x x+ + =


( ) ( )
( )
3 2 2

2 5 10 12 24 0x x x x x + + =
0,25

( )
( )
2
2 5 12 0x x x + + =
2
2 0
5 12 0
x
x x
=


+ + =


( )
( )
1
2
0,25
Giải phơng trình
( )
1
ta đợc x = 2
Giải phơng trình
( )
2

Vô nghiệm
Vậy với x = 2 thì
( )
8f x =
.
0,25
2)
1,0điểm
2 2 2
x y z 6 (1)
xy yz zx 1 (2)
x y z 14 (3)
+ + =


+ =


+ + =

(1)

(x + y + z)
2
= 36


x
2
+ y

2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = 36


xy + yz + zx = 11 (kết hợp với (3))
(2)

xy + yz = zx 1


xy + yz + zx = 2zx 1


2zx = 12


zx = 6


xy + yz = 5


y(x + z) = 5 (4)
0,25
Mà y + x + z = 6

x + z = 6 y
(4)

y(6 y) = 5


y(6 y) = 5


(y 1)(y 5) = 0

y 1
y 5
=



=

0,25
+) Với y = 1 thì (4)

x + z = 5

x = 5 z
mà zx = 6

(5 z)z = 6

(z 2)(z 3) = 0
z 2 x 3
z 3 x 2

= =



= =

0,25
+) Với y = 5 thì (4)

x + z = 1

x = 1 z
mà zx = 6

(1 z)z = 6


(z
1
2

)
2
=
23
4

(phơng trình vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là
{ }

S (3; 1; 2),(2; 1; 3)=
0,25
Câu
3
2
1)
0,75điểm
Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (d)
A, B

(d) nên

=

y 1 x 1
(m 1)
0 1 m 1
0,25
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9
Năm học
2009 - 2010
2008
điểm


=

+ =
x 1
1 y

m 1
m 1 my y x 1

=
=

y(1 m) x m
1 m
y x
1 m 1 m
Gọi phơng trình họ đờng thẳng
( )
m
d
là y = ax + b
Vì
( )
m
d


AB tại A nên a.a = - 1
=

1
.a ' 1
1 m


a = m 1

y = (m 1)x + b
0,25
Vì
( )
m
d
đi qua A(m; 0) ta có: 0 = (m 1)m + b
Vậy họ đờng thẳng
( )
m
d
cần tìm là: y = (m 1)x + (m m
2
)
(m 1)
0,25
2)
0,5điểm
Giả sử 3 đờng thẳng trong họ (d
m
) đồng qui tại điểm (x
o
; y
ô
)


y
o

= (m 1)x
o
+ (m m
2
)


m
2
m(x
o
+ 1) + x
o
+ y
o
= 0
0,25
Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất 2
nghiệm

Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (d
m
) đi qua điểm (x
o
; y
o
)
Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (d
m
) đồng qui.

0,25
3)
0,75điểm
Gọi các điểm N(x
1
; y
1
) mà chỉ có đờng thẳng trong họ (d
m
) đi qua

y
1
= (m 1)x
1
+ m m
2

m
2
m(x
1
+ 1) + x
1
+ y
1
= 0
0,25
Vì chỉ có 1 đờng thẳng trong họ (d
m

) đi qua N nên phơng trình trên chỉ
có 1 nghiệm.

= 0

( ) ( )
2
1 1 1
x + 1 - 4 x + y = 0
0,25


=
2
1
1
(x 1)
y
4

Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol

=
2
1
1
(x 1)
y
4
0,25

Câu 4
3điểm
1)
0,5điểm
Vẽ hình đúng
0,25
Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9
Năm học
2009 - 2010
2008
0,25
2)
0,5điểm
0,25
0,25
0,25
3)
1,0điểm
Vẽ đờng tròn đờng kính AB. Gọi giao của HN với đờng tròn là I. 0,25
Do

DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính. 0,25
Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB
nên I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB
0,25
Điểm I đối xứng với D qua AB. Vậy I là điểm cố định.
0,25
Câu 5
1 điểm
=

+ + +
n
2
a
(2n 1)( n n 1)

+ +
= < =
+ +
+ +
2( n 1 n ) 2( n 1 n ) 1 1
n 1 n
2 n(n 1) n n 1
0,25
Do đó
+ + + < + + +
=
1 2 2009
1 1 1 1 1 1
a ... a ...
1 2 2 3 2009 2010
1
1
2010
0,25
Mặt khác:
( )
+

=

ữ



= = >
2
2008 1 2008 2009 2010 2009 2010
1
2010
2009 2010 2009
2009 1
2010 2 2009
0
2010 2009 2010 2009
0,25
nên
<
1 2008
1
2010
2009
. Vậy
<
1 2 2009
2008
a + a + . . . + a
2010
0,25
Câu Nội dung cần trình bày Điểm
5

3 điểm
Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB.
+) Xét

DCP và

DBE có:
ã
ã
=
DCP DBE
(so le trong)
DC = DB (AD là trung truyến của

ABC)
ã
ã
=
CDP BDE
(đối đỉnh)


DCP =

DBE (g.c.g) CP = BE (1)
+) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân
giác của
à
A
nên MNAP là hình vuông.

AN = AP

CP = BN (2)
Từ (1) và (2)

BE = BN


BEN cân
0,25