bài tập chương tam giác đòng dạng

GV : Nguyễn Thò Thanh – HHT – Lâm Đồng
CÁC BÀI TẬP CHỨNG MINH TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH .
Chứng minh :
a/ AH.BC = AB.AC
b/AB
2
= BH.BC
c/AH
2
= BH.CH
d/Gọi M là trung điểm của BH , N là trung điểm của AH .Chứng minh :CN
⊥
AM .
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn BH = 9cm và HC =
16cm.Tính AB , AC , BC.
Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , biết AB = 21cm ; AC = 28cm .
a/ Tính AH ?
*b/ Kẻ HD
⊥
AB; HE
⊥
AC .Tính diện tích tam giác AED.
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 15cm , AC = 20cm .Kẻ đường cao AH , trung tuyến AM.
a/ Tính AH ; BC.
b/ Tính BH,CH.
c/ Tính diện tích tam giác AHM.
Bài 5:Cho
ABC∆
có ba góc nhọn, đường cao AH

( )
H BC∈
. Vẽ HD vuông góc AB tại D, HE vuông góc
AC tại E.
a) Chứng minh :
AHB∆
đồng dạng với
ADH∆
;
AHC∆
đồng dạng với
AEH∆
.
b) Chứng minh : AD.AB = AE.AC .
c) Cho AB = 12 cm, AC = 15 cm, BC = 18 cm. Tính độ dài đường phân giác AK của
ABC∆
( K
∈
BC
Bài 6:Cho
∆
ABC có AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm. Đường phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Qua D vẽ
đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E và BA tại K.
a/ Chứng minh
∆
ABC vuông
b/ Tính DB, DC.
c/ Chứng minh
∆
EDC

:
∆
BDK
d/ Chứng minh DE = DB
Bài 7 : Cho
∆
ABC vuông tại A, cho biết AB = 15 cm , AC = 20 cm. Kẻ đường cao AH của
∆
ABC.
a) Chứng minh :
∆
AHB
∆
CAB và suy ra AB
2
= BH.BC
b ) Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH .
c) Kẻ HM
⊥
AB và HN
⊥
AC. Chứng minh : AM.AB = AN.AC
d) Chứng minh :
∆
AMN
∆
ACB
Bài 8:Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D.
Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E.
a) Chứng minh DEC đồng dạng ABC.

b) Chứng minh : DB = DE.
Bài 10 :Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 16cm , BC = 20cm .Kẻ đường phân giác BD ( d thuộc AC)
a/ Tính CD và AD
b/ Từ C kẻ CH
⊥
BD tại H . Chứng minh :
∆
ABD
∆
HCD
c/ Tính diện tích tam giác HCD .
Bài 11:Cho ∆ABC nhọn, trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại D,
Trang 1
GV : Nguyễn Thò Thanh – HHT – Lâm Đồng
Tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC tại E.
a/ Chứng minh
DA EA
DB EC
=
.
b/ Chứng minh DE // BC .
Bài 12:Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD , BE , CF đồng quy tại H .Chứng minh :AH.DH = BH.EH =
M
.FH
Cho tam giác ABC có 2 đường cao AD và BE .Chứng minh :
a/
∆
DEC
∆
ABC

b/
∆
ADC
∆
BEC
Bài 13:Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6cm , AC = 8cm .Từ B kẻ đường thăûng // AC ; phân giác góc
BAC cắt BC tại M và cắt đường thăûng a tại N .
a/ CM:
∆
BMN
∆
CMA
b/ CM:
AB MN
AC AN
=
c/ Từ N kẻ NE vuông góc với AC ( E thuộc AC), NE cắt BC tại I .Tính BI.
Bài 14 : ∆ABC có độ dài các cạnh AB = 6cm, AC = 9cm và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện
tích của ∆ABD và ∆ACD bằng
3
2
Bài 15 : Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BH và AH. Chứng
minh :
a) ∆ABM ∼ ∆CAN
b) AM ⊥ CN
Bài 16:Cho hình chữ nhật ABCD , vẽ AH
⊥
DB
a) Chứng minh
∆

ABD
:
∆
HAD , suy ra AD
2
= DH . DB
b) Chứng minh
∆
AHB
:
∆
BCD
c) Tính độ dài DH , AH , biết AB = 12 cm, BC = 9 cm
d) Tính diện tích tam giác AHB
Bài 17 : Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại H và
cắt CD tại M.
a) Tính độ dài BD.
b) Chứng minh hai tam giác AHB và MHD đồng dạng
c) Chứng minh MD.DC = HD.BD
d) Tính diện tích tam giác MDB.
Bài 18 Cho
·
xAy
, trên tia Ax đặt các đoạn thẳng AE = 3cm ; AC = 8cm. Trên tia Ay đặt các đoạn thẳng AD =
4cm ; AF = 6cm. Gọi I là giao điểm của CD và EF.
a) Chứng minh :
∆
ACD
∆
AFE

b) Chứng minh :
∆
IEC
∆
IDF
Bài 19 :Cho ABC có AB = 4,8 cm; BC = 3,6 cm; CA = 6,4 cm. Trên cạnh AB và AC theo thứ tự lấy
AD = 3,2 cm và AE = 2,4 cm.
a) Hai tam giác ADE và ABC có đồng dạng hay không ? Vì sao?
b) Tính độ dài đoạn DE.
Bài 20:Cho hình thang ABCD ( AB//CD) .Gọi O là giao điểm 2 đường chéo AC và BD .Biết AB = 3cm , OA =
2cm , OC = 4cm , OD = 3,6cm.
Trang 2
GV : Nguyễn Thò Thanh – HHT – Lâm Đồng
a/ Chứng minh :OA.OD=OB.OC
b/Tính DC , OB.
c/ Đường thăûng qua O vuông góc với AB và CD lần lượt tại H và K .Chứng minh :
OH AB
OK CD
=

CÁC ĐỀ THI HỌC KÌ II CÁC NĂM
Bài 1:(năm 2001-2002)
Cho tam giác ABC cân tại A , vẽ đường cao AH xuống đáy BC .Biết AB = AC = 17cm , AH = 15cm.
a/ Tính độ dài đoạn BH và BC.
b/ Từ B vẽ BD
⊥
AC ( D thuộc AC) .Chứng minh :
∆
AHC
∆

BDC
c/ Qua D vẽ DE
⊥
BC ( E thuộc BC). Chứng minh : BE.EC =
2 2
2
.AH CE
CH
Bài 1:(năm 2001-2002)
Bài 2:(năm 2002-2003)
Cho tam giác ABC(AC > AB). Vẽ đường cao AH .Từ trung điểm I của cạnh AC ta vẽ ID vuông góc với cạnh
huyền BC .Biết AB = 3cm , AC = 4cm .
a/ Tính độ dài cạnh BC .
b/ Chứng minh :
∆
IDC
∆
BHA
c/ Chứng minh hệ thức : BD
2
– CD
2
= AB
2
.
Bài 3:(năm 2003-2004)
Cho hình thang vuông ABCD (
µ
µ
A D= =

90
0
) có AC cắt BD tại O .
a/ Chứng minh :
∆
OAB
∆
OCD, từ đó suy ra
DO CO
DB CA
=
.
b/ Chứng minh : AC
2
– BD
2
= DC
2
– AB
2

c/ Qua O kẻ đường thẳng song song với 2 đáy cắt BC tại I , cắt AD tại J .CHứng minh :
1 1 1
OI AB CD
= +
Bài 4:(năm 2004-2005)
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH .Phân giác CD ( D thuộc AB).Biết AB = 4cm ; AC = 3cm .
a/ Tính BC ; AD .
b/ Chứng minh :
∆

HAC
∆
ABC
c/ Tính độ dài CH .
d/ Qua B vẽ đường thăûng vuông góc với tia CD cắt tia CD tại K .Chứng minh :
∆
ADK
∆
CDB
Bài 5:(năm 2005-2006)
Cho tam giác cân ABC (AB=AC).Vẽ các đường cao BH , CK , AI .
a/ CHứng minh :BK =
M
.
b/ Chứng minh : HC.AC = IC .BC
d/ Cho biết BC = a , AB = AC = b .Tính độ dài đoạn thẳng HK theo a và b .
Bài 6:(năm 2006-2007)
Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường cao AH .Phân giác của góc A cắt cạnh huyền Bc tại D .Qua D kẻ đường
thăûng vuông góc với BC cắt AC ở E và AB ở F .
a/ Chứng minh :AB.EC = BC.DE
b/ Chứng minh AH // FD suy ra tam giác HAB đồng dạng tam giác DFB .
c/ Chứng minh DB = DE .
d/ Cho AB = 6cm ; BC = 10 cm và EC = 7cm .Tính AC ; DE và DC.
Trang 3
GV : Nguyễn Thò Thanh – HHT – Lâm Đồng
Bài 7:(năm 2007-2008)
Cho tam giác ABC .Kẻ đường cao AD , BH .
a/ Chứng minh :
∆
ADC

∆
BHC
b/ Chứng minh :
∆
CDH
∆
CAB
c/ Kẻ DE vuông góc AC .Chứng minh :CE.Cb = CD .CH
Trang 4