Đề kiểm tra học kì 1 môn toán 10 có đáp án

Trường THPT chuyên
NGUYỄN BỈNH KHIÊM
---*---

KIỂM TRA HỌC KỲ I
Môn : TOÁN 10 (Dành cho lớp chuyên Toán)
Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày kiểm tra :

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài 1 : (1.0 điểm)

�1 �
�x �

Tìm tất cả các hàm số f(x) thỏa mãn : 2.f(x) + f � � =

11x 2 + 10
; x0.
x

Bài 2 : (3.0 điểm)
Cho hàm số : y = f(x) = x2 + (m + 2).x – 3 - m , (Pm)
1. Khi m thay đổi, tìm các điểm cố định của họ Parabol (Pm) .
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số y = f(x) khi m = 0 .
Tìm các giá trị của tham số k để phương trình : x2 + 2x - 3  = k có 4 nghiệm phân biệt .
3. Xác định m để bất phương trình : f(x) ≤ 0 có nghiệm chỉ là một đoạn có độ dài bằng 2 .
Bài 3 : (2.0 điểm)
6
6

1. Chứng minh rằng : 4C n  C n + 5 �n(mod 5) ;  n  N, n ≥ 6 .

2. Trong khai triển



3 +

3



n

2 , n  N* ; hãy tìm số hạng nguyên , biết rằng :

2
2
3
3
4
2n
2n + 1
C12n + 1 - 2.2.C2n
+ 1 + 3.2 .C 2n + 1 - 4.2 .C 2n + 1 + . . . + (2n + 1).2 .C 2n + 1 = 19

Bài 4 : (2.0 điểm)
Cho ABC đều có độ dài cạnh bằng 3a (a > 0) .
15 a 2
1. Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho : MB.MC + MC.MA + MA.MB =

.
2
��
� ��
�

��
�

��
�

��
�

��
�

2. Lấy các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA và AB sao cho BP = a , CQ = 2a và
4a
AR =
. Chứng minh rằng : AP  QR .
5
Bài 5 : (2.0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ; cho tam giác ABC có : A(2; -1) , B(0; 1) , C(3; -4)
1. Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC .
2. Tìm tọa độ của điểm M trên trục Ox sao cho

��
�

��
�

��
�

2.MA + 2.MB - 3.MC

đạt giá trị nhỏ nhất .

===Hết===
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Họ và tên : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . SBD : . . . . . . .. . . . Lớp : 10/1


TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KIỂM TRA HỌC KỲ I – NĂM HỌC 2009 - 2010
NGUYỄN BỈNH KHIÊM ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – CHUYÊN 10

--------







---------

Thời gian : 120 phút - Ngày kiểm tra : 23.12.2009

Nội dung

Điểm

Bài 1 : (1.0 điểm)
�1 � 11x 2 + 10
,  x  0 (1)
�x �
x
1
1
��
10t 2 + 11
 Đặt x =
, t  0 . Khi đó từ (1), ta có : 2.f ��+ f(t) =
t
t
��
t
2
�
�1 � 11x + 10
2.f(x)
+
f
=
��
�
x
�x �

�1 � �
 Xét hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn f(x) và f � �: �
2
�x � �
�1 � 10x + 11
f(x) + 2.f � �=
�
x
�x �
�
�1 �
4x 2 + 3
Khử f � �ta giải được : f(x) =
(2)
�x �
x




Ta có : 2.f(x) + f � �=

0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ

Thử lại ta thấy (2) thỏa mãn (1) .

0,25 đ

4x 2 + 3
Vậy : f(x) =
, x  0 là hàm số duy nhất cần tìm .
x

Bài 2 : (3,0 điểm)
y = x2 + (m + 2)x – 3 – m (Pm)
1.(0,5 điểm)  Gọi A(x0; y0)  (Pm)  y0 = x02 + (m + 2)x0 – 3 – m
 (x0 – 1).m + x02 + 2x0 – y0 – 3 = 0 (*)
 A là điểm cố định của họ Parabol (Pm)  phương trình (*) thỏa với mọi m
�x 0 - 1 = 0
�x 0 = 1
� �
 �2
�y 0 = 0
�x 0 + 2x 0 - y 0 - 3 = 0
Vậy, với mọi m, (Pm) luôn đi qua điểm cố định A(1; 0) .
2. (1,5 điểm)
Khi m = 0 : y = x2 + 2x – 3 (P)
a. (1,0 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị (P)
 Txđ : D = R
 Sự biến thiên :
Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ; -1)
và đồng biến trên khoảng (-1 ; +)
 BBT
x -
-1
+
+

+
y
CT
-4
 ĐĐB :
x . . . -3 -2 -1 0 1 . . .

0,25 đ
0,25 đ

y

0,25 đ

-1
-3

1

O

x

0,25 đ
-3
-4

I

0,25 đ

y

y=x2+2x-3

y . . . 0 -3 -4 -3 0 . . .
 Đồ thị : Đồ thị (P) là một Parabol có đỉnh I(-1; -4)
và nhận đường thẳng x = -1 là trục đối xứng .
b.(0,5 điểm) Ptrình : x2 + 2x - 3 = k (1)
2
 Vẽ đồ thị (H) : y = x + 2x - 3
 Nhận xét : Pt (1) là pt hoành độ giao điểm của đồ thị (H) và đường thẳng (d) :
y = k (là đường thẳng cùng phương với trục Ox)

0,25 đ

O

-3

1

x

0,25 đ
0,25 đ


pt(1) có 4 nghiệm phân biệt  đthẳng (d) cắt đồ thị (H) tại 4 điểm phân biệt
Căn cứ vào đồ thị , ta có giá trị tham số k thỏa YCBT là : 0 < k < 4 .
3. (1,0 điểm) f(x) = x2 + (m + 2)x – 3 – m ≤ 0 (2)

2
2
 f(x) = 0 có  = m + 8m + 16 = (m + 4) ≥ 0
m = - 4   = 0  f(x) ≥ 0 ,  x  R : không thỏa YCBT
m  - 4   > 0  f(x) ≤ 0 ,  x  [x1; x2] với x1, x2 là hai nghiệm của pt f(x) = 0
 Vậy : bpt (2) có nghiệm chỉ là một đoạn có độ dài bằng 2
 f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 – x2 = 2
Δ>0
Δ>0
m �- 4
�
�
�
�
�
 �
�
�
(x1 - x 2 ) 2 = 4
(x1 + x 2 ) 2 - 4x1x 2 = 4
(m + 2) 2 - 4(-3 - m) = 4
�
�
�
m �- 4
�
� m = - 6 �m = - 2
 �2
Vậy : m = -6  m = - 2 .
m + 8m + 12 = 0

�
Bài 3 : (2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)
y
y
y-1
Sử dụng kết quả : C x = C x - 1 + C x - 1 ;  x, y  N và 1 ≤ y ≤ x . Ta có :
4C6n + C6n + 5 = 4C 6n + C6n + 4 + C5n + 4
 Vậy

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ

= 4C 6n + C 6n + 3 + C5n + 3 + C5n + 3 + Cn4 + 3
= 4C 6n + C 6n + 2 + C5n + 2 + 2(C5n + 2 + C n4 + 2 ) + C 4n + 2 + C3n + 2
= 4C 6n + C 6n + 1 + C5n + 1 + 3(C5n + 1 + C n4 + 1 ) + 3(C n4 + 1 + C3n + 1 ) + C3n + 1 + C n2 + 1
= 4C 6n + C 6n + C5n + 4(C5n + C n4 ) + 6(C n4 + C3n ) + 4(C3n + Cn2 ) + Cn2 + C1n

0,5 đ

= 5C 6n + 5C5n + 10C n4 + 10C3n + 5C n2 + C1n
= 5(C 6n + C5n + 2C n4 + 2C 3n + C n2 ) + n

0,25 đ

�n (mod 5)

2. (1,0 điểm)
y
y-1
 Ta chứng minh được : y C x = x C x - 1
 Ta

2
2
3
có : C12n + 1 - 2.2.C2n
+ 1 + 3.2 .C 2n + 1

;  x, y  N và 1 ≤ y ≤ x .
4
2n
2n + 1
- 4.23 .C2n
+ 1 + . . . + (2n + 1).2 .C 2n + 1 = 19

0,25 đ

0
1
2
2
3
3
2n
2n
 (2n + 1)C2n - 2.(2n + 1).C2n + 2 .(2n + 1).C2n - 2 .(2n + 1).C2n + . . . + 2 .(2n + 1).C2n = 19

0
1
2
2
3
3
2n
2n
 (2n + 1). (C2n - 2.C2n + 2 .C 2n - 2 .C 2n + . . . + 2 .C2n ) = 19

 (2n + 1) . (1 - 2)2n = 19  2n + 1 = 19
 Khi


= C . 3  . 2 

đó khai triển
Tk + 1



3 +

k
9

3

 n=9

0,25 đ

9

2 có số hạng tổng quát là :

9-k

3

k

k
9

= C .3

9-k
2

.2

k
3

; k Σ�
N, 0

k

9

9-k
�
�Z
�2
�
k
�
� k = 3, k = 9
 Vậy, Tk + 1 là số hạng có giá trị nguyên � � � Z
�3
k Σ�
N, 0
k
9
�
�
�
3 3 1
9 0 3
Kl : có 2 số hạng có giá trị nguyên,đó là : T4 = C9 .3 .2 = 4536 và T10 = C9 .3 .2 = 8

Bài 4 : (2,0 điểm)
1. (1,0 điểm)  Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC .

0,25 đ

0,25 đ

15 a 2
 Ta có : MB.MC + MC.MA + MA.MB =
2
��
� ��
�

�
�
�
�
�

��
�

��
�

��
�

��
�

1
1
1
15a 2

(MB2 + MC 2 - BC 2 ) + (MC 2 + MA 2 - CA 2 ) + (MA 2 + MB2 - AB2 ) =
2
2
2
2
2
1
15a
MA 2 + MB2 + MC2 - (BC 2 + CA 2 + AB 2 ) =
2
2
uuuu
r uuur 2
uuuu
r uuur 2
uuuu
r uuur 2 1
15a 2
(MO + OA) + (MO + OB) + (MO + OC) - 3.(3a) 2 =
2
2
u
u
u
u
r
u
u
u
r

u
u
u
r
u
u
u
r
27a 2
15a 2
3. MO2 + (OA 2 + OB2 + OC 2 ) + 2MO.(OA + OB + OC) =
2
2
�
OA = OB = OC = a 3
�
27a 2
15a 2
3. MO 2 + 9a 2 =
; vì : �uuur uuur uuur r
2
2
OA + OB + OC = 0
�

 MO2 = 4a2  OM = 2a
 Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính bằng 2a .

uuur 1 uuur
AB + AC

uuu
r
u
u
u
r
u
u
u
r
uuu
r 2 uuur 1 uuur
1
2
hay AP= AB + AC
2. (1,0 điểm)  Ta có : PB = - PC � AP =
3
2
3
3
2
uuur uuur uuur
uuur 4 uuur 1 uuur
AR uuur
1 uuur
.AB - AC hay QR=
AB - AC
 Ngoài ra : QR = AR - AQ =
AB
3

15
3
uuu
r uuur �2 uuu
r 1 uuur ��4 uuu
r 1 uuur � 8
r uuur
1
2 uuu
. � AB - AC �=
AB2 - AC 2 AB.AC
 Khi đó : AP.QR = � AB + AC �
3
15
3
9
15
�3
��
� 45
8 2 1 2 2
=
9a - 9a 3a.3a.cos600 = 0 .
45
9
15

Vậy : AP  QR .
Bài 5 : (2,0 điểm)
A(2; -1) , B(0; 1) , C(3; -4)

1. (1,0 điểm)  Gọi H(x; y) là tọa độ trực tâm của ABC


uuur
uuur
uuu
r
uuur
� AH = (x - 2; y + 1) , BH = (x ; y - 1) , BC = (3; -5) , AC = (1; -3)

 Ta

0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ

có : H là trực tâm ABC

uuur uuu
r

�
AH  BC
AH.BC = 0
3(x - 2) - 5(y + 1) = 0
3x - 5y = 11
�
�
�
�x = 12
�
��
� �uuur uuur
��
��
��
BH  AC
1.x - 3(y - 1) = 0
BH.AC = 0
�
�
�x - 3y = -3
�y = 5
�

0,5 đ

 Vậy

0,25 đ

: H(12; 5)

2. (1,0 điểm)

 Gọi

�
��
�
��
�
r
I(x0; y0) là điểm thỏa mãn hệ thức : 2 ��
IA + 2 IB - 3 IC = 0

2(2 - x 0 ) + 2(0 - x 0 ) - 3(3 - x 0 ) = 0
�
�x 0 = -5
��
� �
: I(-5; 12)
2(-1 - y0 ) + 2(1 - y 0 ) - 3(- 4 - y 0 ) = 0
�
�y 0 = 12
uuuu
r
uuur
uuur
uuu
r uur

uuu
r uur
uuu
r uur
 Ta có : 2.MA + 2.MB - 3.MC = 2.(MI + IA) + 2.(MI + IB) - 3.(MI + IC)
uuu
r
uur
uur
uur
uuu
r
 MI + 2.IA + 2.IB - 3.IC = MI = MI
 Vậy

: M  Ox mà

��
�

��
�

��
�

2.MA + 2.MB - 3.MC

0,25 đ
0,25 đ

đạt GTNN

 M  Ox mà MI ngắn nhất , với I(-5; 12)
 M là hình chiếu của điểm I(-5; 12) lên trục Ox
 M(-5; 0) .

0,25 đ
0,25 đ


 Lưu ý :




Đáp án và hướng dẫn chấm này có 03 trang .
HS có cách giải khác : đúng, chính xác và logic thì Giám khảo căn cứ theo
thang điểm cho điểm hợp lý.