Tóm tắt kiến thức HÌNH HỌC 12 đơn giản nhất

HÌNH HỌC 12
CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12
I. TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

AB
AC
(ĐỐI chia HUYỀN) 2. cos α =
(KỀ chia HUYỀN)
BC
BC
A
AB
AC
α
α
3. tan =
(ĐỐI chia KỀ) 4. cot =
(KỀ chia ĐỐI)
AC
AB
1. sin α =

II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
1. BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2
2. AB2 = BH.BC
3. AC2 = CH.BC
4. AH2 = BH.CH

5. AB.AC = BC.AH

6.

B

α
H

1
1
1
=
+
2
2
AH
AB AC2

III. ĐỊNH LÍ CÔSIN
1. a2 = b2 + c2 – 2bccosA

3. c2 = a2 + b2 – 2abcosC

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C

IV. ĐỊNH LÍ SIN

V. ĐỊNH LÍ TALET
a)

2. b2 = a2 + c2 – 2accosB

A

MN // BC

AM AN MN
=
=
;
AB AC BC

b)

N

M

AM AN
=
MB NC

B

C

VI. DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1. Tam giác thường:
a) S =

1
ah
2

b) S =

p(p − a)(p − b)(p − c) (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)
2. Tam giác đều cạnh a:

a 3
a) Đường cao: h =
;
2

a2 3
b) S =
4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
3. Tam giác vuông:

a) S =

1
ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

2

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền
4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):
a) S =

1 2
a (2 cạnh góc vuông bằng nhau)
2

b) Cạnh huyền bằng a 2

5. Nửa tam giác đều:
a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

a2 3
a
3
b) BC = 2AB
c) AC =
d) S =
8
2
B
1
6. Tam giác cân: a) S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
2

A

60 o

30 o

C

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực
7. Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)
8. Hình thoi:

S=

1
d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)
2
THPT QT

www.thaydo.net

1

C


9. Hình vuông: a) S = a2
b) Đường chéo bằng a 2
10. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)
11. Đường tròn: a) C = 2 π R (R: bán kính đường tròn)
b) S = π R2 (R: bán kính đường tròn)
VII. CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1. Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác
a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

2
1
b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN
3
3

A

N

M
G

B

C

P

2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm
3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác
4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp
tam giác
VIII. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
1. Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy).

Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
2. Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều .Có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Chân
đường cao trùng với tâm của đa giác đáy .Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau
3. Đường thẳng d vuông góc với mp( α ):

d ⊥ a; d ⊥ b
a) Đt d vuông góc với 2 đt cắt nhau cùng nằm trên mp( α ) Tức là: a b
a,b �α
(α) ⊥ (β)
b) (α) �(β) = a
d ⊥ (α )

d ⊥ (α )

d

a ⊥ d �(β)

c) Đt d vuông góc với mp( α ) thì d vuông góc với mọi đt nằm trong mp( α )
4. Góc ϕ giữa đt d và mp( α ): d cắt ( α ) tại O và A d

AH ⊥ (α)
ˆ =ϕ
thì góc giữa d và ( α ) là ϕ hay AOH
H �(α)
5. Góc giữa 2 mp( α ) và mp( β ):
(α) �(β) = AB
Nếu FM ⊥ AB;EM ⊥ AB
EM �(α),FM �(β)
ˆ =ϕ

thì góc giữa ( α ) và ( β ) là ϕ hay EMF
N ếu

A

ϕ

d'
H

α

β

F

E

B
ϕ
M

α

A

6. Khoảng cách từ điểm A đến mp( α ):
Nếu AH ⊥ ( α ) thì d(A, ( α )) = AH (với H ( α ))
IX. KHỐI ĐA DIỆN:
1. Thể tích khối lăng trụ:

V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)
2. Thể tích khối chóp:

THPT QT

V=

1
Bh (diện tích đáy là đa giác)
3

www.thaydo.net

O

2


3. Tỉ số thể tích của khối chóp:
4. Diện tích xq của hình nón tròn xoay:
5. Thể tích của khối nón tròn xoay:
6. Diện tích xq của hình trụ tròn xoay:
7. Thể tích của khối trụ tròn xoay:
8. Diện tích của mặt cầu:
9. Thể tích của khối nón tròn xoay:

THPT QT

VS.A B C SA SB SC
=

.
.
VS.ABC SA SB SC
Sxq = πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
1
V = Bh (diện tích đáy là đường tròn)
3
Sxq = 2 πRl (R: bk đường tròn; l: đường sinh)
V = Bh = πR 2 h ( h: chiều cao khối trụ)
S = 4 πR 2 (R: bk mặt cầu )
4 3
V = πR (R: bán kính mặt cầu)
3

www.thaydo.net

3


PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN
I. CÔNG THỨC VECTƠ:
ℵ. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho

a = ( a1 ; a 2 ; a3 )


b = ( b1; b 2 ; b3 )

x A +x B +x C


x G =
3

y A +y B +yC

y G =
3

z A +z B +zC

zG =
3


và k ∈ R

Ta có:
 
1) a ± b = ( a1 ± b1; a 2 ± b2 ; a 3 ± b3 )



3) a.b = a1b1 + a 2 b2 + a 3 b3

4) a = a12 + a 22 + a 32
2) ka = ( ka 1; ka 2 ; ka 3 )

4) G là trọng tâm tứ diện ABCD

⇔ GA + GB + GC + GD = 0





5) Tích có hướng của hai vectơ a và b là

[a, b] =  ab ba

a 3 a 1 a 1a 2
;
b
b
 2 3 3 1 b1b 2


 
 
a , b = a . b .Sin a , b
2

6)

3

;

[ ]

( )






a1 = b1
 

7) a = b ⇔ a 2 = b 2
a = b
3
 3


  
8) a cùng phương b ⇔ a , b = 0
  
  
9) a ⊥ a , b hay b ⊥ a , b
  
  
a , b , c đồng phẳng ⇔ a , b .c = 0
10)
 
11) a ⊥b ⇔ a1b1 + a 2 b 2 + a 3 b3 = 0

[ ]
[ ]

[ ]

↑ Ứng dụng của vectơ:

[

1
. AB, AC
2

[ ]

]

•

S ∆ABC =

•

VHoäpABCD.A B C D = AB, AD .AA /

•

VTöùdieänABCD =

/

/

/

[

/

[

]

]

x A + x B + xC + X D

x G =
4

y + y B + yC + y D

⇔ y G = A
4

z A + z B + zC + z D

z G =
4

5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k. Ta có:
x A −kx B

x M = 1−k


y A −ky B

y M =
1−k

z A −kz B

z M = 1−k


, k ≠1

6) I là trung điểm của đoạn AB thì:
xA + xB

x I =
2

y
+
yB

A
y I =
2

z A + z2

z I =

2


III. MẶT PHẲNG:
1) Giả sử mp ( α ) có cặp VTCP là :

1
. AB, AC .AD
6


a = ( a1 ; a 2 ; a 3 )

b = ( b1; b 2 ; b3 )

II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog không gian Oxyz cho A( x A ; y A ; z A )

Nên có VTPT là:

1) AB = ( x B − x A ; y B − y A ; zB − z A )
2)

    a 2 a 3 a 3a1 a1a 2 
;
;
n = a , b = 

 b2 b3 b3 b1 b1b 2 
2) Phương trình tổng quát của mp ( α ) có

B( x B ; y B ; z B )

− x A ) + ( y B − y A ) + ( zB − z A )
3) G là trọng tâm ∆ABC , ta có:
AB =

( xB

[ ]

2

2

THPT QT

2

dạng:
Ax + By + Cz + D = 0
Với A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 ; trong đó

n = ( A; B; C ) là VTPT của mp ( α )
3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ:

www.thaydo.net

4

♦ (Oxy) : z = 0 ; (Ozy) : x = 0
♦ (Oxz) : y = 0
4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt
nhau: ( α 1 ) : A1 x + B1 y + C 1z + D1 = 0

( α 2 ) : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
P.tr của chùm mp xác định bởi ( α 1 ) và ( α 2 )
là:

λ ( A1x + B1y + C1z + D1) + µ ( A2x + B2y + C2z + D2 ) = 0

với λ2 + µ 2 ≠ 0
5) Các vấn đề viết phương trình mặt
phẳng:
Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
P.Pháp:

• Tìm VTPT n = ( A; B; C ) và điểm đi
qua M 0 ( x0 ; y 0 ; z 0 )

• dạng:
A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0
Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng
qua ba điểm A, B, C
P.Pháp:
• Tính AB, AC

[


• Mp (ABC) có VTPT là n = AB, AC

và qua A
• Kết luận.
Vấn Đề 3: Viết phương trình mp ( α ) đi
qua điểm A và vuông góc BC
P.Pháp:
Mp ( α ) ⊥ BC. Nên có VTPT là BC qua A
Chú ý:

• Trục Ox chứa i = ( 1;0;0)


• Trục Oy chứa j = ( 0;1;0)

• Trục Oz chứa k = ( 0;0;1)

Vấn Đề 4: Viết phương tình mp ( β ) là
mặt phẳng trung trực của AB.
P.Pháp:

]

• Mp ( β) ⊥ AB. Nên có VTPT là AB đi

qua I là trung điểm của AB
• Kết luận.
Vấn Đề 5: Viết phương tình mp ( β ) đi qua
điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và song song với mặt

phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
P.pháp:
• ( β ) //( α ) . Nên phương trình ( β ) có
dạng:
Ax + By + Cz + D / = 0
• M 0 ∈ ( β) ⇒ D
• Kết luận
Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) đi
qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q)
P.Pháp:
• Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT

của (Q) là n Q
/



[



]

• Mp (P) có VTPT là n = AB, n Q và qua
A
• Kết luận.
Vấn Đề 7: Viết phương trình mp ( α ) đi
qua các điểm là hình chiếu của điểm
M ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) trên các trục toạ độ.
P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 lần lượt là hình

chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz. Thì
M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0)
* Phương trình mp ( α ) là:

y
x
z
+ +
=1
x0 y
z0

Vấn Đề 8: Viết phương trình mp ( α ) đi
qua điểm M0 và vuông góc với hai mặt
phẳng (P) và (Q).
P.Pháp:

• (P) có VTPT là n P


• (Q) có VTPT là n Q
 
• Mp ( α ) có VTPT là [ n P , n Q ] và qua Mo

• Kết luận.
•
ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A.
P.Pháp:
• Xác định tâm I của mặt cầu (S)
• Mặt phẳng ( α ) : Mp tiếp diện có VTPT : IA

• Viết phương trình tổng quát.

THPT QT

www.thaydo.net

5


IV. ĐƯỜNG THẲNG:
ϑ Phương trình đường thẳng:
1) Phương trình tổng quát của đường thẳng:

 A1 x + B1 y + C 1z + D1 = 0

 A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
với A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2

2) Phương trình tham số của đường thẳng đi
qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) có VTCP

a ( a1; a 2 ; a 3 ) là:
 x = x 0 + a1t

( t ∈ R)
 y = y 0 + a 2t
z = z + a t
0
3


3) Phương trình chính tắc của đường thẳng

đi qua điểm M0 có VTCP: a ( a1; a 2 ; a 3 ) là
x − x 0 y − y 0 z − z0
=
=
Với
a1
a2
a3
a12 + a 22 + a 32 ≠ 0
Σ Qui ước: Nếu ai = 0 thì x – x0 = 0
ϑ Vấn Đề 1: Tìm VTCP của đường thẳng
tổng quát.

 A1 x + B1 y + C 1z + D1 = 0
∆: 
 A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Viết phương trình tổng quát về phương trình
tham số Hoặc chính tắc. Ta tìm:

- VTCP u = ( a1; a 2 ; a 3 ) bằng vấn đề 11
- Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị
nào đó. Giải hệ tìm x, y => z
- Có điểm thuộc đường thẳng
- Kết luận.
ϑ Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng ∆ đi qua
điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông góc với mặt
phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0

P.Pháp:

 Mp ( α ) có VTPT là n = ( A; B; C )
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 và có VTCP là

n

•

Viết phương trình chính tắc => Ptr
tổng quát
ϑ Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu
của d trên mp ( α )
P.Pháp:
• Gọi d/ là hình chiếu của d trê mp ( α )
• Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa d và ( β ) ⊥( α )
• Nên ( β ) có cặp VTCP là


• VTCP của d là u d và n α là VTPT của mặt
phẳng ( α )
•
•
•

P.Pháp:
  B1C1 C1 A1 A1 B1 

;
;


B
C
C
A
A
B
 2 2 2 2 1 2
ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình đường
thẳng ∆ :
P.Pháp:

•
Cần biết VTCP a = ( a1; a 2 ; a 3 ) và
điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) ∈ ∆
•
Viết phương trình tham số theo công
thức (2)
•
Viết phương trình chính tắc theo
công thức (3)
•
Viết phương trình tổng quát. thì từ
phương trình chính tắc , ta có phương trình
tổng quát:

∆ có VTCP là : a = 

 x − x0 y − y0
=

 a
a2
 1

 x − x 0 = z − z0
 a1
a3

•
Rút gọn về dạng (1)
Σ Chú ý:
THPT QT

•



 

Mp ( β ) có VTPT n β = [ u d , n α ]
Mp ( β ) đi qua điểm M0 ∈ d
Viết phương trình tổng quát của Mp

( β)

( α ) :
( β) :

Phương trình đường thẳng d/: 

ϑ Vấn Đề 5: Viết phương trình đường
thẳng d qua điểm M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) và vuông
góc với hai đường ∆ 1 và ∆ 2
P.Pháp:

• ∆ 1 có VTCP u1

• ∆ 2 có VTCP u 2
• d vuông góc với ∆ 1 và ∆ 2 . Nên d có VTCP

 
là u d = [ u1 ,u 2 ]
ϑ Vấn Đề 6: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đường
∆ 1 và ∆ 2 .
P.Pháp:
• Thay toạ độ A vào phương trình ∆ 1 và ∆ 2

⇒ A ∉ ∆ 1, A ∉ ∆ 2

www.thaydo.net

6


• Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa
∆1
• Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa
∆2
( P ) :

• P.tr đường thẳng d: 
( Q ) :
ϑ Vấn Đề 7: Viết phương trình đường
thẳng d ⊂ ( P ) cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆ 2 .
P.Pháp:
• Gọi A = ∆ 1 ∩ ( P )
• Gọi B = ∆ 2 ∩ ( P )
• Đường thẳng chính là đường thẳng AB
ϑ Vấn Đề 8: Viết phương trình đường
thẳng d // d1 và cắt cả hai đường ∆ 1 và ∆ 2 .
P.Pháp
• Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ 1 và (P) // d1

• Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ 2 và (Q) // d1
• d = ( P) ∩ (Q)
( P ) :
• Phương trình đường thẳng d 
( Q ) :

ϑ Vấn Đề 9: Viết phương trình đường
vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau ∆ 1 và ∆ 2 .
P.Pháp:


• Gọi u1 và u 2 lần lượt là VTCP của ∆ 1 và

•

Gọi ( β ) là mặt phẳng chứa

∆ 2 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) )
•
Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β )

ϑ Vấn Đề 11: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua điểm M0 vuông góc với đường
thẳng ∆ 1 và cắt đường thẳng ∆ 2
P.Pháp:
• Gọi ( α ) là mặt phẳng đi qua M0 và vuông
góc ∆ 1

• Gọi ( β) là mặt phẳng đi qua điểm M0 và
chứa ∆ 2
• Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β )

ϑ Vấn Đề 12: Viết phương trình đường
thẳng d đi qua giao điểm của đường thẳng
∆ và mặt phẳng ( α ) và d ⊂ ( α ) , d⊥∆
P.Pháp:
 Gọi { A} = ∆ ∩ ( α )
 Gọi ( β) là mặt phẳng đi qua A và
vuông góc với ∆ . Nên ( β ) có VTPT
là VTCP của ∆
Đường thẳng d = ( α ) ∩ ( β )

V. MẶT CẦU:
1. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán
kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
2. Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 2ax - 2by -2cz + d = 0 với đk a2 + b2 + c2 –d >

∆2
  
0
• Gọi v = [ u1 ,u 2 ]
thì (S) có : Tâm I(a ; b ; c)
• Gọi (P) là mặt phẳng chứa ∆ 1 và có một
Bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d

 

VTCP là v . Nên có VTPT là n P = [ u1 , v ] ⇒ ϑ Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu
phương trình mặt phẳng (P)
P.Pháp:
Cần:
• Gọi (Q) là mặt phẳng chứa ∆ 2 và có một
• Xác định tâm I(a ; b ; c) của mặt cầu

 

• Bán kính R
VTCP là v . Nên có VTPT là n Q = [ u 2 , v ]
•
Viết phương trình mặt cầu
⇒ phương trình mặt phẳng (Q)
2
(x-a)
+ (y-b)2 + (z-c)2 = R2
•
Phương trình đường vuông góc chung
ϑ Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu

( P ) :
đường kính AB
của ∆ 1 và ∆ 2 : 
P.Pháp:

( Q ) :
• Gọi I là trung điểm của AB. Tính toạ
ϑ Vấn Đề 10: Viết phương trình đường
độ I => I là tâm mặt cầu
thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng
1
∆ 1 và ∆ 2
• Bán kính R = AB
P.Pháp:
2
(
α
)
•
Gọi
là mặt phẳng chứa
• Viết phương trình mặt cầu
∆ 1 và có một VTCP là n P ( VTPT của (P) )
THPT QT

www.thaydo.net

7