Bai tap Chuong 4 Anh xa tuyen tinh

Bài tập (Đại số tuyến tính – PGS.TS. Đinh Ngọc Thanh)
1. Trong các ánh xạ sau đây, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính
a) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f ( x1 , x2 , x 3 ) = ( x1 , 0, 0 ) .
b) f : ℝ 3 → ℝ2 , f ( x1 , x2 , x 3 ) = ( x1 , − x3 )
c) f : ℝ 4 → ℝ 2 , f ( x1 , x2 , x 3 , x4 ) = ( x1 + x2 , x3 − x4 ) .
d) f : ℝ 3 → ℝ 2 , f ( x1 , x2 , x 3 ) = ( x1 x2 , x3 ) .
e) f : ℝ 3 → ℝ 3 , f ( x1 , x2 , x 3 ) = ( x1 + 3, x 2 , x3 ) .
2. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ và
S = {u1 , u 2 , ..., u r } là một hệ các vectơ của V . Chứng minh rằng nếu hệ vectơ

f ( u1 ) , f ( u 2 ) , ..., f ( u r ) độc lập tuyến tính (trong W ) thì hệ vectơ S cũng độc lập tuyến

tính (trong V ).
3. Cho ánh xạ f : ℝ2 → ℝ 2 xác đònh bởi
f ( x, y ) = ( x + 2y, 2x + y )

a) Chứng minh rằng f là một toán tử tuyến tính trên ℝ 2 .
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = {u1 = ( 2,1) , u 2 = ( 3, 2)} .
4. Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ 2 xác đònh bởi
f ( x1 , x 2 , x3 ) = ( 2x1 , x 2 − x 3 )

a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B : e1 = (1, 0, 0) , e2 = ( 0,1, 0 ) , e3 = ( 0, 0,1) trong ℝ 3
và cơ sở C : f1 = (1, 0 ) , f 2 = ( 0,1) trong ℝ 2 .
b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B trong ℝ 3 và cơ sở
C ′ : f1′ = (1, 2 ) , f 2′ = (1,1) trong ℝ 2 .

c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B ′ : e1′ = (1,1,1) , e′2 = ( 0,1, 2 ) , e′3 = ( 0, 0,1) trong ℝ 3
và cơ sở C ′ trong ℝ 2 .
5. Cho ánh xạ f : ℝ4 → ℝ3 xác đònh bởi
f ( x1 , x 2 , x3 , x4 ) = ( x1 − 2x 2 , x2 − 2x 3 , x 3 − 2x4 )

a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (B,C ) , với


B = {e1 = (1, −1, 0, 0 ) , e2 = ( 0,1, −1, 0 ) ,

, e3 = ( 0, 0,1, −1) , e4 = ( 0, 0, 0,1)}

,

C = {f1 = (1,1,1) , f2 = (1,1, 0 ) , f3 = (1, 0, 0 )} .
6. Cho phép biến đổi tuyến tính f : ℝ3 → ℝ 3 xác đònh bởi
f ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x2 − 2x3 , x1 + x2 , x1 )

Tìm ma trận của f đối với cơ sở B : e1 = (1,1, 0 ) , e2 = ( 0,1,1) , e3 = (1, 0,1) .
7. Xác đònh ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ 3
B : e1 = (1,1, 0 ) , e2 = ( 0,1,1) , e3 = (1, 0,1) là

có

ma

trận

đối

với

cơ

sở

1 2 0 


A =  0 1 −2 
1 2 1 


Với u = ( 3, −2, 0) , tìm tọa độ của f ( u ) đối với cơ sở B .
8. Cho phép biến đổi tuyến tính f : ℝ4 → ℝ4 với ma trận đối với cơ sở chính tắc là
1

−1
A=
2

0

0
2
0
0

2
0
1
2

1


1
1

1

Xác đònh Ker f và tìm một cơ sở của nó.

9. Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ4 → ℝ3 xác đònh bởi
f ( x1 , x2 , x 3 , x4 ) = ( 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 , 3x1 + 4x 2 + 6x 3 + 7x4 ,
3x1 + x 2 + x3 + 4x4 , )

Tìm một cơ sở của Ker f và một cơ sở của Im f .

10. Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ3 → ℝ 3 xác đònh bởi
f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − 2x2 + x3 , x2 + x3 , x1 + x2 − 2x3 )

Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở cho Ker f , Im f .

11. Trong các ma trận sau đây, ma trận nào chéo hóa được ? Nếu chéo hóa được, xác đònh
ma trận chéo hóa nó cũng như ma trận chéo nhận được.
 1 −1 

3

a) 
1

2 1

b) 

 2 3


 1 0 0
c)  1 −1 1 
 2 0 1



5 4 6
d)  4 5 6 
 −4 −4 −5 



 1 −4 −8 
e)  −4 7 −4 
 −8 −4 1 



 0 0 1
f)  0 1 1 
 1 −1 1 



12. Cho B = {e1 , e2 , e3 } là một cơ sở của không gian vectơ V . Phép biến đổi tuyến tính

f : V → V có ma trận đối với cơ sở này là A . Hãy tìm một cơ sở của V sao cho đối với
cơ sở này ma trận của f là một ma trận chéo

 2 −2 0 
a) A =  −2 1 −2 
 0 −2 0 



 5 −6 2 
b) A =  6 −7 2  .
 6 −6 1 

