Teaching - Nguyen The Vinh UTC ď OSV-2015-GiaiTich-A

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN NĂM 2015

Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút

Bảng A

Bài A.1. Cho dãy số (an ) được xác định bởi công thức truy hồi:
2an+1 − 2an + a2n = 0, n = 0, 1, 2, ...
1. Chứng minh rằng (an ) là một dãy đơn điệu.
2. Biết a0 = 1, hãy tìm lim an .
n→∞

3. Tìm điều kiện của a0 để dãy (an ) có giới hạn hữu hạn. Trong trường hợp này, hãy tìm
lim nan .
n→∞

Bài A.2. Cho α, β là hai số thực bất kỳ mà |α| = |β|. Tìm tất cả các hàm f : R → R liên tục tại
0 và thỏa mãn phương trình
f (αx) = f (βx) + x2
với mọi x ∈ R. Có tồn tại hàm f thỏa mãn các điều kiện nói trên không nếu |α| = |β|?
Bài A.3. Cho f là một hàm nhận giá trị thực, xác định và liên tục trên [0,1]. Chứng minh rằng
tồn tại các số x1 , x2 , x3 ∈ (0, 1) sao cho
f (x1 )
4x1

+

f (x2 )

6x22

= f (x3 ).

Bài A.4. Cho f : [0, ∞) → [0, ∞) là một hàm liên tục. Biết rằng tồn tại giới hạn
x

(f (t))2 dt = a ∈ (0, ∞),

lim f (x)

x→∞

hãy tìm limx→∞

√
3

0

xf (x).
∞

Bài A.5. Cho (an ) là một dãy đơn điệu giảm, không âm, sao cho chuỗi
∞

n(an − an+1 ) cũng hội tụ.

minh rằng chuỗi

an hội tụ. Chứng
n=1

n=1

Hết

Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm