Bài tập cơ lí thuyết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (773.89 KB, 57 trang )
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
62
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
KHOA: Xây dựng và cơ học ứng dụng
BỘ MƠN: Cơ
Mơn Học : CƠ LÝ THUYẾT Mã mơn học:1121011
Số ĐVHT: 4
Trình độ đào tạo : Đại học
Chương 5(ĐLH): CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN ĐỘNG LỰC HỌC
1. Các nội dung kiến thức tối thiểu mà sinh viên nắm vững sau khi học xong chương 5
a – Nội dung
- Nắm vững các định lt cơ bản ĐLH
- Áp dụng định lt cơ bản ĐLH để giải hai bài tóan cơ bản
b- Dạng bài tóan
Hai bài tóan cơ bản ĐLH
o Bài tóan thuận
o Bài tóan nghịch
Bài tóan chuyển động tương đối của điểm
2. Các mục tiêu đánh giá và dạng câu hỏi gợi ý chương 5
Stt Mục tiêu KTra Nội dung Dạng câu hỏi gợi ý
1 Nhớ - Phương trình vi phân
ĐLH
- Phương trình vi phân
ĐLH trong chuyển động
tương đối
- WmF
- FFFWm
qt
c
qt
er
2 Hiểu - Mối tương quan giữa
các định luật
- Sự cân bằng tương đối
- F
= 0 thì constV
- 0 FF
qt
e
3 Vận dụng - Giải bài tóan chuyển
động của điểm bằng
định luật cơ bản ĐLH
4 Phân tích
5 Tổng hợp
6 So sánh, đánh
giá
3. Ngân hàng câu hỏi và đáp án chi tiết chương 5
TT Lọai Nội dung
1 Bài 1
Người công nhân kéo vật nặng A có trọng lượng P trượt trên mặt phẳng ngang không
nhẵn bằng lực
.constG
tạo góc với phương nằm ngang. Hệ số ma sát trượt giữa
vật và mặt ngang là f. Ban đầu vật có vận tốc v
0
Thiết lập phương trình chuyển động của vật A và trò số G của lực để vật chuyển động
đều.
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
63
Đáp
án
bài 1
Phương trình chuyển động A
Áp dụng công thức:
FmW
max
FNGP
Chiếu phương trình xuống các trục tọa độ:
1
)cos(coscos CtfNGxmfNGFGxm
ms
21
2
)cos(
2
1
CtCtfNGmx
0 = -P + N + G sin N = P – G sin
Với điều kiện đầu t = 0, x
0
= 0,
00
vx
.
Giải hệ phương trình trên ta tìm được phương trình chuyển động của vật A.
tv
gt
ff
P
G
x
0
2
2
sincos
Giá trò vật G, để vật chuyển động đều
x
= 0
sincos f
Pf
G
Bài2
Một vật được ném thẳng đứng với vận tốc v
0
.
Tìm độ cao mà vật đạt được và thời gian lên đến điểm đó
2
Đáp
án
bài 2
Thời gian vât chuyển động
Áp dụng công thức:
FmW
P
Chiếu phương trình trục Z : m Z
..
= Z =-P = -m g Z
..
= -g
2
P
G
A
P
o
V
2
P
ms
F
G
N
P
x
y
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
64
Z
.
= - g.t + C
1
Z = -
gt
2
2
+ C
1.
t + C
2
lúc t = 0 thì Z
.
= Z
.
0
= v
0
và Z = Z
0
= 0 C
1
= v
0
và C
2
= 0
Phương trình chuyển động : Z = -
gt
2
2
+ v
0
t
o
vtgZ
Cho 0Z
t =
v
g
0
Độ cao mà vật đạt được
H = -
gt
2
2
+ v
0
t =
g
v
g2
0
2
( ) + v
0
v
g
0
=
v
g
0
2
2
Bài 3
Một chất điểm có khối lượng 1 kg chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang từ gốc
toạ độ với vận tốc hướng theo trục x , trò số v
0
= 1 m/s và chòu tác dụng của lực hướng
theo trục y . trò số F = 100 cos (5t ) .
Tìm quỹ đạo của chất điểm
3
Đáp
án
bài 3
Quỹ đạo của chất điểm
Áp dụng công thức:
FmW
F
Chiếu lên hệ trục tọa độ
Yym
xm
..
..
0
ty
x
5cos100
0
3
1
5sin20 Cty
Cx
43
21
5cos4 CtCty
CtCx
Lúc t = 0 thì x
o
= 0 ,
o o
x v
do đó: C
1
= 0 và C
2
= v
o
y
.
0
= 0 , 0
o
y
do đó: C
3
= 0 và C
4
= 4
Vậy có các phương trình chuyển động
x = 10 t
y = 4 ( 1 - cos 5t )
Quỹ đạo của điểm : y = 4 ( 1 - cos
x
2
)
4 Bài 4
Một chiếc thuyền có khối lượng m chuyển động với vận tốc v
0
. Có thể xem vận tốc
nhỏ, lực cản của nước tỉ lệ bậc nhất theo qui luật R=v. Hỏi sau thời gian bao lâu thì
vận tốc giảm đi một nửa và quãng đường mà thuyền di chuyển được trong khoảng
thời gian đó.Hãy tìm quãng đường thuyền đi được cho đến khi dừng hẳn
v
0
X
Y
F
Z
P
M
V
o
V
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
65
Đáp
án
bài 4
Thời gian
Phương trình vi phân cho chuyển động thẳng: wmF
(*)
m
dv
dt
=F
kx
= -R = -v
dv
v
= - dt
m
(1)
Lấy tích phân hai vế cho (1)
0
v
v
dv
v
=-
m
0
t
dt
0
0
ln
v t
v
v t
m
t =
0
ln
v
m
v
vì v
0
=2v t=
ln2
m
Quảng đường để vận tốc giảm đi một nửa
Từ(*) mv
dv
dx
= -v mvdv=-vdx m dv=- dx (2)
Lấy tích phân hai vế của phương trình (2)
m
0
v
v
dv
= -
0
x
dx
x
v
v
xvm
0
2
0
0
0
2
v
m
x
Quảng đường để vận tốc của thuyền bằng không
Lấy tích phân hai vế của phương trình (2)
m
0
0
v
dv = -
0
x
dx
x
v
xvm
0
0
0
0
v
m
x
5 Bài 5
Chất điểm M có khối lượng m treo bằng sợi dây có chiều dài l . Ban đầu chất điểm ở
vò trí thấp nhất và được truyền vận tốc V
0
theo phương ngang.Xác đònh :
1. Ở vò trí nào dây trùng lại và chất điểm như chuyển động tự do ?
2. Vận tốc ban đầu nhỏ nhất bằng bao nhiêu để chất điểm có thể chuyển động cả
đường tròn ?
M
0
V
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
66
Đáp
án
bài 5
Ở vò trí dây trùng lại
Áp dụng công thức: F mW
P T mW
(*)
Chiếu (*) lên phương tiếp tuyến
ml
= -mgsin (1)
Chiếu (*) lên phương pháp tuyến
n
ml
2
= T - mgcos (2)
Từ (1)
+
g
l
sin =0 (*)
khi dây trùng T=0
(2)ml
2
= - mgcosl
2
= - gcos (2’)
(1)
d
d
= -
g
l
sin sin
g
d d
l
(3)
Lấy tích phân 2 vế (3)
2
2
=-
g
l
cos + c
1
Khi t=0 ,
0
= 0 ,
0
0
( )
v
l
c
1
=
2
0
2
2
v
l
-g
Vậy ta có :
2
2
=
g
l
cos+
2
0
2
2
v
l
-g
Thế vào (2’) 2
g
l
( cos+
2
0
2
2
v
l
-g)=-cos cos =
2
0
2
3
gl v
gl
(4)
1. Vận tốc ban đầu nhỏ nhất bằng để chất điểm có thể chuyển động cả đường tròn
Để chất điểm M chuyển động cả đường tròn khi đó =
Thế vào (4) -1=
2
0
2
3
gl v
gl
v
omin
= 5gl
Bài 6
Động điểm khối lượng m chuyển động từ trạng tháiđứng yên và vò trí x
o
= a theo
đường thẳng dưới tác dụng lực kéo tỷ lệ với khỏang cách từ điểm đến góc tọa độ
F
x
= C
1
mx và lực đẩy tỷ lệ với lập phương khỏang cách Q
x
= C
2
mx
3
. Tìm quan hệ
giữa C
1
, C
2
và a để chất điểm chuyển động đến gốc tọa độ thì dừng lại
6
Đáp
án
bài 6
Áp dụng công thức:
FmW
FQ
mxCmxCFQxm
xx 1
3
2
..
xCxCx
1
3
2
..
Mặt khác: xCxC
dx
xd
xx
1
3
2
.
...
X
Q
F
M
M
0
V
T
P
n
M
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
67
B
x
C
x
C
x
dxxCxCxdx
242
2
1
4
2
2
1
3
2
..
Điều kiện ban đầu :t = 0; x(0) = a và 0)0(
.
x
Nên
42
4
2
2
1
a
C
a
CB
42242
4
2
2
1
2
1
4
2
.
2
a
C
a
C
x
C
x
C
x
Khi dừng lại tại gốc tọa độ thì x = 0 và 0
.
x nên
0
42
4
2
2
1
a
C
a
C hay 0
2
2
21
a
CC
2
2
21
a
CC
7 Bài 7
Chất điểm M có khối lượng m chuyển động trong mặt phẳng nằm ngang XOY dưới
tác dụng của lực luôn hướng về điểm O cố đònh
rmkF
2
, trong đó r
là bán kính
véctơ, k
2
là hằng số tỉ lệ.
Tìm phương trình chuyển động và q đạo của điểm M
Biết rằng ở thời điểm t = 0 thì : x
0
= a , y
0
= 0 ,
o
x
= 0 ,
o
y
= V
0
Đáp
án
bài 7
Áp dụng công thức :
PFWmF
2
mx k mx
2
0x k x
mykym
2
2
0y k y
Nghiệm của các phương trình vi phân là :
x = C
1
costkt + C
2
sinkt
y = C
3
coskt + C
4
sinkt
x
= - C
1
ksin kt + C
2
kcoskt
y
= - C
3
ksinkt + C
4
kcoskt
Dựa vào điều kiện đầu để xác đònh các hệ số C
1
, C
2
, C
3
C
4
Tại thời điểm ban đầu, t = 0:
x = x
0
= a C
1
= a
y = y
0
= 0 C
3
= 0
0
xx
= 0 C
2
= 0
00
Vyy
C
4
=
o
V
k
Vậy phương trình chuyển động của chất điểm là :
O
X
Y
a
M
F
r
A
o
V
A
O
X
Y
a
M
F
o
V
A
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
68
x = a costkt
kt
k
V
y sin
0
Q đạo của chất điểm , ta có
: kt
k
V
y
kt
a
x
sin;cos
0
1
2
0
2
2
2
k
V
y
a
x
8 Bài 8
Để chon các hạt người ta cho hạt đi qua sàn dao động ngang có nhiều lỗ. Vận tốc
ngang của hạt khi bắt đầu chuyển động qua lỗ là v
o
. Hạt có dạng hình cầu bán kính
R. Bỏ qua ma sát không khí. Xác đònh độ dài bé nhất b của lỗ để hạt có thể rơi qua lỗ
được.
Đáp
án
bài 8
Độ dài bé nhất b của lỗ để hạt có thể rơi qua lỗ được.
Áp dụng công thức:
FmW
P
Chiếu phương trình xuống các trục tọa độ
Ox: m
x
= P
x
= mg
2
1 1 2
1
2
x g x gt c x gt c t c
Oy: m y
= P
y
= 0
3 3 4
0y y c y c t c
Khi t = 0 thì x
o
= 0 và
00
,0,0 vyyx
o
Ta suy ra
2
c = c
1
= 0 và c
3
= v
o
, c
4
= 0
Phương trình chuyển động của điểm: x =
2
1
gt
2
và y = v
o
t
Q đao điểmy(x) =v
o
g
x2
Điều kiện để hạt rơi xuống lỗ: x=R và y = b – R
Hay : b – R = v
o
g
R2
b = R + v
o
b
o
V
V
o
P
b
X
Y
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
69
z
P
vr
Fe
We
N
M
A
01
B
0
n
R
s
r
Bài 9
Nữa đường tròn AB có bán kính R, quay đều quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc
ω. Chiếc nhẫn M trượt không có ma sát dọc theo vòng. Tại thời điểm đầu, nhẫn M có
vò trí cao nhất A, sau đó hơi lệch khỏi trục và bắt đầu trượt
Tìm vận tốc tương đối của nhẫn phụ thuộc vào góc ở tâm đường tròn.
9
Đáp
án
bài 9
Vận tốc tương đối của nhẫn phụ thuộc vào góc ở tâm đường tròn.
Áp dụng công thức chuyển động tương đối
qt qt qt qt
r e c e c
mW F F F P N F F
chiếu xuống trục tiếp tuyến M
,
ta được phương trình vi phân:
cossin
qt
e
Fmgsm
,
Trong đó: -
22
.sin mrmrmWF
e
qt
e
,
- .s R s R
Phương trình trên đưa về dạng: cossinsin
2
mRmgmR
z
P
M
A
B
R
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
70
hay: cossinsin
2
R
g
.
Để tìm
theo , ta dùng phép biến đổi:
d
d
dt
d
d
d
dt
d
.cossinsin
2
dd
R
g
d
Tích phân phương trình trên với điều kiện đầu t = 0,
0
= 0, 0
0
, ta có
0
2
00
sinsinsin dd
R
g
d
2
cos
2
sin2sin
2
)cos1(
2
1
222
2
2
r
g
R
g
Vận tốc tương đối của chất điểm M :V
r
=
2
cos
2
sin2
22
R
g
RR
.
Bài
10
Quả cầu nhỏ M có trọng lượng P = 2N được đặt trên mặt nghiêng nhẵn của khối lăng
trụ tam giác A. Lăng trụ có thể trượt trên mặt phẳng ngang. Mặt nghiêng của lăng trụ
tạo với mặt phẳng ngang góc
4
3
arctg . Lăng trụ A phải trượt trên mặt phẳng
ngang với gia tốc là bao nhiêu để quả cầu đứng yên trên nó vàtìm phản lực do lăng
trụ A tác dụng vào quả cầu
10
Đáp
án
bài
10
Gia tốc A để quả cầu đứng yên trên nó và phản lực lăng trụ A tác dụng vào quả cầu
y
x
P
M
F
eqt
N
A
W
e
=W
P
A
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
71
Điều kiện cân bằng trong chuyển động tương đối:
0
qt
e
F F
0
qt
e
F N F
Trong đó :
w
g
P
F
qt
e
.
Chiếu xuống hai trục tọa độ xoy ta được:
: sin 0
: cos 0
qt
e
Ox N F
Oy N P
2
2
9
1 2 1 2,5
cos 16
3
sin 7,35
4
P
N P tg N
P m
N w w gtg g
g s
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
72
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
KHOA: Xây dựng và cơ học ứng dụng
BỘ MƠN: Cơ
Mơn Học : CƠ LÝ THUYẾT Mã mơn học:1121011
Số ĐVHT: 4
Trình độ đào tạo : Đại học
Chương 6(ĐLH): CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QT ĐỘNG LỰC HỌC
1. Các nội dung kiến thức tối thiểu mà sinh viên nắm vững sau khi học xong chương 6
a – Nội dung
- Nắm vững các định lý tổng qt ĐLH
- Áp dụng các định lý tồng qt ĐLH để giải hai bài tóan chất điểm và cơ hệ
b- Dạng bài tóan
Hai bài tóan cơ bản ĐLH hệ một bậc tự do
o Bài tóan thuận
o Bài tóan nghịch
2. Các mục tiêu đánh giá và dạng câu hỏi gợi ý chương 6
Stt Mục tiêu KTra Nội dung Dạng câu hỏi gợi ý
1 Nhớ - Định lý biến thiên động
lượng
- Định lý chuyển động
khối tâm
- Định lý biến thiên
momen động lượng
- Định lý biến thiên động
năng
- Định luật bảo tòan cơ
năng
-
n
e
k
F
dt
Qd
1
)(
;
e
k
o
SQQ
1
-
e
n
e
kc
RFwM
1
- )(
0
e
ko
Fm
dt
Ld
, )(
e
kz
z
Fm
dt
dL
-
k
n n
i
kk
e
k
rdFrdFdT
1 1
-
i
A
e
12
A T T
2 Hiểu - Hiểu ý nghĩa cá đại
lượng: Động lượng,
momen động lượng,
động năng, cơng và
cơng suật
-
1
N N
i i i C
i
Q q m v Mv
-
kkk
n
kkoo
vmrvmmL
1
)(
- T =
n
kk
vm
1
2
2
1
- A =
1 1
cos
M
M
s
s
o o
dsFAd
.
- vF
dt
drF
W
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
73
3 Vận dụng - Thuần thục các định lý
để giải bài tóan trong
kỹ thuật
4 Phân tích
5 Tổng hợp
6 So sánh, đánh
giá
So sánh các định lý khi
dùng để giải các bài tóan
động lực học
3. Ngân hàng câu hỏi và đáp án chi tiết chương 6
TT Lọai Nội dung
Bài 1
Thuyền và người đang chuyển động với vận tốc V
0
. Bỏ qua sức cản của nước , Hãy
xác đònh dòch chuyển S của thuyền nếu người đi trên thuyền với vận tốc tương đối
không đổi u về phía mũi thuyền . Trọng lượng của người là P của thuyền là G . Với giá
trò nào của u thì thuyền không dòch chuyển.
1
Đáp
án
bài 1
Áp dụng đònh lý biến thiên động lượng :
SQQ
21
Chiếu lên chiều chuyển động ta có:
xxx
QQS
10
0
0
( ) ( )
Q P Q P
V V u V
g g g g
0
( )P Q V Pu
V
P Q
0
( )
.
P Q V Pu
S V t t
P Q
Thuyền không di chuyển khi : V=0
P
VQP
u
QP
uPVQP
V
00
0
2 Bài2
Cho cơ hệ gồm vật nặng A trọng lượng P đặt trên mặt phẳng nghiêng của lăng trụ B có
trọng lượng Q. Góc nghiêng của mặt lăng trụ với mặt ngang là . Lăng trụ đặt trên mặt
phẳng ngang nhẳn như hình vẽ, ban đầu vật nặng đặt nằm yên trên lăng trụ, còn lăng
trụ trượt sang phải với vận tốc V
0
. Sau đó cho vật A trượt xuống mặt phẳng nghiêng
lăng trụ với vận tốc tương đối u. Xác đònh vận tốc của lăng trụ.
P
Q
A
B
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
74
Đáp
án
bài 2
Xác đònh vận tốc của vật
Áp dụng đònh lý biến thiên động lượng :
2 1
e
k
Q Q S
Chiếu lên phương x: Q
2x
– Q
1x
=
n
k
e
kx
S
1
(*)
n
k
e
kx
S
1
= 0 Q
2x
– Q
1x
= 0 Q
2x
= Q
1x
(*)
Động lượng đầu : Q
1x
=
o
P Q
v
g
Động lượng sau : Q
2x
= m
A
v
Ax
+ m
B
v
Bx
trong đó:
A e r
v v v
=
v
B
+
u
Q
2x
=
cos
B
P Q
v u
g g
v
B
Thay vào (*) v
B
= -
0
cos ( )Pu P Q v
P Q
3 Bài 3
Vòi phun nước của 1 xe cứu hỏa có tiết diện F = 16
2
cm .Nước phun ra với tốc độ là 8
m/s . Xác đònh áp lực nước lên 1 vách thẳng đứng theo phương ngang khi ta đặt chếch 1
góc bằng
0
30
so với phương nằm ngang ?
V
30
o
B
V
B
V
u
P
N
Q
A
B
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
75
Đáp
án
bài 3
Xét khối lượng nước từ miệng vòi phun tới mặt vách ( phần abcd ) .Sau khoảng thời
gian t lượng nước tuôn thêm vào khối đó bằng phần aa’ còn lượng nước ra khỏi khối
đó bằng phần cc’ và dd’ .Như vậy biến thiên động lượng của khối nước bằng ::
o
1
=
33
vm
+
22
vm
-
11
vm
p dụng đònh lý động lượng :
33
vm
-
22
vm
- vm
= tN .
Do
32
, vv
có phương thẳng đứng nên khi chiếu lên phương ngang ta được :
m
1
v cos 30
0
= N t N =
t
vm
0
1
30cos
và do
g
tFvtvFm
1
N =
0 2 4 3
cos30 1610 1 0,86 64.10
9,04
9,81
F v
N N
g
Bài 4
Bánh xe đồng chất có trọng lượng P, lăn có trượt trên đường thẳng nằm ngang dưới tác
dụng của lực ngang
G const
tại tâm bánh xe Hệ số ma sát trượt giữa bánh xe và mặt
đường là f. Tại thời điểm ban đầu bánh xe đứng yên. Tìm chuyển động khối tâm C của
bánh xe.
4
Đáp
án
bài 4
Tìm chuyển động khối tâm C của bánh xe.
p dụng công thức : M
FW
c
ms
P N G F
Chiếu phương trình xuống các trục tọa độ
:
:0
ox Mx G fN
oy N P N P
Giải hệ phương trình trên ta tìm được :
C
g
Mx G fP x G fP
P
Tích phân phương trình trên với
điều kiện đầu : t = 0, 0
0
C
x
, x
C0
= 0
P
G
R
A
30
o
a
b
c
c’
d’
d’
b’
a’
ms
F
N
P
O
x
G
y
1
vm
3
vm
2
vm
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
76
Phương trình chuyển động của khối tâm C :
2
2
t
fPG
P
g
x
C
Bài 5
Hai vật A, B có trọng lượng tương ứng bằng P
1
và P
2
được nối với nhau bằng lò xo
thẳng đứng và đặt trên mặt phẳng ngang cố đònh. Với vật A dao động theo phương
thẳng đứng quanh tâm O theo quy luật z
A
= asinkt với a, k = const >0. Bỏ qua trọng
lượng của lò xo. Tìm áp lực của vật B lên mặt ngang. Tần số k phải thỏa mãn điều
kiện gì để vật B không bò nẩy lên khỏi mặt ngang.
5
Đáp
án
bài 5
Tìm áp lực của vật B lên mặt ngang.
p dụng công thức : M
FW
c
1 2
P N P
Chiếu lên trục OZ : NPPzM
C
21
xác đònh tọa độ khối tâm của hệ
1 2
B
, z , sin
C A B A
P P
Mz z z const z a kt
g g
2
1 1 1
cos sin
C A C
P P Pak
Mz z ak kt Mz kt
g g g
2 2
1 1
1 2 min 1 2
sin
Pak Pak
N P P kt N P P
g g
Tần số k phải thỏa mãn điều kiện:
.,0
1
21
2
1
21min
aP
PPg
k hay
g
akP
PPN
6 Bài 6
Vật A có khối lượng m
1
và được nâng lên nhờ hệ
thống ròng rọc như hình vẽ . Xác đòmh phản lực
của ròng rọc I , nếu vật B có khối lưộng m
2
hạ
xuống với vận tốc W . Bỏ qua ma sát và khối
lượng của ròng rọc.
O
1
P
Z
A
A
B
2
P
1
P
O
Z
B
N
A
B
B
2
P
Z
B
Z
A
m
m
x
W
C
I
II
A
B
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
77
Đáp
án
bài 6
Áp dụng đònh lý chuyển động khối tâm:
C
MW F
1 2c
MW P P N
Chiếu lên trục y ta có:
1 2c
My m m g N
(*)
Trong đó :
1 1 2 2c
My m y m y
1 2
2
c
W
my mW m
1 2 1 2
2
W
mW m m m g N
(*) N
1 2 1 1 2
2
W
m m gm mW m
7
Bài 7
Động cơ điện trọng lượng P đặt tự do trên sàn nhẵn nằm ngang . Người ta gắn một
đầu của thanh đồng chất dài 2l và nặng p vào trục của động cơ dưới một góc vuông,
còn đầu kia gắn vào tải trọng Q, vận tốc gốc của trục bằng
Hãy xác đònh :
1) Phương trình chuyển động ngang của động cơ .
2) Lực cắt ngang lớn nhất R tác dụng lên các bulông nếu ta gắn vỏ động cơ vào nền
bằng các bulông .
Đáp
án
bài 7
1) Chuyển động ngang của động cơ
p dụng công thức : M
FW
c
P N p Q
Chiếu lên trục x:
c
M x
= 0
c
x
= const
x
y
x
A
Q
P
C
A
O
R
x
y
x
A
Q
P
C
A
O
R
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
78
Lúc đầu hệ đứng yên
c
x
= 0 x
C
= const .
Lúc đầu OA = Oy. Nên: x
0
C
= 0 ; x
0
Q
= 0 ; x
0
p
= 0 .
Khi OA quay một góc =
t thì động cơ dòch chuyển sang phải một đoạn x.
khi đó
P
x
= x ;
P
x
.
= x+lsin
t ;
Q
x
= x + 2l sin
t
Px + p(x+l sin
t ) + Q (x + 2l sin
t) = 0
x = -
QpP
lQp
)2(
sin
t
2) Lực tác dụng lên bulông hướng theo trục x
R
x
= MW
CX
=
k
x
xm
..
=
g
P
P
x
..
+
g
p
p
x
..
+
g
Q
Q
x
..
P
x
= 0 ;
p
x
= l sin
= l sin
t ;
Q
x
= 2lsin
= 2l sin
t
0
..
P
x ;
p
x
..
= -l
2
sin
t ;
Q
x
..
-2l
2
sin
t
R =
g
P
p
x
..
+
g
p
P
x
..
+
g
Q
Q
x
..
= -
g
p
l
2
sin
t -
g
Q
2l
2
sin
t =
-
g
Qp 2
l
2
sin
t
R
max
=
g
Qp 2
l
2
với sin
t = -1 .
Bài 8
Hai vật nặng P
1
và P
2
được buộc vào hai đầu dây quấn vào hai tang của một tời bán
kính là r và R. Để nâng vật nặng P
1
lên người ta còn tác dụng vào tời một mômen quay
M = const. Tìm gia tốc góc của tời quay. Trọng lượng của tời là Q và bán kính quán
tính đối với trục quay là
.
8
Đáp
án
bài 8
p dụng đònh lý momen động lượng của hệ đối với trục Z ta được :
1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z
z z z z z
dL
m F m P m Q m R m P M
dt
(*)
O
Q
A
B
1
P
2
P
A
M
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
79
Trong đó:
- L
z
= J
z
. +
1
A
P
V r
g
+
2
B
P
V R
g
- m
z
(Q
) = 0 , m
z
(
R ) = 0 , m
z
(
1
P
) = P
1
.r , m
z
(
2
P
) = P
2
.R
( )
z
m F
M + P
2
.R – P
1
r
J
z
=
Q
g
2
, V
A
= r. , V
B
= R.
Thay kết quả vừa tìm được vào (*) ta có :
d
dt
(
Q
g
2
+
1
P
g
r
2
+
2
P
g
R
2
) = M + P
2
.R – P
1
r
=
=
2 1
2 2
1 2
.
M P R Pr
g
Q Pr P R
Bài 9
Đóa tròn đồng chất A có trọng lượng P và bán kính r có thể quay quanh trục thẳng đứng
vuông góc và đi qua tâm của đóa. Tại thời điểm ban đầu, tâm của đóa có viên bi M có
trọng lượng Q và đóa A có vận tốc
0
. Sau đó viên bi M bắt đầu chuyển động dọc theo
đường bán kính của đóa với vận tốc tương đối u không đổi
Tìm vận tốc góc của đóa tại thời điểm bất kỳ, sau khi viên bi rời khỏi tâm của nó và tại
thời điểm khi viên bi chạy đến mép của đóa. Bỏ qua ma sát tại ổ quay.
9
Đáp
án
bài 9
Tìm vận tốc góc của đóa tại thời điểm bất kỳ
p dụng đònh lý momen động lượng của hệ đối với trục Z ta được :
( ) ( ) ( ) ( ) 0
z
z z z z
dL
m F m P m Q m R
dt
(*)
M
u
Q
P
o
M
r
V
Q
B
R
p
eV
A
Z
c
R
B
C
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
80
Vậy momen động lượng bảo tòan đối với trục Z L
Z
= const
Trong đó:
-
0
2
00
2
Pr
g
JL
ZZ
-
1
Z Z Z r Z e Z Z e
Q Q Q
L J m v m v J m v
g g g
vì 0
rZ
v
g
Q
m
..
2
Pr
.
2
Pr
2
22
1
ut
g
Q
g
OMv
g
Q
g
L
eZ
L
Z0
= L
Z1
222
0
2
2Pr
Pr
tQu
Tìm vận tốc góc của đóa tại thời điểm khi viên bi chạy đến mép của đóa. Tại thời điểm
đó :
u
r
t
1
vận tốc góc của đóa :
QP
P
2
0
1
Bài
10
Cơ cấu hạn chế tốc độ gồm : tấm hình chữ nhật có chiều rộng 2b và chiều cao 2a quay
không ma sát quanh trục thẳng đứng nhờ dây quấn quanh hình trụ bán kính r.Đầu dây
còn lại treo vật nặng B có khối lượng m. Mỗi diện tích dS của tấm chòu tác dụng của
lực cản vuông góc với nó là dR=kvds ,(k là hệ số cản nhớt của môi trường, v là vận tốc
của mỗi phần tử tương ứng ) Xác đònh khối lượng m để vận tốc góc giới hạn của tấm là
0
bỏ qua khối lượng ròng rọc và hìmh trụ .
10
Đáp
án
bài
10
Gọi góc quay của tấm hình chữ nhật quanh trục Oy
Mỗi phần tử của tấm hình chữ nhật chòu lực cản là:
dR=kvds= kx dxdy
(Vì v x
, ds=dxdy)
Mômen cản của mồi phần tử tấm hình chữ nhật
2
dM xdR kx dxdy
Mômen cản của mỗi phần tử tấm hình chữ nhật
3
00
2
3
2
2 kabMdydxxkM
ab
m
2a
b
o
A
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
81
Áp dụng đònh lý :
Fm
dt
dL
z
z
(*)
Ta có:
22
mrJ
dt
dL
mrJL
z
z
, thay vào (*) ta được:
2 3
2
3
J mr mgr kab
Vì vận tốc góc
0
0
3
2
0
3
o
mgr kab
rg
kab
m
3
0
3
2
Bài
11
Khuôn vuông ABCD được chế tạo bằng các thanh đồng chất , có thể quay quanh với
trục nằm ngang đi qua điểm A . Tại thời điểm ban đầu khung lệch khỏi vò trí cân bằng
góc
0
và thả ra không vận tốc đầu . Xác đònh qui luật chuyển động của khung nếu
đường chéo d=0.96 .
11
Đáp
án
bài11
Áp dụng đònh lý :
Fm
dt
dL
z
z
(*)
Gọi
A
J là mô men quán tính của các thanh đối với trục đi qua A
2
2
2 2
1
,
3
1
12 4
CD
CD
A AB AD BC AB AD
z z z z z z z
BC
z z
J J J J J J J ml
l
J J ml m l
2
10
3
A
z
J ml Với d= 0.96m
2cos45
d
l = 0.69m
2
10
3
Z
L ml
(1)
Z
m F
= 4 sin
2
l
mg
(2)
Thế (1) và(2) vào (*)
2
10
4 sin
3 2
l
ml mg
B
A
D
l
C
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
82
Với l=0.69m thế số vào và rút gọn:
2
3,5 0
1 2
cos3,5 sin 3,5C t C t
1 2
3,5cos3,5 3,5sin 3,5C t C t
Tại t=0 ,
0
(0)
(0) 0
0
cos3,5t
12 Bài
12
Thanh đồng chất có chiều dài 2l nằm trên mặt phẳng nằm ngang quay tự do với vận
tốc góc
0
quanh trục thẳng đứng đi qua trọng tâm của nó. Tìm thời gian quay của nó
đến lúc dừng lại, nếu coi áp lực của mặt phẳng lên nó là đều .Hệ số ma sát của thanh
và mặt phẵng là như nhau.
Đáp
án
bài12
Gọi
là góc quay của thanh.
Áp dụng đònh lý :
z
z
dL
m F
dt
(*) Trong đó:
L
z
=
2
1
3
ml
z
dL
dt
=
2
1
3
ml
z
m F
= -M
ms
(
M
ms
là mômen của lực ma sát đối với OZ )
Tính M
ms
. Xét chất điểm m
k
:
ms k
F fm g , trong đó:
kk
l
l
m
m
2
ms k k
M fm gl
Vậy
0
2
2 2
l
ms k k
m l
M f gl dl fmg
l
thay vào (*)
2
1
3
ml
=-
2
l
fmg 3
2
l
fg
(**)
Lấy tích phân (**) ta được :
1
2
l
fg t c
Tại t=0,
0
c
1
=
0
0
2
l
fg t
Tại thời điểm thanh dừng lại 0
fg
l
t
0
3
2
z
o
z
o
l
k
l
k
m
k
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
83
13 Bài
13
Trên con lăn trụ bán kính R trọng lượng P có cuốn 1 sợi dây vắt qua vòng rọc O và một
đầu dây treo vật D trọng lượng Q – Ban đầu hệ đứng yên
Hãy xác đònh vận tốc v
0
của tâm C con lăn sau khi đi được một quãng đường bằng s .
Tìm gia tốc W
c
của tâm con lăn - Hệ số ma sát lăn của con lăn bằng k, bán kính quán
tính của con lăn đối với trục bằng . Khối lượng của dây và của ròng rọc O bé không
đáng kể .
Đáp
án
bài13
Áp dụng công thức :
i
k
e
k
AATT
01
0
0
T và
0
i
k
A
1
e
k
T A
(*)
Động năng của hệ : T = T
cl
+ T
D
Trong đó : T
D
=
1
2
2
Q
g
v
D
, T
cl
=
2 2 2
1 1
2 2
C
P P
v
g g
; =
c
v
R
và
2
D
c
v
v
T =
2
2
2
1
4 1
2
c
Q P v
R
)2(
1
R
Pk
sQMSQA
ms
Vận tốc tâm con lăn :
)1(4
)2(
2
2
R
PQ
R
kP
Qs
V
C
Gia tốc tâm con lăn :
)1(4(
)2(
2
2
R
PQ
R
kP
Q
W
c
14 Bài
14
Vật A có khối lượng m
1
đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn, gắn bản lề tại O với thanh thẳng đồng
chất OB có khối lượng m
2
và chiều dài l. Hệ bắt đầu chuyển động từ trạng
thái tónh, khi đó thanh OB nằm ngang. Bỏ qua ma sát tại bản lề O.
Tìm vận tốc của vật A tại thời điểm khi thanh OB ở vò trí thẳng đứng.
A
Q
C
P
D
O
B
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
84
Đáp
án
bài14
Tìm vận tốc của vật A tại thời điểm khi thanh OB ở vò trí thẳng đứng.
Áp dụng công thức :
i
k
e
k
AATT
01
Lúc đầu hệ đứng yên: 0
0
T và
0
i
k
A
1
e
k
T A
(*)
22
2
2
11
2
1
2
1
2
1
CCA
JvmvmT
Trong đó:
c r e
v v v
=
2
1
– v
A
,
2
1
r
v ,
v
e
= v
A
,
2
2
12
1
lmJ
C
,
22
2
2
2
2
11
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
lmvmvmT
AA
Để tìm vận tốc góc , áp dụng đònh lý bảo toàn động lượng của hệ. Ban đầu, hệ đứng
Q
x
= Q
ox
= 0. Tại vò trí OB thẳng đứng, động lượng của hệ bằng:
1 2 1 2A C A r e
Q m v m v m v m v v
,0
2
1
21
AAx
vmvmQ
.
2
2
21
lm
vmm
A
2
2
2121
1
6
4
A
v
m
mmmm
T
Biểu thức công :
2
2
l
gmA
Thay các giá trò vào (*):
2121
2
4
3
mmmm
gl
mv
A
15 Bài
15
Đoạn dây xích AB có chiều dài l, có hai phần ba xích nằm dọc theo đường dốc chính
của mặt phẳng, nghiêng góc với phương nằm ngang, phần còn lại của xích được
buông thõng theo phương thẳng đứng. Dưới tác dụng của trọng lực, dây xích bắt đầu
chuyển dọc theo mặt phẳng nghiêng xuống phía dưới từ trạng thái tónh. Cho biết hệ số
ma sát giữa xích với mặt nghiêng là f.
Tìm vận tốc của xích tại thời điểm khi đầu B của xích chuyển động đến điểm O, xích
bắt đầu nằm hoàn toàn trên mặt nghiêng.
l
O
A
o
B
o
O
e
V
A
O
1
Y
P
2
A
o
Y
1
P
1
r
V
A
V
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
85
Đáp
án
bài15
Tìm vận tốc của xích tại thời điểm khi đầu B của xích chuyển động đến điểm O
Áp dụng đònh lý biến thiên động năng dạng vi phân :
dAdT (*)
2 2
1 1
2 2
k
P
T m v v
g
vdv
g
P
dT
Tại vò trí bất kỳ của hệ được xác đònh bởi tọa độ OA = x, đoạn OA có trọng lượng
P
1
=
l
Px
và đoạn OB có trọng lượng P
2
=
l
xlP
.
Lực ma sát tác dụng vào đoạn xích OA có giá trò bằng:
.coscos
1max
l
fPx
fPfNF
Cơ hệ chuyển một đoạn vô cùng bé dx
dxPdxFdxPdA
2max1
sin
.1cossin Pdxxdxf
l
P
Thay các kết quả vào (*) ta được:
Pdxxdxf
l
P
vdv
g
P
1cossin
Tích phân phương trình trên:
l
l
l
l
v
dxgxdxf
l
g
vdv
3
2
3
2
0
1cossin
1cossin5
18
lg
2
2
f
v
v=
1cossin5lg
3
1
f
A
O
B
X
1
P
N
2
P
l-X
A
B
O
Ngân hàng đề thi: CƠ LÝ THUYẾT ĐẶNG THANH TÂN
86
16 Bài
16
Cho tấm tròn A có bán kính nằm trong mặt phẳng ngang và quay quanh trục thẳng
đứng với vận tốc góc
0
. Trên mép bàn có người B đứng im đối với bàn
Tìm công do người B sinh ra để có thể chạy vào đến tâm O cùa bàn. Biết momen quán
tính của bàn đối với trục quay là J. Người B được xem như là chất điểm có khối lượng
m. Bỏ qua ma sát tại trục quay của bàn.
Đáp
án
bài16
Tìm công do người B sinh ra để có thể chạy vào đến tâm O của bàn.
p dụng đònh lý biến thiên động năng dạng hữu hạn :
ATT
01
(*)
Tại vò trí ban đầu, động năng của hệ là:
22
0
2
1
2
1
Bo
mvJT
2 2
1
( )
2
o
J mr
Tại thời điểm cuối ,động năng của hệ bằng: .
2
1
2
11
JT (**)
Để tìm
1
:
0
e
z
Fm
10
zz
LL
Momen động lượng thời điểm đầu
0
2
0 0 0z B
L J mv r J mr
- Momen động lượng thời điểm sau:
1
1z
L J
.
0
2
1
J
mrJ
Thay kết quả này vào (**), ta được:
.
2
1
2
0
2
2
1
mrJ
J
T
O
A
o
B
Z
O
R
A
o
B
Z
gm
