Bài tập tọa độ trong không gian

BÀI TẬP
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi
rr r
i, j , k là các vecto đơn vị tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba trục như vậy gọi là hệ
tọa độ Đecac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là hệ tọa độ Oxyz
2. Tọa độ của vecto
r
r r
r
r
a. Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk
r
r
a
=
a
;
a
;
a
;
b

b. Tính chất: Cho
( 1 2 3 ) = ( b1; b2 ; b3 ) ; k ∈ R
r r
• a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
r
• ka = ( ka1; ka2 ; ka3 )
a = b
r r  1 1
• a = b ⇔ a2 = b2
a = b
 3 3
r
r
r
r
• 0 = ( 0;0;0 ) ; i = ( 1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1)
a1 = kb1
r r r
r
r
r
a a
a

• a cùng phương b, b ≠ 0 ⇔ a = kb; ( k ∈ R ) ⇔ a2 = kb2 ⇔ 1 = 2 = 3
b1 b2 b3
a = kb
3
 3
rr

• a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
r2
• a = a12 + a22 + a32
r r
rr
• a ⊥ b ⇔ a.b = 0
r
• a = a12 + a22 + a32
rr
r r
r r
a.b
a1b1 + a2b2 + a3b3
cos
a
,
b
=
=
r
r
a
•
với , b ≠ 0
a.b
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32

(

)

( )

(

3. Tọa độ của điểm
Tính chất: Cho A ( x A ; y A ; z A ) ; B ( xB ; yB ; z B )
uuu
r
• AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
•
•

AB =

( xB − x A )

2

+ ( yB − y A ) + ( z B − z A )
2

2

Tọa độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k, ( k ≠ 1) :
 x − kxB y A − ky B z A − kz B 
M A
;
;
÷

1
−
k
1
−
k
1− k 


2

)


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

 x + xB y A + y B z A + z B 
;
;
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M  A
÷
2
2 
 2
 x A + xB + xC y A + yB + yC z A + z B + zC 
;
;
• Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC: G 

÷
3
3
3


• Tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD:
 x + xB + xC + xD y A + y B + yC + yD z A + z B + zC + z D 
G A
;
;
÷
4
4
4


4. Tích có hướng củar hai véctơ r
a. Định nghĩa: Cho a = ( a1; a2 ; a3 ) , b = ( b1; b2 ; b3 )
r r
r r  a a3 a3 a1 a1 a2 
 a, b  = a ∧ b =  2
;
;
÷ = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )
 
b
b
b
b

b
b
3
3
1
1
2 
 2
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số
b. Tính chất
r r
r r r
r
•  a, b  ⊥ a ;  a, b  ⊥ b
r r
r r
r r
•  a, b  = a . b .sin a, b
r r
r
r r
• a, b cùng phương ⇔  a, b  = 0
c. Ứng dụng của tích có hướng
r r r
rr
r uuu
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0
uuu
r uuur
• Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD =  AB, AD 

r uuur
1 uuu
• Diện tích tam giác ABC: SVABC =  AB, AC 
2
uuu
r uuur uuur
• Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD. A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  . AA '
r uuur uuur
1 uuu
• Thể tích tứ diện ABCD: VABCD =  AB, AC  . AD
6
Chú ý:
- Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông
góc, tính góc giữa hai đường thẳng
- Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác, tính thể tích
khối tứ diện, thể tích hình hộp, chứng minh các vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng,
r chứng
r
rminh
r các vectơ cùng phương
a ⊥ b ⇔ a.b = 0
r r
r
r
r


⇔
a
,

b
=
0
và
cùng
phương
a
b
 
r r r
r rr
a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  .c = 0
•

( )

3


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

5. Phương trình mặt cầu
- Phương trình mặt cầu (S) tâm I ( a; b; c ) , bán kính R

( x − a)

2

+ ( y − b) + ( z − c ) = R2
2

2

- Phương trình x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 là phương
trình mặt cầu tâm I ( −a; −b; −c ) và bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d
Bài tập:
r
r
r
r
Bài 1: Cho a = ( 2; −5;3) , b = ( 0;2; −1) , c = ( 1;7;2 ) . Tìm tọa độ của các vectơ u với:
r
r 2r
r
r 1r r
r r
r r
u
=
−
4
b
+ c
a. u = 4a − b + 3c
b. u = a − 4b − 2c c.
3
2
r

r
r
r
r
r
r
r r r
1
4
3r 2r
u
=
a
−
b
−
2
c
u
=
a
−
b− c
d. u = 3a − b + 5c
e.
f.
2
3
4
3

r
Bài 2: Tìm tọa độ của vectơ x , biết rằng:
r
r
r r r
r r
r
a. a + x = 0 với a = ( 1; −2;1) b. a + x = 4a với a = ( 0; −2;1)
r
r
r
r r
a
=
5;4;
−
1
,
b
c. a + 2 x = b với
(
) = ( 2; −5;3)
r
r
r
Bài 3: Cho ba vectơ a = ( 1; −1;1) , b = ( 4;0; −1) , c = ( 3;2; −1) . Tìm
rr r
r 2 rr
r 2 r r2 r r2 r
a

a. .b .c
b. a bc
c. a b + b c + c a
r
r r r r2 r
rr r 2 r 2
d. 3a − 2 ab b + c b e. 4ac + b − 5c
r r
Bài 4: Tính góc giữa hai vectơ a, b :
r
r
r
r
a. a = ( 4;3;1) , b = ( −1;2;3) b. a = ( 2;5;4 ) , b = ( 6;0; −3)
r
r
r
r
c. a = ( 2;1; −2 ) , b = 0; − 2; 2
d. a = 3;2;2 3 , b = 3;2 3; −1
r
r
r
r
a
=
−
4;2;4
,
b

=
2
2;
−
2
2;0
(
)
a
=
3;
−
2;1
,
b
e.
f.
(
) = ( 2;1; −1)
r
Bài 5: Tìm vectơ u biết rằng
r
r
r
a = ( 2; −1;3) , b = ( 1; −3;2 ) , c = ( 3;2; −4 )
a.  r r
rr
rr
a
.

u
=
5,
ub
=
−
11,
u
.c = 20

r
r
r
a = ( 2;3; −1) , b = ( 1; −2;3) , c = ( 2; −1;1)
b.  r r r r r r
u ⊥ a, u ⊥ b, u.c = −6
r
r
r
a = ( 2;3;1) , b = ( 1; −2; −1) , c = ( −2;4;3 )
c.  r r
rr
rr
a.u = 3, b.u = 4, c.u = 2
r
r
r
a = ( 5; −3;2 ) , b = ( 1;4; −3) , c = ( −3;2;4 )
d.  r r
rr

rr
a.u = 16, b.u = 9, c.u = −4

( )

( )

( )

(
(

)

)

(

)

4

(

)


Hệ tọar độ trong rkhông gianr

Đỗ Văn Thọ

a = ( 7;2;3) , b = ( 4;3; −5 ) , c = ( 1;1; −1)
e.  r r
rr
r r
a.u = −5, b.u = −7, c ⊥ u
r r
Bài 6: Cho hai vectơ a, b . Tìm m để:
r
r
a = ( 2;1; −2 ) , b = 0; − 2; 2

a.  r
r
rr
r r r r
u = 2a + 3mb, v = ma − b, u ⊥ v
r
r
a = ( 3; −2;1) , b = ( 2;1; −1)
b.  r
r rr
r
r r r
u = ma − 3b, v = 3a + 2mb, u ⊥ v
r
r
a = ( 3; −2;1) , b = ( 2;1; −1)
c.  r
r rr

r
r r
r
u = ma − 3b, v = 3a + 2mb, u cung phuong v
r r r
r rr
c
Bài 7: Cho ba vectơ a, b, c . Tìm m để =  a, b 
r
r
r
a. a = ( 3; −1; −2 ) , b = ( 1;2; m ) , c = ( 5;1;7 )
r
r
r
a
=
6;
−
2;
m
,
b
=
5;
n
;
−
3
,

c
b.
(
)
(
) = ( 6;33;10 )
r
r
r
c. a = ( 2;3;1) , b = ( 5;6;4 ) , c = ( m; n;1)
r rr
Bài 8: Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a, b, c trong các trường hợp sau
r
r
r
r
r
r
a. a = ( 1; −1;1) , b = ( 0;1;2 ) , c = ( 4;2;3 ) b. a = ( 4;3;4 ) , b = ( 2; −1;2 ) , c = ( 1;2;1)
r
r
r
r
r
r
c. a = ( −3;1; −2 ) , b = ( 1;1;1) , c = ( −2;2;1) d. a = ( 4;2;5 ) , b = ( 3;1;3) , c = ( 2;0;1)
r
r
r
e. a = ( 2;3;1) , b = ( 1; −2;0 ) , c = ( 3; −2;4 )

r
r
r
a
=
5;4;
−
8
,
b
=
−
2;3;0
,
c
f.
(
)
(
) = ( 1;7; −7 )
r
r
r
g. a = ( 2; −4;3) , b = ( 1;2; −2 ) , c = ( 3; −2;1)
r
r
r
h. a = ( 2; −4;3) , b = ( −1;3; −2 ) , c = ( 3; −2;1)
r rr
Bài 9: Tìm m để ba vectơ a, b, c đồng phẳng

r
r
r
a. a = ( 1; m;2 ) , b = ( m + 1;2;1) , c = ( 0; m − 2;2 )
r
r
r
b. a = ( 2m + 1;1;2m − 1) , b = ( m + 1;2; m + 2 ) , c = ( 2m; m + 1;2 )
r
r
r
a
=
m
+
1;
m
;
m
−
2
,
b
=
m
−
1;
m
+
2;

m
,
c
c.
(
)
(
) = ( 1;2;2 )
r
r
r
d. a = ( 1; −3;2 ) , b = ( m + 1; m − 2;1 − m ) , c = ( 0; m − 2;2 )
r rr r
r rr
Bài 10: Cho các vectơ a, b, c, u . Chứng minh ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Biểu diễn
r rr
r
vectơ u theo các vectơ a, b, c
r
r
r
a = ( 2;1;0 ) , b = ( 1; −1;2 ) , c = ( 2;2; −1)
a.  r
u = ( 3;7; −7 )

(

)

5

Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

r
r
r
a = ( a; −7;9 ) , b = ( 3; −6;1) , c = ( 2;1; −7 )
b.  r
u = ( −4;13; −6 )
r
r
r
a = ( 2; −3;1) , b = ( −1;2;5 ) , c = ( 2; −2;6 )
c.  r
u = ( 3;1;2 )
r
r
r
a = ( 1;0;1) , b = ( 0; −1;1) , c = ( 1;1;0 )
d.  r
u = ( 8;9; −1)
r
r
r
a = ( 1;0;2 ) , b = ( 2; −3;0 ) , c = ( 0; −3;4 )
e.  r
u = ( −1; −6;22 )

r
r
r
a = ( 2; −1;1) , b = ( 1; −3;2 ) , c = ( −3;2; −2 )
f.  r
u = ( 4;3; −5 )
r r r ur
Bài 11: Chứng tỏ bốn vectơ a, b, c, d đồng phẳng
r
r
r
ur
a. a = ( −2; −6;1) , b = ( 4; −3; −2 ) , c = ( −4; −2;2 ) , d = ( −2; −11;1)
r
r
r
ur
b. a = ( 2;6; −1) , b = ( 2;1; −1) , c = ( −4;3;2 ) , d = ( 2;11; −1)
r rr
ur
Bài 12: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng và vectơ d . Chứng minh ba bộ vectơ sau
không
đồng
phẳng
rru
r
r
r
r r ur
r

r
a. b, c, d = ma + nb (với m, n ≠ 0 ) b. a, c, d = ma + nb (với m, n ≠ 0 )
r r ur
r
r
r
c. a, b, d = ma + nb + pc (với m, n, p ≠ 0 )
r r ur
r
r
r
d. b, c, d = ma + nb + pc (với m, n, p ≠ 0 )
r r ur
r
r
r
e. a, c, d = ma + nb + pc (với m, n, p ≠ 0 )

* Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diệ tích – thể tích
uuu
r
uuur
uuu
r uuur r
uuuruuur
- A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương ⇔ AB = k AC ⇔  AB, AC  = 0
uuu
r uuur
- ABCD là hình bình hành ⇔ AB = DC
Cho ∆ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ∆ABC

uuu
r
uuu
r AB uuur
AB uuur
.EC
FB =
.FC
trên BC. Ta có EB = −
AC
AC
uuu
r uuur uuur
- A, B, C, D không đồng phẳng ⇔ AB, AC , AD không đồng phẳng
uuu
r uuur uuur
⇔  AB, AC  . AD ≠ 0
Bài 1: Xét tính thẳng hàng của các bộ ba điểm sau:
a. A ( 1;3;1) .B ( 0;1;2 ) , C ( 0;0;1)
b. A ( 1;1;1) , B ( −4;3;1) , C ( −9;5;1)
c. A ( 10;9;12 ) , B ( −20;3;4 ) , C ( −50; −3; −4 )

6


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

d. A ( −1;5; −10 ) , B ( 5; −7;8 ) , C ( 2;2; −7 )

Bài 2: Cho ba điểm A, B, C
- Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác
- Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC
- Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
- Xác định tọa độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của
∆ABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó
- Tính số đo các góc trong ∆ABC
- Tính diện tích ∆ABC . Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ∆ABC
a. A ( 2;5;; −3) , B ( 1;0;0 ) , C ( 3;0; −2 ) , D ( −3; −1;2 )
b. A ( 1;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( 0;0;1) , D ( −2;1; −1)
c. A ( 1;1;0 ) , B ( 0;2;1) , C ( 1;0;2 ) , D ( 1;1;1)
d. A ( 2;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) , C ( 0;0;6 ) , D ( 2;4;6 )
e. A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) , C ( 6;3;7 ) , D ( −5; −4;8 )
f. A ( 5;7; −2 ) , B ( 3;1; −1) , C ( 9;4; −4 ) , D ( 1;5;0 )
g. A ( 2;4;1) , B ( −1;0;1) , C ( −1;4;2 ) , D ( 1; −2;1)
h. A ( −3;2;4 ) , B ( 2;5; −2 ) , C ( 1; −2;2 ) , D ( 4;2;3 )
i. A ( 3;4;8 ) , B ( −1;2;1) , C ( 5;2;6 ) , D ( −7;4;3 )
j. A ( −3; −2;6 ) , B ( −2;4;4 ) , C ( 9;9; −1) , D ( 0;0;1)
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’
- Tìm tọa độ các đỉnh còn lại
- Tính thể tích khối hộp
a. A ( 1;0;1) , B ( 2;1;2 ) , D ( 1; −1;1) , C ' ( 4;5; −5 )
b. A ( 2;5; −3) , B ( 1;0;0 ) , C ( 3;0; −2 ) , A ' ( −3; −1;2 )
c. A ( 0;2;1) , B ( 1; −1;1) , D ( 0;0;0 ) , A ' ( −1;1;0 )
d. A ( 0;2;2 ) , B ( 0;1;2 ) , C ( −1;1;1) , C ' ( 1; −2; −1)
Bài 4: Cho 4 điểm S ( 3;1; −2 ) , A ( 5;3;1) , B ( 2;3; −4 ) , C ( 1;2;0 )
a. Chứng minh SA ⊥ ( SBC ) ; SB ⊥ ( SAC ) ; SC ⊥ ( SAB )
b. Chứng minh S.ABC là hình chóp đều
c. Xác định tọa độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH
Bài 5: Cho 4 điểm S ( 1;2;3) , A ( 2;2;3) , B ( 1;3;3 ) , C ( 1;2;4 )

a. Chứng minh SA ⊥ ( SBC ) , SB ⊥ ( SAC ) , SC ⊥ ( SAB )
b. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều
c. Vẽ SH ⊥ ( ABC ) . Gọi S’ là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh S’.ABC là tứ diện
đều
* Phương trình mặt cầu

7


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu
Dạng 1: (S) có tâm I ( a; b; c ) và bán kính R

( S ) : ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c ) = R2
Dạng 2: ( S ) có tâm I ( a; b; c ) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính
Dạng 3: ( S ) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính
2

2

2

R = IA

- Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB:
x + xB
y + yB

z +z
xI = A
; yI = A
; zI = A B
2
2
2
AB
- Bán kính R = IA =
2
Dạng 4: ( S ) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD)
2
2
2
- Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 ( *)
- Thay lần lượt tọa độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình
- Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ phương trình mặt cầu (S)
Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước
Giải tương tự như dạng 4
Dạng 6: (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) cho trước
- Xác định tâm J và bán kính R’ của mặt cầu (T)
- Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai mặt cầu để tính bán kính R của mặt cầu (S)
(Xét hai trường hợp tiếp xúc trong và tiếp xúc ngoài)
Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S):
x 2 + y 2 + z 2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với a 2 + b 2 + c 2 − d > 0 thì ( S ) có tâm I ( −a; −b; −c ) và
có bán kính R = a 2 + b 2 + c 2 − d
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau
a. x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 2 y + 1 = 0 b. x 2 + y 2 + z 2 + 4 x + 8 y + −2 z − 4 = 0
c. x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y + 4 z = 0
d. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 4 y − 2 z − 86 = 0

e. x 2 + y 2 + z 2 − 12 x + 4 y − 6 z + 24 = 0
f. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x − 12 y + 12 z + 72 = 0
g. x 2 + y 2 + z 2 − 8 x + 4 y + 2 z − 4 = 0 h. x 2 + y 2 + z 2 − 3x + 4 y = 0
i. 3 x 2 + 3 y 2 + 3 z 2 + 6 x − 3 y + 15 z − 2 = 0 j. x 2 + y 2 + z 2 − 6 x + 2 y − 2 z + 10 = 0
Bài 2: Xác định m, t ,α ,... để phương trình sau xác định một mặt cầu, tìm tâm và bán kính của
các mặt cầu đó:
2
2
2
2
a. x + y + z − 2 ( m + 2 ) x + 4my − 2mz + 5m + 9 = 0
2
2
2
2
b. x + y + z − 2 ( 3 − m ) x − 2 ( m + 1) y − 2mz + 2m + 7 = 0
Bài 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R
a. I ( 1; −3;5 ) , R = 3
b. I ( 5; −3;7 ) , R = 2
c. I ( 1; −3;2 ) , R = 5 d. I ( 2;4; −3) , R = 3
Bài 4: Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A

8


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

a. I ( 2;4; −1) , A ( 5;2;3) b. I ( 0;3; −2 ) , A ( 0;0;0 ) c. I ( 3; −2;1) , A ( 2;1; −3)

d. I ( 4; −4; −2 ) , A ( 0;0;0 ) e. I ( 4; −1;2 ) , A ( 1; −2; −4 )
Bài 5: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB:
a. A ( 2;3; −1) ; B ( 5;2;3) b. A ( 0;3; −2 ) , B ( 2;4; −1) c. A ( 3; −2;1) , B ( 2;1; −3 )
d. A ( 4; −3; −3) , B ( 2;1;5 ) e. A ( 2; −3;5 ) , B ( 4;1; −3) f. A ( 6;2; −5 ) , B ( −4;0;7 )
Bài 6: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
a. A ( 1;1;0 ) , B ( 0;2;1) , C ( 1;0;2 ) , D ( 1;1;1)
b. A ( 2;0;0 ) , B ( 0;4;0 ) , C ( 0;0;6 ) , D ( 2;4;6 )
c. A ( 2;3;1) , B ( 4;1; −2 ) , C ( 6;3;7 ) , D ( −5; −4;8 )
d. A ( 5;7; −2 ) , B ( 3;1; −1) , C ( 9;4; −4 ) , D ( 1;5;0 )
e. A ( 6; −2;3) , B ( 0;1;6 ) , C ( 2;0; −1) , D ( 4;1;0 )
f. A ( 0;1;0 ) , B ( 2;3;1) , C ( −2;2;2 ) , D ( 1; −1;2 )
Bài 7: Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm nằm tròn mặt phẳng (P) cho
trước
 A ( 1;2;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 2;0; −1)
 A ( 2;0;1) , B ( 1;3;2 ) , C ( 3;2;0 )
a. 
b. 
( P ) ≡ ( Oxz )
( P ) ≡ ( Oxy )
Bài 8: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt cầu (T) với
 I ( −5;1;1)
a. 
2
2
2
( T ) : x + y + z − 2 x + 4 y − 6 z + 5 = 0
 I ( −3;2;2 )
b. 
2
2

2
( T ) : x + y + z − 2 x + 4 y − 8 z + 5 = 0
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1. vectơ pháp tuyến – cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng
r r
r
• vectơ n ≠ 0 là VTPT của ( α ) nếu giá của n vuông góc với ( α )
r r
• hai vectơ a, b không cùng phương là cặp VTCP của ( α ) nếu các giá của chúng song
song hoặc nằm trên ( α )
Chú ý:
r
r
• nếu n là một VTPT của ( α ) thì kn với ( k ≠ 0 ) cũng là VTPT của ( α )
r
r r
r r


α
n
=
a
• Nếu a, b là một cặp VTCP của ( ) thì
 , b  là một VTPT của ( α )
2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B 2 + C 2 > 0
r
• Nếu ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì n = ( A, B, C ) là một VTPT của ( α )
r

• Phương trình mặt phẳng đi qua M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có một VTPT n = ( A; B; C ) là

9


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
• Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn:
x y z
+ + = 1 ( α ) cắt các trục tọa độ tại các điểm ( a;0;0 ) , ( 0; b;0 ) , ( 0;0; c )
a b c
3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) có phương trình:
( α ) : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0
( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
• ( α ) , ( β ) cắt nhau ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
A B C
D
• ( α ) P( β ) ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1
A2 B2 C2 D2
• ( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0
A B C
D
• (α) ≡ ( β ) ⇔ 1 = 1 = 1 = 1
A2 B2 C2 D2
4. Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
d ( M 0,( α ) ) =

Ax0 + By0 + Cz0 + D

A2 + B 2 + C 2
Vấn đề 1: Viết phương trình mặt phẳng
r
• Dạng 1: ( α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B; C )
( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
r r
• Dạng 2: ( α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có cặp VTCP a, b . Khi đó một VTPT của ( α ) là
r
r r

n =  a, b 
• Dạng 3: ( α ) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với mặt phẳng ( β ) :
Ax + By + Cz + D = 0
⇒ ( α ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
• Dạng 4: ( α ) đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng
r uuu
r uuur

Khi đó ta có thể xác định một VTPT của ( α ) là n =  AB, AC 
• Dạng 5: ( α ) đi qua một điểm M và một đường thẳng ( d ) không chứa M:
r
- Trên ( d ) lấy điểm A và VTCP u
r uuuu
r r
- Một VTPT của ( α ) là n =  AM , u 
• Dạng 6: ( α ) đi qua một điểm M và vuông góc với một đường thẳng ( d ) :
r

VTCP u của đường thẳng ( d ) là một VTPT của ( α )
• Dạng 7: ( α ) đi qua 2 đường thẳng cắt nhau d1; d 2

10


Hệ tọa độ trong khôngrgian
r

Đỗ Văn Thọ

- Xác định các VTCP a, b của các đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 )
r
r r

- Một VTPT của ( α ) là n =  a, b 
- Lấy một điểm M thuộc ( d1 ) hoặc ( d 2 ) ⇒ M ∈ ( α )
• Dạng 8: ( α ) chứa đường thẳng ( d1 ) và song song với đường thẳng ( d 2 ) , ( d1 , d 2 chéo nhau)
r r
- Xác định các VTCP a, b của các đường thẳng d1; d 2
r
r r


α
n
=
a
(
)

- Một VTPT của
là
 , b
- Lấy một điểm M thuộc d1 ⇒ M ∈ ( α )
• Dạng 9: ( α ) đi qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2
r r
- xác định các VTCP a, b của các đường thẳng d1; d 2
r
r r

- một VTPT của ( α ) là n =  a, b 
• Dạng 10: ( α ) đi qua một đường thẳng ( d ) và vuông góc với một mặt phẳng ( β )
uur
r
d
n
(
)
- xác định VTCP u của
và VTPT β của ( β )
r
r uur

- một VTPT của ( α ) là n = u, nβ 
- lấy một điểm M thuộc ( d ) ⇒ M ∈ ( α )
• Dạng 11: ( α ) đi qua đường thẳng ( d ) cho trước và cách điểm M cho trước một khoảng k
cho trước
2
2
2

- Giả sử ( α ) có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0; ( A + B + C ≠ 0 )
- Lấy 2 điểm A, B ∈ ( d ) ⇒ A, B ∈ ( α ) (ta được hai phương trình (1), (2))
- Từ điều kiện khoảng cách d ( M , ( α ) ) = k ta được phương trình (3)

- Giải hệ phương trình (1), (2), (3) bằng cách cho giá trị một ẩn, tìm các ẩn còn lại
• Dạng 12: ( α ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau ( β ) , ( γ )
uur uu
r
- Xác định các VTPT nβ , nγ của ( β ) và ( γ )
r uur uu
r


α
n
=
u
,
n
- Một VTPT của ( ) là
 β γ
• Dạng 13: ( α ) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H
- Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R
r uuu
r
- Một VTPT của ( α ) là n = IH
r
Bài 1: viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M có VTPT n cho trước
r
r

a. M ( 3;1;1) , n = ( −1;1;2 ) b. M ( −2;7;0 ) , n = ( 3;0;1)
r
r
c. M ( 4; −1; −2 ) , n = ( 0;1;3)
d. M ( 2;1; −2 ) , n = ( 1;0;0 )
r
r
e. M ( 3;4;5 ) , n = ( 1; −3; −7 )
f. M ( 10;1;9 ) , n = ( −7;10;1)
Bài 2: Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB cho trước với

11


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

a. A ( 2;1;1) , B ( 2; −1; −1)

b. A ( 1; −1; −4 ) , B ( 2;0;5 )
1 
1
 
c. A ( 2;3; −4 ) , B ( 4; −1;0 ) d. A  ; −1;0 ÷, B 1; − ;5 ÷
2 
2
 
1 
 2 1 

e. A  1; ; ÷, B  −3; ;1÷
f. A ( 2; −5;6 ) , B ( −1; −3;2 )
3 
 3 2 
r r
Bài 3: Viết PT mặt phẳng đi qua điểm M và có cặp VTCP a, b cho trước với:
r
r
r
r
a. M ( 1;2; −3) , a = ( 2;1;2 ) , b = ( 3;2; −1) b. M ( 1; −2;3) , a = ( 3; −1; −2 ) , b = ( 0;3;4 )
r
r
r
r
c. M ( −1;3;4 ) , a = ( 2;7;2 ) , b = ( 3;2;4 ) d. M ( −4;0;5 ) , a = ( 6; −1;3) , b = ( 3;2;1)
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng ( β ) cho
trước với
a. M ( 2;1;5 ) , ( β ) : ( Oxy ) b. M ( 1; −2;1) , ( β ) : 2 x − y + 3 = 0
c. M ( −1;1;0 ) , ( β ) : x − 2 y + z − 10 = 0 d. M ( 3;6; −5 ) , ( β ) : − x + z − 1 = 0
e. M ( 2; −3;5 ) , ( β ) : x + 2 y − z + 5 = 0 f. M ( 1;1;1) , ( β ) :10 x − 10 y + 20 z − 40 = 0
Giải

uu
r uur

( a ) P( β ) ⇔ nα = nβ

uu
r uur

a. na = nβ = ( 0,0,1)
0 ( x − 2 ) + 0 ( y − 1) + 1( z − 5 ) = 0 ⇔ z − 5 = 0
uu
r uur
n
b. a = nβ = ( 2, −1,0 ) ⇒ 2 ( x − 1) − 1( y + 2 ) + 0 ( z − 1) = 0 ⇔ 2 x − y − 4 = 0
uu
r uur
n
c. a = nβ = ( 1, −2,1) ⇒ 1( x + 1) − 2 ( y − 1) + 1( z − 0 ) = 0 ⇔ x − 2 y + z + 3 = 0
Bài 5: Viết PT mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ,
với
a. M ( 2;1;5 ) b. M ( 1; −2;1)
c. M ( −1;1;0 )
d. M ( 3;6; −5 )
e. M ( 2; −3;5 )
f. M ( 1;1;1) g. M ( −1;1;0 )
h. M ( 3;6; −5 )
Bài 6: Viết PT mặt phẳng ( α ) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với
a. A ( 1; −2;4 ) , B ( 3;2; −1) , C ( −2;1; −3 ) b. A ( 0;0;0 ) , B ( −2; −1;3) , C ( 4; −2;1)

12


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

c. A ( −1;2;3) , B ( 2; −4;3) , C ( 4;5;6 )
d. A ( 3; −5;2 ) , B ( 1; −2;0 ) , C ( 0; −3;7 )

e. A ( 2; −4;0 ) , B ( 5;1;7 ) , C ( −1; −1; −1) f. A ( 3;0;0 ) , B ( 0; −5;0 ) , C ( 0;0; −7 )
Bài 7: Viết PT mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm B,
C cho trước, với
a. A ( 1; −2;4 ) , B ( 3;2; −1) , C ( −2;1; −3 ) b. A ( 0;0;0 ) , B ( −2; −1;3) , C ( 4; −2;1)
c. A ( −1;2;3) , B ( 2; −4;3) , C ( 4;5;6 )
d. A ( 3; −5;2 ) , B ( 1; −2;0 ) , C ( 0; −3;7 )
e. A ( 2; −4;0 ) , B ( 5;1;7 ) , C ( −1; −1; −1) f. A ( 3;0;0 ) , B ( 0; −5;0 ) , C ( 0;0; −7 )
Bài 8: Viết PT mặt phẳng ( α ) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng ( β ) cho trước
với:
 A ( 3;1; −1) , B ( 2; −1;4 )
 A ( −2; −1;3) , B ( 4; −2;1)
a. 
b. 
( β ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0
( β ) : 2 x + 3 y − 2 z + 5 = 0
 A ( 2; −1;3) , B ( −4;7; −9 )
 A ( 3; −1; −2 ) , B ( −3;1;2 )
c. 
d. 
( β ) : 3x + 4 y − 8 z − 5 = 0
( β ) : 2 x − 2 y − 2 z + 5 = 0
Bài 9: Viết PT mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng ( β ) , ( γ ) cho
trước với:
a. M ( −1; −2;5 ) , ( β ) : x + 2 y − 3 z + 1 = 0, ( γ ) : 2 x − 3 y + z + 1 = 0
b. M ( 1;0; −2 ) , ( β ) : 2 x + y − z − 2 = 0, ( γ ) : x − y − z − 3 = 0
c. M ( 2; −4;0 ) , ( β ) : 2 x + 3 y − 2 z + 5 = 0, ( γ ) : 3x + 4 y − 8 z − 5 = 0
d. M ( 5;1;7 ) , ( β ) : 3 x − 4 y + 3 z + 6 = 0, ( γ ) : 3 x − 2 y + 5 z − 3 = 0
Bài 10: Viết PT mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho
trước, với
a. M ( 1;2; −3) , ( P ) : 2 x − 3 y + z − 5 = 0, ( Q ) : 3 x − 2 y + 5 z − 1 = 0

b. M ( 2;1; −1) , ( P ) : x − y + z − 4 = 0, ( Q ) : 3 x − y + z − 1 = 0
c. M ( 3;4;1) , ( P ) :19 x − 6 y − 4 z + 27 = 0, ( Q ) : 42 x − 8 y + 3 z + 11 = 0
d. M ( 0;0;1) , ( P ) : 5 x − 3 y + 2 z − 5 = 0, ( Q ) : 2 x − y − z − 1 = 0
Bài 11: Viết PT mặt phẳng ( α ) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) đồng thời song song
với mặt phẳng (R) cho trước, với
a. ( P ) : y + 2 z − 4 = 0, ( Q ) : x + y − z − 3 = 0, ( R ) : x + y + z − 2 = 0
b. ( P ) : x − 4 y + 2 z − 5 = 0, ( Q ) : y + 4 z − 5 = 0, ( R ) : 2 x − y + 19 = 0
c. ( P ) : 3x − y + z − 2 = 0, ( Q ) : x + 4 y − 5 = 0, ( R ) : 2 x − z + 7 = 0
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng ( α ) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) đồng thời
vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước với
a. ( P ) : 2 x + 3 y − 4 = 0, ( Q ) : 2 y − 3 z − 5 = 0, ( R ) : 2 x + y − 3 z − 2 = 0

13


Hệ tọa độ trong không gian

b. ( P ) : y + 2 z − 4 = 0, ( Q ) : x + y − z + 3 = 0, ( R ) : x + y + z − 2 = 0
c. ( P ) : x + 2 y − z − 4 = 0, ( Q ) : 2 x + y + z + 5 = 0, ( R ) : x − 2 y − 3 z + 6 = 0
d. ( P ) : 3x − y + z − 2 = 0, ( Q ) : x + 4 y − 5 = 0, ( R ) : 2 x − z + 7 = 0
Bài 13: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau:
2 x + 3 y − 2 z + 5 = 0
3 x − 4 y + 3z + 6 = 0
5 x + 5 y − 5 z − 1 = 0
a. 
b. 
c. 
3 x + 4 y − 8 z − 5 = 0
3 x − 2 y + 5 z − 3 = 0
3 x + 3 y − 3z + 7 = 0

Đỗ Văn Thọ

2 x − 2 y − 4 z + 5 = 0
3 x − 2 y − 6 z − 23 = 0

e. 
d.

25
5
x
−
5
y
−
10
z
+
=
0
3 x − 2 y − 6 z + 33 = 0

2
Bài 14: Xác định m, n để các cặp mặt phẳng sau: Song song, cắt nhau, trùng nhau
3 x + my − 2 z − 7 = 0
5 x − 2 y + mz − 11 = 0
2 x + my + 3z − 5 = 0
a. 
b. 

c. 
nx + 7 y − 6 z + 4 = 0
3 x + ny + z − 5 = 0
nx − 6 y − 6 z + 2 = 0
6 x − 4 y − 6 z + 5 = 0
d. 
12 x − 8 y − 12 z − 5 = 0

3 x − y + mz − 9 = 0
2 x + y + 3z − 5 = 0
3 x − 5 y + mz − 3 = 0
d. 
e. 
f. 
2 x + ny + 2 z − 3 = 0
mx − 6 y − 6 z − 2 = 0
2 x + y − 3z + 1 = 0
3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0
 x + my − z + 2 = 0
2 x − ny + 2 z − 1 = 0
g. 
h. 
i. 
2 x + y + 4nz − 3 = 0
3 x − y + mz − 2 = 0
( m + 2 ) x − 2 y + mz − 10 = 0
Bài 15: Xác định m để các cặp mặt phẳng sau vuông góc với nhau
( 2m − 1) x − 3my + 2 z + 3 = 0
2 x − 7 y + mz + 2 = 0
a. 

b. 
3 x + y − 2 z + 15 = 0
mx + ( m − 1) y + 4 z − 5 = 0

3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0
mx + 2 y + mz − 12 = 0
c. 
d. 
 x + my + z + 7 = 0
( m + 2 ) x − 2 y + mz − 10 = 0
4 x − 3 y − 3z = 0
3 x − 5 y + mz − 3 = 0
e. 
f. 
mx + 2 y − 7 z − 1 = 0
x + 3y + 2z + 5 = 0
* Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song
• Khoảng cách từ điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0
Ax0 + By0 + Cz0 + D
d ( M 0,( α ) ) =
A2 + B 2 + C 2
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên mặt
phẳng này đến mặt phẳng kia
uuuu
r r
 MH , n cung phuong
• Điểm H là hình chiếu của điểm M trên (P) ⇔ 
 H ∈ ( P )
uuuuur

u
uuu
r
• Điểm M’ đối xứng với M qua (P) ⇔ MM ' = 2 MH

14


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

Bài 1: Cho mặt phẳng (P) và điểm M
- Tính khoảng cách từ điểm M đến (P)
- Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên (P)
- Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (P)
a. ( P ) : 2 x − y + 2 z − 6 = 0, M ( 2; −3;5 ) b. ( P ) : x + y + 5 z − 14 = 0, M ( 1; −4; −2 )
c. ( P ) : 6 x − 2 y + 3z + 12 = 0, M ( 3;1; −2 ) d. ( P ) : 2 x − 4 y + 4 z + 3 = 0, M ( 2; −3;4 )
e. ( P ) : x − y + z − 4 = 0, M ( 2;1; −1) f. ( P ) : 3x − y + z − 2 = 0, M ( 1;2;4 )
Bài 2: Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng:
 x − 2 y + 3z + 1 = 0
6 x − 2 y + z + 1 = 0
2 x − y + 4 z + 5 = 0
a. 
b. 
c. 
2 x − y + 3z + 5 = 0
6 x − 2 y + z − 3 = 0
3 x + 5 y − z − 1 = 0
4 x − y + 8 z + 1 = 0

2 x − y + 4 z + 5 = 0
d. 
e. 
4 x − y + 8 z + 5 = 0
3 x + 5 y − z − 1 = 0
Bài 3: Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng
 x − 2 y + 3z + 1 = 0
6 x − 2 y + z + 1 = 0
a. 
b. 
2 x − y + 3z + 5 = 0
6 x − 2 y + z − 3 = 0

3 x + 6 y − 3 z + 7 = 0
f. 
x + 2 y − z + 1 = 0

2 x − y + 4 z + 5 = 0
c. 
3 x + 5 y − z − 1 = 0
4 x − y + 8 z + 1 = 0
2 x − y + 4 z + 5 = 0
3 x + 6 y − 3 z + 7 = 0
d. 
e. 
f. 
4 x − y + 8 z + 5 = 0
3 x + 5 y − z − 1 = 0
x + 2 y − z + 1 = 0
Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách mặt phẳng một khoảng k cho trước

a. 6 x − 3 y + 2 z − 7 = 0; k = 3
b. 3 x − 2 y − 6 z + 5 = 0; k = 4
c. 6 x − 2 y + 3z + 12 = 0; k = 2 d. 2 x − 4 y + 4 z − 14 = 0; k = 3
Bài 5: Viết PTTQ của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (Q) cho trước.
Tính khoảng cách giữa (P) và (Q):
a. A ( 1;2; −3) , ( Q ) : 2 x − 4 y − z + 4 = 0 b. A ( 3;1; −2 ) , ( Q ) : 6 x − 2 y + 3 z + 12 = 0
Bài 6: Viết PTTQ cỉa mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) và cách điểm A một khoảng k
cho trước
a. ( Q ) : x + 2 y − 2 z + 5 = 0, A ( 2; −1;4 ) , k = 4 b. ( Q ) : 2 x − 4 y + 4 z + 3 = 0, A ( 2; −3;4 ) ; k = 3
Bài 7: Viết PTTQ của mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) một khoảng k:
a. ( Q ) : 3x − y + 2 z − 3 = 0, k = 14
b. ( Q ) : 4 x + 3 y − 2 z + 5 = 0, k = 29
* Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng ( α ) , ( β ) có phương trình:
( α ) : A1x + B1 y + C1z + D1 = 0

( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0
ur uu
r
Góc giữa ( α ) , ( β ) bằng hoặc bù với góc giữa hai VTPT n1 , n2
cos ( ( α ) , ( β ) )

uu
r uu
r
n2 .n2
= ur uu
r =
n1 . n2

A1 A2 + B1B2 + C1C2
A12 + B12 + C12 . A22 + B22 + C22

15


Hệ tọa độ trong không gian

(

)

0
0
·
Chú ý: 0 ≤ ( α ) , ( β ) ≤ 90 ;

Đỗ Văn Thọ

( α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0

Bài 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng
x + y − z + 1 = 0
x + 2 y − 2z + 1 = 0
a. 
b. 
x − y + z − 5 = 0
2 x + 2 y + z − 5 = 0

2 x − y + 4 z + 5 = 0

c. 
4 x + 2 y − z + −1 = 0
2 x − y − 2 z + 3 = 0
 3x − 3 y + 3z + 2 = 0
4 x + 4 y − 2 z + 7 = 0
d. 
e. 
f. 
 2 y + 2 z + 12 = 0 4 x + 2 y + 4 z − 9 = 0
2 x + 4 z − 5 = 0
Bài 2: Tìm m để góc giữa hai mặt phẳng sau bằng α cho trước
( 2m − 1) x − 3my + 2 z + 3 = 0
mx + 2 y + mz − 12 = 0


a. mx + ( m − 1) y + 4 z − 5 = 0
b.  x + my + z + 7 = 0

α = 450
0

α = 90

( m + 2 ) x + 2my − mz + 5 = 0
mx − y + mz + 3 = 0


c. mx + ( m − 3) y + 2 z − 3 = 0
d. ( 2m + 1) x + ( m − 1) y + ( m − 1) z − 6 = 0



0
0
α = 30
α = 90
* Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt
cầu
2
2
2
Cho mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2
•

(α)
(α)

và ( S ) không có điểm chung ⇔ d ( I , ( α ) ) > R

•
tiếp xúc với ( S ) ⇔ d ( I , ( α ) ) = R
Để tìm tọa độ tiếp điểm ta có thể thực hiện như sau:
- Viết PT đường thẳng (d) đi qua tâm I của (S) và vuông góc với ( α )
- Tìm tọa độ giao điểm H của (d) và ( α ) . H là tiếp điểm của (S) với ( α )
• ( α ) cắt (S) theo một đường tròn ⇔ d ( I , ( α ) ) < R
Để xác định tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến ta có thể thực hiện như sau:
- Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của (S) và vuông góc với ( α )
- Tìm tọa độ giao điểm H của (d) và ( α )
- H là tâm của đường tròn giao tuyến của (S) với ( α )
- Bán kinh r của đường tròn giao tuyến r = R 2 − IH 2
Bài 1: Xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S)

( P ) : 2 x − 3 y + 6 z − 9 = 0
( P ) : 2 x + 2 y + z − 1 = 0
a. 
b. 
2
2
2
2
2
2
( S ) : x + y + z − 6 x − 2 y + 4 z + 5 = 0 ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2 ) = 16

16


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

( P ) : x + y − 2 z − 11 = 0
( P ) : x − 2 y + 2 z + 5 = 0
c. 
d.

2
2
2
2
2
2

S
:
x
+
y
+
z
+
2
x
−
4
y
−
2
z
+
2
=
0
(
)

( S ) : x + y + z − 6 x − 4 y − 8 z + 13 = 0
( P ) : x + 2 y + 2 z = 0
( P ) : z − 3 = 0
e. 
f.

2

2
2
2
2
2
( S ) : x + y + z − 6 x + 2 y − 2 z + 10 = 0 ( S ) : x + y + z − 6 x + 2 y − 16 z + 22 = 0
Bài 2: Viể phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước:
a. I ( 3; −5; −2 ) , ( P ) : 2 x − y − 3 z + 1 = 0 b. I ( 1;4;7 ) , ( P ) : 6 x + 6 y − 7 z + 42 = 0
c. I ( 1;1;2 ) , ( P ) : x + 2 y + 2 z + 3 = 0
d. I ( −2;1;1) , ( P ) : x + 2 y − 2 z + 5 = 0
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước
2
2
2
a. ( S ) : ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 2 ) = 24 tại M ( −1;3;0 )
2
2
2
b. ( S ) : x + y + z − 6 x − 2 y + 4 z + 5 = 0 tại M ( 4;3;0 )

2
2
2
c. ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2 ) = 49 tại M ( 7; −1;5 )

2
2
2
d. ( S ) : x + y + z − 2 x − 2 y − 2 z − 22 = 0 và song song với mặt phẳng 3 x − 2 y + 6 z + 14 = 0
2

2
2
e. ( S ) : x + y + z − 6 x + 4 y + 2 z − 11 = 0 và song song với mặt phẳng 4 x + 3z − 17 = 0
2
2
2
f. ( S ) : x + y + z − 2 x − 4 y + 4 z = 0 và song song với mặt phẳng x + 2 y + 2 z + 5 = 0

 x = 4t + 4

2
2
2
g. ( S ) : x + y + z − 2 x + 6 y + 2 z + 8 = 0 và chứa đường thẳng ( d ) :  y = 3t + 1
z = t +1

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
1. Phương trình tham số của đường thẳng
• Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP
r
a = ( a1; a2 ; a3 )
 x = x0 + a1t
( d ) :  y = y0 + a2t , t ∈ R
z = z + a t
0
3

x − x0 y − y0 z − z0
=
=

• Nếu a1a2 a3 ≠ 0 thì ( d ) :
được gọi là phương trình chính tắc của
a1
a2
a3
(d)
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng (d), (d’) có phương trình tham số lần lượt là:
 x = x0 + a1t
 x = x '0 + a '1 t '

( d ) :  y = y0 + a2t và ( d ') :  y = y '0 + a '2 t '
z = z + a t
z = z ' + a ' t '
0
3
0
3



17


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

r ur r
  a , a ' = 0



• d Pd ' ⇔  r uuuuuuur
r
  a.M 0 M '0  ≠ 0
 x0 + a1t = x '0 + a '1 t '

• d ≡ d ' ⇔  y0 + a2t = y '0 + a '2 t ' (ẩn t , t ' ) có vô số nghiệm
z + a t = z ' + a ' t '
3
0
3
 0
r ur
r ur
r uuuuuuur r
a, a ' cung phuong
⇔
⇔  a, a ' =  a, M 0 M '0  = 0
 M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( d ')
 x0 + a1t = x '0 + a '1 t '

• d , d ' cắt nhau ⇔  y0 + a2t = y '0 + a '2 t ' (ẩn t , t ' ) có đúng một nghiệm
z + a t = z ' + a ' t '
3
0
3
 0
r ur
r

  a, a ' ≠ 0


⇔  r ur uuuuuuur
  a, a ' .M 0 M '0 = 0
r ur uuuuuuur
• d , d ' chéo nhau ⇔  a, a ' .M 0 M '0 ≠ 0
r ur
r ur
• d ⊥ d ' ⇔ a ⊥ a ' ⇔ a.a ' = 0
3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng
 x = x0 + a1t

Cho mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng ( d ) :  y = y0 + a2t , t ∈ R
z = z + a t
0
3

Xét phương trình A ( x0 + a1t ) + B ( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D = 0 (ẩn t) (*)
• ( d ) P( α ) ⇔ ( *) vô nghiệm
•
•

( d ) cắt ( α ) ⇔ ( *) có đúng một nghiệm
( d ) ⊂ ( α ) ⇔ ( *) có vô số nghiệm

4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu
 x = x0 + a1t

2

2
2
Cho đường thẳng ( d ) :  y = y0 + a2t , t ∈ R (1) và mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2
z = z + a t
0
3

(2)
Để xét VTTĐ của (d) và (S) ta thay (1) vào (2), được một phương trình (*)
• ( d ) và ( S ) không có điểm chung ⇔ ( *) vô nghiệm ⇔ d ( I , d ) > R
•
•

( d)
( d)

tiếp xúc với ( S ) ⇔ ( *) có đúng một nghiệm ⇔ d ( I , d ) = R
cắt ( S ) tại hai điểm phân biệt ⇔ ( *) có hai nghiệm phân biệt ⇔ d ( I , d ) < R

18


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường
r thẳng
Cho đường thẳng (d) đi qua M 0 và có VTCP a và điểm M
uuuuur r

M 0M , a


d ( M ,d ) =
r
a
6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ho hai đường thẳng chéo nhau ( d1 ) , ( d 2 )
ur
uu
r
( d1 ) đi qua điểm M 1 và có VTCP a1 , ( d 2 ) đi qua điểm M 2 và có VTCP a2
ur uu
r uuuuuur
 a1 , a2  .M 1M 2


d ( d1 , d 2 ) =
ur uu
r
 a1 , a2 



Chú ý: Khoảnh cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 , d 2 bằng khoảng cách giữa ( d1 ) với
mặt phẳng ( α ) chứa ( d 2 ) và song sogn với ( d1 )
7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa đường thẳng (d) với mặt phẳng ( α ) song song với nó bằng khoảng cách từ
một điểm M bất kì trên (d) đến mặt phẳng ( α )
8. Góc giữa hai đường thẳng

ur uu
r
Cho hai đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) lần lượt có các TVCP a1 , a2
ur uu
r
Góc giữa ( d1 ) , ( d 2 ) bằng hoặc bù với góc giữa a1 , a2
ur uu
r
a1 , a2
ur uu
r
cos a1 , a2 = ur uu
r
a1 . a2

(

)

9. Góc giữa một đường thẳngrvà một mặt phẳng
r
Cho đường thẳng (d) có VTCP a = ( a1; a2 ; a3 ) và mặt phẳng ( α ) có VTPT n = ( A; B; C )
Góc giữa đường thẳng (d) và mặt phẳng ( α ) bằng góc giữa đường thẳng ( d ) với hình chiếu
( d ; ) của nó trên ( α )

(

)

sin d· , ( α ) =

Aa1 + Ba2 + Ca3

A2 + B 2 + C 2 . a12 + a22 + a32
* Lập phương trình đường thẳng
Để lập phương trình đường thẳng (d) ta cần xác định một
r điểm thuộc (d) và một VTCP của nó
* Dạng 1: (d) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a = ( a1; a2 ; a3 )
 x = x0 + a1t
( d ) :  y = y0 + a2t , t ∈ R
z = z + a t
0
3


uuu
r
* Dạng 2: (d) đi qua hai điểm A, B: Một VTCP của (d) là AB

19


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

* Dạng 3: (d) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và song song với đường thẳng ( ∆ ) cho trước
Vì d P∆ nên VTCP của ( ∆ ) cũng là VTCP của ( d )
* Dạng 4: (d) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:
Vì d ⊥ ( P ) nên VTPT của ( P ) cũng là VTCP của (d)

* Dạng 5: (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)
• Cách 1: Tìm một điểm và một VTCP
( P )
A
∈
d
( ) bằng cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá
- Tìm tọa độ một điểm
( Q )
trị cho một ẩn)
r
uur uur

- Tìm một VTCP của (d): a =  nP , nQ 
• Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc (d) rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
đó
* Dạng 6: (d) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và vuông góc với hai đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 )
r
uur uur
Vì d ⊥ d1; d ⊥ d 2 nên một VTCP của (d) là a =  ad1 , ad2 
* Dạng 7: (d) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc và cắt đường thẳng ( ∆ )
• Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M 0 trên đường thẳng ( ∆ )

 H ∈ ( ∆ )
r
 uuuuur uu
M
H
⊥
u

 0
∆
Khi đó đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua M 0 ; H
• Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d); (Q) là mặt phẳng đi qua A
và chứa (d). Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q )
* Dạng 8: (d) đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng ( d1 ) ; ( d 2 )
• Cách 1: Gọi M 1 ∈ d1; M 2 ∈ d 2 . Từ điều kiện M ; M 1; M 2 thẳng hàng ta tìm được M 1; M 2 .
Từ đó suy ra phương trình đường thẳng (d)
• Cách 2: Gọi ( P ) = ( M 0 , d1 ) ; ( Q ) = ( M 0 , d 2 ) . Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q ) . Do đó, một VTCP của
r
uur uur
(d) có thể chọn là a =  nP , nQ 
* Dạng 9: (d) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) : Tìm các giao điểm
A = d1 ∩ ( P ) ; B = d 2 ∩ ( P ) . Khi đó (d) chính là đường thẳng AB
* Dạng 10: (d) song song với ( ∆ ) và cắt cả hai đường thẳng d1; d 2 : Viết phương trình mặt
phẳng (P) chứa ( ∆ ) và ( d1 ) , mặt phẳng (Q) chứa ( ∆ ) và ( d 2 ) . Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q )
* Dạng 11: (d) là đường vuông góc chung của hai đường thẳng ( d1 ) ; ( d 2 ) chéo nhau

20


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

 MN ⊥ d1
Cách 1: Gọi M ∈ d1; N ∈ d 2 . Từ điều kiện 
ta tìm được M, N. Khi đó, d là
 MN ⊥ d 2
đường thẳng MN

• Cách 2:
r
uur uur

- Vì d ⊥ d1 và d ⊥ d 2 nên một VTCP của (d) có thể là a =  ad1 , ad2 
- Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và ( d1 ) , bằng cách
+ Lấy một điểm A ∈ d1
uu
r
r uur

n
=
a
+ Một VTPT của (P) có thể là P  , ad1 
+ Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và ( d 2 )
Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q )
* Dạng 12: (d) là hình chiếu của đường thẳng (Q) chứa ( ∆ ) lên mặt phẳng (P)
• Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa ( ∆ ) và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:
- Lấy M ∈ ∆
uur uu
r uu
r
- Vì (Q) chứa ∆ và vuông góc với (P) nên nQ =  a∆ , nP 
Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q )
* Dạng 13: (d) đi qua điểm M, vuông góc với ( d1 ) và cắt ( d 2 )
• Cách 1: Gọi N là giao điểm của ( d ) và ( d 2 ) . Từ điều kiện MN ⊥ d1 , ta tìm được N. Khi
đó, ( d ) là đường thẳng MN
• Cách 2:
- Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với ( d1 )

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M và ( d 2 )
Khi đó d = ( P ) ∩ ( Q )
r
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP a cho trước
r
r
r
M
1;2;
−
3
,
a
=
−
1;3;5
M
0;
−
2;5
,
a
=
0;1;4
M
1;3;
−
1
,
a

a. (
b. (
c. (
)
(
)
)
(
)
) = ( 1;2; −1)
r
r
d. M ( 3; −1; −3) , a = ( 1; −2;0 )
e. M ( 3; −2;5 ) , a = ( −2;0;4 )
r
f. M ( 4;3; −2 ) , a = ( −3;0;0 )
Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước
a. A ( 2;3; −1) , B ( 1;2;4 ) b. A ( 1; −1;0 ) , B ( 0;1;2 ) c. A ( 3;1; −5 ) , B ( 2;1; −1)
d. A ( 2;1;0 ) , B ( 0;1;2 )
e. A ( 1;2; −7 ) , B ( 1;2;4 ) f. A ( −2;1;3) , B ( 4;2; −2 )
Bài 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng
∆ cho trước
a. A ( 3;2; −4 ) , ∆ ≡ Ox
b. A ( 2; −5;3) , ( ∆ ) đi qua M ( 5;3;2 ) , N ( 2;1; −2 )
•

21


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

 x = 2 − 3t
x+2 y −5 z −2

=
=
c. A ( 2; −5;3) , ( ∆ ) :  y = 3 + 4t d. A ( 4; −2;2 ) , ( ∆ ) :
4
2
3
 z = 5 − 2t

 x = 3 + 4t
x + 3 y −1 z + 2

=
=
e. A ( 1; −3;2 ) , ( ∆ ) :  y = 2 − 2t f. A ( 5;2; −3) , ( ∆ ) :
2
3
4
 z = 3t − 1

Bài 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng
(P) cho trước:
a. A ( −2;4;3) , ( P ) : 2 x − 3 y + 6 z + 19 = 0 b. A ( 1; −1;00 ) , ( P ) các mặt phẳng tọa độ
c. A ( 3;2;1) , ( P ) : 2 x − 5 y + 4 = 0
d. A ( 2; −3;6 ) , ( P ) : 2 x − 3 y + 6 z + 19 = 0

Bài 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho
trước:
( P ) : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0
( P ) : 2 x − 3 y + 3z − 4 = 0
a. 
b. 
( Q ) : 3x − 5 y − 2 z − 1 = 0
( Q ) : x + 2 y − z + 3 = 0
( P ) : 3 x + 3 y − 4 z + 7 = 0
( P ) : 2 x + y − z + 3 = 0
c. 
d. 
( Q ) : x + 6 y + 2 z − 6 = 0
( Q ) : x + y + z − 1 = 0
( P ) : x + z − 1 = 0
( P ) : 2 x + y + z − 1 = 0
e. 
f. 
( Q ) : y − 2 = 0
( Q ) : x + z − 1 = 0
Bài 6: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường
thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) cho trước
 x = 1 + 2t
x = 1 − t


a. A ( 1;0;5 ) , ( d1 ) :  y = 3 − 2t , ( d 2 ) :  y = 2 + t
z = 1+ t
 z = 1 − 3t



x = 1 + t
 x = 1 + 3t


b. A ( 2; −1;1) , ( d1 ) :  y = −2 + t ; ( d 2 ) :  y = −2 + t
z = 3
z = 3 + t


x = 1 − t
x = 1


c. A ( 1; −2;3) , ( d1 ) :  y = −2 − 2t , ( d 2 ) :  y = −2 + t
 z = 3 − 3t
z = 3 + t


 x = −7 + 3t
x = 1 + t


d. A ( 4;1;4 ) , ( d1 ) :  y = 4 − 2t , ( d 2 ) :  y = −9 + 2t
 z = 4 + 3t
 z = −12 − t



22

Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

 x = 1 + 3t
 x = 2t


e. A ( 2; −1; −3) , ( d1 ) :  y = 1 + t , ( d 2 ) :  y = −3 + 4t
 z = −2 + 2t
z = 2 − t


x = t
x = t


f. A ( 3;1; −4 ) , ( d1 ) :  y = 1 − t , ( d 2 ) :  y = 1 − 2t
 z = −2t
z = 0


Bài 7: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường
thẳng ∆ cho trước
x = t
 x = −3 + 2t



a. A ( 1;2; −2 ) , ( ∆ ) :  y = 1 − t
b. A ( −4; −2;4 ) , ( ∆ ) :  y = 1 − t
 z = 2t
 z = −1 + 4t


 x = 1 + 3t
x = t


c. A ( 2; −1; −3) , ( ∆ ) :  y = 1 + t
d. A ( 3;1; −4 ) , ( ∆ ) :  y = 1 − t
 z = −2 + 2t
 z = −2t


x = 1 − t
x = 1 + t


e. A ( 1; −2;3) , ( ∆ ) :  y = −2 − 2t f. A ( 2; −1;1) , ( ∆ ) :  y = −2 + t
 z = 3 − 3t
z = 3


Bài 8: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng
( d1 ) , ( d 2 ) cho trước:
 x = 1 + 2t
x = 1 − t



a. A ( 1;0;5 ) , ( d1 ) :  y = 3 − 2t , ( d 2 ) :  y = 2 + t
z = 1+ t
 z = 1 − 3t


x = 1 + t
 x = 1 + 3t


b. A ( 2; −1;1) , ( d1 ) :  y = −2 + t , ( d 2 ) :  y = −2 + t
z = 3
z = 3 + t


 x = −1 + 3t
 x = 2 + 2t


c. A ( −4; −5;3) , ( d1 ) :  y = −3 − 2t , ( d 2 ) :  y = −1 + 3t
z = 2 − t
 z = 1 − 5t


 x = 1 + 3t
 x = −t


d. A ( 2;1; −1) , ( d1 ) :  y = −2 + 4t , ( d 2 ) :  y = t
 z = −3 + 5t

 z = 2t



23


Hệ tọa độ trong không gian

Đỗ Văn Thọ

x = 2 + t
 x = −4 + 3t


e. A ( 2;3; −1) , ( d1 ) :  y = 1 − 2t , ( d 2 ) :  y = 1 + t
 z = 1 + 3t
 z = −2 + 3t


 x = −3 + 3t
 x = 3 + 2t


f. A ( 3; −2;5 ) , ( d1 ) :  y = 1 + 4t , ( d 2 ) :  y = 1 − t
 z = 2 + 2t
 z = 2 − 3t


Bài 9: Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường

thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) cho trước:
( P ) : y + 2 z = 0
( P ) : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0



x = 2 − t

 x = 1 + 2t
x = 1− t
a. 
b. 
x −1 y z



( d1 ) : −1 = 1 = 4 , ( d 2 ) :  y = 4 + 2t
( d1 ) :  y = 3 − 2t , ( d 2 ) :  y = 2 + t
z = 1
z = 1 + t
 z = 1 − 3t







( P ) : 2 x − 3 y + 3z − 4 = 0
( P ) : 3 x + 3 y − 4 z + 7 = 0




 x = −7 + 3t
x = 1 + t

x = 1 − t
x = 1
c. 
d. 




( d1 ) :  y = 4 − 2t , ( d 2 ) :  y = −9 + 2t
( d1 ) :  y = −2 − 2t , ( d 2 ) :  y = −2 + t
 z = 4 + 3t
 z = −12 − t
 z = 3 − 3t
z = 3 + t








Bài 10: Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng ( ∆ ) và cắt cả
hai đường thẳng ( d1 ) , ( d 2 ) cho trước:

x y −1 z − 5
x y −1 z −1


( ∆ ) : 3 = −1 = 1
( ∆ ) : 2 = −1 = 2


x +1 y z −1
x −1 y + 2 z − 2


= =
=
=
a. ( d1 ) :
b. ( d1 ) :
1
2
−
1
1
4
3


x − 2 y +1 z + 3
x+4 y+7 z



d
:
=
=
d
:
=
=
(
)
(
)
2
2


3
2
1
5
9
1


24