Bài tập tích phân luyện thi

Tích Phân Luyện Thi
I.

Đỗ Văn Tho 01683297530

Phương pháp đổi biến số: t  v  x 
b

Để sử dụng phương pháp đổi biến số thì ta cần chuyển tích phân

f  x  dx
�
a

b

g�
v x �
.v '  x  dx . Khi đó ta đặt t  v  x  , đổi cận và giải tích phân
thành �
�
�
a

d

g  t  dt
�
c

theo biến số t

Ví dụ 1: Tính tích phân
e2

1
dx
�
x
ln
x
e

1
Nhận xét:  ln x  '  . Ta thấy
x
1
Đặt t  ln x � dt  dx
x
�x  e � t  1
Đổi cận � 2
�x  e � t  2

e2

2

e
1
1
dx


ln
x
'.
dx


�
�
ln x
e x ln x
e

2

1
dt  ln t
�
t
1

2
1

Ví dụ 2: Tính tích phân
1

x2
dx
3
�

x

1
0

1

 ln 2


Tích Phân Luyện Thi
1 3
2
 x  1 '
x
3
Nhận xét

x3  1
 x3  1

Đỗ Văn Tho 01683297530

1
Đặt t  x 3  1 � dt  3x 2 dx � dt  x 2 dx
3
�x  0 � t  1
Đổi cận �
�x  1 � t  2
1

2

x2
1 1
1
dx

dt

ln t
3
�
�
x

1
3
t
3
0
1
Bài tập tự luyện:
2

1.

1

�

 2 x  1

3

dx
2

1

x
dx
2. �4
x

1
2

2
1

1
 ln 2
3


2

1

1

dx
4. �
2
x

1
x

1

0 

1
3. � 3 dx
 sin x
4

4

5.

1

�
x 1
1



x



dx

* Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ thường gặp:
Dấu hiệu

Cách chọn


x  a sin t với  �t �
2
2
Hoặc x  a cos t với 0 �t �
�  �
a
t ��
 ; �\  0
x
�2 2�
sin t ; với

a2  x2

x2  a2

Hoặc x 

� �

; với t � 0;  \ � �
�2
cos t
a



t 
2
2
Hoặc x  a cot t với 0  t  
x  a tan t với 

a2  x2

2


Tích Phân Luyện Thi
ax
ax
hoặc
ax
ax
 x  a  b  x

Đỗ Văn Tho 01683297530
x  a.cos2t
x  a   b  a  sin 2 t

Ví dụ: Tính tích phân
2
2

1

�1  x
0

Đặt x  sin t với 

2

dx



�t �
2
2

dx  cos tdt .
�x  0 � t  0
�
Đổi cận �
2

�t 
�x 
� 2

4
2
2

1


4


4

1


4

cos t
dx

cos
tdt

dt  �
dt  t
�
�
�
2
2

cos t
1 x
0
0 1  sin t
0
0
Ví dụ: Tính tích phân
2
3

�x
2

1
x 1
2

dx

1
cos t
��
0; �
, t ��
. Suy ra dx   2 dt
sin t
sin t
� 2�

�

x

2
�
t

�
6
�
Đổi cận: �
�x  2 � t  
�
3
3
Đặt x 

3


4
0




4


Tích Phân Luyện Thi
2

3

Đỗ Văn Tho 01683297530


3

1


3

1
cos t
� cos t �
dx


dt


dt
�
�
2
�
�
�
2
2

1
1
� sin t �


1  sin t
2 x x 1

1
6
6
sin t sin 2 t

3


6

6

3

cos t
 

  � dt  �
dt    
6 3
6
 cos t


Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính các tích phân:
a. I 

2
2

2

�1  x

1
2
1

c. I  � 1  x

2

b. I 

dx

�4  x

2

dx

1



2 3

0

1

dx

x 2 1  x 2 dx
d. I  �
0

Bài 2:
a. I 

2
2

dx

�1  x

1
2
3
4

2



d. I  �
1
3

b. I 

2
2

x

2

�1  x
0

3
2

1

1 x 

2 3

1

1  x2
g. I � x 2 dx
2
2

dx e. I  �
1

2
2

2

dx

x2  1
a. I  � 3 dx
x
1

1
2

2

x2

dx

dx
f. I  �
2
4 x
0

4 x 

2 3

1

x 1  xdx
h. I  �
0

4

�1  x
1

dx

Bài 3:
2

c.

x3

x2

dx
b. I  � 2
x 4
3

4


Tích Phân Luyện Thi
4
1
I �
dx
c.
2
4 x x 4
3

Đỗ Văn Tho 01683297530
2x
dx
d. I  �
2
x  x 1

Bài 4:
3

a. I 

x 1 x
�

1
3

2

x 1  x dx
b. I  �
33

dx

1

2

x2  2
e. I  � 2
dx
x 1

dx
d. I  � 2
2 x x 1
Bài 5:

0

2 x
dx
�
2 x
2

3

9  3x 2
dx
c. I  � 2
x
1
0

f.

�x

1

1
2

 x 1

dx

1
2

1 x
dx
�
1

x
1
* Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ thường gặp:
a. I 

b. I 

Dấu hiệu
Hàm f   '  x  ,  x  
Hàm có mẫu số



Hàm f x,   x 
Hàm f  x  

Hàm f  x  

Có thể đặt
Đặt t    x 
Đặt t là mẫu số
Đặt t    x 



* Với x  a  0 và x  b  0
Đặt t  x  a  x  b
* Với x  a  0 và x  b  0 , đặt
t  x  a  x  b
x
x
Đặt t  tan với cos �0
2
2

1

 x  a  x  b
a.sinx  b.cos x
c.sinx  d .cos x  e

Ví dụ: Tính tích phân
cos x.sin 3 x
I �
dx
1  sin 2 x
Đặt t  1  sin 2 x � dt  2sin x cos x

5


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530
�x  0 � t  1
�
Đổi cận: � 
x  �t  2
�
� 2
 t  1 dt  1 �1  1 �dt
cos x.sin 3 x
sin 2 x.cos x.sin x
dx

dx

Ta có
� �
1  sin 2 x
1  sin 2 x
2t
2� t �
2
1 � 1� 1
1
2
1

dt

t


ln
t

 1  ln 2 


Khi đó I  �
1
� �
2 1� t � 2
2
Ví dụ: Tính tích phân
2 xdx
I �
x  x2  1
Đặt t  x  x 2  1 , ta được

t  x  x 2  1 �  t  x   x 2  1 � t 2  2tx  x 2  x 2  1
2

t2 1
t2 1
� x
� dx  2 dt
2t
2t

t2 1 t2 1
4
2

. 2 dt
t
 1 dt 1 � 1 �

2
xdx
Khi đó ta có I 
2
t
2
t
�
� 4
 �
1 4 �
dt
�
�
2
t
2
t
2
t
�
�
x  x 1
1� 1 �
1
1

 �
t  3 � C  x  x 2  1 
C
3
2 � 3t �
2
2
6 x  x 1









Ví dụ: Tính tích phân
I

3

�x
1

* Cách 1:



� �

Đặt x  tan t với t ��0; �
� 2�

Suy ra dx 

1
dt   1  tan 2 t  dt   1  t 2  dt
2
cos t

6

dx
x2  1


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530


�
x 1� t 
�
�
4
Đổi cận: �
�x  3 � t  
�
3

Khi đó
I

3

�x
1


3

dx
x2  1

 1  tan t  dt


3

 1  tan t  dt
2

2

�
�
2
tan t
 tan t 1  tan t




3

4

3


3

4

3



4

4

4

4

4

d  cos t  1 cos t  1 3
cos t

dt
sin t
�
dt  �  � 2 dt  � 2
 ln
2 cos t  1 
 sint.cos t
 sin t
 sin t
 cos t  1
1� 1
2 2 � 1� 1
2 1 �
 �
ln  ln
ln  ln
� �
�
2� 3
2 2 � 2� 3
2 1�

* Cách 2:
3

Viết lại I  �2
1

x

xdx
x2  1

2
. Khi đó ta đặt u  x  1 � du 

xdx
x2  1

* Cách 3:
Đặt u  x  x 2  1

Suy ra u  x  x 2  1 �  u  x   x 2  1 � u 2  2ux  x 2  x 2  1 � x 
2

�
du  �
1
�



�
dx  x  x 2  1
�
2
x 1 �
x



dx
x2  1

�

dx
x2  1

Ví dụ: Tính tích phân
I

9  3x 2
dx
�
2
x
1
3

Sử dụng tích phân từng phần
3x
�
du

dx
�
u  9  3x 2
�
2

�
�
9  3x
��
Đặt � 1
1
dv  2 dx
�
�
v
x
�
�
x

7



du
u

u2 1
2u


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530
3

3
� 9  3x 2 �
1
 3�
dx
Khi đó I   �
�
2
� x
�
1
9

3
x
�
�
1
3
1
dx
Giải M  �
1
9  3x 2
3
�  �
Đặt x  3 tan t với t �� ; �� dx  2 dt
cos t
�2 2�

Giải tiếp tục
Bài tập tự luyện:
Bài 1:
1

x  1  x  dx
a. I  �
19

0

x 3  2  3 x 2  dx
b. �

1

 1  3x   1  2 x  3x
d. I  �
0

x 3  1  5 x 2  dx
c. I  �

8

2



10

10

dx

Bài 2: Tính các nguyên hàm và tích phân sau:
1
x 3dx
x 5 dx
x 2  1 dx

I

�x8  4 2
a. �2
b.
c. I 
�x4  1
x

1


0
Bài 3: Tính các nguyên hàm sau:
dx
1  x 4  dx

2

a. I  � 6
b. I  �
x  x  1
x  1  x4 

x

d. I 
�

2

 1 dx

x4  1

dx
I

c.
2
�
x  x  1

 2 x  1 dx
d. I  �4
x  2 x3  3x 2  2 x  3
Bài 4: Tính các nguyên hàm và tích phân sau:
1

x 1  xdx
a. I  �
0

b. I  �
x  1  2x
53



2 2

dx

x 2 dx
c. I  �
1 x

Bài 5: Tính các nguyên hàm và tích phân sau:
xdx
dx
I

I

a.
b.
� 2
�
2x 2x  1

1  x 1  1  x2
dx
dx
I �
I

2
c.
d.
�
3
2
3
x 1 �
x  1  1�

x

1
x
 2x  2


�
�
�
�
8

1

xdx
d. I  �
x 1
0


Tích Phân Luyện Thi
6 x 3  8 x  1 dx

e. I  � 2
 3x  4  x 2  1

Đỗ Văn Tho 01683297530
 8x3  24 x2  15 x  dx

f. I  � 2
 8x  16 x  1 x2  2 x

Bài 6: Tính các nguyên hàm và tích phân sau
3
tan 4 x
dx
dx
a. I  �
b. I  �
cos2 x
sin 2 x  2sin x
0


2

dx
d. I  �
sinx.cos3 x

e. I  sin 2 x dx
�
1  sin 4 x
0
Bài 7: Tính các nguyên hàm và tích phân sau

3

t anx
dx
a. I  � 2
c
os
x

sin
x
cos
x

6

2

sin 2 x
c. I  � 6 dx
cos x

2

3
sin
x
cos
x
f. I 
dx
2
�
0 1  cos x


2

cos x
b. I 
dx
2
�
11

7sin
x


c
os
x
0

6

dx
cos x
c. I 
d. I 
dx
2
�
�
sinx

cos
x

1
6

5sin
x

sin
x
0
0

2dx
cos x  sinx.cos x
dx
dx
e. I  �
f. I  �
2sin x  cos x  1
2  sinx
Bài 8: Tính các nguyên hàm và tích phân sau
2

sin xdx
a. I  �
0

cos x sinx dx
b. I  �
5


2

sin 3 x  sinx
cot xdx
c. I  �
3
sin
x

3

dx
sinx
dx e. I  �
dx
d. I  �
4
3
5
2
sin x cos x
cos x sin x  1
Bài 9: Tính các nguyên hàm và tích phân sau:
e
1
dx
2  ln x
dx
dx
dx b. I  � x c. I  �2 x
I

a. I  �
d.
�
2x
 ex
e x  4e  x
1 e
0 e

1
ln 2
1
2x
x
dx
e

3
e
dx
e x dx
e. I  � x f. I  �2 x
g. I  �
x
 3e  3
0 e
0
ex  e 2
e x e 2 x  2e x  2dx
h. I  �
9


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530

* MỘT VÀI THỦ THUẬT ĐỔI BIẾN KHÁC:
a

1. Với I 

�f  x  dx có thể lựa chọn việc đặt x  t

a

2

2. Với I  f  x  dx có thể lựa chọn việc đặt t 
�
0



x
2

f  x  dx có thể lựa chọn việc đặt t    x
3. Với I  �
4. Với I 

0
2

�f  x  dx có thể lựa chọn việc đặt t  2  x

0
b

x. f  x  dx có thể lựa chọn việc đặt x  a  b  t
5. Với I  �
a

Ví dụ: tính tích phân
1

I�
x 2004 sinxdx
1

0

1

x sin xdx  �
x 2004 sin xdx
Viết lại I  �
2004

1

(1)

0

0

x 2004 sin xdx . Đặt x  t � dx  dt
Xét tích phân J  �

1

�x  1 � t  1
Đổi cận �
�x  0 � t  0
0

 t 
Khi đó J   �

2004

1

1

1

sin  t  dt   �
t sin tdt   �
x 2004 sin xdx

Thay (2) vào (1) ta được I  0

2004

0

0

Ví dụ: Tính tích phân

10

(2)


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530

2

cos 4 x
I � 4
dx
4
c
os
x

sin
0
* Cách 1:


Đặt t   x . Giải ra ta được I 
2
4
* Cách 2: Xét tích phân


2

sin 4 x
J � 4
dx
4
c
os
x

sin
x
0
Ta có:

2


2

 cos x  sin x  dx  dx  
IJ � 4
�
cos x  sin 4 x
2
0
0

2

4

4

 cos x  sin x  dx 
4

4

IJ � 4
cos x  sin 4 x
0

2

(1)


2


2

cos2 x
2cos 2 x
dx

dx
2

�
�
1
2

sin
2
x
2
0 1
0
sin 2 x
2

d  sin 2 x  � 1
sin 2 x  2 �2
 � 2
�

ln
 0 (2)
� 2 2 sin 2 x  2 �
�0
sin
2
x

2
0
�

�


Từ (1) và (2) suy ra 2 I  � I 
2
4
Ví dụ: Tính tích phân


I �
x.sin x cos 2 xdx
0

Đặt t    x . Giải ra ta được I 


3

Ví dụ: Tính tích phân:

11


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530
I

2

3
x
cos
� xdx
0

Đặt t  2  x . Giải ra ta được I  0
Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1

cos xdx
a. I  � x
e 1
1

1

4

x dx
b. I  �x
2 1
1

1

1 x
c. I  � x dx
1 2

1
2

d. I 


2

x 2 sinx dx

�
1 2




x

2

Bài 2: Tính các tích phân sau:
1
2


2

1 x �
�
cos x.ln �

dx b. I  ln �1  sinx �
a. I  �
�
dx
�
�
�
1 x �
�
1
1

cos
x
�
�

0

2

1

1
�2  x �
dx
c. I  � 2 ln �
�
4


x
2

x
�
�
0

Bài 3: Tính các tích phân sau:
a. I 

2

x cos
�
0

3

xdx

b. I  ln  1  t anx  dx
�
0

Bài 4: Tính các tích phân
1

a. I 


4

x  sinx
dx b. I 
2
�
x

1
1
4


2

x  cos x
dx
2
�
4

sin
x




2

Bài 5: Tính các tích phân sau


x sin xdx
x sin x
dx
a. I  �
b.
2
2
�
9

4cos
x
4

c
os
x
0
0
* SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b

b

a

a

f  x  dx về dạng I  �
f1  x  f 2  x  dx
- Bước 1: Biến đổi tích phân I  �

12


Tích Phân Luyện Thi
�
u  f1  x 
du
�
�
- Bước 2: Đặt �
�
v
dv

f
dx
�
�
2

Đỗ Văn Tho 01683297530

b

vdu

- Bước 3: Khi đó I  uv  �
b
a

a

* Một số dạng cơ bản cần nhớ
x ln xdx . Đặt u  ln x
1. Dạng I  �

2. Dạng I  �
P  x  e dx . Đặt u  P  x 
x

P  x  sin xdx hoặc I  �
P  x  cos xdx . Đặt u  P  x 
3. Dạng I  �

e ax cos  bx  dx hoặc I  �
e ax sin  bx  dx . Đặt u  cos  bx  hoặc
4. Dạng I  �
u  sin  bx 

Ví dụ: Tính tích phân


2

I �
cos x ln  1  cos x  dx

0

�
u  ln  1  cos x 

Đặt �
. Giải ra I   1
dv  cos xdx
2
�
Ví dụ: tính tích phân
1

I �
 x  1 e2 x dx
2

0

2
�
u   x  1
�
3e 2 1
Đặt �
. Giải ra I 

2x
4
4

dv

e
dx
�
Ví dụ: Tính tích phân


2

I �
e2 x sin 3 xdx
0

13


Tích Phân Luyện Thi
u  sin 3 x
�
3  2 e
Đặt �
. Giải ra I 
2x
dv

e
dx
13
�

Đỗ Văn Tho 01683297530

Bài tập tự luyện
Bài 1:
e

ln xdx
a. I  �

x ln 2 xdx
b. I  �

e

3

ln x
f. I  � dx
1 x

1
e

e

1 �
�1

dx

l. I  �
�2
�
ln
x
ln
x
�
�
e
Bài 2:
a. I  �
 x 2  1 e2 x1dx
x 2e3x dx
c. I  �

0

2

d. I  x cos 2 x
�
0

1

1



1  x 2 dx

0

b. I  �
 x3  4 x 2  2 x  7  e2 x dx
ln 2

dx
e. I  �
2
 x  2
Bài 3:
a. I  x cos xdx
�

 1  ln x  dx
k. I  �

x ln xdx
j. I  �

e x dx
d. I  �

x 2e x


3

e

2

ln  x 
�

f. I 

xe dx
�
x

0

x sin x cos xdx
b. I  �

2

x sin 2 xdx
c. I  �


x 2 sin xdx
f. �

e. I  x 2 cos2 xdx
�

g. I  �
 x 2  2  sin 2 xdx



0

3

m.



x ln  x 2  1 dx
g. I  �
e

2

�ln x �
ln xdx i. I  �
h. I  �
� �dx
�x �
1
3

2

1

e

1

2

 2 x  2  ln xdx
e. I  �

ln xdx
I

�x  1 2
d.

x ln xdx
c. I  �

2

0

0

h. I  �
 x  1 cos 2 xdx
2


2

i.

xdx
�2
 sin x
4

14

2


Tích Phân Luyện Thi
x cos x xdx
j. �
Bài 4:


2

a. I  e x sin 3 xdx
�
0
1

e x sin 2   x  dx
d. I  �
1

Đỗ Văn Tho 01683297530


2

b. I  e x cos3xdx
�

e x cos 2 xdx
c. I  �

0

e. I  �
 cot 2 x  cot x  1 e x dx

 1  sin x  e x dx

f. I  �
Bài 5:
dx
a. � 3
sin x

1  cos x
cos 2 xdx
b. I  � 3
sin x

1  x 2 dx

c. I  � 2
x

xdx
d. I  � 2
sin x

* Phương pháp hệ số bất định đối với tích phân – nguyên hàm có dạng
P  x
I  � dx
Q x
Thông thường ta tìm cách biến đổi Q  x   Q1  x  Q2  x  ...Qn  x 
P  x  A1  x  A2  x  A3  x 
A  x



 ...  n
Q  x  Q1  x  Q2  x  Q3  x 
Qn  x 
Chú ý: Bậc của Qn  x  lớn hơn bậc của An  x  một bậc
P  x
dx thì ta sẽ phân tích thành
- Nếu tích phân – nguyên hàm có dạng �n
Q  x
P x
A3
An
A1
A2





...

Q n  x  Q  x  Q 2  x  Q3  x 
Qn  x 
P x
dx thì ta sẽ phân tích thành
- Nếu tích phân – nguyên hàm có dạng �
G  x  Qn  x 
P  x
A  x  B1  x  B2  x 
Bn  x 




...

G  x  Qn  x  G  x  Q  x  Q2  x 
Qn  x 
15


Tích Phân Luyện Thi
Đỗ Văn Tho 01683297530
Chú ý: Các phân số hữu tỉ ở vế phải có bậc vủa mẫu lớn hơn bậc tử một bậc
* Sử dụng phương pháp phân tích đối với tích phân – nguyên hàm có dạng

P  x
I  � dx
Q x
Trong đó Q  x  là đa thức không thể phân tích thành tích các nhân tử khi đó ta sẽ
P  x  A.Q '  x   B

phân tích
sau đó ta sẽ đồng nhất hệ số với P  x  . Để hiểu rõ
Q x
Q x
hơn ta xem ví dụ sau:
5x  9
dx
Ví dụ: Tính I  � 2
3x  2 x  5
A  6 x  2   B 6 Bx  2 A  B
5x  9
Ta sẽ phân tích 2


3x  2 x  5
3x 2  2 x  5
3x 2  2 x  5

� 5
A
�
6B  5
�
� 6

��
Đồng nhất hệ số 6 Bx  2 A  B với 5 x  9 ta được �

2
A

B

9
�
�B  32
� 3
5x  9
5
6x  2
32
1

.

.
3x 2  2 x  5 6 3x 2  2 x  5 3 3x 2  2 x  5
5x  9
5
6x  2
32
1
I  �2
dx  � 2
dx  � 2

dx
3x  2 x  5
6 3x  2 x  5
3 3x  2 x  5
5
32
 ln 3 x 2  2 x  5  C  M (*)
6
3
1
1
M  �2
dx  �
dx
2
2
3x  2 x  5
�
�
Để tính
� 1 � � 14 ��
3�
�x  � � �
� 3 � � 3 ��
�
�
�
1
14
14

Đặt x  
tan t � dx 
tan 2 t  1 dt

3
3
3

16


Tích Phân Luyện Thi
Đỗ Văn Tho 01683297530
1
x
3  3 x  1 � t  arctan �3 x  1 �
� tan t 
�
�
14
14
� 14 �
3
14
14
tan 2 t  1 dt
tan 2 t  1 dt


3

M �
�3
2
2
2
�
� 14 �
� 14
� � 14 ��
2
3�
� tan t � � �� 3 � 3 � tan t  1
�
� �
�3
� � 3 ��
�
�
1
1
�3 x  1 �

dt

arctan
�
� C1
14 � 14
14
�

�
5
32
�3 x  1 �
2
arctan �
 C2
Thay M vào (*) ta được I  ln 3 x  2 x  5 
�
6
3 14
� 14 �
Với C2  C  C1
7x  4
dx
Ví dụ: Tính nguyên hàm I  �3
x  3x  2
Ta có
7x  4
7x  4
A
B
C




x 3  3 x  2  x  2   x  1 2  x  1 2 x  1 x  2
B  C  x 2   A  B  2C  x  2 A  2B  C



2
 x  2   x  1
2
Khi đó ta được 7 x  4   B  C  x   A  B  2C  x  2 A  2 B  C
�B  C  0
�A  1
�
�
Đồng nhất hệ số �A  B  2C  7 � �B  2
�
�
2 A  2 B  C  4
C  2
�
�
Do đó ta sẽ viết lại
7x  4
1
2
2



x 3  3x  2  x  1 2 x  1 x  2
17


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530

� 1
7x  4
1
2 �
� I  �3
dx  �


dx
�
�
� x  1 2 x  1 x  2 �
x  3x  2
�
�
d  x  1
1
1
1
�

dx

2
dx


 ln x  1  2ln x  2  C

2
�
�
x

1
x

2
x

1
x

1


Ví dụ: Tích nguyên hàm
4x2  x  2
I  �3
dx
3x  5 x 2  7 x  5
Ta có
P x

4x2  x  2
4x2  x  2


Q  x  3x 3  5 x 2  7 x  5  x  1  3x 2  2 x  5 

A  3 x 2  2 x  5    Bx  C   x  1
A
Bx  C



x  1 3x 2  2 x  5
 x  1  3x 2  2 x  5 
3 A  B  x 2   2 A  B  C  x  5 A  C


 x  1  3x 2  2 x  5 
2
2
Khi đó 4 x  x  2   3 A  B  x   2 A  B  C  x  5 A  C
� 1
�A  2
3A  B  4
�
�
�
� 5
2 A  B  C  1 � �B 
Đồng nhất hệ số �
�
� 2
5
A


C


2
�
� 9
C
�
� 2
4x2  x  2
1
5x  9
1
dx

dx

dx

 M  N
�
�
�
2
3x3  5 x 2  7 x  5
2  x  1
2
2  3x  2 x  5 
1
M  � dx  ln x  1  C1

x 1
5x  9
1
�3 x  1 �
N  �2
dx 
arctan �
� C2 (xem ví dụ trên)
3x  2 x  5
14
14
�
�
18


Tích Phân Luyện Thi
1
�3x  1 �
� I  ln x  1 
arctan �
� C
14
14
�
�
Trong đó C  C1  C2
Bài tập tự luyện:
Bài 1:

Đỗ Văn Tho 01683297530

x2  1
x3  1
dx
a. I  �3
b. I  �
dx
2
2
 x  1  x  1
x  5x  6x
xdx
x 2 dx
2
c. I  �
d. I  �2
 x  1  x 2  2 x  2 
 x  2x  2
cos xdx
e. I  � 3
sin x  cos3 x

f.

2 x 2  2 x  13

�x  2


x

2

 1

2

dx

Bài 2:
1
1
I

dx
I

dx
a.
b.
�
�
3
2
2x  1  2x  1
x  x  x 1
1
x 1  2
I


dx
I

dx
c.
d.
�
2
�
2
x

1
x

3
x

2


 x  1  x  1
1
2
4
I

dx
I


sin
x
.cos
xdx
e.
f.
�
�
3 5
x x 1
* Một số phương pháp đổi biến cần quan tâm





R x, ax 2  bx  c dx
Dạng 1: I  �
- Nếu a  0 thì đặt ax 2  bx  c  t  x a hoặc t  x a
Nếu c  0 thì đặt ax 2  bx  c  tx  c hoặc tx  c
Nếu tam thức ax 2  bx  c có biệt số   0 thì
ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x2  . Khi đó đặt ax 2  bx  c  t  x  x1 
Ví dụ: Tính nguyên hàm I  �x 2  2 x  2dx
Đặt

x2  2x  2  t  x � x2  2x  2   t  x 

19

2


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530

t 2  2t  2  dt

t2  2
� x
� dx 
2
2  t  1
2  t  1

2
4
� t 2  2 � t  2t  2  dt 1  t  4  dt
t
.
 �
Khi đó I  �x  2 x  2dx  �
�
�
2
2
t

1

4  t  1 3


�
� 2  t  1
Ta sử dụng đồng nhất thức:
4
4
3
2
t4  4  �

4

t

1

4
t

1

6
t

1
 4  t  1  5
�t  1  1�







�
2

�
6
4 �
�I �
t

1

4


dt
�
 
2 � . Dễ dàng ta giải tiếp được
t  1  t  1 �
�
�
�
II. Ứng dụng tích phân tính thể tích, diện tích trong hình học
1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng:
Bài toán 1:

Yêu cầu bài toán: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  , hai đường thẳng x  a; x  b và trục Ox ”
b

f  x  dx
- Bước 1: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có S  �
a

- Bước 2: Xét dấu biểu thức f  x  trên  a; b  . Từ đó phân được đoạn  a; b 
thành các đoạn nhỏ, giả sử:  a; b   a; c1  � c1; c2  �... � ck ; b  mà trên
mỗi đoạn f  x  chỉ có một dấu
c1

c2

b

a`

c1

ck

f  x  dx  �
f  x  dx  ...  �
f  x  dx
- Khi đó: S  �
Ngoài ra, nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số x  f  y  liên tục trên đoạn  a; b  , hai đường thẳng
b

y  a; y  b và trục Oy ”. Khi đó công thức diện tích là S  �
f  y  dy và cách
a

tính cũng như vậy
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
x  1; x  2; y  0; y  x 2  2 x
20


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530
2

Gọi S là diện tích cần xác định, ta có S 

�x  2 x dx
2

1

Ta xét dấu hàm số f  x   x  2 x trên  1;2
2

Dựa vào bảng xét dấu ta có:
2

0

2

1 3
�2 1 3 �2 8
2�
0
 2 x  dx  �
 x2  2 x  dx  �
� x  x �1  �x  x �0 
�3
� � 3 � 3
1
1
0
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
x 2  3x  1
y
; y  0; x  0; x  1
x 1
S

�x  2 x dx 
2

x
�

2

1

x 2  3x  1
dx
Gọi S là diện tích hình phẳng S  �
x

1
0
x 2  3x  1
Xét dấu f  x  
trên  0;1
x 1
Khi cho f  x   0 ta nhận được hai giá trị x1 ; x2 không thuộc vào  0;1 nên ta
không có sự phân đoạn như ví dụ trên
Nhận xét: Để biết được dấu f  x  trên đoạn  0;1 ta có thể lập bảng xét dấu. Ở
ví dụ này, vì không có nghiệm x nào nằm trong đoạn  0;1 nên ta sẽ chọn bất kì
một giá trị x0 � 0;1 sau đó thay vào hàm f  x0   L , khi đó dấu của f  x  là
dấu của L
1
�1 � 11
Giả sử ta chọn x0  � 0;1 � f � �  0 . Do đó dấu f  x  trên  0;1
2
�2 � 6
mang dấu “dương”
1
1 2
1
x 2  3x  1
x  3x  1

1 �
3
�
�S �
dx  �
dx  �
dx   ln 2 (đvdt)
�x  2 
�
x 1
x 1
x 1�
2
0
0
0�

21


Tích Phân Luyện Thi
Đỗ Văn Tho 01683297530
* Bài toán 2:
Yêu cầu bài toán: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y  f  x  ; y  g  x  liên tục trên đoạn  a; b  , hai đường thẳng x  a; x  b ”
Cách giải cũng tương tự như bài toán 1
b

f  x   g  x  dx
- Bước 1: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có S  �

a

- Bước 2: Xét dấu biểu thức f  x  trên  a; b  . Từ đó phân được đoạn  a; b 
thành các đoạn nhỏ, giả sử:  a; b   a; c1  � c1; c2  �... � ck ; b  mà trên
mỗi đoạn f  x   g  x  chỉ có một dấu
c1

c2

b

a`

c1

ck

f  x   g  x  dx  �
f  x   g  x  dx  ...  �
f  x   g  x  dx
- Khi đó: S  �
Ngoài ra, nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số x  f  y  và x  g  y  liên tục trên đoạn  a; b  , hai đường
thẳng y  a; y  b và trục Oy ”. Khi đó công thức diện tích là
b

S�
f  y   g  y  dy và cách tính cũng như vậy
a

* Chú ý: Nhiều bài toán thuộc dạng trên được phát biểu: “Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi: y  f  x  ; y  g  x  và x  a ”. Khi đó cận còn lại sẽ là
nghiệm của phương trình f  x   g  x 
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1
1


y
;
y

;
x

;
x

sin 2 x
cos 2 x
6
3

3

1
1
dx
Gọi S là diện tích cần xác định, ta có S  � 2 
2

sin
x
c
os
x

6

1
1
cos x  sin x
cos2 x



sin 2 x cos 2 x
sin 2 x cos 2 x
sin 2 x cos 2 x


Cho f  x   0 � cos2 x  0 � 2 x  � x 
2
4
Xét f  x  

2

2

22

Tích Phân Luyện Thi
Đỗ Văn Tho 01683297530
 �
 �
Ta có nhận xét: �� ; �
4 �6 3 �


1
1

0
* �x � � 0  sin x  cos x �
2
2
6
4
sin x cos x


1
1

0
* �x  � 0  cos x  sin x �
2
2
4

3
sin x cos x
Do đó

3


4


3

6

6

4

1
1
1 �
1 �
8
� 1
� 1
S� 2 
dx


dx



dx

4
� 2
� �
� 2
�
2
2
2
�
cos x
sin x cos x �  �cos x sin x �
3
 sin x
�
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
y  e x ; y  e x ; x  1
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị y  e x và y  e  x
e x  e x � e2 x  1 � x  0
1

e x  e  x dx
Gọi S là diện tích cần xác định, ta có S  �
0

1
x

x
Để xét dấu f  x   e  e trên đoạn  0;1 ta chọn một giá trị x0  � 0;1 . Ta có
2
1
1

1
�1 �
f � � e 2  e 2  e 
 0 do đó dấu của f  x  trên đoạn  0;1 mang dấu
2
e
��
“dương”
1
1
1
x
x
x
x
x
x 1
S�
e  e dx  �
e

e
dx


e

e

e

(đvdt)

 
0
e
0
0
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
y  2 x ; y  3  x; x  0
Phương trình hoành độ giao điểm của y  2 x và y  3  x
2 x  3  x (1)
x
Nhận xét: y1  x   2 là một hàm đồng biến.
y2  x   3  x là một hàm nghịch biến
23


Tích Phân Luyện Thi
Do vậy, (1) có duy nhất một nghiệm x  1

Đỗ Văn Tho 01683297530

1

2 x  x  3 dx
Gọi S là diện tích cần xác định S  �
0

1
x
Để xét dấu f  x   2  x  3 trên đoạn  0;1 ta chọn x0  � 0;1 , ta có
2
1
1
1
�1 �
f � � 2 2   3  2   3  0 . Do đó f  x  mang dấu “âm” trên đoạn  0;1
2
2
�2 �
1
1
� 1 2 2 x �1 5
x
x
S�
2  x  3 dx  �
 3  x  2  dx  �3x  2 x  ln 2 �0  2  ln22 (đvdt)
�
�
0
0
* Bài toán 3:
Yêu cầu bài toán “Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

y  f  x  và y  g  x  ”
- Bước 1: Xét phương trình f  x   g  x   0 � nghiệm x1  x2  ...  xk
- Bước 2: Gọi S là diện tích cần xác định, ta có
S

xk

x2

x3

xk

x1

x1

x2

xk 1

�f  x   g  x  dx  �f  x   g  x  dx  �f  x   g  x  dx  ...  �f  x   g  x  dx

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
y  x 2  2 x; y   x 2  4 x
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị y  x 2  2 x; y   x 2  4 x
x0
�
x 2  2 x   x2  4 x � x 2  3x  0 � �
x3

�
3

3

x  2 x  x  4 x dx  �
2 x 2  6 x dx
Diện tích hình phẳng xác định bởi S  �
2

2

0

0

Xét dấu f  x   2 x  6 x trên đoạn  0;3 . Ta chọn x0  1 � 0;3
Ta có f  1  4  0 . Do đó, f  x  mang dấu “âm” trên đoạn  0;3
2

3

3

2 3 �3
2
S�
2 x  6 x dx  �
3
x


x �0  9 (đvdt)
 6 x  2 x 2  dx  �
�
3
�
�
0
0
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2

24


Tích Phân Luyện Thi

Đỗ Văn Tho 01683297530
y  x2 ; x   y2

* Tìm cận
x0
�
4
4
x


x
�

x

x

0
�
Ta có y  x � y  x . Thay vào x   y ta có
�
x  1
�
�x �0
�
�x �0
�y x   x
2
2
 
x   y � y  x � �
� ��
�
y

�

x
�
�
y  x   x
�
��

Nhận xét:
- Đồ thị hàm số y  x 2 toàn bộ đồ thị nằm phía trên trục hoành nghĩa là
y �0
- Đồ thị hàm số x   y 2 với x �0 sẽ nằm hoàn toàn phía bên trái trục tung
và gồm hai phần phía trên y   x trục hoành, phần phía dưới
y    x trục hoành
Suy ra đồ thị x   y 2 cắt y  x 2 chỉ một nhánh phía trên trục hoành là nhánh
y   x với x �0 . Để rõ hơn ta xem hình minh họa:
Do đó diện tích là phần giới hạn của nhánh y  x 2 và một phía trên y   x
trục hoành của hàm số x   y 2
2

2

4

2

25