Trao đổi về Bài 2.HSGQG.toán.12 năm 20099

Đề thi chọn HSG Quốc gia
Lớp 12 THPT năm 2009- Môn Toán
Đề chính thức
(Đây là lời giải của cá nhân tôi, mong được trao đổi góp ý của đồng nghiệp.Xin cám ơn)
Gửi về:
Câu 2 ( 5 điểm).Cho dãy số thực
( )
n
x
xác định bởi

1
1
2
x
=
và
2
1 1 1
4
2
n n n
n
x x x
x
− − −
+ +
=
với mọi
2n
≥

Với mỗi số nguyên dương n , đặt
2
1
1
n
n
i
i
y
x
=
=
∑
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn khi .Hãy tìm giới hạn đó.

Giải:
1.Dễ thấy từ định nghĩa dãy số ta có dãy
( )
n
x
là dãy số dương và đơn điệu tăng.
Và
1 2 3
1
1 .... ... lim
2
n n
x x x x x= < = < < < < ⇒ = +∞
2.Ta có:
2

1 1 1
2
1
2
1 1
4
1 1 1 1
( 1) ; 2
2 ( 1)
n n n
n n n n
n n n n n
x x x
x x x x n
x x x x x
− − −
−
− −
+ +
= ⇔ = + ⇔ = = − ≥
+
3.Từ đó có:
2 2 2 2 2
1
1 2 1 1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
n
n
i

i n n n
y
x x x x x x x x x x x
=
−
= = + + + = + − + − + + −
∑

2
1 1
1 1 1 1
6 lim & lim 6
n n n
n n
y y y
x x x x
= + − = − ⇒ ∃ =