DSpace at VNU: Đạo hàm trung bình với các phường trình có hệ số gián đoạn

T Ạ P C H Í K H O A H Ọ C N o 1 - 199

Phan Văn Hợp
Lẻ Đinh Định

DẠO HÀM TRUNG BÌNH
VỚI CÁC PHƯƠNG TRÌNH
CÓ HỆ SỐ GIÁN DOẠN
1, M Ở D Ầ U
Ngu>M t« d i b iết nhiều đến lấ c phưoiig |>iiáp x&y dụng phvcnig trìn h ( l i ph&n cho c4c t^ i
toán vật lý dưọic mỗ lầ bổi phưang irVnh c6 cic hệ >ố dd irtỵti v& thu dưọrc độ chínli x ic cao céa
nghiệm . T\iy nhiỉn I<Ỉ1> các bài to á n có cic h ị »6 Irom clitrft dd rộng, bii'i vậy c4c phurarng p h áp xtjr
d \rn g p b ư a n g ir\n h aai ph&n ciio p h ư v n g trìiih c6 hệ-«Ẩ g iin đ o ạ a d a n g dư ự c q u a n t&in nhi$>

IVoug bỉki này châng iối đư a r« phưtmg p h ip xSy dụ^iig phuvug trình SŨ pb&B cho phtfơag
(rhih khuyếch lẩn có hệ tổ giÌD d o ^ dựk theo ngDyễn lý biến p h in và dệo h&iti trung bhik (itcll
phân) | 1|.

2.

B À I T O Ả N K H U Y Ế C H T Á N M Ộ T C H l Ê ư D Ạ N G D Ơ N G IẢ N

Xểt phưưng trhih;
0 < . < !

trong

đó p s p(x) > 0 , 4 q{x)

IrSn |0 ,1 |,

> 0 , / - Ị [ í ) ,
ngoài ra g ii IhiẤtp'{x), ^ '(x ), v?'(jt)

( 2 . 1)

p {x) là cắc hàiu liên tục v i trcru lừiig

khúc

lồn t f i (lk«o n g h ĩa đ ^o h iiii tru n g btiili) vA gi
nội.
ĐìSu kiịn biỉii cda (2.1) cố dệitg:
v»(0) - V>(1)

* 0

(2.3)

TVễn đofn |0, lỊ ! • aH hai hệ điểm lưóri {zk ), {jCkti/a} k = 0 , ì , . .
■"

---- - .

0 < *1/3 <

< *s/a <

iIk^a ii:^n:

< * n - t/3

*>• *- 1-

Xk I

\

^ĩí-^) ~

* ~ * k

l

.

k

wj =.

* * ♦ ! " *

i- i- -

,

Ị2.S)

*------------ *ế - * k - i
a k - i / 2 -J ------ ,

*
* * + » -* *
Afc*i/a —


V à h | cor BÌr {w fc(i), * * 1, n - 1} cổ d ạng

X ệ Ị if c - ,,I * ^ ,Ị
Wfc(x) =

X k-t < * < *fc

(2.4)

ifc < * < I *+1
ĐỒ th{ cd a u>k(x) CÓ dạng:

f)ạ o h à m tr u n g bình cd a cjfc(z) n h ư ta u :

0

|* * - l.x * + i|, 1 = *k
1

* = Xfc_t

2 Afc_i/a

1
w i(x ) =

**_1 <

A

**
(2.5)

I

*fc < I < Xfc+l

Aik+i/a
1

* =» *k+l

2 A * + |/2
X á t i(ch v« kướag:

( /( * ) .? ( * ) ) « Ị

f ( x Ì 9{x)d>

( 2.6)

0

T h ỉ th ì

0

í<k~2, t > k ^ 2

1
tì

i/2

-

t —k ~ ĩ

í^ k

(2.7)

1

6
trung dó

=> X kti ~ *fc-i =

T ừ (2 7) auy r« W|k(z) trực

i/a + Afc_jỵa
hỉkiii ttit(x) trừ t a b a kàm Wfc_i(z),

B ây gi

Nh&n vố hvổoig hai vế c ỉ a (2 .ỉ) vói Uhịx) u ầvọc:

hai ĩần tích phẳn từ n g phìin ( 2 .8 ) u đưỸc:

2A»
tro n g đó p, ;= p(

,/2

2Afc_i/a

7

y

»»-1

7

/-.w *

»»-1

V?. :=
Xút toàii t ử A airọc x ic định ỈMỈri hệ Ibúx:

«»-1
trong đó ^ € o • l<5p nghiệm củ a ( 2 . 1).
Vector F v ổ i c ic ih in li phần:

(/)* = ; ^

/

f<^k[x)dx

( 2 . 10 )

*»-1
Sau khi hy p c4c hệ th ứ í (2.9) (ifc = l , n - 1) u đ ư ^ hệ

(2.11)

Áự>=F
B&ỵ giàí ta xét các x ỉp xi k h ic nhau cda (2.11).
Gọi

lằ khồng gian các hàm ivổri ự)'* dạnc;
= ( v > ì ,v > 7 ,- - ,p n - í )

6 i chuỉn

(»■'*)

Í-I

x< t bài toán x íp xỉ:
y iV * -

(2.13)

[Voag^ổ
ÍAh k \
_ ± Ị 'P k ^ t-'O Ì
_
»
)/k
ỊPfc+i »»
' ế• “* A
^ *+i/a
Ai I
22 A
(/‘). - 5 /. - ị / M

v > k - v>k i
P k -i

n

l^kj

2 *(2.14)


Dể Ỷ rằng ( 2 . 1S) lầ h f phưcrng irinh cò
U m a trậii ha dưồrng chéo chínk. O iii (2.13) ta

nghiệm p'*. Khi đó ngtiiệin cda (2.1) đvực xác dịnh IxVi:
i»-3
1P{*) ”

]C

v ỉ Bghiệin !p cim phiKmg trin h (2.1) đ ư ợ c th ể b iịa bé^i đ ịn li lý aait:

S ự hội ty c é k Dghiậm ^

D ịn h lỷ 1: N |k i|m cềa (2.13) hội iụ v ì Bgbiệm
C k ứ iig

của (2.ỉ) vM tổc độ kội ty ỉ / 2 .

m ia lir lV c ó :

tro n g dó:

-

k

/7

I

n

\

J_

.

? * + ■»


«k-i

‘

•ế-ế

«*♦»
Ịu h ix - ị h ^ k
7
'
•ề-t
Đặk * -

- Sfc|.

cổ:

itA

tir (2 . 1 0 ), (2 . 1 T) u 4 « ^ :
*

- /* lr* ^

^

íỉ ^

iVtMic M M . iir. i r . ữ i ằ c & c Iiằ > g « < k iite f p k y t i n ^ A .
Vậy l« ẹc ể » « ù p h t e (2.13) cA c ỉp xắp xl I& 1/2.
T» clittyln q u a d ẩa k giá »ìf «1 dịnk cá» (2.13)
T «c6 :

-(.‘.-V ). ỵ. ...ì{ -

-


> Po

fc=i

2A fc_j/3

,n - 2

2Afc+,/3

~ 'Pk~\)i'Pk ~ y^it- t) I
2 A * .,/2

_
^
= P0 ^
P o [^

V ' (^fc
2Afc_i/3

2A ,/3

j

'Pk-ii'P k - 'p'k-l) _ ^
2A*_jya
^ :? (^ J l£ L i)
2A„_iỵ2

'fi'kW U l ~ IPfc)
2A *+i/a

>

V'*
2A * _ |/2

m ặ t khác;

M )’ = ^ Ị Í : w - . í . ) r H Ề $ : ^ ; A : :

J

1

^

■*

; :r 1

^ -* /2

.

V .

V Í A .V

< ( V A . ) ( ' y : ' ' - Í )

< "

l k " l l ỉ . . < £ ( « > ' , / ' ‘) < ; ^ | l ^ ‘ ||,..
pu
/ ‘O

r>.

É

'

s

n

I l/ll,. -

/ '■ L .

T ừ đó Buy ra itrạc đồ (2.13) ổn dịiih
Vậy la cỏ ưốc iư
ị2A^)
Định lý dưạc clttì-iig uiiuii.
Nhận í/í: i)« i!vrirc c íp HỘI III <.lO lurii ta tố thề sd' dụng j)lii /Iig piiáịi Riíacxưii hí*ặ' lAng độ
trcrii củ a Iigliiệiii, hoặc c6 tìié xét ìưới lự a đều.
X ểt trên lớp ngliiỈTii khôug t i n g cỏ a phưaiig trỉn h (2 1) (lú t là g ii tl iếl nghiêm tá n g ), ta có kél q u i:

D in h ]ý 3: Nghiệm
lốc dộ liội t f b ỉa g 1.

cda phưang trình sai phân (2.13) hội tụ về nghiệm ip C&& {2. t) vói

Việc cbúmg m úih định lý
đurực chọiu

boàn toàn giống việc chứng minh định lý 1, chỉ kkAc lằ cluiẨn

.'- í

J=1

iic của ( 2 . 1) như aan:

ỉ liri/r

^

A , l 2A *+ ./a

2 A k -,/a ^
(2.19)

+ [p'*-i/3 - PL+i/a ( / '* ) » - ị / * » ị / K )
iroBỆ• Í ^ P Ì - i / a “ p '( * * - i / a ) ; P Ì+ i/3 = p '(* k + i/a )
Cấc k lt q o i th a đnrỸC ^ ltf?c đồ (2.13) cũng điỉng cho (2.19)

3. PH Ư Ơ N G TRÌNH KHUYỂCH TÁN MỘT CHlỀU D Ạ N G T ổ N G Q UÁT
X4t phvoBg (lin h

Lu - - ^ ( p i * ) ^ ) +
V à i cấc

+ 9i*)í>

- /

0 s * < 1

đ iỉu k ifa b iia:
p ịo) - ^ 1 ) - 0

TVo m

(3.1)

p (* ).

f{ » )

(3.2)

<*“ ♦“ •"♦í '•

Ngkiệm p { s ) cố bậc m :/ÌB m ỉi đoạn iirói (x/k,Sfe4.||.
T ừ lỷ Ih iiy li x tp «1 i* Kầy
c lik k lầ đ » th é c

C k 9 « (Ak(*))

9ii(*) là

bậc m t r t a (sfc, Xk4. || đ i q a » (m -f 1)

- **♦! U da tVic x

{*) [ỷỊ,(*) tin tậi duy BỈilt). ỹ*(*)

4iẩm Sft L«f

M

th ử t:

C0 aA đ l x ty dựng các pkiramg irình MÌ ph&a (3.Ỉ) tk«o c ie b v ó c đ t

lầm trò ag | 2 .
TW cftMf cA ih ể « é dyag M

cơ

lv 9« g fiầc nhv mh:

1V4b m S i đ o ạa |s^ , Si 4 i | t a x l p xi agliiỊin b ằ n g đ* thứ c:

JW.
»- 0 ,1 ........... m
kmO
TVoag đ i:

(3.4)


, .

.

kwịs-Xi)

*•♦1 - *•
«»{*) - «0*

(3.5)

*<♦1 “ *•

M ỗi hàm w|[(x) có th ế xem như d i xác định trỉn đoạn |0, l |

wi(*) =

(3.5)

néu

0

néu

* ^ | x . , z , 4 ,|

(3.0)

Khi dó nghiệm gần đihig cda (3.1) dượr Um dirổri dạng:

^ (* ) =

0 < * < í

(3.7)

1*1 fc=o

Khi đố i« rA ước lưự^iig;

.

(3.8)

tioiig dổ:
N - min N,

(3.9)

C á c h à m c o ềir tr ễ n ]à cấc tli( d ụ m in h h ụ a ch o Iih iỉu k h i Iiỉiig trn n g th ự c liỉ^nh c iỉa các p h ư ơ n g
p h ấ p la i b íéu


TẢI LIÊU THAM KHẤO
1.

Phan V in Hạp, Lê Ohih Định Dạo hàni trung lAnh và lirng (ỉụiig CỎI nó, Tóm iẤi b io c io
*tiội Iighị lo iii hục loàn quốc lần tb ử IV, llà Nội 10/19D0*.

2.

Lễ Đ\nh Định u n g dụng cda <1ạn hiin trong MiiK truiiỊỉ c&c bki toíii bitn có nghiệm
Ironi, Tốin lắ t báo cáo *Hội nghị toáii học loàn quổc iSii th ứ IV, Hà Nòi 10/1990*.

.H.

M aclruc G . I. C ic phinnig p h á p loáii học tín h toán (liai tâp ). PhAii V ỉn H ạp, Lê Đ inh T h ịn h

kh 6 ng

Mịch), NXB ĐHTHCN, Hà Nội líí«4

Ị ‘h a u V a n ỉ ỉ a p , Le í ) t n h D t n h
AVARAGK DERIVATIVKS AND
■ D IFFER EN TIA L EQUATIONS WITH
DISCONTINUOUS COKPFiCIKNTS
T h i t p a p « r d e a l* w i t h a S n ile dllTtreiK e m e t h o d
• ( j u a l io n w i t h d U c o n t i n u o u * c o afflc ia n tf.

KKoa Toin • Ca

Tin Kọc ■ D H T H Há Nộ%

U fin g ftViirage i l e r i v a t i v e i f o r s o l v i n g d i i r « r « n t i » l