Đạo hàm trung bình và các phương pháp phối hợp để giải một số bài toán biên

TRUONG DAI HQC
TONG
HOP
HA
NOl
Khoa Toan
- Co - Tin hoc
"'•• '
''''^\
DAO
HAM
TRÜNG BÍNH
VA CÁC
PHÜONG
PHÁP
PHOI HCÍP
•
•
DE
GIÁI MÓT
SO
BÁI TOAN
BIEN
Chuyén
ngánh:
Toan
hoc tính
toan
Más6
1-01-07
LUÁN

AN
PHO TIEN
SI TOAN LY
•^•'^
irifí
!\¡Ü>^^,
:
THAY HUONG
DAN:
PHÁN
VAN HAP
HA
NOI - 1993
MUC
LUC
Chijdng
1:
M¿ dáu
$1.
Dao hám trxmE
binh tích phan
$2-
Mót
so
khái niém
bo
trO w
2.1.
Nghiém
xáp xi

6
2.2.
Phiidng
pháp
can
bang sai so 7
2.3. Các phép bien doi
toan
t\l
8
g
¿:
Cae
bal toan bien co
nghiem khong trun
12
6
$1_
Bái toan bien
d^ng
phúc tap
có nghiém gián
cJoan
12
$2-
Bái toan bien
dang
phúc
ta.p
có nghiém

khóng trdn
17
$3.
Bái
toan
bien
dang
don gian có nghiém
khóng
trdn 19
OJlUOn^
ü - Cae
bai toan bien co he so khong tron 20
$1.
Bái toan bien mot chiéu
d^ng
don gian 20
$2_
Bái toan bien mot
chiéu
dang tóng quát 26
ChllÓn^
4'
Cae
bai toan bien eo bien ky di 30
$1.
Bái toan bien vói
phuong
trinh laplaxd 30
$2.

Bái toan bien vói
phildng
trinh poatxóng 42
ChliÓnS
d-
Mot
so
philong
phap
phoi
hop giai
Bái
toan
bien khóng
dúng
tren
mién
có bien ky di 46
$1-
PhUdng
pháp bien doi Laplaxd
46
$2.
Phildng
pháp
duóng thang
50
$3-
PhUdng pháp
láp

tích phán 52
Phu luC
64
- 4
A^
CHÜQNGl
MO
DAU
Trong
ehudng
md dáu,
tac
giá trinh báy khái niém
deo
hám trung binh tích phán, mgt so tính chát quan trgng cüa nó
vá mgt vái khái niém bó
trd.
can thiét cho viéc nghién cúu d
các
chiidng
sau.
$1.
Bao
hám
trung binh tích phán:
1.1. Sinh nghia [13]:
i) Xét F:X
—•••
Y (X,Y - B khóng
gian)'

, Xo ^
X .
néu V h
"íi
X
,
ton
t^ii:
1
( F(xo+th)-F(xo)
lim dt
-
SFCxo,h)
S-i-O
2Í
/g-
t
thif F(xo,h)
ggi lá bien phán trung binh (theo tích phán)
thú 1 cüa
hám
F tai
xo.
iij
Néu tai
Xo
ta
cc5'F(xo,h) ~
Ah
trong dó A -

Toan
tü tuyen tính giói ngi, thi F dUdc
ggi la khá vi trung binh, co dao ham trung binh theo tích
phán
t§.i
Xo,
vá viét
F'(xo,
h)=
Ah.
Nhán
xét:
De
muc
dinh
nghién cúu cüa luán án nén ó dáy chi
sü dung
d&o
ham trung binh tích phán theo dinh nghia
tren.
Ta có thé md róng dinh nghia tren báng cách thay thé biéu
thúc
tronfe
i)
bói
biéu thúc:
F(xo+th)-F(xo)
dt
=
§F(xo.h)

1
1
im
^-••0
(«+P.
)S
-ai
Ó dáy:
« , B
> O
1.2.
Tinh
chát [13].
i) Hién nhién ta có:
(FTG)-
(xo)
-
F'(xo)
-^
G'^(XO)
(<JF)^
(XO)
=
a.F'
(Xo)
- 5 -
(F
*
G)'
(Xo)

=
F'(Z¿).
G'(XO)
(ZO^GCXO)
ii)
Neu
F có dao hám Gateaux tai
Xo
thi F cúng có dao hám ,t
"^^•^ng
binh tai dó vá ta có:
F'(xo)
=
F'(xo).
iii) Ton
tai ^
hám F có dao hám trung binh tai
xo,
nhUng
D
kbóng
có dao hám Gateaux tai dó.
Vi
du: F(x) -
Ixl
khóng có dao hám Gateaux tai
xo -
O nhUng:
F'(o)
=

lim
S
-i-0
2
J
1hlsigntdt =
O
-j
.^o
iv) Hám F có diém góe tai
Xo
(hinh 1). Nhung có
thé^dao
hám
trung binh tai dó
fi(x)
•2(x)
v) Hám F khóng
lien "cuc
t^i
xo,
nhUng có thé co
GQ^O
ham
trung binh
t5LÍ
dó (hinh 2).
fiCx)
X2(X)
Xo

fíirih
9.
vi) Hám F có dao hám húu han hai phía tai
Xo
thi co
aao
hám
rrung
binh tai dó vá
"ca
có:
_
F^(Xo-rO)
+
F'(xo-O)
F'(xo)
=
- 6 -
Nhan
xet: Các
tmh
chat ii), iii), iv), v) suy tú tính chat
vi) báy gió ta chúng minh tính chat vi).
Thát váy do gia thiét F có dao hám hai phía tai
xo
nén de dáng suy
ra
hám:
F(xo+th) - F(xo)
t

f(t):
lien tuc trong
lan
can
t=0^
5"
> lim
f(t)dt
=
im
^'-^O
2
ó
[f(5)
- f(-Q)]
-5
2
S-^0
lim
2 ó
-*-0
F(Xo-i-5h)
-
F
(Xo)
F
(Xo-5h)
t.xo;
F(xo+§h) -
F(xo)

F(xo-5h)
- F(xo)
-í
—
lim
—
2
L^-^O
5^
+
lim
F'(XO-HO)
+
F'(xo-O)
==>
(dfcm)
$2.
Mót
s6
Jdiái
niém
b6 tro
2-1-
Nghiém xáp xi [1]
iriá
sü can tim nghiém
:<áp
xi cüa phUdng trinh:
L(U)
=

b trong mién
o (2.1.1)
Vói các dieu kién:
3(U)
-
3
Tren phán bién
•'^;
(2.1.2)
(u)
Tren phán bién
"
Trong dó
o
lá mién dude giai vói
L ,
S, G lá các
toan
tü vi phán, b, s, g lá các hám da
cho.
Giá sü
U
lá nghiém dúng cüa bái
toan
(2.1.1), (2.1.2),
(2.1.3) má ta khóng
thg
tim
dUde
báng

phUóng
pháp giái tích.
Ta tim nghiém xáp xi
U
cüa
U dtlói
dang:
n
U*
=
i:
«1 'f>i
+
«o
. (2.1.4)
1=1 '
ó dáy
ai(i=0,n)
lá các hé só can tim; {
*í^i(x)
}
(1=1,=^
) lá
hé hám dáy
dü,
túc lá hé thoa man các dieu kién sau:
i) {
¥'i(x)
}._
dóc láp tuyén tính V n.

ii)
V£>
O,
Vu,3n
sao cho:
[u-
(ZtXiíí?i-HXo)]
dx
^ i
¿
Dat
(2.1.4) váo (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) ta
¿xiOc:
R:
= L(U*)
- b
TÍ
O (2.1.6)
Ri:
= S(ü*)
- s
?í
O (2.1.7)
Rs:
= G(U")
- g
/
O
(2-1.8)
Trong

viee
tim nghiem xap
xi U
sao cho các ham sai
se
R,
Ri,
Ra dude xác dinh bdi
(2.1.6), (2.1.7),
(2.1.8) có giá
tri bé túy y
tren Q +
r,
da xuát hién nhieu phucng pháp khá
ly thú. Dé
phuc vu
cho viéc nghién cúu d các
chüdng
sau,
chúng tói trích dan
phiidng
pháp can báng sai só dUdc trinh
báy trong
[1].
2-2-
PhUdng pháp
can
bang sai
so
-

Giá thiét
rang
VW déu viét
dUde duói
dang:
Z Bifi
(2.2.2
i=l
-
j
lá:
"trong
dó
{^^i}
la hé hám dáy du ; {3
i}
các hé so.
Thé thi
moi ham u
thoa man dieu kién bien
~inh dúngtúc
Ri = Rs
- O
. (2.2.2)
8
va:
(R,W) =
R.Wdo
=
O

(2.2.3)
¿\ióc
gol lá nghiém xáp xi cüa bái
toan
(2.1.1), (2.1.2),
(2.1.3);
con W dUdc gol lá hám trong
lUdng.
Dinh ly
(Gauxd-Ostrógratxki)
Míen ii Büóc
gla
thlet^npl
va Bón
lien,
mat
f'
la
kin
va
chinh
quy,
thé
thi:
f"^'
(w
'v^
u - u
^"w) dQ
3u

3w
(w
u
-)
ds (2.2.4)
an
^n
Q
Trong 36 V
toan
tü Laplaxó
;
3u 3w
^ ^ ___
an 3n
theo pháp tuyen cua
cae
hám
u^
w
túóng úng.
lá
các Bao hám
2-3-
các
phép
bién doi
toan
tU:
2.3.1.

Phép bién doi
LapIaxO
mót chiéu:
i) Dinh nghia: Phép
bien
Bol Laplaxó mot chleu lá phép
bien
361
Bat túóng úng mol hám f(t) mot hám F(s) Búóc xác Binh
bol
Báng thúc:
F(s):
=
^Cf(t),
s] f(t) e
^"^
dt
ii) Dieu kién dü dé ton tai phép bién dói Laplaxd mgt chiéu:
Phép bién dói
Laplaxd
mót chiéu cua hám f(t) ton tai
theo nghia hgi
tu
tuyét dói néu:
+
0O
f(t)(e a) Ton tai
J if(t)[e
dt
o

b)
Ton tai
^
[f(t),
s]
- 9 -
iii) Phép bién dói ngUdc Laplaxd mót chiéu:
-
Phép bién dói dat tUdng úng moi
hám^F(s)
mgt hám f(t) má
y.
[f(t),s] =
F(s) dude ggi lá phép bién dói
ngUOc
Laplaxd
mgt chiéu cüa hám f(t); vá viét;
f(t)
= ^ "^[F(s)]
.
iv)
S\t
ton tai cüa phép bién dói ngU0c Laplaxd
a) Néu F(S) lá hám giái tích vá có
cap nhó
non (-1) thi ton
tai^^[F(s)].
b) Giá sü F(s)
'
^[Fi(s),

F,2(s),
, , Fn(s)]
Trong dó
^(zi,
zs,
,
Zn)
lá hám thoa man dieu kién:
'^(Z1,Z2,
,
Zn)
~ O < = => Zl =
Z2 -
=
Zn
=
O
;
Fic(s) =
¿'
[fi^(t),s] Vk =
l,n .
thi
ot CF(s)]
ton tai vá phép bién dói
Laplaiíd
tUdng úng
hgi tu tuyét dói.
v) Tính chát cua phép bién dói Laplaxd:
a) Gia thiét

Fi(s),
F2(s) lá các bién dói Laplaxd cüa các
hám
fi(t),
f2(t) tUdng úng. Thé thi
V
«,
B ik
các háng so ta
có;
^ [ocfi(t)
+
tif2(t),s] = ocFi(s) + BF2(S)
b) Gia thiét F(s) lá phép bién dói Laplaxd cüa hám
f(t),
vá
ton tai
f
(t)
Vt
> O khi dó:
^ [f'(t),s] =
sF(s)
-
f(0+0)
c) Gia thiét F(s) lá phép bién dói Laplaxd cüa f(t) vá ton
tai dao hám cap r cüa hám f(t) Vt > O the thi;
^
ífit),
s]

=
s F(s) - s f(0+0) - f (0+0)
d)
Neu^f(ü)
lá hám giói ngi Vt >0 vá ton tai
f'(t)
Vt>0
"crú
các diém
t=ti,
ta,
má tai
dó
f''t)
có
cae
giói han hai
phía húu han, thi
^
[f'Ct),s] = 3F(o)-F(0+0)-Zexp(-t±s) [f(ti+O
)-x(-i-O
)
]
e) Giá sü F(s) lá phép
bién
doi Laplaxd cüa hám f(t) khi dó
vói moi háng só a ta có:
- 10
%í
[f(a.t),s]

=
a
.F(
)
f) Giá thiet
F(s,íx)
lá phép bién dói Laplaxd cüa hám
f(t,'-x)
trong dó
«
lá tham so khóng phu thuge váo t vá
s.
Thé thi:
^[lim f(t,'o(),s]
- lim
F(s,ü()
üt—*-a
ot—*-a
g) Giá thiét F{s) lá phép bién dói Laplaxd cua f(t), ta có
các
dáng
thúc sau:
+
S^^t
t f(t),s|=
F'(s)
+ oC
L^~^^
^ x(t)^Sj=
F (s)

4-m
5r[t~^
fft)^^=
F^(s)ds
(Néu tích phán hgi tu).
Tú các tính chát
b,
vá d, ta có dinh ly thiét láp mói
quan hé cüa phép bién dói
Laplaxó
vá dao hám trung binh nhu
sau:
Gla thiét f(t)
glól nól
Vt>0,
ton tal Bao hám
trung binh
f'(t)
Vt>0;
F(s) lá phép bien Bol Laplaxó cua
f(t):
+ Néu
f(t) lien
tuc
thi-ta
có:
3^
[f-t),
s]
=

sF(s) -
f(0+0)
+
Neu f(t) có giói han hai phía
hüu
han tai
tx,
t2

thi
Ífcf'(t),
3] =
iF(s)
-
f(0+0)-
i:exp(-tiS)
[
f(ti+0)-f(ti-0) j
V
2.3.2.
Phep
bién dói
T.FJPlaxd
hai chiéu:
i)
Dinh
nghia: Phép bién dói Laplaxd hai chiéu lá phép bién
dói
dat tUdng
ung

moi ham
í.\x.)
mgt ham
Fís)
co dang:
11
=
x^[f(t).
F(s)
=oCo[f(t),s)] =
f(t)e
^
dt
ii) Quan hé giüa bién dói Laplaxd hai chiéu vá mgt chiéu:
Giá thiét ton tai các phép bién dói Laplaxd mgt chiéu
vá hai chiéu cho hám f(t) thé thi:
^[f(t),s] = ^[f(t),s]
+
^[f(-t),s]
iii) Tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu:
Nhiéu tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu
¿xií^c
suy tú tính chát cüa phép bién dói Laplaxd mgt chiéu.
Trong trUÓng
hOp
riéng ta có;
a)
^B'[f(t),s] = ^
[f(t),s] néu f(t)
=

O khi t
^
0.
/?
c
a)
¿fs [f(t),s] - ^[f(t),s] ^
neu
f(t)=0
khi
tic.
5
- 12 -
CHÜQNG
II: CAC BAI TOAN BIEN CO NGHIEM KHONG TEON
Trong
chuong
náy trinh báy các bái
toan
bién có nghiém
khóng
"crdn
da
dugc
Mactruc [3] dua ra khi mó hinh hóa bái
toan
ó nhiem mói trudng gáy nén boi mgt nguon nhiem bán có
kích thuóc khóng lón so vói pham vi anh hUdng.
$1:
Bái

toan
bién dang
phÚc
tao có
nghiém
gián
doan
•7 ^
Xet qua trmh khuyech tan va di chuyen cua
thUe
the eo
van toe cüa
.khói
khóng khi khác khóng, dude mó
ta
bdi phUdng
trinh [3]:
d(P(x)
a + B [tp(x)
-
xu
(X-Xo)]
= n
dx
dieu kién bién:
2
d
<í>(x)
dx
+ Q

5"tx-Xo)
(1.1)
lim
íP(x)
- O
lim
(p(x) =
X (X > 0)
(1.2)
vói eáe giá thiét
"Pfx)
- giói ngi Vx
^
(-*»,
-*-'"),
'-x ,
B,
u ,
Q
lá các háng só da biét,
a
> O,
u""
(x-Xo)
- hám don vi,
¿T
(x-Xo)
-
Dirác
Nghiém giái tích cüa

(1.1)
vá (1.2) tim dUdc lá
[3]:
í
Q
^{x)-
AÍ4BU-KX
exp-
(X
^
M
4M
2u
(x-xo
)l+ X
X
>
:<:o
Q
1
4B
u
-ra
(
exp/,
!
4
u
1
+

2.
OC
•-y
4n"
-r
a.
3)
2.
j J
X < Xo
13
do
thi
nghiém
(1.3) có
dang
Hinh
4
Nhán
xe-fc:
tai x
=
Xo
nghiém
^(x)
gián doan leal
1, nén
khóng
có
dao hám

Gateaux; nhüng
có dao hám
trung binh tích phán.
Váy
eá^
dao hám có mat
trong
bái
toan
(1.1) vá 1.2 có
thé hiéu
lá dao hám
trung binh.
Báy
gid ta
giái
bái
toáin
(1.1),
( 1.2) vói giá
thiét
cae
dao hám d dó lá các dao hám
trung binh bang phUdng pháp
phói
hdp
phép bién
dói
laplaxd
vá dao hám

triing
binh.
Dinh
lv2:
Nghiém^
cua bái
toan
(1.1) vá (1.2) Búóc tim theo
phúóng pháp
phói hOp
Bao hám trung binh vá phép bién Bói
Laplaxó trung vói nghiém giái tich
(1.3).
Thát
váy, dat
^
(x) -
(p(x)
-
xu (x-xo)
(1.4)
Khi
dó
lim
tp
(x)
=
lim
^
(.x)

X
-*-
+
o*
X
—>-
+
f»
o
lim
^
(x)
=
lim
íP(x) -
O
y^
—^ -
Oí
X
—•- - ^
(1.5)
¥>
(x)
=
^'(x);
1>^'
(X)
=
tf>"(x);

1.6)
Thé
(1,4),
(1.5)
,
(1.6) váo bái
toan
(1.1) (1.2) ta dUdc:
14
áH>
(x)
ex + Bí(>
(x)
~ |i
dx
2
^•
á
H>
(x)
dx
+ QS(x-xo)
(1.7)
lim
M>
(x)
=:
o
(1
-

3)
Xét phép bién dói Laplaxd hai chiéu cho
V
(x) vá các dao hám
eua nó ta có:
-H»
(f>*(s):
=XB
C<í>'^(x),
s]
—
ax.
(í> (X)
e dx
(1.9)
B [
^ (x),s]=
s
'•í>*(s)
^ ^ B
[
S (x-Xo) ,s]=
e
3
[
tP (X),S]=
S
'P
(S)
(1.10)

dat (1.9),(1.10) váo (1.7) ta dudc:
2
m
cxs<í>
(s)+
Bíí?
(s)
= |i
s
^
(s) +
Qe
f
1
.1
X
)
•Qe
-=> ¥>
(s)
M
s
-ü( s
- B
Mau
so d vé phai eua (1.12) có các nghiém lá
(1.12)
si^
S2:
1 2

0C+Icx +
4
uB
2u
OC
-Wtx
+
4uB
OC
l\i
vi H
4p
OC
B
«^
+
2u
2u U ii
4vi
(1.13)
Theo phép bién dói Laplaxd
ngildc,
nghiém cüa bái
toan dude
tim
d-aói
dang:
- 15
^
(X)

,
í
a exp
<
-
\
2
B
(X
+
-
VI
4^1
(X
2vi
1
J
.
,
X
í
Xo
(1.14)
b exp
< +
N
B
Oí
ot
H

4p
2vi
, X
5
Xo
Ap dung phép bién dói Laplaxd cho (1.14) tacó:
íP*(s) = ^B
[
¥>*(x),s]
Xo
b exp
B
OC
—
+
—
4u 2n
—
ox
Ve
dx +
+ a exp
{
Xo
B
«
+
—
^
P

4M
2u
X í
e dx
exp-
(X
•^
Vt
4vi 2vi
B
ex
a
~—
+ +
^
u 4vi 2vi
-s
-s
XoV
+
J
exp^
+s
B
Oí
— +
—
0(
si
VI

4vi 2vi
^
Vi
4u
+ s
Xo
- 16
•^ Ih
B
(X
+
—
ÍX
si
VI
'
4vi 2vi
exp
B
1
Vi
OC
+ +
-y
4vi
a
2vi
-s
Xo
+ a

B
OC
4
VI
4vi
2p
exp
OC
a
si VI 4n 2vi
Xo
;
(Vi
s -
o( s
-B )
(1-15)
so sánh (1.15) vói
(1,12)
ta có:
[[
Vi
<
b
+
+ s
^i
VI
4vi 2vi
exp

w
ex
ÍX
AÍ
Vi
4u
2vi
+
a
B
íx
OC
+
+
2
si
VI
4M
2vi
exp
B
OC
+s
4 Vi 4n
2vt
Xo
S =
Q.e
(1.16)
Thé (1.13) váo (1.16) ta có

Q
<
^ 4uB + «
exp
<
-
a
-i
Vi 4Vi
2
X<
Q
a
=
—
exp
^i4viB
+
a
2vi
(X
X.
vj
Vi
4vi
(1.17)
17
Thay (1.17) váo (1.14) ta
dUde:
j.

':
^ Q
V-Lf^/£"^^í
íP*(x) =
exp<
-
J4Bvi
+<x
B
<X
OC
— +
-
—
^
Vi 4vi 2vi
X > Xo
(x-xo)
Q
exp < -
.
j
4Bvi+ü(
B
ex
ex
(1.18)
(Xo-X)
si Vi 4vi 2vi
X < Xo

TÚ
(1.18)
vá (1.4) ta có nghiém cüa bái
toan
(1.1),
(1.2)
lá
Q
ot o;
4Bu+o!
— exp
-i u
4vi 2vt
X > Xo
(x-Xo)>+ X
(1.19)
'P(X)=:
r r
Q
exp
J4Bvi \, ^4Bvi-Hx
B tx
+
1
^
Vi 4vi
2vi
(Xo-x)
X < Xo
ta

tháy (1.19) trung vói (1.3) váy dinh ly dude chúng minh
$2.
Bái
toan
bién dang
DMC
tao
vÓi nghiém
khóng
trón
xét bái
toan
[3]:
/ dtp(x)
OC +
B
tp(x)
dx
lim tP (X) =
O
=
Vi
2
d
(P(x)
dx
Q S
(x-xo) (2.1)
(2.2)
- 18 -

vói
oác
gia thiet
oc,
B
, vi , Q
lá các
háng
so da biet.
'P(x)
van
giá thiet lá hám giói
nói-
5"(^->^o)
-
í)irác.
Nghiém giái tich
cüa
(2.1),
(2.2) có dang [3].
Q
exp
<
-
44Bvi+<x^
B
tx
—
+ —
(X-Xo)I

AÍ
VI
4vi
X
í
Xo
(2.3)
^
(x)
=
Q
exp
[
¡
4Bvi-Hx
2
^ Vi 4vi
2vi
(Xo-X)
X
^
Xo
Do thi cüa nghiém (2.3) lá:
Hinh
5: Do thi
nghiém (2.3)
khi
oc>0
Whan
-xf^.t

i) Do thi nghiém (2.3) cüa bái
toan
(2.1),
(2.2) lá
hám khóng trdn tai
x=xo.
Nén tai dó khóng ton
ta.i
dao hám
Gateaux, nhUng van có
ád-o
hám trung binh.
ii) Bái
toan
(2.1),
(2.2) lá
tnJÓng
hdP
dác
biét cüa
bái
toan
(1.1),
(1.2) khi
X =0
vá chinh lá bái
toan
(1.7),
(1.3).
Váy ta có ménh dé sau:

Menh dé
1: Nghiém cüa bái
toan
(2.1),
(2.2)
dude
tim theo
phUdng pháp phói hdp dao hám trung binh vói phep bién dói
Laplaxd trung vói nghiém giái tich (2.3)
19 -
$3.
Bái
toan
bién dang
áán
gian
có
nghiém
khóng trdn
xét
bái
toan:
d
(í>(x)
B
tp(x) = Vi ::; + Qd(x-xo)
dx"
lim
í^(x)
=0

X-»-±iií
(3.2)
Vói các gia thiet B
, vi , Q
lá các hang so,
'P(x)
- giói nói
Nghiém cüa bái
toan
(3.1),
(3.2) có dang
[3]:
Q
r i
\
B
exp
(í>(x) =
2^7?
<
(x-Xo)
^
Vi
[ "1
Do thi nghiém (3.3) lá:
B
í
)
(Xo-x)
M

Vi
Q
2-1^
X
ij^
Xo
,
(3.3)
X
í
Xo
fíTnh 6- Do thi nghiém (3.3) cüa bai toan
(3.1),
(3-2)
Mhan
yRt.!
Bái toán
(3.1),
(3.2) lá
triJdng
hdP riéng cüa bái
toan
(1.1), (1.2)
khi
>^
=0 vá
'-x=0.
Váy ta có ménh de sau:
Menh de 2: Nghiém cüa bái toán
(3.1),

(3.2)
dUde
tim báng
phUdng pháp phói hdP vá nghiém giái tich (3.3) lá
"crüng
nhau.
Bái toán
(3.1),
(3.2)
duoc
xét khi mó tá sU
khuyech tan
vá
dieh chuyén eüa
thUc
thé vói van toe cüa khóng khi bang
khóng.
- 20 -
CHUONG
III.
CÁC
BÁI
TOÁN BIÉN CÓ
HÍ
SO KHONG TRON
Trong chUdng náy, dánh trinh báy các bal toán bién có
hé só khóng trdn da
duOc
các
tac

giá nhU
Ladujenxkaia
[5]
lanhenkó [8], Xamarxki [7] v.v giai báng
phUdng
pháp xáy
dUng cae liide
do sai phán dUa theo các nguyén ly bién phán.
U
dáy
tac
giá sü dúng khái niém
dao
hám trung binh dé
di^ng
các
lUdc
dó sai phán giai các bái toán
dó.
$1.
Bái toán bién mót chiéu dang
ddn
gián.
Xét bái toán:
d
d¥>(x)-
|p(x)
j +
q(x)(P(x) =
f(x) ; 0<x<l

dx dx (1.1)
H>{0)
-
H>il)
-
O
(1-2)
Trong dó p(x), q(x), f(x) lá các hám
lien
tuc
túng
khúc tren
[0,1],
p(x)?po>0 ,
q(x)?0.
Ngoái ra giá thiét
p(x),
q(x),
*Í^(X)
ton
t^ii
các dao
hám trung binh vá giói nói.
Tren
[0,1],
xét hai hé diem
lUdi
fxic},
{xit-*-i/2}
k=0,1,

thoa man:
Xlt+XltH-l
Xlt-»-1/2
-
2
^
X -
Xlc-l
uíi(x) =
K
'J
2 ( X )
Ak-1/2
(1.3)
Xlt
- X
Alt-t-1/2
O
dáy:
Aii_i/2 = xic-xic-i
,
AK-WI/2
~ xii-i
-
xjc
- 21 -
Ta xáy
düng
hé cd sd
{(^ic(x),

k=l,n-l}
có
dan^
O
X
?
[Xlc-l,
XlcH-l]
<Jlc(x)
=/ui(x)
xé
[Xlc-l,
Xlc]
(1.4)
itJ2(x)
X
e
[Xlc,
XltH-x]
Do thi cüa
uíic(x)
có dang (hinh 7):
O
\-l ^< '^tCfl
Hinh
7-
Do
thi hám
uit(x)
X

Dao hám trung binh cüa
(Jic(x)
nhu sau:
/
^ X e
[Xlt-i,
Xlc-Hl]
,
X=Xk:
2Ait_i/2
W'fc(x)
=<
Ate-
1/2
X
= Xlc-i
X í (Xfe-l
,
Xh:) (1.5)
Ak-^i/a
X
^ (Xlc
,
Xk-^l)
I
2Ak.
1/2
X =
Xk-^1
22 -

Xét
tich
vó
hüdng:
(f(x),
g(x)
=
f
(X)g(X)dx
(1.6)
Thé thi
(
O
1
Alt-1/2
6
1
t
k-2,
1
I \
1
=
k-1
(í*Jic(x)
,^i(x)
)
Ak l/2
V.
*^

-
k
1
= k+1
i
-i-
-
'
^
Trong dó
Ajt = xic-^i-xic-i
=
Ait-^i/s +
AI^-I/S
.' t
Tu
(1-7)
suy ra
'^>;t(x) trUe
giao
vdi
tat ca
ca;
trü
ra ba hám
(Jit-i(x),
tJ3t(x),
tjJ:c-t-i(x)
.
hám

'•^Jx(x)
Báy gid ta dUng
lUOe
dó sai phán cho bai toán
(1.1),
(1.2),
nhó hé hám cd só
{wiííx),
k
=
1,
n-1}
bíhán
vó huóng hai vé cüa (1.1) vói
i^iit(x)
ta dude:
d
d<í>(x)
— p(x)
+ q(x)*P(x)
dx dx
O
í-
u)it(x)
dx
=
f
(X)(*ilí:(x)dx
(1.8)
Hai lán tich phán

tüng
phán
(1,8)
ta có:
Xlc-»-l
Plt-^l^lt-Kl
Pk-l'í'lc-i
2A5t-Ki/2
2Ait_i/2
[PMx)"'ic(x)
-
q(x)wií:(x)]íP(x)dx
Xlt-1
Xk-t-l
f
Cx)(.Jit(:<)dx
Xk-1
23
Trong dó
Pi
- P(xi)
, 'Pi - *f>(xi)
Xét toán tü A
dUde
xác dinh bói hé thúc
(Atí>)i^
Ak
?^^*VP>
2AI,:-^Í/2
+

PIH-VÍ^IÍ:-!
:Air_i/2
Xk-t-1
[P'(X)U^ÍX)
- q
(x)u)k(x)]íP(x)dx
(1.9)
Xk-
Trong dó
^ ^ (í
- Khóng gian nghiém cua
(1.1),
(1.2)
Véc
td
F:=
(fi,f2,
,
fn-i)
vói các thánh phán:
fi
=
Ale
Xlt-t-1
Xk-1
f
(x)wk(x)dx
(1.10)
Sau khi
hOp

thánh các hé thúc
(1.9),
(1.10) ta dudc hé
A^
-
H>
(1.11)
Dat
(J ]a =
{^
};
d day:
<P =
('Pi,
^P-z,
,
'í>n-i)
_,
^»
Xet ehuan:
1 1
;í/
n—1
,
j=i
Bái toán xáp xi có
d^ing
f
1.12)
A

'P =
f
(1.13)
Trong dó
11 h
(A
íp
)k
=
Ak
Pk-Hl
K h
^k-^-i-íPk
2Ak-+-l/2
Pk-1
(Pk-íí^k-l
2Ak-l/2
'í>k
( f )k
=
— fk
fíXk)
(1.14)
- 24
De y ráng (1.13) lá hé
phiidng
tuyén tính, ma trán A lá ma
trán dói
xúng,
xác dinh

dUóng,
^ang
ba duóng chéo chinh. Váy
giái (1.13) ta tim
duOc
nghiém
^
.
Khi dó nghiém xáp xi cua
(1,1),
(1.2) có dang
n-1
(P(X)
-
T 4?jU)j(x)
j = l
(1-15)
Báy gid ta chuyén sang khao sát
sU
hgi tu cüa nghiém
bái toán sai phán (1.13) vé nghiém dúng eua bái toán xuát
phát
(1.1), (1.2).
Dát h
=
max
Ixk-t-i - Xkl
k
Sinh
Iv

3: Vói búóc h Bu bé thi hé
(1-^3)
có nghiém duy nhát
vá nghiém cua
(l.Í3)
hói tu ve nghiém Búng
cúa
bái toán
(1.1),
(1.2) vói cap hói tu 1/2.
Chúng minh:
S^X
ton
tei
nghiém cua (1.13) suy tú tinh xác
dinh dUdng cua ma tran A. Gia sU (1.13) co nghiem
^>
. De
chúng minh
^
hói tu vé nghiém cüa
(1.1),
(1.2) ta chi can
chúng minh tinh xáp xi vá ón dinh eua
lUde
dó sai phán (1.13)
Ta có:
u
l-xi
I

1-1.
A
(f<>)íi-f I ¡F
MF
+
VNÍF"
%
I?
i-i
(1.16)
Trong
dó:
(f
W
Ak
r
xk-^i
p'
(x)í3'
(x)¥>(x)dx
Xk-l
Pk-*-l
Pk-1
2Ak-t-l/2
2Ak-l/2
'í^k
(^
)lc=
Ak
Xk-^1

q(x)(»ik(x)(P(x)dx
-
^^ Xk-l
Akqk
^k
{%
W
Ak
f Xk-t-1
f
(x)wk(x)dx
Xk-l
fkAk
25 -
De dáng dánh giá dUdo:
7-
h
1/2
F
$ Mh
h
3/2
F
^.
Nh
>i
3/2
F
<.
Kh

(1-17)
Trong dó
M,
N,
K lá các háng só dUdng khóng phu thuóc h
Tú
(1.16),
(1.17) ta có:
ti
ht
I
Vi
1/2
3/2
3/2 1/2
A
(íí>)n-f ÍIF $
Mh
+
Nh
+
Kh
í
ch (e>0)
Váy tinh xáp xi eüa
lUdc
dó (1.13)
dUde
chúng minh
Ta chuyén sang dánh giá

sU
ón dinh cüa
lUdc
do
(1.13).
Ta có:
H Vi
(V ,
F )
j
Vi
tT.
Vi
= I (¥>
, A
'í>
)
2 Ak íí>
k
k
=
1
Ak
PkH-
k-*-l
2Ak-t-l/2
(tP
k-Kl-¥>
k)
Pk-

2Ak-l/2
h K
(íPk-tPk-i)
Akqk ^k
n-1 Pk-1
h h h
I ^ k(<í>K - ^
k-l)
-
k=l
2Ak-l/2
n-1
Pk-H 1 h h h ^ ^~^
-
X ^
k
(V
k-^1-
'P k) +
—
Z Ak qk ^ le
k=l
2Ak-l/2
2
k=l
26
Po
H
h Vi Vi
n-1

m>
y^
-
^
k-i)
(*P
k
-'í>
k-i)
X
k=l 2Ak-l/2
li
h h
í^
Vi
n
n-1
<P
k-1
CP k
-
^
k-i)
n-1
íí> k('P
k-^1
-^
k)
+
X

k:
2
Ak-1/:
k-1 2
Ak-^i
/2
h h
2
n-1
(tp k -*í>
k-i)
^.
Po
r
k=l
2
Ak-l/2
Mát
khác
Vi
2
hl
?i
(¥>
k)
=
[
Z (íp j -q?
j-i)]
f=l

X
Vi
Vi
k
¥> j
-
9
j-i
j-1
JAJ
-1/2
si
A-t
á-1/2
k
(íí> j
-
(í>
j-i
<
I
X
'^\
21 Aj_i/2
j =
l A
j-i/2
/ ^3-1
Vi
Vi

k
(íf> j -«>
j-i)
$
X
j=l Aj_i/2
Vi Vi
2
n-1
(íí> d
-
'í>
j-i)
í
X
Ó=l Aj_i/2
n-1
^
n-1
:> Z AkíP"k $ ü Ak
k=l k=l
h Vi
k
(¥> j
-
(f
j-i)
j =
l
Aj-

d-1/2
n-1
\
/n-1
(tp j
-
tp
j-i)
k=l
/
\j =
l
h h
n-1
((P
á
-*P
J-1)
j=l
A
J-1/2
Aj-l/2
2
Po
li
Vi
(^
,f )