Bài tập về biểu thức, rút gọn biểu thức chứa căn bậc nâng cao cho HSG 9

Bài 1. (Đề thi học sinh giỏi thành phố Đã Nẵng 2010 – 2011)
a 1 a a 1 a2  a a  a 1
Cho biểu thức: M 
với a > 0, a  1.


a
a a
a a a
a) Chứng minh rằng M  4.
6
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 
nhận giá trị nguyên?
M
Lời giải.
a) Do a > 0, a  1 nên:

a a  1 ( a  1)(a  a  1) a  a  1


và
a a
a ( a  1)
a

a 2  a a  a  1 (a  1)(a  1)  a (a  1) (a  1)(a  a  1) a  a  1



a a a
a (1  a)

a (1  a)
a
a 1
2
 M
a

Do a  0; a  1 nên: ( a  1)2  0  a  1  2 a
2 a
24
a
6 3
b) Ta có 0  N 
 do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
M 2
6 a
Mà N = 1 
 1  a  4 a  1  0  ( a  2)2  3
a 1 2 a
 a  2  3 hay a  2  3 (phù hợp)

 M

Vậy, N nguyên  a  (2  3) 2

Bài 2. (Đề thi học sinh giỏi huyện Cẩm Thủy – Thanh Hóa 2011– 2012)
2ab
Cho các số dương: a; b và x = b 2  1 . Xét biểu thức P =
ax ax 1


a  x  a  x 3b

1. Chứng minh P xác định. Rút gọn P.
2. Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Lời giải.
1. Ta có: a; b; x > 0  a + x > 0
a (b  1) 2
0
Xét a – x = b 2  1
Ta có a + x > a – x ≥ 0  a  x  a  x  0
Từ (1); (2); (3)  P xác định
Rút gọn:

1

(1)
(2)
(3)


2ab
a (b  1) 2
a

a  x  (b  1) 2
2
2
Ta có: a + x =
b 1
b 1 

b 1
a
2ab
a (b  1) 2
a  x  b 1 2
a


a-x=
b 1
b2 1
b2 1 
a

a
 b 1
b 1
a
(b  1) 2
 b 1
P
=

b 1
2
1
Nếu 0 < b < 1  P = 2b  3b

a
b 1  1  b 1  b 1  1

3b b  1  b  1 3b
a
1
2
b
4

3b
1 3b 2  1
b

Nếu b  1
3b
3b
 P=
2. Xét 2 trường hợp:
4
 4
Nếu 0 < b < 1, a dương tuỳ ý thì P = 3b
P 3
(b  1)

2

Nếu b  1 , a dương tuỳ ý thì P =

2

b

1  b 1  2b
  
3b  3 3b  3

b 1 2


Ta có: 3 3b 3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
2b 2
Mặt khác: 3  3 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
Vậy P  2  2  4 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b = 1
3 3 3
4
KL: Giá trị nhỏ nhất của P = 3
Bài 3: (Đề thi học sinh giỏi huyện năm học 2013 – 2014)

 x y
x  y   x  y  2xy 

 : 1 
.
 1  xy
1

xy
1

xy



 

Cho biểu thức: P  

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P với x 

2
.
2 3

Lời giải.
a) ĐKXĐ: x  0; y  0;xy  1.
Mẫu thức chung là 1 – xy

P

( x  y)(1  xy)  ( x  y)(1  xy) 1  xy  x  y  2xy
:
1  xy
1  xy
2





x x y  y y x  x x y  y y x
1  xy
.

1  xy
1  x  y  xy
2( x  y x)
2 x (1  y)
2 x


(1  x)(1  y) (1  x)(1  y) 1  x
b) x 

2
2(2  3)

 3  2 3  1  ( 3  1) 2
43
2 3

x  ( 3  1) 2 

3 1  3 1

P

2( 3  1)
2 32


1  ( 3  1) 2 1  3  2 3  1

P

2( 3  1) 6 3  2

13
52 3

Câu 4. (Đề thi học sinh giỏi lớp 9)
2 x 9
2 x 1
x3
Cho biểu thức M =


x5 x 6
x 3 2 x
a. Tìm giá trị của x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M
b. Tìm x để M = 5
c. Tìm x để M Z.


Lời giải.
a)

ĐK x  0; x  4; x  9
Rút gọn M =

2 x 9



Biến đổi ta có kết quả: =

=

b)

M 5 


x 1
x 3

M=

 




x  3
x 1









x x 2



x 3


x  2

x 1

x 2

x 2

x 2





x 3

5

x  4  x  16(TM )

x 1

c)






x  3 x  3  2 x 1
x 2 x 3

x 3



Do M  z nên

x 3 4
x 3

 1

4
x 3

x  3 là ước của 4

 x  1;4;16;25;49 do x  4 

 x 3

x  1;16;25;49

3

nhận các giá trị: -4;-2;-1;1;2;4


Bài 5. (Đề thi học sinh giỏi huyện Kim Thành 2012 – 2013)
2 x 9
x  3 2 x 1


Rút gọn biểu thức A = x  5 x  6
x  2 3 x

Lời giải.


ĐKXĐ: x 4; x

9


A=


=




2 x 9
x 2




x  2 
x 1

x 3






x  3

x 2

x  3 2 x 1 2 x  9  x  9  2 x  3 x  2



x 2
x 3
x 2
x 3









x  x 2
x 2



x 1
x 3

Bài 6.(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa 2011 – 2012)
Cho biểu thức P =

3

x 1
x 1

x 8
3 x 1 1
:
10 x x 3 x 1 1

1
x 1

1) Rút gọn P
2) Tính giá trị của P khi x =
Lời giải.
Điều kiện: 1
1)

x

3 2 2

4

3 2 2

3 x 1 9
:
10 x

P

3( x 1 3) x 1. x 1 3
.
10 x
2 x 1 4

P

3 x 1( x 10)( x 1 2)
2(10 x)( x 1 4)

4

=> x= 1

3 2 2
3 2 2
2

3 2 2
3 2 2

10

P

b) x

4

1
2 x 1 4
.
x 1
x 1 3

4

3 2 2
3 2 2

( 2 1)

3( x 2)
2( x 5)
4

(3

2 2)2

4

2 vì x>1

Vậy P=0

4

(3 2 2) 2

3

2 2

3 2 2

x 3



Bài 7. (Đề thi học sinh giỏi TP. Thanh Hóa 2016 – 2017)

 x2
x
1  x 1


.Với x  0, x  1.
:
2
x
x

1
x

x

1
1

x



Cho biểu thức: P  

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P 

2
.
7

c) So sánh: P2 và 2P.
Lời giải.
a) Điều kiện: x  0, x  1

 x2
x
1  x 1
P


:
2
x
x

1
x

x

1
1

x











x
1  x 1


3
: 2
x

x

1
x

1

x 1


x2

 

x  2  x ( x  1)  ( x  x  1)







x 1 x  x 1

x  2 x 1







2
x  x 1





x 1 x  x 1

.

:

x 1
2

2
x 1

b) Với x  0, x  1. Ta có:

P


2
7

2
2

x  x 1 7

 x  x 1 7
 x x 60
 ( x  2)( x  3)  0
Vì

x  3  0 nên

Vậy P =

x  2  0  x  4 (t/m)

2
khi x = 4
7

5


c) Vì x  0  x  x  1  1
2
2
x  x 1
0 P2
0

 P( P  2)  0
 P2  2P  0
 P2  2P

Dấu “=” xảy ra khi P = 2  x = 0
Vậy P2  2P
Câu 8. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hải Dương 2013 – 2014)

1 1 x2 .



(1  x)3  (1  x)3



với 1  x  1 .
2  1 x2
b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a3  a 2b  ab2  6b3  0 .
a) Rút gọn biểu thức A 

Tính giá trị của biểu thức B 

a 4  4b 4
.
b 4  4a 4

Lời giải.
a) Ta có:

A

1  1  x2 .





1  x  1  x 2  1  x2



2  1  x2

 1 x  1 x 
  1  x  1  x   1 

 1  1  x2 .



1 

1  x2

2

1  x2

 2  2 1  x 
2

 2x 2 = x 2
a3  a 2b  ab2  6b3  0  (a  2b)(a 2  ab  3b2 )  0 (*)

b) Vì a > b > 0  a 2  ab  3b2  0 nên từ (*) ta có a = 2 b
Vậy biểu thức B 
B

a 4  4b 4 16b 4  4b 4

b 4  4a 4 b 4  64b 4

12b 4

4

4
63b
21

Câu 9.(Đề thi học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011 – 2012)
1.

Cho f  x  

x3
. Hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1  3x  3x 2

6


 1 
 2 
 2010 
 2011 
A f 
 f 
  ...  f 
 f 

 2012 
 2012 
 2012 

 2012 

x2 x
x 1
1  2x  2 x


x x 1 x x  x  x
x2  x
Tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

2.

Cho biểu thức P 

Lời giải.
1) Nhận xét. Nếu x  y  1 thì f  x   f  y   1 .

1  x 
 f  y   f 1  x   3
Thật vậy, ta có f  x   3
3
3
x  1  x 
x  1  x 
3
1 x

x3
 3

 1.
suy ra f  x   f  y   f  x   f 1  x   3
3
3
x  1  x 
x  1  x 
3

x3

1 1
Vậy, nhận xét được chứng minh. Ta có f    .
2 2
Theo nhận xét trên ta có:
  1 
 2011     2 
 2010  
A f 
 f 
   f 
 f 
   ... 
 2012     2012 
 2012  
  2012 

  1005 
 1007  
 1006 
1

 f 
  f 
  1005  f    1005,5
f
 2012  
 2012 
2
  2012 
2) Điều kiện: x  0, x  1 . Khi đó ta có
x 2
x  x 1
x  P  2  0 , ta coi đây là phương trình bậc hai của

Rút gọn biểu thức ta được P 
Ta có Px   P  1

x.

Nếu P  0   x  2  0 vô lí, suy ra P  0 nên để tồn tại x thì phương trình
trên có    P  1  4 P  P  2   0
2

4
4
2
  P  1 
3
3
bằng 0 hoặc 1

 3P 2  6 P  1  0  P 2  2 P  1 

Do P nguyên nên  P  1

2

+) Nếu  P  1  0  P  1  x  1 không thỏa mãn.
2

P  2
2
 P  2  2 x  x  0  x  0 không thỏa mãn
+) Nếu  P  1  1  
P  0
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Câu 10. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ 2012 – 2013)
1) Rút gọn biểu thức:

A=

2 10  30  2 2  6
2
:
2 10  2 2
3 1

7

2) Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn .
Chứng minh rằng

x 2  yz y 2  zx z 2  xy


a
b
c

a 2  bc b 2  ca c 2  ab


x
y
z

Lời giải.
2 10  30  2 2  6
2
=
:
2 10  2 2
3 1

1)

2 2 ( 5  1)  6 ( 5  1) 3  1
2  3 3 1
4  2 3 3 1

3 1 3 1 1
.

.

.

.

2
2
2
4
2
2
2
2
2 2 ( 5  1)
x 2  yz y 2  zx z 2  xy


2)
a
b
c



a
b

c
a2
bc
a 2  bc





(1)
x 2  yz y 2  xz z 2  xy
x 4  2 x 2 yz  y 2 z 2 y 2 z 2  xy 3  xz 3  x 2 yz x( x 3  y 3  z 3  3 xyz )

Tuongtu :

b2
ac
b 2  ac


(2)
y 4  2 y 2 xz  x 2 z 2 x 2 z 2  x 3 y  yz 3  xy 2 z y ( x 3  y 3  z 3  3 xyz )

Tuongtu :

c2
ab
c 2  ab



(3)
Z 4  2 xyz 2  x 2 y 2 x 2 y 2  x 3 z  y 3 z  xyz 2 z ( x 3  y 3  z 3  3 xyz )

Từ (1) (2) (3) ta có ĐPCM
Bµi 11: (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Hòa Bình 2010 - 2011)
1. Ph©n tÝch thµnh nh©n tö c¸c biÓu thøc sau:
a/ A  x3  3x 2 y  4 xy 2  12 y 3

b/ B  x3  4 y 2  2 xy  x 2  8 y 3

2. Cho a  11  6 2  11  6 2 . Chøng minh r»ng a lµ mét sè nguyªn.

Bài làm.
1) a/ A = ( x + 3y ).( x - 2y ).( x + 2y ).
b/ B = ( x + 2y + 1 ).( x2 - 2xy + 4y2 ).
2
2
2) a  11  6 2  11  6 2  (3  2)  (3  2)  6

Tõ ®ã a lµ sè nguyªn

Câu 12. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình 2012 – 2013)

x2 - x
2x + x
2(x - 1)
+
Cho biểu thức: P =
x+ x +1
x

x -1
1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị của x để P = 3.

Lời giải.
1)
8

(x > 0, x  1).


P=
=

x ( x3  1)
x (2 x  1) 2( x  1)( x  1)


x  x 1
x
x 1
x ( x  1)( x  x  1)
 2 x  1  2( x  1)
x  x 1

= x  x 1
2) P = 3  x  x  1 = 3  x  x  2  0

t  1 ( L)
x = t, t  0 ta được pt t 2  t  2  0  

t  2 (TM )
Với t = 2 ta được x = 2  x = 4 (thỏa mãn ĐK).
Đặt

Vậy x = 4 thì P = 3.

Bài 13.(Đề thi học sinh giỏi huyện Thanh Oai 2015 – 2016)
x 3
x 2
x 2
):(


)
x 1
x 2 3 x x 5 x 6
x

a. Cho M  (1 

1) Rút gọn M
2) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên
b. Tính giá trị của biểu thức P
P  3x 2013  5x 2011  2006 với x  6  2 2 . 3 

2  2 3  18  8 2  3

Lời giải.
a) ĐKXĐ: x  0; x  4; x  9 (*)
1) Rút gọn M: Với x  0; x  4; x  9

Vậy M 
2) M 

x 2
x 1

x 2
x 1



(với x  0; x  4; x  9 ) (*)
x 1 3
x 1



x 1
x 1



3
x 1

 1

3
x 1

Biểu thức M có giá trị nguyên khi và chỉ khi: 3 x  1  x  1U (3)
Ư(3)  1;3  Vì x  0  x  1  0  x  1  1
Nên x  1 1;3 
Xảy ra các trường hợp sau:
. x  1  1  x  0  x  0 (TMĐK (*))
. x 1  3  x  2  x  4
(không TMĐK (*) loại )
Vậy x = 0 thì M nhận giá trị nguyên.
9


b) x  6  2 2. 3 

2  2 3  18  8 2 .  3

Có 18  8 2  (4  2 ) 2  4  2  4  2
2  2 3  4  2  2 3  4  ( 3  1) 2 

3 1

x  6  2 2. 3  3  1  6  2 2. 2  3  6  2 4  2 3  3

x  6  2 ( 3  1) 2  3  6  2 3  1  3  4  2 3  3
x  ( 3  1) 2  3 

3 1  3  3 1 3  1

Với x = 1.Ta có P  3.12013  5.12011  2006  3  5  2006  2014
Vậy với x = 1 thì P = 2014
Câu 14. (Đề thi học sinh giỏi huyện Nghi Xuân 2013 – 2014)

a. Tính giá trị của biểu thức: A  6  2 5  14  6 5
b. Tìm x; y thỏa mãn: 2 x  y  2 xy  4 x  4  0

Lời giải.
a) A  6  2 5  14  6 5 







2

5 1 

3 5



2

 5 1  3  5  2

 x  0; y

b) ĐKXĐ: 
 x  0; y  0
Xét x = 0. Suy ra y = - 4 ( Thỏa mãn)
Xét x  0; y  0 . Biến đổi PT về dạng:



x y

 
2

x 2



2

0

Lập luận tính được x = y = 4 ( Thỏa mãn).
KL:  x; y    0; 4  hoặc  x; y    4; 4 

Câu 15. (Đề thi học sinh giỏi huyện Thanh Oai – Hà Nội 2014 – 2015)
 x5 x
 
25  x
x 3
x 5

Cho biểu thức A = 
 1 : 



x 5
x  3 
 x  25
  x  2 x  15

1. Rút gọn A
2. Tìm số nguyên x để A nguyên
3. Với x  0 , x  25, x  9 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
B=

A( x  16)
5

Lời giải.
a) Điều kiện x  0, x  25, x  9
10


5
x 3

Rút gọn A 

b) x  z => x  3 là Ư(5)
 x 3 1

(loai )

=> 

 x  3  5  x  4

c)

A( x  16) 5( x  16) x  16


5
5( x  3
x 3
25
25
 x 3
 x 3
6
x 3
x 3
B

=> B  4 => min B = 4  x=4
Câu 16. (Đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng 2016 – 2017)
a) Cho x 

3

10  6 3 ( 3  1)
62 5  5



. Tính giá trị của P  12x 2 + 4x – 55



2017

.

a  1 a a 1 a 2  a a  a 1
M


a
a

a
a a a
b) Cho biểu thức
với a > 0, a  1.
6
Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 
nhận giá trị nguyên?
M
Lời giải.
a) Ta có :
10  6 3

3





3  1  3 ( 3  1)3





3 1

6  2 5  5  ( 5  1) 2  5
3

x

( 3  1)3 ( 3  1)



( 3  1)( 3  1) 3  1

2
1
5 1 5

( 5  1) 2  5
Thay giá trị của x vào P ta được:



P  12.22  4. 2 55



2017

 12017  1

b) Với điều kiện a  0; a  1 thì:
M

a 1

a





a  a  1

 a  1 a  a  1
a  a  1 a  1
a  1  a  1


a 1 a  a 1

a 1

2

a 1 a  a 1 a 
M


a
a
a

a

11


Khi đó N 

6

M



6 a



a 1

2

0

Ta thấy với 0  a  1  a  a  1  0
2
6 a
 a 1  3 a 
2
2
a 1









Do 0  N  2
Để N có giá trị nguyên thì N = 1.

6 a
1
a

2
a


1

 a  4 a 1  0




a 2



2

 a  32
a  7  4 3 ( tháa m·n)
3 

 a   3  2
a  7  4 3 ( tháa m·n)

Vậy a  7  4 3.

Câu17. (Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm 2013)
1) Tính giá trị của biểu thức A  3 26  15 3  3 26  15 3 .
2) Rút gọn biểu thức
 a2 2 
a2
a  7   3 a  2 1
1 
P  



 . 
 : 
 .
3
11

a
3

a

2
a

3
a

2

2
a

2


 


Lời giải.
1) Ta có A  3 26  15 3  3 26  15 3
 3 8  3.22 3  3.2.( 3)2  ( 3)3  3 8  3.22 3  3.2.( 3) 2  ( 3)3
 3 (2  3)3  3 (2  3)3
 (2  3)  (2  3)

A 2 3.

2) Điều kiện: 2  a  11
Đặt x  a  2 (0  x  3)  a  x2  2 .
( x  2)  x
x 2  9   3x  1 1 
.

 
Tính được P 
:
3  3  x 9  x 2   x 2  3x x 

12


( x  2)  3( x  3)   2 x  4 
.

:
3  9  x 2   x( x  3) 
( x  2) x( x  3)
x


.

3  x 2x  4
2
a2
=
2


Câu 18. (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm 2012 - 2013)
Cho biểu thức: P 

x x  26 x  19 2 x
x 3


x  2 x 3
x 1
x 3

a) Rút gọn P.
b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
a)
P

ĐK: 0  x  1 .Ta có:
x x  26 x  19 2 x
x 3



( x  1)( x  3)
x 1
x 3



x x  26 x  19  2 x ( x  3)  ( x  3)( x  1)
( x  1)( x  3)



x x  26 x  19  2 x  6 x  x  4 x  3
( x  1)( x  3)



x x  x  16 x  16 ( x  1)( x  16)
x  16


( x  1)( x  3)
( x  1)( x  3)
x 3

b)
P

x  16
25

25
 x 3
 x  3
6
x 3
x 3
x 3

 2 ( x  3)

25
 6  10  6  4
x 3

25
x4
x 3
Câu 19. (Trích đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng 2010 - 2011 )

Vậy GTNN của P = 4 khi x  3 

Rút gọn A  127  48 7  127  48 7 .

Lời giải.
A  127  48 7  127  48 7

= (8  3 7)2  (8  3 7) 2
= |83 7 | |8 3 7 |

 83 7 83 7

(8>3 7)

 6 7

Câu 20. (Trích đề thi học sinh giỏi thành phố Bắc Giang 2016 – 2017)
13


a. Cho biểu thức M=

a a b b
a
b
với a, b > 0 và a  b


ab
a b
b a

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết 1  a 1  b   2 ab  1
b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn

5
4

 18 2  3
ab 2 ab 2

c. Cho a, b, c thỏa mãn a  b  c  7 ; a  b  c  23 ; abc  3
Tính giá trị biểu thức H=

1
1
1


ab  c  6
bc  a  6
ca  b  6

Lời giải.
a)
-Rút gọn M=

ab
với a, b>0 và a  b
a b

-Ta có

1  a 1  b   2
 ab 



ab  1  ab  a  b  1  2 ab  1

a b



2

(

ab 2
) 1
a b

ab
1
a b

+ Nếu a>b>0
 a  b  a  b  0; ab  0 


ab

a b

ab
0
a b

ab
ab


1 M 1
a b
a b

+ nếu 0 a  b  a  b  0; ab  0 


ab
0
a b

ab
 ab
 ab


 1  M  1
a b
a b
a b

b)
5
4

 18 2  3
ab 2 ab 2

 5a  5b 2  4a  4b 2  18 2  a 2  2b2   3  a 2  2b2 

 5a  5b 2  4a  4b 2  18a 2 2  36b 2 2  3a 2  6b 2
 18a 2 2  36b2 2  9b 2  3a 2  6b 2  a
 18a 2  36b2  9b  2  3a 2  6b 2  a
3a 2  6b 2  a
18a 2  36b2  9b
3a 2  6b2  a
 Q  2  Q  Vô lý vì
Vì a, b nguyên nên
18a 2  36b2  9b

-Nếu 18a 2  36b2  9b  0  2 

14

2 là số vô tỉ


3
 2
2
18a 2  36b2  9b  0
3

3a  6b  b
-Vây ta có 18a  36b  9b  0   2

2 a b
2
2
2

2

3a  6b  a  0

3a  6b  a
3
Thay a= b vào 3a 2  6b2  a  0 t
2
9 2
3
a có 3  b  6b2  b  0  27b2  24b2  6b  0  3b(b  2)  0
4
2
2

2

Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thoã mãm) , vậy a=3. Kết luận
c)
Ta có



a b c



2

abc2



ab  bc  ca



mà a  b  c  7 ; a  b  c  23 nên ab  bc  ca  13
Ta có a  b  c  7  c  6   a  b  1
nên ab  c  6  ab  a  b  1  a  1 b  1
Tương tự

bc  a  6 





b 1









c  1 ; ac  b  6 





a 1



c 1

1
1
1


ab  c  6
bc  a  6
ca  b  6
1
1
1
=


a 1 b 1
b 1 c 1
a 1 c 1

Vậy H=



=

=





 



 





c 1 a 1 b 1



a 1

abc 





b 1





c 1



a  b  c 3

 

a b c 



ab  bc  ca  1



73
 1
3  7  13  1

Câu 21. (Trích đề thi học sinh giỏi thành phố Bắc Giang 2016 – 2017)
a. Tính giá trị của biểu thức N=

4 3  4 3
4  13

 27  10 2

b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn  a 2  b2  2   a  b  + (1  ab)2  4ab
2

Chứng minh 1  ab là số hữu tỉ
Lời giải.
a) N=
=

2( 4  3  4  3 )
8  2 13

 25  10 2  2

2( 4  3  4  3 )

 (5  2) 2

(4  3)  2 4  3 4  3  (4  3)


2( 4  3  4  3 )
( 4 3  4 3)

 (5  2)2 

2

b)

15

2( 4  3  4  3 )
4 3  4 3

 5 2  2 5 2  5


2
2
(GT)   a  b   2(ab  1)  (a  b) 2  1  ab   0



  a  b   2(a  b) 2 (1  ab)  (1  ab) 2  0
4

2

2
  a  b   (1  ab)   0  (a  b) 2 -(1  ab)=0



 (a  b) 2  1  ab  a  b  1  ab  Q;vi:a;b  Q.KL

Câu 22 (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Phú Yên 2012 - 20130
1
x 3
x 2
Cho biểu thức P
.
x 5 x 6
x 2
x 3
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P.
b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P .
c) Tìm các số nguyên x để P có giá trị nguyên
Lời giải.
a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P
x 0

x 5 x

P xác định

6

x

2

0

x

3

0

x

2

0

x

3

0

x

0

Vậy với x 0, x
b) Rút gọn P

x

x

2

x

x
x

3

2

1

x

3

x

2

2
x

x
2

0, x

4, x

9

9 (*) thì biểu thức P xác định.

4, x

1

P

0

3
2

x
x

2
3

2

x
x

1

x

3

2
x

2

3

6 x

9

x

2

x
x

4 x
3

2
.
x 3

c) Tìm các số nguyên x để P nguyên:
Theo b) P

2

. Do đó, nếu
x 3

2
nguyên thì P nguyên.
x 3

16

4






2
nguyên  x  3 2  x  3  1; 2 .
x 3
Với x  3  1  x  16;
Với

x  3  1  x  4 ;
x  3  2  x  25;

Với

x  3  2  x  1.

Với

Kết hợp với điều kiện (*) suy ra x  1;16;25 .

Câu 23. (Trích đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Phú Yên 2011 – 2012)
a) Rút gọn biểu thức:
P  2  3. 2  2  3 . 2  2  2  3 . 2  2  2  3 .

b) Cho x  3 1  65  3 65  1 . Tính Q  x3  12 x  2009 .

Lời giải.
a) Rút gọn biểu thức:

P  2  3. 2  2  3 . 2  2  2  3 . 2  2  2  3
Ta có:



2  2  2  3 . 2  2  2  3   2  2  2  3  2  2  2  3 



 42 2 3  2 2 3

Do đó:
P  2  3. 2  2  3 . 2  2  3
 2  3. 4  2  3  2  3. 2  3
 4  3  1.

Cách khác: Áp dụng hằng đẳng thức (a  b)(a  b)  a 2  b 2 , ta có:






3  2 




P 2  2  3 2  2  3  2  2  2  3  2  2  2 2  3 






  2  3  2  3 

 2 3 2 2

2 3



=4–2=1
Vì P > 0 nên P = 1
b) Tính Q  x3  12 x  2009 , với x  3 1  65  3 65  1 :
Ta có : x3 





3

 

 1  65 

1  65  3 65  1







3

65  1  33 1  65



17

  3 1

65  1

65  3 65  1








 2  12 3 1  65  3 65  1  2  12x .
Do đó: Q = 2-12x +12x + 2009 = 2011.

Câu 24. (Trích đề thi vào lớp 10 chuyên Ninh Bình năm 2013 – 2014)
Cho biểu thức A 

2x 2  4
1
1


(với x  0, x  1 ).
3
1 x
1 x 1 x

1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của A.

Lời giải.
1)

2x 2  4
1
1
2x 2  4  1  x  1  x 





1  x3 1  x 1  x
1  x3 
1 x

2
2x  4
2

=
3
1 x
1 x
2
2x 2  4  2 1  x  x 2 
2x  4
2



1  x  1  x  x 2  1  x

1  x  1  x  x 2 
A



2 1  x 

1  x  1  x  x

2



=

2
1 x  x2

2)
x  0
Với 
thì 1 + x + x2  1
x  1
2
 A=
2
1 x  x2
A = 2 khi x = 0. Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi x
=0

Câu 25. (Trích đề thi vào lớp 10 Chuyên Ninh Bình năm 2013 – 2014)
1 
 1

Cho biểu thức A  
:
x 1 
x x



x 1



x 1

2

(với x  0, x  1 ).

1. Rút gọn A.
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A  16 x .

Lời giải.
1)

1 
 1
A


:
x 1 
x x





x 1
1
1 



.
2


x

1
x
x

1
x 1







18







x 1

x 1

2




1 x
x





x 1


.



x 1

x 1

2



x 1
x

2)

x 1
 1

 16 x  1  
 16 x 
x
 x

1
 16 x  2.4  8  P  7
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có
x

1
1
P  7 
 16 x  x 
(thỏa mãn điều kiện).
16
x
1
Vậy max P  7 khi x  .
16
P  A  16 x 

19